Partes: 1, 2

1. Tablas de sumar Hexadecimales

   Tabla del 0	Tabla del 1	Tabla del 2	Tabla del 3	Tabla del 4	Tabla del 5	Tabla del 6	Tabla del 7
   0 + 0 = 0	0 + 1 = 1	0 + 2 = 2	0 + 3 = 3	0 + 4 = 4	0 + 5 = 5	0 + 6 = 6	0 + 7 = 7
   1 + 0 = 1	1 + 1 = 2	1 + 2 = 3	1 + 3 = 4	1 + 4 = 5	1 + 5 = 6	1 + 6 = 7	1 + 7 = 8
   2 + 0 = 2	2 + 1 = 3	2 + 2 = 4	2 + 3 = 5	2 + 4 = 6	2 + 5 = 7	2 + 6 = 8	2 + 7 = 9
   3 + 0 = 3	3 + 1 = 4	3 + 2 = 5	3 + 3 = 6	3 + 4 = 7	3 + 5 = 8	3 + 6 = 9	3 + 7 = A
   4 + 0 = 4	4 + 1 = 5	4 + 2 = 6	4 + 3 = 7	4 + 4 = 8	4 + 5 = 9	4 + 6 = A	4 + 7 = B
   5 + 0 = 5	5 + 1 = 6	5 + 2 = 7	5 + 3 = 8	5 + 4 = 9	5 + 5 = A	5 + 6 = B	5 + 7 = C
   6 + 0 = 6	6 + 1 = 7	6 + 2 = 8	6 + 3 = 9	6 + 4 = A	6 + 5 = B	6 + 6 = C	6 + 7 = D
   7 + 0 = 7	7 + 1 = 8	7 + 2 = 9	7 + 3 = A	7 + 4 = B	7 + 5 = C	7 + 6 = D	7 + 7 = E
   8 + 0 = 8	8 + 1 = 9	8 + 2 = A	8 + 3 = B	8 + 4 = C	8 + 5 = D	8 + 6 = E	8 + 7 = F
   9 + 0 = 9	9 + 1 = A	9 + 2 = B	9 + 3 = C	9 + 4 = D	9 + 5 = E	9 + 6 = F	9 + 7 = 10
   A + 0 = A	A + 1 = B	A + 2 = C	A + 3 = D	A + 4 = E	A + 5 = F	A + 6 = 10	A + 7 = 11
   B + 0 = B	B + 1 = C	B + 2 = D	B + 3 = E	B + 4 = F	B + 5 = 10	B + 6 = 11	B + 7 = 12
   C + 0 = C	C + 1 = D	C + 2 = E	C + 3 = F	C + 4 = 10	C + 5 = 11	C + 6 = 12	C + 7 = 13
   D + 0 = D	D + 1 = E	D + 2 = F	D + 3 = 10	D + 4 = 11	D + 5 = 12	D + 6 = 13	D + 7 = 14
   E + 0 = E	E + 1 = F	E + 2 = 10	E + 3 = 11	E + 4 = 12	E + 5 = 13	E + 6 = 14	E + 7 = 15
   F + 0 = F	F + 1 = 10	F + 2 = 11	F + 3 = 12	F + 4 = 13	F + 5 = 14	F + 6 = 15	F + 7 = 16
   Tabla del 8	Tabla del 9	Tabla de A	Tabla de B	Tabla de C	Tabla de D	Tabla de E	Tabla de F
   0 + 8 = 8	0 + 9 = 9	0 + A = A	0 + B = B	0 + C = C	0 + D = D	0 + E = E	0 + F = F
   1 + 8 =	1 + 9 = A	1 + A = B	1 + B = C	1 + C = D	1 + D = E	1 + E = F	1 + F = 10
   2 + 8 =	2 + 9 = B	2 + A = C	2 + B = D	2 + C = E	2 + D = F	2 + E = 10	2 + F = 11
   3 + 8 =	3 + 9 = C	3 + A = D	3 + B = E	3 + C = F	3 + D = 10	3 + E = 11	3 + F = 12
   4 + 8 =	4 + 9 = D	4 + A = E	4 + B = F	4 + C = 10	4 + D = 11	4 + E = 12	4 + F = 13
   5 + 8 =	5 + 9 = E	5 + A = F	5 + B = 10	5 + C = 11	5 + D = 12	5 + E = 13	5 + F = 14
   6 + 8 =	6 + 9 = F	6 + A = 10	6 + B = 11	6 + C = 12	6 + D = 13	6 + E = 14	6 + F = 15
   7 + 8 =	7 + 9 = 10	7 + A = 11	7 + B = 12	7 + C = 13	7 + D = 14	7 + E = 15	7 + F = 16
   8 + 8 =	8 + 9 = 11	8 + A = 12	8 + B = 13	8 + C = 14	8 + D = 15	8 + E = 16	8 + F = 17
   9 + 8 =	9 + 9 = 12	9 + A = 13	9 + B = 14	9 + C = 15	9 + D = 16	9 + E = 17	9 + F = 18
   A + 8 =	A + 9 = 13	A + A = 14	A + B = 15	A + C = 16	A + D = 17	A + E = 18	A + F = 19
   B + 8 =	B + 9 = 14	B + A = 15	B + B = 16	B + C = 17	B + D = 18	B + E = 19	B + F = 1A
   C + 8 =	C + 9 = 15	C + A = 16	C + B = 17	C + C = 18	C + D = 19	C + E = 1A	C + F = 1B
   D + 8 =	D + 9 = 16	D + A = 17	D + B = 18	D + C = 19	D + D = 1A	D + E = 1B	D + F = 1C
   E + 8 =	E + 9 = 17	E + A = 18	E + B = 19	E + C = 1A	E + D = 1B	E + E = 1C	E + F = 1D
   F + 8 =	F + 9 = 18	F + A = 19	F + B = 1A	F + C = 1B	F + D = 1C	F + E = 1D	F + F = 1E

   Verificación

   12432 5 992 10

   +34223 5 +2438 10

   102210 5 3430 10

2. Sumar los números 12432 5 y 34223 5

   Tablas de Multiplicar en el Sistema de Base 4

   Tabla del 0	Tabla del 1	Tabla del 2	Tabla del 3
   0 x 0 = 0	0 x 1 = 0	0 x 2 = 0	0 x 3 = 0
   1 x 0 = 0	1 x 1 = 1	1 x 2 = 2	1 x 3 = 1
   2 x 0 = 0	2 x 1 = 2	2 x 2 = 10	2 x 3 = 12
   3 x 0 = 0	3 x 1 = 3	3 x 2 = 12	3 x 3 = 21

   Tablas de Multiplicar en el Sistema Binario

   Tabla del 0	Tabla del 1
   0 x 0 = 0	0 x 1 = 0
   1 x 0 = 0	1 x 1 = 1

3. Realizar las tablas de multiplicación correspondientes al sistema base 4 y sistema binario.
4. Resuelva los siguientes productos binarios.

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

1. Resuelva los siguientes cocientes binarios hasta dos posiciones binarias.

1. 111001	1001
   1010	110.01
   1100
   11

2. 111001 / 1001
3. 111.001 / 10.01

111001	10010
10101	11.001
11001
111

1. Resuelva las siguientes sumas binarias.

2. 11011 + 1010
3. 110.1101 + 1011.011

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

2. Dados los siguientes números binarios signados en una computadora que representa los negativos en complemento a dos, indicar a que numero decimal corresponden.

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

1. Indicar cual es el mayor numero entero positivo y cual es el menor entero negativo ( rango de representación) que se puede almacenar en un byte , destinando el primer bit a la izquierda como bit de signo y almacenando los negativos en :

1. Signo y modulo.
2. Signo y complemento a la base menos uno.
3. Signo y complemento a la base.

Nota: escribir los números binarios y los equivalentes en decimal correspondientes

Para 1 byte

	Signo y Modulo		Signo y complemento a la base menos uno		Signo y complemento a la base
	Binario	Decimal	Binario	Decimal	Binario	Decimal
Mayor Entero Positivo	01111111	+ 127	01111111	+ 127	01111111	+ 127
Menor Entero Negativo	11111111	- 127	10000001	- 128	10000000	- 127

1. 	Signo y Modulo
   	Binario	Decimal
   Mayor Entero Positivo	01111111111111111111111111111111	+ 2147483647
   Menor Entero Negativo	11111111111111111111111111111111	- 2147483647
   	Signo y complemento a la base menos uno
   	Binario	Decimal
   Mayor Entero Positivo	01111111111111111111111111111111	+ 2147483647
   Menor Entero Negativo	10000000000000000000000000000001	- 2147483648
   	Signo y complemento a la base
   	Binario	Decimal
   Mayor Entero Positivo	01111111111111111111111111111111	+ 2147483647
   Menor Entero Negativo	10000000000000000000000000000000	- 2147483647

2. Ídem anterior pero para números que se pueden almacenar en 4 bytes.

   expresión para los Enteros Positivos (2n-1-1) = cantidad de positivos.

   expresión para los Enteros Negativos -(2n-1-1) = cantidad de negativos.

3. Deducir una expresión general que permita obtener el máximo y el mínimo entero ( para numero de n bits) que se puede representar en cada uno de los métodos de representación interna de enteros
4. Indicar que numero decimal representan los siguientes números binarios:

2. 11010010
3. 101

si el sistema trabaja con 8 bits y los números negativos se almacenan como :

• signo y modulo.
• Signo y complemento a la base menos uno.
• Signo y complemento a la base.

Nota : Los números deben completarse con ceros a la izquierda para llegar a la cantidad de bits del formato, a menos que se indique lo contrario.

	Signo y	Signo y	Signo y
	Modulo	Complemento a	Complemento a
		la base menos uno	la base
a -11010010	-82	-45	-46
b -00000101	5	5	5

24. Considerar los números de 8 bits a = 01000001 y b = 10000100. Realizar A + B en binario.

Demostrar la validez de la operación convirtiendo operandos y resultados en decimal suponiendo que se trata de:

• números sin signo
• números con signo y almacenando los negativos en cada una de las formas de representación de enteros.

Sin Signo ( Binario Puro)						Signo y complemento a la base
	01000001	Xxxxxxxxxxxx	65				01000001	xxxxxxxxxxxx	65
	+ 10000100		+ 132				+ 10000100		+(-124)
	11000101		197				11000101		- 59
Resultado Correcto						Resultado Correcto
Signo y Módulo						Signo y complemento a la base -1
	01000001	Xxxxxxxxxxxx	65				01000001	xxxxxxxxxxxx	65
	+ 10000100		+ (-4)				+ 10000100		+(-123)
	11000101		- 69				11000101		- 58
Resultado Incorrecto						Resultado Correcto

24. Efectuar las siguientes operaciones, para el caso de un sistema que trabaja con 8 bits, el MSB como signo y que almacena los negativos en complemento a la base:
1. 32 – 63

   Nota: En todos los casos, convertir resultados en decimal y extraer conclusiones.

   a- (32 - 63)						b- (-68 – 71)
   	32	xxxxxxxxxxxx	00100000				- 68	xxxxxxxxxxxx	10111100
   	- 63		+ 11000001				- 71		+ 10111001
   	-31		11100001				- 139		101110101
   						OVERFLOW

2. -68 –71

   a- (32 - 63)						b- (-68 - 71)
   	32	xxxxxxxxxxxx	00100000				- 68		10111011
   	- 63		+ 11000000				- 71		+ 10111000
   	-31		11100000				- 139		101110011
   						OVERFLOW

24. Ídem anterior, si se almacenan los negativos en : signo y complemento a la base menos uno

    N° Decimal	Forma exponencial	Mantisa	Exponente
    	Normalizada
    444.4	0.4444 x 103	0.4444	3
    -0.0005	-0.5 x 10-3	-0.5	-3
    -88.88	-0.8888 x 102	-0.8888	2

    N° Decimal	Forma exponencial	Mantisa	Exponente
    	Normalizada
    1100.1	0.11001 x 24	0.11001	4
    0.001010	0.101 x 2 -2	0.101	-2
    -101	-0.101 x 23	-0.101	3
    -0.0110011	-0.110011 x 21	-0.110011	1

25. Complete las siguientes tablas

    N° Decimal	Signo	Caracteristica	Mantisa
    	1 bit	7 bits	24 bits
    a) -327.8146	1	1001001	1010 0011 1110 1000 0100 0100
    b) 0.0001234	0	0110100	1000 0001 0110 0100 1110 1111
    c) -0.0001234	1	0110100	1000 0001 0110 0100 1110 1111

26. Escriba los siguientes números con formato de punto flotante.

    a – 58.88

    b – (-14.44)

    N° Decimal	Signo	Caracteristica	Mantisa
    	1 bit	8 bits	23 bits
    a) 58,88	0	1000101	1110 1011 1000 0101 0001 1110
    b) -14,44	1	1000011	0001 0100 0111 1010 1110 0010

27. Suponiendo una computadora que utiliza 4 bytes para almacenamiento de números con parte fraccionaria y utiliza al bit alto del byte como bit de signo, los 8 bits qu e le siguen como campo de exponente que se representa con exceso a 2 elevado a la N-1, y los 23 restantes como mantisa que se representa en complemento a dos , codifique:

    N° Decimal	Signo	Caracteristica	Mantisa
    	1 bit	7 bits	24 bits
    a) 58,88	0	1000110	1110 1011 1000 0101 0001 1110
    b) -14,44	1	1000100	1110 0111 0000 1010 0011 1101

28. Represente los números a y b del ejercicio anterior en notación exponencial de punto flotante normalizado, simple precisión, con coma a la izquierda del bit más significativo, siete bits para el exponente en exceso 64.

    N° Decimal	Signo	Caracteristica	Mantisa
    	1 bit	7 bits	24 bits
    a) 58,88	0	1000101	1110 1011 1000 0101 0001 1110
    b) -14,44	1	1000011	1110 0111 0000 1010 0011 1101

29. Represente los números a y b del ejercicio anterior en notación exponencial de punto flotante normalizado, simple precisión, con coma a la derecha del bit mas significativo, siete bits para el exponente en exceso 64.
30. Obtener el rango aproximado de valores reales representados en punto flotante para la norma IEEE simple precisión.

    N° Decimal	Signo	Caracteristica	Mantisa
    	1 bit	8 bits	23 bits
    2149,35	0	1001011	1000 0110 0101 0101 1001 1001

31. Representar el siguiente numero decimal en la norma IEEE simple precisión: 2149.35

    1001 1111 1001 0001 1010 0101 0000 0000

33. Indicar que numero decimal representa el siguiente numero binario, si se trata de un dato en punto flotante norma IEEE.

    (-.13567 x 10 +3) + (+.67430 x 10 –1)

    (-.13567 x 10 +3) + (+.67430 x 10 –1) = (-.13567 x 10 +3) + (+.000067430 x 103 ) =(+.13573743+3)

34. Mostrar cómo se suman los dos números de punto flotante que siguen para obtener un resultado normalizado:

    (0.7564 x 1012) x (-0.1529 x 10 –6)

    (0.7564 x 1012) x (-0.1529 x 10 –6) = (-0,11565356 x 10 6)

35. Realizar la multiplicación de los siguientes números en punto flotante y obtener un resultado normalizado.

    a- 5671 , b- 0007

    	a -5671	b -0007
    Binario Puro	1011000100111	111
    BCD 8421	0101 0110 0111 0001	0000 0000 0000 0111
    BCD X-3	1000 1001 1010 0100	0011 0011 0011 1010
    Aiken	1011 1100 1101 0001	0000 0000 0000 1101
    BCD 5421	0101 0110 0111 0001	0000 0000 0000 0111

36. Representar los siguientes números decimales en BINARIO PURO, BCD 8421, BCD Exceso 3, Aiken y BCD 5421.

    01110100 10010010

    si el codigo utilizado es :

    BCD 8421 Aiken. BCD Exceso 3. Justificar.

    	a - 0111 0100	b - 1001 0010
    BCD 8421	74	92
    Aiken	0111 No pertenece a Aiken	1001 No pertenece a Aiken
    BCD X-3	41	0010 No pertenece a BCD X-3

37. Indicar que numero decimal representan las siguientes palabras código:

    Progresivo
    1111	0
    1110	1
    1100	2
    1000	3
    0000	4
    0001	5
    0011	6
    0111	7
    0110	8
    0100	9
    Progresivo Cerrado
    1110	0
    1111	1
    1101	2
    1100	3
    1000	4
    1001	5
    1011	6
    1010	7
    0010	8
    0011	9

38. Generar un código progresivo y uno progresivo cerrado que represente a los dígitos decimales, del 0 al 9.

    6	4	2	1
    0	0	0	0	0
    0	0	0	1	1
    0	0	1	0	2
    0	0	1	1	3
    0	1	0	0	4
    0	1	0	1	5
    0	1	1	0	6
    0	1	1	1	7
    1	0	1	0	8
    1	0	1	1	9

    Es un código ponderado de distancia 1.

39. Codificar los dígitos decimales en un código ponderado cuyos pesos 6421. Cuando exista más de una combinación posible elegir aquella que tenga el bit de mayor orden cero. Analizar sus características.

    5 2 2 1 y 8 4 (-2) (-1) para los dígitos decimales del 1 al 9 hallar el complemento a 1 de dichos códigos. Hallar el complemento a la base menos uno de los dígitos decimales. ¿ Cual es la característica que se observa? Generar otro código autocomplementado.

    	5211	84(-2)(-1)	4221
    0	0000	0000	0000
    1	0001	0111	0001
    2	0011	0110	0010
    3	0110	0101	0011
    4	0111	0100	1000
    5	1000	1011	0111
    6	1001	1010	1100
    7	1100	1001	1101
    8	1110	1000	1110
    9	1111	1111	1111

    Se puede apreciar que el complemento a 1 en los códigos autocomplementados se corresponde con complemento a la base –1 del digito decimal que representa. Por ejemplo en 5211 el numero 4 se representa 0111 y su complemento a 1 es 1000 que se corresponde al numero 5 que es el complemento a la base –1 en decimal. O sea que para hallar el complemento a la base –1 en decimal con los códigos autocomplementados solo debemos invertir 0x1 y 1x0 .

40. Analizar el concepto de código autocomplementado. Escribir los códigos cuyos pesos son:

    a – 731 + 431

    b – 1162 + 895

    a-
    731			0111	0011	0001
    431	+		0100	0011	0001
    1162		0001	1011	0110	0010
    			+ 1010
    		0001	0001	0110	0010
    b-
    		1	1
    1162		0001	0001	0110	0010
    895	+		1000	1001	0101
    2057		0010	1010	1111	0111
    			1010	+ 1010
    		0010	0000	0101	0111

41. Efectuar las sumas, codificando previamente los números en BCD 8421

    		1	1
    596			1000	1100	1001
    + 742	+		1010	0111	0101
    1338			10011	10011	1110
    			- 0011	+ 0011	- 0011
    		0010	10110	0110	1011

42. Realizar las sumas del los números 596 y 742 expresando los operandos en exceso 3.

    a - 0111 0011 0000 1001 b - 0101 1000 0010

    a -0111 0011 0000 1001

    7 3 0 9

    b - 0101 1000 0010

    5 8 2

43. Decodifique cada número expresado en el código BCD ponderado 8421
44. Decodifique el numero expresado en el código BCD XS-3.

    3 0 8 4

1. 0100 0011 1011 0111

   0100 1100 0010 1010

   4 9 2 7

   Nota: Si el numero toma entre dos codificaciones posibles a la que posee el BSM en 0 este numero no existe en 5421.

33. Decodifique el número expresado en el código BCD ponderado 5421

    Al ser BCD XS-3 autocomplementado nos permite hallar el complemento de un numero, tomando el numero en XS-3 e invirtiendo la posiciones binarias 0 por 1 y 1 por 0. Entonces para :

    2185 à 0101 0100 1011 1000

    7814 à 1010 1011 0100 0111

34. Dado que el código XS-3 (código autocomplementado) para 2185 es 0101 0100 1011 1000, encuentre el código XS-3 para 7814 (7814 es el complemento a 9 de 2185).
35. Convierta los valores siguientes de la representación en XS-8 a su forma decimal equivalente.
1. 1110 à 6
2. 0111 à No existe en XS-8

   48. No es posible ya que la variedad de representaciones es 2n-1 y para los BCD es de 23=16. Si eliminamos a 8 posibles combinaciones solo podemos representar otros 8 combinaciones por lo que dos símbolos del sistema decimal quedarían fuera en este caso el 8 y el 9.

   49. ¿Es posible representar el valor 9 en notación en XS-8? Recordar que para N bits el exceso viene dado por 2n-1.
   50. Generar un código de distancia 2, tomando como base el código BCD 8421 y agregando un bit de paridad.

   Bit Paridad	8421
   0	0000	0
   1	0001	1
   1	0010	2
   0	0011	3
   1	0100	4
   0	0101	5
   0	0110	6
   1	0111	7
   1	1000	8
   0	1001	9

   Sistemas de Numeración – Códigos ( SEGUNDA PARTE )

3. 1001 à 1

   a)el número decimal 7820 a octal, binario, Hex, BCD Nat y a su equivalente en base 5.

   b)el binario 0,01001111 a decimal.

   c) a decimales y hexadecimal el número octal 1024,75.

   d)a octal y binario los números Hex.: 3AE y 7F,CB.

   a) 7820 8 4 7820 (10) = 17214 (8)

   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

   4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 pesos

   7820 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0

   7820(10) = 1111010001100(2)

   7820 16 C 7820(10) = 1E8C(16)

   488 16 8

   30 16 E

   1

    7820(10) = 0111 1000 0010 0000 en BCD Natural

   7820 5 0 7820(10) = 222240(5)

   1564 5 4

   312 5 2

   62 5 2

   12 5 2

   2

    b) 0,01001111(2) = 0*20+0*2-1+1*2-2+0*2-3+0*2-4+1*2-5+1*2-6+1*2-7+1*2-8

   = 0,25 + 0,03125 + 0,015625 + 0,0078125 + 0,00390625

   = 0,30859375(10)

   c) 1024,75(8) = 1*83+0*82+2*81+4*80+7*8-1+5*8-2

   = 512 + 16 + 4 + 0,875 + 0,078125

   = 532,953125(10)

   532 16 4

   33 16 1 532(10) = 214(16)

   2

   0,953125(10) ± 0,000001 = 1

   106

   106 £ base exp

   106 £ 16 5

   0,953125 x 16 = 15,25

   0,25 x 16 = 4

   0 x 16 = 0 0,953125(10) = F4000(16)

   0 x 16 = 0

   0 x 16 = 0

   1024,75(8) = 214,F4000(16)

1. Convertir :

   3AE(16) = 1110101110(2)

   1 6 5 6

   7F,CB(16) = 0111 1 111 , 110 0 10 11 7F,CB(16) = 177,626(8)

   7F,CB(16) = 1111111,11001011(2)

   1 7 7 , 6 2 6

   2) Dados los símbolos "3" y "9" decir cuanto vale si se leen dichos símbolos en Hex, en decimal y en octal.

   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

   3) Sean los símbolos 1011 , leer dicha información en binario , en octal y en base 5, diciendo en cada caso cual es el equivalente decimal.

   1011 se lee 1011(2) = 8 + 2 +1 = 11(10)

   se lee 1011(8) = 1 x 80 + 1 x 81 + 0 x 82 + 1 x 83 = 1 + 8 + 512 = 521(10)

   se lee 1011(5) = 1 x 50 + 1 x 51 + 0 x 52 + 1 x 53 = 1 + 5 + 125 = 131(10)

   4) Dado un número del tipo 10(X) [uno cero en base x] indicar que número es en base 10.

   10(X) = 1*x1 + 0*x0 = 1*x1(10) = x(10)

   5) Convertir el número 1100 1000 0011 perteneciente al código BCD EXC 3 a: BCD Natural, BCD Aiken, Decimal, Binario Natural y Hexadecimal.

   BCD EXC 3 Decimal BCD Natural BCD Aiken Binario Nat Hexadecimal

   1100 1000 0011 950 1001 0101 0000 1111 1011 0000 001110110110 3B6

   6) Convertir de Gray a Binario el número 1011101001

   1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 Gray

   Å

   1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 Binario

   7) Convertir de Binario a Gray el número 1100101110

   1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 Binario

   Å

   1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 Gray

   8) Realizar un código pesado y autocomplementario con pesos 4311

   4 3 1 1

   0 0 0 0 0

   1 0 0 0 1

   2 0 0 1 1

   3 0 1 0 0

   4 1 0 0 0

   5 0 1 1 1

   6 1 0 1 1

   7 1 1 0 0

   8 1 1 1 0

   9 1 1 1 1

   10) Dado el siguiente código especificar sus características

   Dec DCBA

   1. 0 0 0 0
   3. 0 1 0 0
   4. 1 1 0 0
   5. 1 1 0 1 CONTINUO, CICLICO, NO PESADO,
   6. 1 1 1 1 NO AUTOCOMPLEMENTADO
   7. 1 1 1 0
   8. 0 1 1 0
   9. 0 0 1 0
   10. 0 0 1 1

       11) Transformar el código BCD Aiken en un código de distancia mínima 2

       BCD Aiken

       Dec 2 4 2 1 Pp

   11. 0 0 0 1
   12. 0 0 0 0 0
   13. 0 0 0 1 1
   14. 0 0 1 0 1
   15. 0 0 1 1 0
   16. 0 1 0 0 1
   17. 1 0 1 1 1
   18. 1 1 0 0 0
   19. 1 1 0 1 1
   20. 1 1 1 0 1
   21. 1 1 1 1 0

   12) Como se representa +12 y –12 en una computadora de 5 bits en los convenios SyM, Ca2, Ca1 y Binario Desplazado

   SyM Ca2 Ca1 Binario Desplazado

   +12 01100 01100 01100 11100

   –12 11100 10100 10011 00100

   13) En los convenios ya mencionados, a que número representan los códigos: 00001101 y 10001110

   SyM Ca2 Ca1 Binario Desplazado

   00001101 +13 +13 +13 – 115

   10001110 –14 –114 –113 +14

   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

   01110011 –115(10) 10001110 Ca1 01110001 113

   10001110

   – 10000000

   00001110 + 14(10)

   14) Efectuar las siguientes operaciones aritméticas:

4. 3AE(16) = 001 1 10 10 1110 3AE(16) = 1656(8)

   24 00011000

   + 17 + 00010001

   41 00101001 41 : resultado válido

   _ 49 _000110001

   36 000100100

   13 000001101 13 : resultado válido

   _36 -1000100100

   49 000110001

   111110011 hubo barrow resultado inválido

   -24

   + -17

   -41 - 24<-17 se produce barrow

   b) Números en Ca2 y el mínimo módulo posible

   24 0011000 +(27-1-1) = +63

   + 17 + 0010001

   41 0101001 41 : resultado válido Módulo 27 = 128

   _ 49 _0110001 0110001

   36 0100100 Ca2 1011100

   13 1 0001101

   +13 : resultado válido Módulo 27 = 128

   Carry se ignora

   _ 36 _ 0100100 0100100 Módulo 27 = 128

   49 0110001 Ca2 1001111 Ca2

   -- 13 1110011 0001101

   ( -- ) 13 : resultado válido

   -24 0011000 1101000 Módulo 27 = 128

   + -17 0010001 Ca2 + 1101111 Ca2

   -41 1 1010111 0101001

   ( -- ) 41 : resultado válido

   Carry se ignora

   15) A partir de un código BCD Aiken obtener un código para transmisión con Dmín: 3

   BCD Aiken

   2 4 2 1

   Dec I1 I2 I3 I4 P1 P2 P3

   0 0 0 0 0 0 0

   0 0 0 1 1 1 1 a) bits de información = 4 bits de paridad = 3

   0 0 1 0 0 1 1

   0 0 1 1 1 0 0 b) I1 I2 I3 I4 C)

   0 1 0 0 1 0 1 X X X P1 P1 = I1 Å I2 Å I4

   1 0 1 1 0 1 0 X X X P2 PP P2 = I1 Å I3 Å I4

   1 1 0 0 0 1 1 X X X P3 P3 = I2 Å I3 Å I4

   1 1 0 1 1 0 0

   1 1 1 0 0 0 0

   1 1 1 1 1 1 1

1. Módulo 256 y números sin signo
16. Se recibe la siguiente información :
1. 1101100
2. 1100001
3. 0011100

   Si el código transmitido es BCD Aiken con Dmín:3 utilizando Hamming con paridad par y la siguiente vinculación :

   D C B A

   X - X X P3

   - X X X P2

   X X X - P1

   Indicar en cada caso si la información recibida es la correcta o en su defecto en que lugar se encuentra el error. (La información llega de la siguiente forma: D C B A P1 P2 P3 )

   a)

   D C B A P1 P2 P3 S1 = (D Å C Å B) Å P1 = 1 error en P1

   1 1 0 1 1 0 0 S2 = (C Å B Å A) Å P2 = 0

   S3 = (D Å B Å A) Å P3 = 0

   b)

   D C B A P1 P2 P3 S1 = (D Å C Å B) Å P1 = 0

   1 1 0 0 0 0 1 S2 = (C Å B Å A) Å P2 = 1 error en P2

   S3 = (D Å B Å A) Å P3 = 0

   c)

   D C B A P1 P2 P3 S1 = (D Å C Å B) Å P1 = 0

   0 0 1 1 1 0 0 S2 = (C Å B Å A) Å P2 = 0 transmisión corecta

   S3 = (D Å B Å A) Å P3 = 0

    d)

   D C B A P1 P2 P3 S1 = (D Å C Å B) Å P1 = 0

   1 1 0 0 0 1 0 S2 = (C Å B Å A) Å P2 = 0

   S3 = (D Å B Å A) Å P3 = 1 error en P3

   17) Escribir los siguientes números decimales expresados en formato ANSI/IEEE :

4. 1100010
1. 754
2. 0,037

   a)

   754(10)

    1011110010(2) + 5 1,011110010 5 2+9 Ü en BD EXCESO 127

   01111111

   +9 + 1001

   10001000

   0 10001000 01111001000000000000000

   SIGNO EXPONENTE MANTISA

   b)

   0,037(10) = 0,00001,001011110001101010 . . . (2)

   5 posiciones

   0,037 x 2 = 0,074

   0,074 x 2 = 0,148

   0,148 x 2 = 0,296 0,037(10) + 1, 00101111000110101001111 5 2-5 Ü en BD EXCESO 127

   0,296 x 2 = 0,592

   <>

   0,592 x 2 = 1,184

   0,184 x 2 = 0,368 _ 127 01111111

   368 x 2 = 0,736 5 - 101

   0,736 x 2 = 1,472 01111010

   0,472 x 2 = 0,944

   0,944 x 2 = 1,888 0 01111010 00101111000110101001111

   0,888 x 2 = 1,776 SIGNO EXPONENTE MANTISA

   0,776 x 2 = 1,552

   0,552 x 2 = 1,104

   0,104 x 2 = 0,208

   0,208 x 2 = 0,416 0,496 x 2 = 0,992

   0,416 x 2 = 0,832 0,992 x 2 = 1,984

   0,832 x 2 = 1,664 0,984 x 2 = 1,968

   0,664 x 2 = 1,328 0,968 x 2 = 1,936

   0,328 x 2 = 0,656 0,936 x 2 = 1,872

   0,656 x 2 = 1,312

   0,312 x 2 = 0,624

   0,624 x 2 = 1,248

   0,248 x 2 = 0,496

   c)

   0(10) 0 00000000 00000000000000000000000

   SIGNO EXPONENTE MANTISA

   18) Dar el decimal de los siguientes números expresados en formato ANSI/IEEE:

3. 0 (cero)

   SIGNO EXPONENTE MANTISA

   Exponente:

   00011111

   1. N = 31 - 127 = -96

      Mantisa: + 1, 01010000000000000000000 5 2-96

      0,0 . . . . . . 01,0101(2) = ( 1 5 2-96 + 1 5 2-98 + 1 5 2-100 ) 10

      posiciones

       b) 0 01000000 11000000000000000000000

      SIGNO EXPONENTE MANTISA

      Exponente:

      01000000

   2. 127 ± N =31

      N = 64 – 127 = -63

      Mantisa: + 1, 11000000000000000000000 5 2-63

      0,0. . . . . . 1,11(2) = ( 1 5 2-63 + 1 5 2-64 + 1 5 2-65) 10 

   3. 127 ± N = 64
   4. posiciones 

   c) 1 11111111 00000000000000000000000

   SIGNO EXPONENTE MANTISA

    Este número es – infinito

    d) 0 00000000 01000000000000000000000

   SIGNO EXPONENTE MANTISA

   Este es un número no normalizado

   0,01(2) = 1 5 2-2(10) 5 2-126(10)

   20) En una transmisión puede haber hasta 4 bits de eror. Se pide hallar la distancia mínima de código necesaria para:

1. 1 00011111 01010000000000000000000
1. detectar todos los bits en error
2. corregir todos los bits en error
3. corregir los errores de hasta 1 bit y solo detectar los restantes
4. corregir los errores de hasta 2 bits y solo detectar los restantes
1. Dmín = d + 1 = 4 + 1 = 5
2. Dmín = 2∙c + 1 = 2∙4 + 1 = 9
3. Dmín = 2∙c + d + 1 = 2∙1 + 3 + 1 = 6
4. Dmín = 2∙c + d + 1 = 2∙2 + 2 + 1 = 7
21. a) Obtener un código de distancia mínima 4 a partir de un código Hamming de distancia mínima 3, usando el código BCD Exc 3.

    a) I1 I2 I3 I 4 P1 P2 P3 P4

    0 0 1 1 1 0 0 1 I1 I2 I3 I4

    0 1 0 0 1 0 1 1 X X X P1

    0 1 0 1 0 1 0 1 X X X P2

    0 1 1 0 1 1 0 0 X X X P3

    0 1 1 1 0 0 1 0 X X X P4

    1 0 0 0 1 1 0 1

    1 0 0 1 0 0 1 1 P1 = I1 Å I2 Å I4

    1 0 1 0 1 0 1 0 P2 = I1 Å I3 Å I4

    1 0 1 1 0 1 0 0 P3 = I2 Å I3 Å I4

    1 1 0 0 0 1 1 0 P4 = I1 Å I2 Å I3

    b) S1 = P1 Å ( I1 Å I2 Å I4 )

    S2 = P2 Å ( I1 Å I3 Å I4 )

    S3 = P3 Å ( I2 Å I3 Å I4 )

    S4 = P4 Å ( I1 Å I2 Å I3 )

    Se recibe S1 = P1 Å ( I1 Å I2 Å I4 ) = 0

    I1 I2 I3 I 4 P1 P2 P3 P4 S2 = P2 Å ( I1 Å I3 Å I4 ) = 1 error en P2

    1 0 1 1 0 0 0 0 S3 = P3 Å ( I2 Å I3 Å I4 ) = 0

    S4 = P4 Å ( I1 Å I2 Å I3 ) = 0

    I1 I2 I3 I 4 P1 P2 P3 P4 S1 = P1 Å ( I1 Å I2 Å I4 ) = 1

    1 1 1 1 0 0 0 0 S2 = P2 Å ( I1 Å I3 Å I4 ) = 1 error en 2 bits

    S3 = P3 Å ( I2 Å I3 Å I4 ) = 1

    S4 = P4 Å ( I1 Å I2 Å I3 ) = 1

    ÁLGEBRA DE BOOLE

    George Boole (1815-1864)

    Nacido el 2 de Noviembre de 1815 en Lincoln, Lincolnshire (Inglaterra), primero concurrió a una escuela en Lincoln, luego a un colegio comercial. Sus primeras instrucciones en matemática, sin embargo fueron de su padre quién le dio también a George la afición para la construcción de instrumentos ópticos. El interés de George se volvió a los idiomas y recibió instrucción en Latín de una librería local. A la edad de 12 años había llegado a ser tan hábil en Latín que provocaba controversia. Él tradujo del latín una Oda del poeta Horacio de lo cual su padre estaba tan orgulloso que tenía su publicación. No obstante el talento era tal que un maestro de escuela local cuestionaba que nadie con 12 años podría haber escrito con tanta profundidad.
    Boole no estudió para un grado académico, pero a la edad de 16 años fue un profesor auxiliar de colegio. Mantuvo su interés en idiomas e intentó ingresar a la Iglesia. Desde 1835, sin embargo, pareció haber cambiado de idea ya que abrió su propio colegio y empezó a estudiar matemáticas por si mismo. Tardó en darse cuenta que había perdido casi cinco años tratando de aprender las materias en vez de tener un profesor experto. En ese periodo Boole estudió los trabajos de Laplace y Lagrange, tomando apuntes, los cuales llegaron a ser más tarde las bases para sus primeros papeles matemáticos. Comenzó a estudiar álgebra y Aplicación de métodos algebraicos para la solución de ecuaciones diferenciales fue publicada por Boole en el Transaction of the Royal Society y por este trabajo recibió la medalla de la Real Sociedad. Su trabajo matemático fue el comienzo que le trajo fama

    Boole fue nominado para una cátedra de matemáticas en el Queens College, en 1849, donde enseñó por el resto de su vida, ganándose una reputación como un prominente y dedicado profesor.
    En el 1854 publicó Las leyes del pensamiento sobre las cuales son basadas las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole aproximó la lógica en una nueva dirección reduciéndola a una álgebra simple, incorporando lógica en las matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan formas lógicas. Su álgebra consiste en un método para resolver problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios 1 y 0 y a tres operadores: AND (y), OR (o) y NOT (no). Comenzaba el álgebra de la lógica llamada Algebra Booleana la cual ahora encuentra aplicación en la construcción de computadores, circuitos eléctricos, etc.
    Boole también trabajó en ecuaciones diferenciales, el influyente Tratado en Ecuaciones Diferenciales apareció en 1859, el cálculo de las diferencias finitas, Tratado sobre el Cálculo de las Diferencias Finitas (1860), y métodos generales en probabilidad. Publicó alrededor de 50 escritos y fue uno de los primeros en investigar las propiedades básicas de los números, tales como la propiedad distributiva.
    Muchos honores le fueron concedidos a Boole, fue reconocido como el genio en su trabajo recibió grandes honores de las universidades de Dublin y Oxford y fue elegido miembro académico de la Real Sociedad (1857). Sin embargo, su carrera que comenzó un tanto tarde terminó infortunadamente temprano cuando murió a la edad de 49 años, el 8 de Diciembre de 1864 en Ballintemple, County Cork (Irlanda). Las circunstancias son descritas por Macfarlane de la siguiente forma:
    "Un día en el 1864 camino desde su casa al colegio, una distancia de dos millas, con una lluvia torrencial y luego dio una conferencia con la ropa empapada. El resultado fue un resfrío febril el cuál pronto dañó sus pulmones y terminó su carrera....."
    Lo que a Macfarlane le faltó decir es que la esposa de Boole (Mary nieta de Sir George Everest, de quién después fue nombrada la montaña) creía que el remedio podría ser la causa. Ella puso a Boole en cama y arrojó cubos de agua sobre la cama, ya que su enfermedad había sido causada por mojarse.
    El trabajo de Boole llegó a ser un paso fundamental en la revolución de los computadores, cuando en 1938, demostró como las operaciones booleanas elementales, se podían representar mediante circuitos conmutadores eléctricos, y como la combinación de estos podía representar operaciones aritméticas y lógicas complejas. Shannon demostró asímismo que el álgebra de Boole se podía utilizar para simplificar circuitos commutadores.

    ÁLGEBRA DE BOOLE

    INTRODUCCIÓN

    ¿QUÉ ES EL ÁLGEBRA DE BOOLE?

    Como hemos visto anteriormente a mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podian ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.

    A mediados del siglo XX el ágebra Booleana resultó de una gran importancia práctica, importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros dias, en el manejo de información digital (por eso hablamos de Lógica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teoría de la codificación y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primera generación.

    Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, tambien se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones tambien serán binarios.

    Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) tambien binaria o lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador) , Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), etcétera.

    Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores. Estos dispositivos, y otros que veremos a lo largo de esta unidad, son los que permiten el diseño, y la ulterior implementación, de los circuitos de cualquier ordenador moderno, así como de muchos de los elementos físicos que permiten la existencia de las telecomunicaciones modernas, el control de máquinas, etcétera. De hecho, pensando en los ordenadores como una jerarquía de niveles, la base o nivel inferior sería ocupada por la lógica digital (en el nivel más alto del ordenador encontrariamos los actuales lenguajes de programación de alto nivel).

    En esta unidad se representan las puertas lógicas elementales, algunas puertas complejas y algunos ejemplos de circuitos digitales simples, así como algunas cuestiones de notación. Por otra parte se plantean actividades de trabajo, muchas de las cuales implican una respuesta escrita en vuestro cuaderno de trabajo. El deseo del autor es que os resulte sencillo y ameno adentraros en el mundo de la lógica digital y despertaros la curiosidad, tanto por ella, como por la matemática que subyace en ella.

    DEFINICIÓN

    Un álgebra de Boole es un conjunto en el que:

1. Mediante dos ejemplos justificar la capacidad simultánea de detectar errores de 2 bits y corregir errores de 1 bit.
1. Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.
2. Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
   1. Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
   2.  Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
   3. Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
   4. Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
   5. Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz 
   6. Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
   7. Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
   8. Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
   9. Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
   10. Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

   Propiedades del álgebra de Boole

3. Tiene las siguientes propiedades:
1. Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
2. Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
3. Maximalidad del 1: x + 1 = 1
4. Minimalidad del 0: x0 = 0
5. Involución: x'' = x
6. Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
7. Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
8. Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
9. Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

* Ley de De Morgan generalizada

El complemento de una función se obtiene complementando todas las variables que intervienen en ella e intercambiando las operaciones adición y producto. Esto puede expresarse simbólicamente de la forma:

<>   [ f( A, B, C, ... , +, · ) ] ' = f( A', B', C', ... , ·, + )

Teorema de la descomposición de funciones

Toda función puede descomponerse, con respecto a cualquiera de las variables de las que depende, según la siguiente relación:

<>   f( A, B, C, ... ) = A · f( 1, B, C, ... ) + A' · f( 0, B, C, ... )

siendo f(1, B, C, ...) la función resultante de sustituir, en la función original, todas las A por 1, y las A' por 0. El segundo término, f(0,B,C,...) es la función resultante de sustituir las A por 0 y las A' por 1.

Función booleana

Una función booleana es una aplicación de A x A x A x ....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.

Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.

Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.

Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.

El número posible de casos es 2n. 

Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:

Votos				Resultado
A	B	C	D
1	1	1	1	1
1	1	1	0	1
1	1	0	1	1
1	1	0	0	0
1	0	1	1	1
1	0	1	0	0
1	0	0	1	0
1	0	0	0	0
0	1	1	1	1
0	1	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	0	0	0
0	0	1	1	0
0	0	1	0	0
0	0	0	1	0
0	0	0	0	0

Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1.

En nuestro ejemplo la función booleana será:

f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + A'BCD

MAPA DE KARNAUG

Simplificación de funciones con mapas de Karnaugh

Obtener la función de un Mapa de Karnaugh es el procedimiento inverso a la de la realización del mapa. Un termino de la función coloca uno o mas "unos" en el mapa de Karnaugh.
Tomar esos unos, agrupándolos de la forma adecuada, nos permite obtener los términos de la función

Utilizaremos los Mapas de Karnaugh para obtener una función mínima de dos niveles Suma de Productos.

Una expresión de dos niveles sdp se considerará la expresión mínima si:

1. No existe otra expresión equivalente que incluya menos productos.
2. No hay otra expresión equivalente que conste con el mismo numero de productos, pero con un menor numero de literales.

Observe que hablamos de UNA expresión mínima y lo LA expresión mínima. Esto porque pueden existir varias expresiones distintas, pero equivalentes, que satisfagan esta definición y tengan el mismo numero de productos y literales.

La minimización de funciones sobre el mapa de Karnaugh se aprovecha del hecho de que las casillas del mapa están arregladas de tal forma  que entre una casilla y otra, en forma horizontal o vertical existe ADYACENCIA LOGICA. Esto quiere decir que entre una casilla y otra solo cambia una variable.
Definimos los mintérminos adyacentes desde el punto de vista lógico como dos mintérminos que difieren solo en una variable. Agrupando casillas adyacentes obtenemos términos productos que eliminan las variables que se complementan, resultando esto en una versión simplificada de la expresión.

El procedimiento es el de agrupar "unos" adyacentes en el mapa; cada grupo corresponderá a un termino producto, y la expresión final dará un OR (suma) de todos los términos producto. Se busca obtener el menor numero de términos productos posible, lo que implica que cada termino producto debe contener el mayor numero de mintérminos posibles.

Antes de comenzar formalmente con la discusión sobre minimización veamos por un momento el  siguiente mapa de Karnaugh, resultado de la función:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Como podemos notar, la función está expresada en forma canónica, por lo que cada mintérmino "colocará" un 1 en su casilla correspondiente como se muestra en el mapa de Karnaugh correspondiente.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Supongamos por un momento que agrupemos los "unos" del mapa de Karnaugh como se muestra en la figura.
Según esto tenemos cuatro términos que son:

termino I	A				(agrupa 8 unos y es de 1 variable)
termino II	B	C			(agrupa 4 unos y es de 2 variables)
	_		_
termino III	A	C	D		(agrupa 2 unos y es de 3 variables)
	_	_	_	_
termino IV	A	B	C	D	(agrupa 1 uno   y es de 4 variables)

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Puede verse que a medida que agrupamos mayor cantidad de "unos", el termino tiene menos literales. El agrupamiento se hace con una cantidad de "unos" que son potencias de 2. Así agrupamos 2 mintérminos, 4 mintérminos y 8 mintérminos. Cada vez que aumentamos, el termino va eliminando una variable. En una función de 4 variables, un termino que tenga un solo "uno" tendrá las cuatro variables. De hecho es un termino canónico. Al agrupar dos mintérminos eliminaremos  una variable y el termino quedará de tres variables. Si agrupamos cuatro "unos" eliminaremos dos variable quedando un termino de dos variables y finalmente si agrupamos ocho "unos" se eliminaran tres variable para quedar un termino de una variable.
Todo esto se debe a la adyacencia entre casillas y cada vez que agrupamos, se eliminan las variables que se complementan.

En el ejemplo anterior la función obtenida es:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Pero, ¿será esta la función mínima?  Si vemos la figura a la derecha, la forma de agrupar nos da como resultado: Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Es importante que al "tomar" un uno, se agrupe con todos los unos adyacentes, aunque estos uno sean parte de otros grupos. Fíjese que el mintérmino 13 (11002) es común a los tres términos.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Para simplificar funciones utilizando mapas de Karnaugh hay que tener en cuenta que:

• Cada casilla (mintérmino) en un mapa de Karnaugh de n variable tiene n casillas adyacentes lógicamente, de modo que cada par de casillas defiere en una variable
• Al combinar las casillas en un mapa de Karnaugh, agruparemos un número de mintérminos que sea potencia de dos. Así agrupar dos casillas eliminamos una variable, al agrupar cuatro casillas eliminamos dos variables, y así sucesivamente. En general, al agrupar 2n casillas eliminamos n variables.
• Debemos agrupar tantas casillas como sea posible; cuanto mayor sea el grupo, el termino producto resultante tendrá menos literales. Es importante incluir todos los "unos" adyacentes a un mintérmino que sea igual a uno.
• Para que hayan menos términos en la función simplificada, debemos formar el menor numero de grupos posibles que cubran todas las casillas(mintérminos) que sean iguales a uno. Un "uno"  puede ser utilizado por varios grupos, no importa si los grupos se solapan. Lo importante es que si un grupo está incluido completamente en otro grupo, o sus "unos" están cubiertos por otros grupos, no hace falta incluirlo como termino.

Terminología para la simplificación: Implicante, Implicante Primo, Implicante Primo Esencial.

A continuación definiremos algunos términos comúnmente utilizados en los procesos de simplificación de funciones lógicas.

Implicante:<>
Conjunto de unos en un mapa de Karnaugh que representa un termino producto de variables. Se denomina implicante porque cuando este termino toma el valor 1, implica que también la función toma el valor 1. Un mintérmino solo es un implicante.

Implicante Primo:<>
Implicante que no está incluido completamente dentro de otro implicante. No puede combinarse con otro implicante para eliminar un literal.

Implicante Primo Esencial:
Implicante primo que contiene uno o mas mintérminos que no están incluidos en cualquier otro implicante primo

En el siguiente mapa de Karnaugh:

Los términos I II y III  son implicantes primos

El termino IV no es implicante primo

Los términos I y III son implicantes primos esenciales

El termino II no es un implicante primo esenciales

La función se obtiene con los términos I y III

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Algoritmo de minimización mediante mapas de Karnaugh

1. Identificar los implicantes primos. Para esto se busca obtener los grupos con mayor cantidad de unos adyacentes. Los grupos deben contener un numero de unos que son potencias de 2.

2.Identificar  todos los implicantes primos esenciales

3.La expresión mínima se obtiene seleccionando todos los implicantes primos esenciales y el menor numero de implicantes primos para cubrir los mintérminos no incluidos en los implicantes primos esenciales.

Ejemplo: Simplificar la función:

f

=

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

En los mapas siguientes se muestra el proceso de simplificación utilizando el algoritmo.

Implicantes primos

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Implicantes primos esenciales

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F(A,B,C,D)

=

B

C

D

+

A

D

+

A

C

D

+

B

C

D

Para practicar puede bajar esta programa freeware  muy intuitivo y fácil de usar. Llenas la tabla de verdad y a medida que vas colocando los unos, se va llenando   el mapa de Karnaugh y se van agrupando los términos. También se pueden marcar los unos directamente en el mapa de Karnaugh. No se requiere instalación. Ocupa 283 Kb. Haz click en el icono para bajarlo.

Los ejemplos anteriores se realizaron con funciones de 4 variables. Para mapas de Karnaugh de 5 y 6 variables el procedimiento es esencialmente el mismo solo hay que recordar que un mintermino es adyacente a otro mintermino que ocupe la misma posición en forma horizontal o vertical en los cuadrados a los lados del mapa.

Minimización en mapas de Karnaugh de 5 variables

Simplificar la función = m(0,2,8,11,15,18,20,21,27,28,29,31)

Se coloca un 1 en los minterminos

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Minimización en mapas de Karnaugh de 6 variables

Obtenga una función mínima para el siguiente mapa de Karnaugh

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Otro forma mas practica de colocar los elementos en la tabla es la siguiente:

Para una sola variable:

Para dos variables:

.

Para tres variables:

Para cuatro variables:

Para cinco variables:

 

 

Autor:

<>

ING JORGE MOSCOSO SANCHEZ

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