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Introducción, definición y clasificación

Enviado por helium



Introducción, definición y clasificación

de las vibraciones.

  1. Las vibraciones mecánicas: historia, estudio e importancia.
  2. Las vibraciones mecánicas definiciones, clasificaciones.
  3. Elementos de sistemas vibratorios
  4. Vibración libre
  5. Métodos para el calculo de ecuaciones diferenciales de sistemas libres no amortiguados
  6. Cálculo de momento de inercia y centroides.

El estudio de las vibraciones mecánicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniería mecánica ya que el buen funcionamiento de maquinaria mecánica esta relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio.

Es importante conocer la clasificación de las vibraciones mecánicas ya que nos presentan un panorama de los diferentes estudios.

Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecánicas es el modelo matemático. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores produce información errónea.

En este capitulo se verán los conceptos iniciales importantes para el estudio de las vibraciones mecánicas.

  1. Desde que aparecieron los primeros instrumentos musicales, en especial los de cuerda, la gente ya mostraba un interés por el estudio del fenómeno de las vibraciones, por ejemplo, Galileo encontró la relación existente entre la longitud de cuerda de un pendido y su frecuencia de oscilación, además encontró la relación entre la tensión, longitud y frecuencia de vibración de las cuerdas.

    Estos estudios y otros posteriores ya indicaban la relación que existe entre el sonido y las vibraciones mecánicas.

    A través de la historia, grandes matemáticos elaboraron importantes aportaciones que hicieron del fenómeno de las vibraciones toda una ciencia, tan asi que hoy en día se ha convertido en una de las mas estudiadas y aplicadas en la industria.

    Podemos mencionar entre otros, Taylor, Vernoulli, D’ Alember, Lagrange, Fourier, etc. La ley de Hooke en 1876 sobre la elasticidad, Coulomb dedujo la teoria y la experimentación de oscilaciones torcionales, Rayleigh con su método de energías, etc. Fueron grandes físicos que estructuraron las bases de las vibraciones como ciencia.

    En la actualidad, las vibraciones mecánicas es el fenómeno en el cual la gente esta en continuo contacto y cuyos efectos difieren.

    El buen funcionamiento de los amortiguadores de un automóvil. El mal aislamiento de maquinaria que pueda dañar la infraestructura de la misma y zona aledaña, ruido causada por maquinaria. Son ejemplos de algunos ejemplos.

    Un fenómeno de la cual las maquinas temen es la llamada resonancia, cuyas consecuencias pueden ser serias.

    Por otro lado el buen funcionamiento de la maquinaria industrial es un fenómeno que requiere de una constante inspección, es decir, el mantenimiento predictivo; este juega un papel importante en el crecimiento económico de una empresa, ya que predecir una falla es sinónimo de programación de eventos que permite a la empresa decidir el momento adecuado para detener la maquina y darle el mantenimiento.

    El análisis de vibración juega un papel importante en el mtto predictivo, este consiste en tomar medida de vibración en diferentes partes de la maquina y analizar su comportamiento.

  2. LAS VIBRACIONES MECANICAS: HISTORIA, ESTUDIO E IMPORTANCIA.
  3. LAS VIBRACIONES MECANICAS DEFINICIONES, CLASIFICACIONES.

El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica delas vibraciones, es una rama de la mecánica, o mas generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.

Definición 1.2 (a)

Vibración: es el movimiento de vaiven que ejercen las partículas de un cuerpo debido a una exitación.

Existe una relación entre el estudio de las vibraciones mecánicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado esta estrechamente relacionado con la vibración mecánica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono correspondiente al # de ciclos por segundo de vibración.

Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer características potenciales y cinéticas. Nótese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre; por ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee características energéticas cinéticas, y el resorte, características energéticas potenciales.

Otro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de un extremo donde la masa nuevamente forma la parte cinética y el cambio de posición la parte potencial.

Definición 1.2 (b)

Vibración mecánica: es el movimiento de vaiven de las moléculas de u cuerpo o sistema debido a que posee características energéticas cinéticas y potenciales.

En cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía. Como ejemplos de excitación instantánea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgueó de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformación inicial de un sistema masa resorte, etc.

Como ejemplo de una excitación constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.

Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecánicas.

Vibración libre: es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea.

Vibración forzada: es cuando un sistema vibra debida a una excitación constante.

Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libre mente solo y solo si existe condiciones iniciales, ya sea que suministremos la energía por medio de un pulso ( energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte.

Esta energía es disipada por el fenómeno llamado amortiguación, en ocasiones es despreciable.

Aun cuando la energía es disipada durante la vibración, en le caso de la vibración forzada esta descompensada por la excitación constante.

Vibración amortiguada: es cuando la vibración de un sistema es disipada.

Vibración no amortiguada: es cuando la disipación de energía se puede disipar para su estudio.

El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.

Vibración lineal: si los componentes básicos de un sistema tienen un comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.

Vibración no lineal: se produce si alguno de sus componentes se comporta como no lineal.

El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en su mayoría, a los realizados si se consideran como elementos lineales.

Un ejemplo de ello es el resorte, donde según la ley de Hooke el comportamiento fuerza-deformacion es lineal (fig 1.2)

  Cuando el comportamiento vibratorio de un sistema se puede representar por medio de una ecuación matemática entonces se dice que la vibración es deterministica, pero si se tiene que determinar por ecuaciones probabilísticas entonces la vibración es probabilística o random. (fig 3.1)

Si el comportamiento determinístico se repite de igual forma después de cierto tiempo entonces la vibración es periódica, de la contrario es no periódica.

Fig 3.1 Vibración deterministica (a) y Random (b)

Si las características de señal de la vibración de un sistema se asemeja a una señal senoide, entonces se dice que la vibración es senoide.

Una señal compleja a simple vista no se pude representar por medio de una ecuación matemática, pero si puede ser determinado por medio de senos y cosenos.

 

Fig. 1.4 toda señal compleja puede ser representada por la suma de senos y cosenos (llamados armónicas)

Este descubrimiento de Fourier adquiere importancia ya que el análisis de los armónicos de una señal nos puede revelar posibles fallas en una maquinaria.

Fig 1.5

Frecuencia natural.- es la frecuencia propia de un cuerpo o sistema al poseer elementos elásticos e inerciales. Es la frecuencia resultante de la vibración libre.

Resonancia.- es cuenco la excitación es de frecuencia igual a la frecuencia natural

El efecto de resonancia en la guitarra se debe cuando está afinada y al colocar el dedo en el quito trasto en la sexta cuerda y se hace vibrar, la quinta cuerda vibra sola por el efecto de resonancia, ya que el tono de la sexta cuerda en el quinto trasto es de MI, la cual es la nota de la quinta cuerda.

Fig 1.6

Definición 1.3.A

Grado de libertad.- es el mínimo número de coordenadas requeridas e independientes para determinar completamente la posición de todas las partes de un sistema en un instante.

 

SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

fig. 1.7 Grados de libetad

Definición 1.3.B

Modelo matemático: es la representación de todas las características importantes de un sistema con el propósito de derivar las ecuaciones matemáticas que determinen su comportamiento.

El modelo matemático debe incluir los mínimos detalles del sistema tal que dicho comportamiento pueda ser representado por una ecuación.

El modelo matemático puede ser lineal o no lineal. Un modelo matemático permite soluciones rápidas y simples, sin embargo los modelos no lineales, revelan algunas veces ciertas características del sistema que los modelos lineales no proporcionan.

Algunas veces, durante el procedimiento del análisis, el modelaje se realiza en forma gradual, esto dependiendo de los componentes. (Fig. 14.7)

  

2 ELEMENTOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS

Para que un sistema pueda vibrar debe poseer elementos que puedan adquirir energía cinética y elementos capaces de almacenar energía cinética.

El análisis cinético es el procedimiento que le sigue al modelaje matemático, es por eso que el estudio de sistemas dinámicos se vuelve esencial para el estudio de las vibraciones mecánicas.

Un sistema vibra si posee energía cinética y potencial, la carencia de uno de ellos anula la posibilidad, es por eso que en esta unidad se hace un estudio a los sistemas dinámicos desde el punto de vista de la 2da ley de Newton y de la conservación de la masa.

También se hace un estudio a la ley de Hooke y del calculo de la constante elástica equivalente de sistemas que posean diferentes elementos elásticos.

Son tres los elementos básicos de un sistema vibratorio: la masa, elementos elásticos y elementos absorbedores de energía.

Vamos a analizar estos tres elementos desde el punto de vista cinético, tanto por medio de la ecuación de la segunda ley de Newton como de la conservación de la energía.

2.1 MASAS

2.1.1 La segunda ley de Newton.

La primera y la tercera ley de Newton se utilizan para analizar sistemas elásticos, para sistemas dinámicos la segunda ley de Newton resulta apta.

Un cuerpo de masa "m" puede poseer diferentes tipos de movimiento de los cuales tenemos:

Movimiento rectilíneo: un cuerpo de masa "m" sometido a un sistema de fuerzas S F poseerá una aceleración rectilínea x T.Q. (Fig. 2.1)

 Movimiento Rotacional Centroidal: Un cuerpo con un movimiento de inercia de masa con respecto a su centro de gravedad ‘JG’ y aceleración angular θ queda determinado como (fig. 2.2)

=

Movimiento Rotacional Excentroidal: un cuerpo con este tipo de movimiento (fig 2.2) es idéntico al centroidal, porque el análisis es el pivote

  =

 Movimiento Combinado: cuando un cuerpo posee movimiento rectilíneo y angular se dice que su movimiento es combinado, en ocasiones el análisis se puede sustituir por uno solo. ( ver ejemplo 2.2)

Ejemplo 2.1

Una varilla de masa ‘m’ y longitud ‘l’ se suelta del reposo. Determine las ecuaciones del

movimiento, si el sistema ha girado un ángulo θ a partir del eje vertical.

 

 Ejemplo 2.2

Determine la ecuación del movimiento angular del sistema mostrado en la Fig.,

 Solucion:

Como la esfera tiene los dos tipos de movimientos se puede analizar por separado o como un sistema único.

1.- Análisis individual.

 2.- Análisis único.

Como tenemos rodadura para el punto ‘p’ es el centro instantáneo de velocidad cero, por lo tanto haciendo momentos en ‘p’

 2.1.2 Energía

un cuerpo de masa ‘m’ con movimiento puede poseer energía potencial y/o cinética.

Energía cinética de traslación: un cuerpo de masa ‘m’ con movimiento de traslación a velocidad ‘x’ posee una energía cinética igual:

ECT=1/2 mx2 Ec. 2.4

Energía cinética de rotación: un cuerpo de masa ‘m’ y un momento de inercia de masa c respecto al pivote ‘p’ Jp y una velocidad angular “θ”

ECR=1/2 Jp θ2 Ec. 2.5

Energía potencial gravitacional: un cuerpo de masa ‘m’ que esta a una altura ‘h’ de una referencia poseerá una energía potencial igual.

EPG= mgh Ec. 2.6

El análisis de sistemas con movimiento combinado se facilita con el método de energías.

Ejemplo 2.3

Calcule la energía cinética total del sistema mostrado en la Fig.

  • Se puede analizar de 2 maneras: a) sumando ambas energías. b) como una energía única.

1.- Como sistema separado:

Ec Total= ECR + ECT = 1/2 JG θ2 + 1/2 mx2

Como x = θr

Ec Total= = 1/2 JG θ2 + 1/2 mx2 = ½ (JG + mr2 ) θ2

2.- Como sistema único.

Como tenemos rodadura pura en ‘p’ este es su centro instantáneo velocidad cero,

por lo tanto:

Ec Total: ECP = ½ JP θ2

Como: JP = JG + mr2

Ec Total: ( ½ JG + mr2 ) θ2  

2.2 ELEMENTOS ELASTICOS

2.2.1 Resortes y la Ley de Hooke

Los resortes son uno de los elementos elásticos utilizados en sistemas vibratorios, estos pueden ser lineales o no lineales.

Si la causa-efecto se conserva, entonces el resorte es lineal, o bien se dice que es perfectamente elástico, cosa que se puede suponer en muchos problemas de la técnica (Fig. 2.4).

Aun cuando se tenga un resorte no lineal, este se puede utilizar sobre un punto de operación tal que sobre ese punto ‘p’ el resorte es lineal (Fig. 2.4)

Un ejemplo de un elemento no lineal es el caucho, cuyo material es usado con frecuencia y donde la relación F – X tiene una variación no lineal.

 El estudio de resortes o elementos no lineales no corresponde a este capitulo, mas sin embargo vamos a ver unos ejemplos.

El primer ejemplo de un sistema mecanico es el mostrado en la figura 2.5, donde la contante elastica equivalente ‘Keq’ no es contante

La linealidad se rompe al entrar en accion el resorte K3 o K4.

 Otro caso muy ilustrativo es el de un Resorte estirado entre dos puntos fijos A y B y en donde la masa ‘m’ esta atada a un punto del resorte.

Si se aparta m lateralmente y se deja Oscilar, se encuentra que F(x) no es lineal. (Fig. 2.6).

 Otro caso interesante y que posteriormente va a ser muy estudiado es el de un péndulo (Fig. 2.7)

Si se consideran oscilaciones pequeñas la ecuación diferencial que determina el movimiento es:

L θ + θ = 0 è Ec, Dif. Lineal.

Si consideramos el caso del resorte ineal, la ley de Hooke nos dice que la fuerza aplicada es directamente proporcional a la deformación, osea:

F a x

Donde F= fuerza x= deformación, para eliminar la proporcionalidad agregamos una constante proporcional agregamos una constante K

F= -K x

En términos funcionales la ecuación correcta es:

F(x)= K x

La ecuación gráfica de la Ley de Hooke a saber es una pendiente (fig. 2.8) donde la constante es el valor de la pendiente.

Definición 2.2.A.-

Resortes en serie : 2 o más resortes están en serie si la fuerza se transmite en la misma proporción en cada uno de ellos.

2.2.2 ENERGÍA

cuando se estira o se comprime un resorte elástico una distancia x de su posición no deformada, la energía potencial Epr elástica de puede expresar:

Epr= ½ K x2

en este caso la fig 2.12 la energía es siempre positiva ya que en lo posición deformada la fuerza del resorte tiene la capacidad de hacer trabajo al regresar a su posición no deformada.

2.3 ELEMENTOS ABSORVEDORES DE ENERGÍA

La ley de conservación de la energía establece que la energía no se crea ni se destruye sólo se transforma.

La fricción es un ejemplo de pérdida de energía.

El amortiguamiento es un sinónimo de absorción de energía en los sistemas vibratorios.

1-. Sistemas:

se puede observar que el desplazamiento transversal de la viga en cantiliver K2 es igual a la del resorte K1 por lo tanto estan en paralelo.

 2.- sistema :

Aquí el desplazamiento en cada uno de ellos es diferente, tal vez es mas facil ver por la fuerza transmitida ya que se transmite en la misma proporcion por lo tanto estan en serie.

 3.- sistema:

Aquí tenemos una combinación el elemento K1 y K2 estan en paralelo y todo el conjunto esta en serie con K3.

 Por lo tanto en el caso en que los resortes esten en paralelo tenemos:

Xt = X1 = X2

Sin embargo la fuerza se distribuye, en cada uno de:

Fr = F1 + F2

Nuevamente, como:

FT = KT XT

F1 = K1 X1

F2 = K2 X2

Sustituyendolo en la ecuación 2.10 tenemos

KT XT = K1X1 + K2X2

Pero como XT = X1 = X2

KT = K1 + K2

En resumen tenemos:

Definición 2.2.B

Si dos o mas resortes estan conectados en paralelo el se puede sustituir por uno equivalente de la forma:

Keq = K1+ K2 + K3 + ..... Kn

Es facil identificar si 2 o mas resortes estan pero cuando se tienen otros elementos, por ejemplo, se torna un poco mas difícil identificarla.

Dependiendo del empotramiento y de las dimensiones, peso de las vigas será su constante elástica.

Por otro lado el desplazamiento total es igual a la suma de cada uno de ellos, de tal forma que:

XT = X1 + X2

Vamos a ver como podemos representar 2 o mas resortes en serie por uno equivalente

Ft = Xt Kt Xt = Ft/Kt

F1 = X1 K1 X1 = F1/K1

F2 = X2 K2 X2 = F2/K2

Sustituyendolo en la Ec 2.9

Ft = F1 + F2

Kt K1 K2

Como Ft = F1 = F2 tenemos que:

1 = 1 = 1

Kt K1 K2

Llamando Keq a los Kt resumimos:

Definición 2.2.D

Dos o mas resortes conectados en serie, la constante elastica equivalente al efecto de todas queda determinada como

1 = 1 + 1 + ........ 1

Keq K1 K2 Kn 

Vamos a analizar el caso en Que se tenga 2 o mas resortes

En paralelo. (Fig. 2.11)

Definición 2.2.C

Resortes paralelo: 2 o mas resortes Estan conectados en paralelo si el Desplazamiento en cada uno de ellos Es el mismo.

 Con viscosidad, la fuerza es directamente proporcional, mientras que en la turbulenta la fuerza es proporcional al cuadrado de velocidad. En la amortiguación sera (o de Coulomb) la fuerza es constante, el amortiguamiento solido es debido a las fuerzas internas.

  • Amortiguamiento viscoso F a x
  • Amortiguamiento turbulento F a x2
  • Amortiguamiento seco F = cte
  • Amortiguamiento solido

Uno de los amortiguadores mas presentes en sistemas vibratorios es el viscoso. En los resortes existe la contante elastica K que elimina la proporcionalidad de F a X. En los amortiguadores del tipo viscoso existe otra copntante l¿lamada coeficente de amortiguamiento y generalmente se denota como ‘C’.

De tal forma que la fuerza de un amortiguador ‘Fd’ queda determinada como :

Fd = -cx (Ec. 2.12)

Donde las unidades para el sistema M.K.S son:

Fd = New x = m/s c = Nw – s

Mt

Ejemplo 2.5

El amortiguados mostrado en la figura tiene una fuerza de 98 New a una velocidad de 0.01 m/s2 Calcule el coeficiente de amortiguamiento.

Fd = cx

C = Fd = 98

X 0.01

C = 9800 Nw – s

Mt

3 VIBRACIÓN LIBRE

Aunque los sistemas vibratorios generalmente trabajan como sistemas forzados el análisis de sistemas libres adquiere importancia debido a que uno de los problemas a los que "las maquinas temen" es la resonancia.

Según la definición 1.2 H la resonancia se presenta cuando la frecuancia de excitación es igual a la frecuencia de resonancia.

Según la definición 1.2 G la frecuencia natural es la frecuencia de los sistemas vibratorios en la vibración libre, de aquí que el calculo de frecuencias naturales es importante.

En este capitulo se expondran diferentes metodos para el calculo de fracuencia natural, sus ventajas y demas, apartir de un modelo tipico.

Consideremos el caso general en que el existe un amortiguamiento, y luego se analizara para diferentes valores de amortiguamiento incluyendo el despreciable.

3.1 Movimiento armonico

el movomiento armonico es importante de estudiar ya que tiene similitud con muchos movimientos de sistemas vibratorios, todo movimiento periodico debe satisfacer:

x (t) = X (t + t ) Ec 3.1

Vamos a ver que significa esto. Un movimiento periodico es un movimiento que se repite a intervalos de tiempo llamados periodos ‘t ’.

La frecuencia se define como el numero de ciclos por unidad de tiempo, de tal forma que se relaciona con el periodo dela forma

F = 1 (Ec. 3.2)

t

Las unidades de la ecuación 3.2 son ciclos/seg ó Hertz

La figura 3.1 muestra un ejemplo de un movimiento periodico en donde la grafica de la posición de una particula ‘P’ en funcion del angulo se muestra.

Fig. 3.1 Movimiento Armonico

En la fig. 3.1 se puede observar el máximo valor llamado la amplitud ‘A’.

Ahora si no se conociera el centroide existe una forma sencilla de calcularlo y es aprovechando el equilibrio estatico ya que cuando el cuerpo esta estatico el centro de gravedad esta por una linea imaginaria vertical al pivote.

 3.2 vibración libre no amortiguada.

En este apartado se estudiara el modelo mas simpole de tal modo que una ecuación matemática denotara su comportamiento.

Este modelo lo llamaremos el modelo tipico, y la ecuación diferencial que determina su comportamiento lo llamaremos la forma canonica de un sistema libre no amortiguado.

La fig. 3.2 muestra este modelo un sistema de masa ‘m’ y una constante elastica ‘k’ vamos a realizar un estudio estatico y cinético con el fin de determinar la ecuación diferencial que determinara el movimiento posteriormente veremos la solucion de la ecuación diferencial para ver la respuesta en el tiempo del sistema asi como la formula que determina el calculo de la frecuencia natural.

Fig. 3.2 modelo tipico de un sistema libre no amortiguado.

Supongamos tres casos como se muestra en la figura 3.3.

 En la figura 3.3 (a) se tiene el resorte sin deformar, posteriormente se coloca una masa ‘m’ y el resorte sufre una deformación Xs que llamaremos deformación eststica; de aquí

Fk = KXs

Fig 3.4 diagrama de cuerpo libre, análisis estatico.

El diagrama de cuerpo libre estatico nos rebela que

S Fy = 0

mg – KXs = 0

mg = Kxs Ec.3.3

ahora imagfinemos que estiramos la masa una distancia X y luego lo soltamos y aquí comenzamos hacer el análisis.

 La figura 3.5 nos muestra el diagrama de cuerpo libre como consideramos X + 1 por lo tanto x y x seran positivos hacia abajo.

Utilizando la 2da ley de Newton

+ S fy = S fy efect = mx

mg – KXt = mx Ec. 3.4

Como KT = Xs + x la ecuación 3.4 se convierte en:

Mg – KXs – Kx = mx Ec 3.5

Utilizando la ecuación 3.3 como en la ecuación 3.5 aparecen como constantes se pueden eliminar, por lo tanto:

Mx + kx = 0 Ec. 3.6

A la ecuación 3.6 se le conoce como la ecuacion diferencial del movimiento de un sistema libre no amortiguado. Si existe deformación estatica el efecto que produce la masa se coloca con un resorte cuando se deforma estaticamentepor lo tanto vamos a buscar la solucion utilizando la transformada de laplace.

Si analizamos el termino angular ( √K (t) ) cuya unidad debera ser los radiantes, por lo tanto:

√m

√K T = seg

√m

de aquí que el termino √K es la frecuencia natural en otras unidades

√m

por lo tanto la ec 3.7 que denota la la respuesta en el tiempo del sistema queda:

determinado su movimiento por la ecuación diferencial:

mx + kx = 0

cuya solucion, queda determinada la respuesta en el tiempo:

x(t) = x(0) cos wnt + x(0) sen wt

wn

donde: x(0) = deformación inicial

x(0) = velocidad inicial

wn frecuencia natural (rad/seg)

la frecuencia natural queda definida como:

Wn = √K

√m

analizando la ec. 3.11 vamos a analizar su grafica respuesta en el tiempo.

Caso 1 si el sistema parte con velocidad 0; es decir x(0)

 Caso 2: si el sistema parte con velocidad inicial x(0) y sin deformación, es decir x(0)

  

Puede ser un problema, mas sin embargo solo hay que dedicarse a llegar a la ecuación diferencial y esta se asemeja a la ecuación 3.6

Definición 3.2.B

Forma canonica de un sistema libre no amortiguado

A + B = 0

Donde

= d2 / dt

2.3 METODOS PARA EL CALCULO DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SISTEMAS LIBRTES NO AMORTIGUADOS

Algunos sistemas vibratorios pueden ser expresados a la forma canonica (def 3.2.B) y posteriormente calcular su frecuencia natural y/o respuesta en el tiempo.

Existen tres metodos básicos para el calculo para el calculo de ecuaciones diferenciales de sistemas vibratorios libres no amortiguados, cada uno de ellos presenta ventajas dependiendo del movimiento.

Movimiento rectilíneoè 1° metodo de Newton F = ma

Movimiento angularè 2° metodo de Newton (momentos)

Movimiento rect y/o angular è metodo de energia.

Por lo tanto el primer tip´es identificar el tipo de movimiento para ver el metodo apropiado para calcular la ecuación diferencial.

Si el sistema posee movimiento rectilíneo utilizar el analisis cinetico S fy = S fy efect = mx es apropiado sollo hay que llegar a la ecuación diferencial del movimiento.

Ejemplo3.1

Un resorte de constante elástica ‘K’ es empotrado de un extremo mientras que el otro extremo se coloca una masa de 4.53 kg logrando tener un periodo natural de 0.45 seg. Posteriormente el resorte se parte justo a la mitad empotrándose de los extremos y colocando la masa en el punto medio. Calcule el periodo natural nuevo.

 Solucion:

Aquí no es necesario hacer un analisis Cinetico ya que la ecuación Diferencial es directa.

0.453 x + kx

vamos a analizar los sistemas por separado analizando el sistema (a)

Wn = √K = √K è K=Wn12 m = (13.95)2 (4.53)

√m 0.453 k=887.54 Nw/m

 Analizando el sistema (b)

Para ver como afecta la constante al dividirse a la mitad partimos de la formula para calcular la constante en función de sus características

K= Gd4 n = # vueltas k’ = Gd4 = 2K K’= 2K

64R3n 64R3(n/2)

como están en paralelo

Keq= K’ + K’ = 2K +2K = 4K Keq = 4 ( 882.25) = 3526 Nw/mt

Wn = √Keq = √3526 = 88.22 rad/seg

√m √0.453

un elemento elástico de constante desconocida sufre una deformación estática ‘Xs’ al colocarle una masa ‘m’. calcule la frecuencia natural.

Solución:

La constante elástica k se puede calcular a partir de la ley de Hooke mg= KXs k=mg/xs sustituyéndolo en la formula de la frecuencia natural.

Wn = √K = √mg = √g Wn = √g

√m √mxs √xs √xs

  1. 2° METODO DE NEWTON (MOMENTOS): S M=Jp θ
  2. Si el sistema vibratorio tiene movimiento angular utilizar la segunda ley de Newton nos ayudara a encontrar su ecuación diferencial.

    En terminos generales:

    S Mp = S Mpefect = Jp θ + S miairi Ec 3.12

    Para un movimiento rotacional donde el unico momento inercial es el rotacional.

    S Mp = Jp θ Ec. 3.13

    Como ‘tip’ para el signo del momento podemos considerar el sentido del angulo de excitación (fig 3.7)

    Péndulo simple o compuesto.

    Calcule la frecuencia natural del péndulo simple y compuesta

     Análisis del péndulo simple (oscilaciones pequeñas senθ = θ)

    S Mp = S Mpefect = Jp θ

    -mg senθl =Jpθ

    Jp=JCG + ml2 (teorema de ejes paralelos)

    JCG = 0 (masa Puntual)

    Sen θ ~ θ (θ <=15°) (linealidad)

    -mg senθl =Jpθ è mglθ = ml2θ

    ml2θ + mglθ = 0

    lθ + gθ = 0 è ec diferencial

    Wn = √g

    √l

    Análisis del péndulo compuesto (oscilaciones pequeñas sen θ ≠ θ)

    S Mp = S Mpefect = Jp θ

    -mg senθl =Jpθ sen θ = θ

    Jp θ + mgθ = 0 ec diferencial

    Wn = √mg

    √Jp Jp = Jcg + mr2

    En el apartado 3.2 se estudio el modelo tipico, en el estudio dinamico se llego a la ecuación 3.5 pero debido a la ecuación 3.3 en la nota de esa ,isma paguina (parte superior) se llego a la conclusión de que: " el efecto que produce la masa es compensado por el efecto del resorte en la deformación estatica si el resorte es deformado inicialmente".

    Si el sistema posee varias masas y los elementos elásticos estan deformados las masas que que producen esa deformación no produce efecto.

    Ejemplo:

    El efecto de orientación

    Una masa puntual ‘m’ se empotra a uina varilla delgada de masa despreciable y una longitud’ ‘l’, se coloca un resorte de constante ‘K’ a una distancia ‘R’ del pivote ‘p’. Calcule la frecuencia natural Wn para cada una de las siguientes configuraciones.

     Solucion caso (a)

    S Mp = Jp θ

    -t 2 - t 1 = Jp θ

    t 1 = Kxr =) k (rsen θ) r = k2 sen θ = r2 θ

    - k2 sen θ = mg sen θl = mglθ

    Al colocar la masa ‘m’ o quitarla, el resorte se deforma o restaura respectivamente, esto indica que el efecto se compensa, es decir, el momento generado por ‘m’ es compensado por el resorte en la deformación inicial y no se coloca en la ecuación.

     S Mp = Jp θ

      t 2 - t 1 = Jp θ

    t 1 = kxr = K (rsenθ)r = Kr2θ

    t 2 = mg sen θ l = mglθ

    Jp = JcG + mr2

    Mr2θ + Kr2θ – mglθ mr2θ+(Kr2 – mgl) θ = 0

    Wn = √Kr2 – mgl

    √mr2 Condición de movimiento

    Kr2 > mgl

  3. METODO DE ENERGIA

Si el sistema posee movimiento de rotación y/o traslación este método es efectivo. Este método se basa en el principio de la conservación de la energía y que dice:

Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2

Ec = Energía Cinética

Ep = Energía potencial

Σp ( EC + Ep ) = cte| tiempo Ec. 3.14

Derivando la ec. 3.14 con respecto al tiempo

d/dt Σp (Ec + Ep) = 0 Ec 3.15

La ecuación 3.15 nos conducira a la ecuación diferencial, cabe señalar que este metodo es apropiado si y solo si no hay disipación de energia, es decir, no existe amortiguamiento.

Ejemplo 3.5

  Aquí podemos observar que existe tanto la energia cinética rotacional como de traslación, tambien existe energia potencial elastica y energia potencial gravitacional. Aunque si observamos al colocar o quitar el contrapeso ‘m’ el resorte se alarga o restaura respectivamente, por lo que su efecto es compensado y no aparece como energia potencial gravitacional.

Σp Ec + E = cte|tiempo

Ecr + Ect + Epr = cte

1/2 Jp θ2 + 1/2m2+ ½ Kx2

½ (1/2 Mr2) θ2 + ½ mr2 + ½ r2θ = cte

d/dt [ ½ (1/2 Mr2) θ2 + ½ mr2 + ½ r2θ = cte ] d/dt θ = θ

1/2 Mr2 θ + mr2θθ + Kr2θθ = 0 d/dt θ = θ

1/2 Mr2 θ + Kr2 + mr2 ) θ = 0 ec diferencial.

Wn = √Kr2 – mr2

√1/2mr2

  1. UN CASO ESPECIAL
  2. Si el sistema tiene movimiento angular conviene el 2° método de Newton y si su movimiento es angular y rectilíneo conviene el de energias.

    Estas sugerencias no siempre del todo validas dependen del sistema e incluso del punto de análisis, como por ejemplo consideremos el siguiente sistema:

     Metodo de Energias

    + Σ Ma = Ja θ

    -Kx (2r) = Ja θ

    x’ = 2x = 2(rθ)

    -4 Kr2θ = Jaθ Jaθ + 4 Kr2θ = 0 Ec 3.19

    ¿Cual resulto mas sencillo?  

  3. CALCULO DE MOMENTO DE INERCIA Y CENTROIDES.

Si se tuviera un cuerpo de geometría extraño de tal forma que su centroide y momento de inercia no se puede calcular analíticamente haciendo oscilar el cuerpo y tomando muestras de periodos.

Considerando el cuerpo como un péndulo compuesto tenemos:

 Si se conoce el centroide entonces se conoce r que es la distancia del pivote al centro de gravedad, de la formula del péndulo compuesto.

Wn = √ mgr2 (Rad/seg)

√Jp

fn = π √ mgr2 (Ciclos / seg)

2 π √Jp

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