An = kn
a2 vs A= pa/2
- Aspectos importantes en las
fórmulas matemáticas. - Debilidades de la
fórmula a= pa/2 - Ventajas de la fórmula
an =kna2 - Conclusiones
Hace dos años publiqué por este mismo
medio la monografía
titulada: Area de los Polígonos – Enfoque para el Cálculo.
En la primera parte analizo la fórmula conocida del
polígono regular A=pa/2 (perímetro por apotema
entre dos); al considerar que la última fórmula
posee fallas en su estructura,
concluyo que tal fórmula es inválida y deduzco una
fórmula correcta para el cálculo.
En la segunda parte planteo una fórmula general para el
área de cualquier polígono; deduzco directamente
las fórmulas más conocidas para el cálculo
de áreas de polígonos de cuatro y de tres lados y,
en forma indirecta, la del polígono regular que considero
correcta.
Antes de su publicación había enviado
el material a consulta de especialistas en la Academia de las
Ciencias
Físicas y Matemáticas, Ministerio de Educación, Centro
Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de Las Ciencias e
Instituto Pedagógico de Caracas. Después de su
publicación lo envié, vía Internet, a una veintena de
universidades e institutos de investigación. He recibído pocos
comentarios y, en vez de éstos, recibí
invitación para participar el XIV Encuentro de Geometría
y sus Aplicaciones que se celebró en junio de 2003 en
Bogotá, de parte de la Universidad
Pedagógica Nacional de Colombia.
Los pocos comentarios se han referido a mi
aseveración de la invalidez de la fórmula
tradicional para el cálculo de áreas de
polígonos regulares. Los comentarios acerca de la formula
general para el cálculo del área de cualquier
polígono han sido, prácticamente, nulos; lo que
considero lamentable, ya que la propuesta de esta fórmula
es lo más importante, puesto que no existía, o si
existía no era del dominio
general.
Los mencionados comentarios coinciden en que la
fórmula: An =Kna2 que
propuse para el cálculo del área del
polígono regular de n lados es correcta (aquí
utilizo a para la apotema y no ap utilizado en la monografía
citada), como también coinciden en que es incorrecto decir
que la fórmula criticada es inválida, aunque se
presenten variables
interdependientes como si fueran dependientes. Por más que
he argumentado, con razonamientos que se desprenden del sentido
común y de la óptica
del educador en matemática, sólo he logrado mayor
énfasis en responderme que estoy equivocado, con
razonamientos que también considero de sentido
común y de la óptica
del investigador o experto.
Como no he podido estructurar una demostración
formal que verifique mi afirmación, o hipótesis; como tampoco he recibido otra
formal que la niegue; y como la carga de la prueba me
corresponde: a falta de la demostración formal, me parece
prudente aceptar la sugerencia de Ignacio Barradas (del CIMAT de
Guanajuato) en el sentido de considerar que la fórmula
criticada no es la mejor opción didactica para la enseñanza del cálculo de
áreas de polígonos regulares, en vez de asegurar
que es inválida. Sugerencia que tiene mucho valor dado que
mi intención básica es el mejoramiento de la
enseñanza y no la investigación matemática.
En ese sentido expondré y comentaré
algunos de los argumentos explanados, ante mis interlocutores, a
objeto de dar a conocer las ventajas que ofrece la fórmula
An =Kna2 frente a la tradicional
y, a la vez, motivar su incorporación a los planes de
estudio.
Todo lo que sigue no es más que la
opinión de un educador que, atendiendo a dificultades en
el proceso
enseñanza-aprendizaje, ha
propuesto una fórmula diferente para el cálculo de
áres de polígonos regulares.
Atte,
Gustavo Yanes Yanes
ASPECTOS IMPORTANTES EN
LAS FÓRMULAS MATEMÁTICAS.
La Matemática es, por excelencia, una ciencia
auxiliar que pretende facilitar en vez de complicar; esto
último sin menoscabo de su condición de ciencia
formal. La fórmula matemática es una herramienta
para uso de quien la requiera y no sólo de los
matemáticos, ya que estos últimos no tendrán
problemas en
deducir, estructurar o diseñar, sus propias
fórmulas; cada fórmula indica un procedimiento
útil, para lograr el objetivo
deseado, que es seguido minuciosamente por el usuario.
En razón de lo anterior, y en ausencia de una norma
que regule el diseño,
me atrevo a sugerir que toda fórmula matemática
debe atender a los siguientes criterios:
- Elemental, Pertinente.
- Económica, Concisa.
- Directa.
- Propia.
- Precisa.
- Deducible, Demostrable.
Elemental, Pertinente: La fórmula debe
estar basada sólo en elementos del objeto de estudio.
Sólo los "adivinadores" atentan contra este aspecto; ya
que incorporar variables
extrañas y luego eliminarlas persigue confundir y
ocultar el truco.
Económica, Concisa. La cantidad de
elementos que intervienen en la fórmula debe ser la
menor posible que conduzca al resultado esperado; los
necesarios y los suficientes. Una fórmula
económica limita las posibilidades de error en los casos
de que se requieran mediciones. No deben poseer elementos
innecesarios ni pecar por omisión. Conviene tomar las
que se basen en los elementos y características que definen, en forma
inequívoca, al objeto para el que diseñó
la fórmula e indiquen en función
de que elemento, o elementos, está definida la variable
a calcular. Si esto último no está
explícito, conviene agregarlo.
Directa: Lleva al resultado sin rodeos; facilita,
no dificulta. Si una variable interviniente es función
de otra, deberá estar escrita en función de la
última. No debe existir posibilidad de que sea necesaria
la aplicación de una fórmula aparte antes de
aplicar la que se diseña. Como la fórmula es una
función, conviene utilizar la composición de
funciones en
el diseño, o rediseño.
Propia: Atiende sólo a objetos con las
mismas características. Toda fórmula,
mientras más amplia sea toma en cuenta menos
características. Mientras que las fórmulas
particulares toman en cuenta más características
y todos los elementos de la fórmula amplia de que se
deduce están intrínsecamente contenidos en ella.
El uso de fórmulas particulartes contribuye a fijar el
concepto del
objeto de estudio.
Precisa: No permite el suministro de datos fuera de
contexto. La fórmula debe contener información para que los datos se
proporcionen adecuadamente. La Matemática, por su
condición de ciencia formal, no requiere de objetos
reales; por lo que se suelen plantear situaciones
proporcionando datos en forma teórica. Esto es lo normal
en el proceso de
enseñanza-aprendizaje en
cualquier nivel o modalidad de la
educación.
Una fórmula bien estructurada permite dar
cualquier dimensión para las variables independientes
sin preocuparnos del contexto, salvo para unos pocos casos (si
existieran). Si en su enunciado, la fórmula deja abierta
la posiblidad de que se suministren datos fuera de contexto,
debe ser acompañada con las restricciones pertinentes
del caso.
Deducible, Demostrable. Se desprende de una verdad
considerada válida. Esto es necesario en el proceso
enseñanza-aprendizaje. La demostración convence y
contribuye a una mejor comprensión del objeto que se
trata. En lo posible, se demostrará la equivalencia de
fórmulas que para la misma variable dependiente se
estructuren con elementos diferentes.
El seguimiento de los aspectos anteriores evita la
proliferación de fórmulas poco útiles;
facilita el suministro de datos teóricos correctos y evita
que el usuario, a partir de la fórmula, llegue a
conclusiones erróneas.
Ilustraré lo anterior con algunos ejemplos en
Geometría, aunque considero viables la
aplicación a cualquier otra fórmula
matemática:
Supongamos que para el cálculo del área del
cuadrado se presenta la siguiente estructura:
Donde l es el lado, d la diagonal,
p el perímetro y a la apotema.
Por supuesto que el valor
resultante, al sustituir cada variable por las dimensiones
correspondientes, será el área del cuadrado
dado.
Salta a la vista la existencia de variables
innecesarias, puesto que en función de cada una de ellas
existe una fórmula particular directa. Si se propusiera un
ejercicio de cálculo, antes de terminar de dar la longitud
de la diagonal es posible calcular el área en
función del lado. Por otra parte, para proporcionar los
datos deberán calcularse previamente las dimansiones de
los elementos a partir de uno dado, para no cometer errores; si
se dispone del objeto real y se requiere de mediciones, es obvio
que la posibilidad de cometer errores se incrementa.
De la expresión anterior, con una simple
sustitución de variables, podemos obtener las
fórmulas del área del cuadrado:
En función del lado l: A =
l2
En función de la diagonal d: A =
d2/2
En función del perímetro p: A =
p2/16
En función de la apotem a: A = 4
a2
He tomado un ejemplo exagerado para dar mayor claridad
al asunto.
Observemos, ahora, una de las fórmulas propuestas
por mí en la publicación citada
anteriormente:
Area del polígono regular en función del
lado l:
An= n2l2/4
kn siendo n el número de lados y
kn la constante
correspondiente..
En el caso específico del cuadrado pierde
utilidad dado
que en forma explícita contiene una de sus fórmulas
particulares; por lo que el número de lados y el
denominador de la fracción están sobrando. El lado
es suficiente y lo demás innecesario. Aún sin tener
en forma explícita una de las fórmulas
particulares: cualquier fórmula para el del cuadrado
diferente a las de arriba, donde intervenga alguno de los
elementos citados, sería inútil.
En el caso del área del rectángulo:
A=l.a, obviando el particular del cuadrado, si se
enunciara: "Calcular el área del rectángulo…" y
se dieran el largo y el ancho de un rectángulo
áureo, es claro que el área a calcular será
la del rectángulo aúreo dado. El proponente no
pecaría si diera, sin importar el orden, cualquier otro
par de longitudes; solamente tendría el cuidado de que el
ancho fuera menor que el largo. Ahora bien, si la propuesta
comienzara diciendo: "Calcular el área del
rectángulo áureo….", el proponente no solamente
tendría que tomar en cuenta lo anterior sino
también la razón entre los lados, por lo que la
fórmula pierde dirección. Aún calculando los lados,
el control del error
estaría en manos del proponente y no de la fórmula
por carecer de la condición (o resticción)
específica. En este caso, a mi manera de ver, la
fórmula largo por ancho pierde sentido aunque la
relación entre los elementos se conserve. Es por ello que
para el cálculo del área del rectángulo
áureo se utilizan las siguientes
fórmulas:
En función del ancho (a): A =
a2j
En función del largo (l): A =
l2/j
Donde: j
»
1,618034
El control del error
estará en función del refinamiento de la
constante j
.
Estas fórmulas se deducen directamente de la
fórmula largo por ancho incorporando la particularid del
caso; quedando redefinida. Implícitamente contienen todos
los elementos de la primera; pero, no son la misma por contener
una condición de que carece la anterior.
Veamos otros ejemplos partiendo de la definición
de perímetro, aplicada al triángulo:
En función de los lados: a, b, c; la
fórmula debería ser acompañada de una
restricción como se muestra:
p = a+b+c, ½ a-b½ < c < a+b.
A estas alturas pareciera que no es necesaria la
restricción indicada, puesto que al tratrarse del
triángulo, por descontado, los lados cumplen la
condición. Es, precisamente por ello que se hace necesaria
su mención; para evitar datos fuera de contexto se
requiere que los proporcionados cumplan la condición para
que, en efecto, formen un triángulo; ya que cualquier
trío de longitudes no siempre definen esta
figura.
Si se tratara de triángulos rectángulos la
fórmula debería redefinirse así:
En función de los catetos a,b:
p= a+b
+(a2+b2)1/2
En función del cateto a y la hipotenusa
c:
p= a+c +(c2-a2)1/2,
c>a.
Véase que la primera fórmula no posee
restricciones. Esto porque cualquier par de longitudes para los
catetos define un triángulo rectángulo. Lo que no
sucede en la segunda donde necesariamente la longitud de la
hipotenusa debe ser mayor que la del cateto.
Otras situaciones se evidenciarán en el
próximo aparte.
DEBILIDADES DE LA
FORMULA A= pa/2
En la monografía mencionada cité como
el argumento más importante, para invalidar la
fórmula, el hecho de que el perímetro y la apotema
sean interde-pendientes. Motivado por un comentario de Ignacio
Barradas, luego de analizar con más profundidad la
situación concluí que la independencia
absoluta de las variables intervinientes no es condicionante para
el diseño de la fórmula. Por ejemplo, en la
propuesta por mí: An=
n2l2/4 kn, en
función del lado, vista en forma amplia: A=
n2l2/4 kn (quitando n en
An) kn pasa a ser una variable dependiente
discreta en función de la variable independiente
número de lados, también discreta. Pero, a
diferencia de la criticada, está explicita la
relación entre las variables.
Por pensar que la fórmula usual pertenece al
conjunto de las que deben ser sustituidas por otras que se
ajusten a los criterios mencionados, comentaré las
causales que me motivaron a buscar una fórmula más
adecuada que la sustituya:
- No señala que el perímetro y la apotema
se condicionan mutuamente. La omisión de este aspecto ha
traído como consecuencia que se incurran en errores al
momento de plantear problemas de
cálculo. En la bibliografía revisada,
los datos de los ejemplos y de los ejercicios no corresponden
al polígono regular cuya área se propone
calcular; lo más común es que no correspondan a
polígono regular alguno. Los autores no mencionan la
relación entre los elementos ni siquiera cuando se
deduce, o demuestra, la fórmula. Esto me dice que la
relación entre el perímetro y la apotema no es
tan obvia como sostienen algunas de las personas que han
comentado mi trabajo y, en consecuencia, debe
indicarse. - No señala otro aspecto importante: el
área del polígono regular depende,
necesariamente, del número de lados. Esta dependencia
tampoco se muestra en la
fórmula; situación de la que no nos damos cuenta
por la costumbre de mencionar el tipo de polígono y las
longitudes del lado y la apotema para proceder según la
estructura A=nla/2 que, aunque resulte el mismo valor final, no
es la fórmula enunciada. Luego, no se acostumbra aplicar
la fórmula tal cual es; no es usual el planteamiento de
problemas donde se den sólo las longitudes del
perímetro y la apotema, como lo especifica la
fórmula. - Si se quisiera tomar en cuenta las condiciones
anteriores tendría que darse un elemento como
independiente y aplicar otra fórmula, previa a la del
área, para calcular el otro elemento. Como se dijo
antes, lo prudente es componer las funciones y
diseñar una fórmula que lleve a la
solución en forma directa. - Además de permitir que se proporcionen datos
fuera de contexto, también permite que se deduzcan, o
infieran, situaciones erróneas como que: dos
polígonos regulares con diferente número de lados
pero con igual perímetro e igual apotema también
tienen igual área, o que variando en proporciones
inversas el lado y la apotema obtenemos otro polígono
regular del mismo tipo y de igual área. Esas situaciones
pueden ser planteadas por quien desconozca la existencia de las
relaciones que se dan entre el número de lados, el lado
y la apotema; vale la pena decir: por la mayoría de
nosotros. - En vez de analogías, establece diferencias
entre los polígonos regulares y el círculo.
Sabemos que al incrementar indefinidamente el número de
lados de un polígono regular la figura tenderá al
círculo; por lo que lo razonable es buscar algún
tratamiento único para ambas figuras. Este tratamiento
ha podido conseguirse aplicando la fórmula del
área del polígono regular para calcular el
área del círculo; a lo mejor con la variante
A=Lr/2. No se ha dado porque, en el caso del círculo, es
obvio para todos que la longitud de la circunferencia (L) y el
radio (r)
están correlacionados mediante una constante; pero, es
así porque nos lo han dicho y no porque nos lo hayan
demostrado o nos hayan enseñado a deducir el valor del
número pi. - Dificulta el estudio de las relaciones entre
polígonos regulares de diferente número de lados.
Al observar la bibliografía, vemos que el estudio de
relaciones no pasa de las del polígono regular con sus
semejantes, con el círculo inscrito y con el
círculo circunscrito. Si a partir de la fórmula
criticada quisiéramos estudiar las relaciones entre
polígonos regulares con diferente número de
lados, después de algunos rodeos terminaríamos
incluyendo las condiciones olvidadas para obtener conclusiones
válidas.
VENTAJAS DE LA
FÓRMULA An
=Kna2
Esta fórmula para el cálculo del
área de los polígonos regulares se ajusta
totalmente a los criterios señalados para las
fórmulas matemáticas, como de seguida paso a
argumentar:
Es Deducible, Demostrable: Si se tiene en
cuenta la existencia de la relación entre el lado, la
apotema y el número de lados del pólígono
regular, a partir de la relación A=pa/2; se puede llegar a
la fórmula propuesta mediante los siguientes
pasos:
A.- Expresando el perímetro en
función del lado (l) y el número de lados (n), de
la relación se obtiene A=nla/2:
B.- Expresando el lado en función de la
apotema y la razón entre ellos se obtiene
A=n2tg(180°/n) aa /2;
C.- Cancelando los 2 y por producto de
potencias de igual base se obtiene: A=ntg(180°/n)
a2;
D.- Por ser ntg(180°/n) un valor fijo en cada
tipo de polígono regular; para eliminar la
expresión trigonométrica lo llamamos
kn y obtenemos An=
kna2.
Es Precisa: No hay necesidad preocuparse por el
contexto, se pueden enunciar problemas mencionando cualquier
polígono regular y cualquier longitud para la apotema, con
la seguridad de que
existe el polígono regular dado.
Es Propia: No sólo es la fórmula
particular para el área de los polígonos regulares;
sino que se particulariza para cada tipo de polígono
regular, al sustituir la n por el valor que
corresponda.
Es Directa. Económica, Concisa, Elemental,
Pertinente: Esto salta a la vista; por lo que no hago
comentarios.
La fórmula An=
kna2 ofrece una buena cantidad
de ventajas, que pueden ser consultadas en la monografía
citada y en la monografía "Nuevas Relaciones-
Polígonos Regulares, Círculos y Estrellas Planas".
Razón por la que comentaré algunas en forma
rápida:
- Como los polígonos regulares y el
círculo poseen la misma fórmula para el
cálculo del área (kn y a
se corresponden directamente con la constante pi y el radio), pueden
considerarse que pertenecen a un mismo conjunto de figuras y
puede dárseles un tratamiento de familia. - Dado que se incorpora una constante para cada tipo de
polígono regular, que se desprende de la
interrelación entre la apotema, el lado y número
de lados: será neceario el tratamiento del tema; por lo
que conocerán las relaciones olvidadas hasta ahora. Con
un enfoque adecuado y una correcta adaptación al nivel
de escolaridad, podrán ser abordadas las relaciones con
la claridad permitida, siendo más clara en la medida que
se sube de nivel. Esto indica que el tema puede ser tratado
reiteradamente desde la
educación básica hasta la superior. Por otra
parte, quedará claro también que la constante pi
no está aislada y, además, podrá
demostrarse su existencia y deducir su valor mediante un
procedimiento
coherente. - Permite deducción fórmulas, basadas en
otros elementos del polígono regular, en forma sencilla,
rápida y correcta. Además, cada fórmula
tiene una trigonométrica equivalente. - Permite inferir solamente lo correcto. Dado que la
apotema es el único elemento que podemos variar a
voluntad en cada tipo de polígono, sólo podemos
deducir que el área está en función del
cuadrado del factor de contracción aplicado a la
apotema. Esto, aunque sencillo, es muy importante porque tal
deducción no se alcanza con facilidad desde la
fórmula criticada, por no decir que es imposible, siendo
necesario inferirlo a partir de la homotecia. - Permite el estudio de relaciones entre
polígonos regulares de diferentes tipos ( considerando
como tipo el número de lados), con lo que se
amplía el estudio de las figuras
mencionadas.
Podría pensarse que la existencia de una
constante de semiproporcionalidad para cada tipo de
polígono constituye una debilidad. Creo, más bien,
que es una fortaleza; porque más temprano que tarde se
entendería que la Matemática, en la
práctica, no es tan "exacta" como el común de la
gente pregona; porque existen infinidad de números que no
pueden escribirse y deben ser aproximados; porque acepta puntos
de vista que dan origen a disciplinas dentro de una misma rama;
porque existen paradojas; porque algunas de las verdades no son
comprobables; porque existen problemas sin resolver etc… El
dilema de las infinas constantes kn,
deberá ser resuelto en forma práctica.
La fórmula An = kn
a2 ofrece ventajas sobre sobre la conocida
A=pa/2. Estas ventajas no sólo son didácticas sino,
también, Matemáticas. Dadas las limitaciones de la
formula usual es recomendable sus sustitución en los
programas de
estudio. Esta sustitución traería como consecuencia
la necesidad de actualización tanto de los docentes como
de la bibliografía; por lo que debe realizarse un esfuerzo
que se verá recompensado con un mejoramiento notable de la
calidad del
proceso enseñanza-aprendizaje.
Sin más
Gustavo Yanes Yanes
Profesor Titular en la U.E. "Prof. Boris Bossio
Vivas"
San Antonio de Los Altos, Estado
Miranda
República Bolivarina de Venezuela