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Mecánica de Fluidos. Flujo compresible y flujo incompresible

Enviado por jemelendez



  1. Flujos incompresibles estacionario en conductos a presión
  2. Regímenes de flujo laminar y turbulento
  3. Flujos y valores promedio
  4. Número de Reynolds Crítico
  5. Bibliografía
  6. Anexo

Aquellos flujos donde las variaciones en densidad son insignificantes se denominan incompresibles; cuando las variaciones en densidad dentro de un flujo no se pueden despreciar, se llaman compresibles. Si se consideran los dos estados de la materia incluidos en la definición de fluido, líquido y gas, se podría caer en el error de generalizar diciendo que todos los flujos líquidos son flujos incompresibles y que todos los flujos de gases son flujos compresibles. La primera parte de esta generalización es correcta para la mayor parte de los casos prácticos, es decir, casi todos los flujos líquidos son esencialmente incompresibles. Por otra parte, los flujos de gases se pueden también considerar como incompresibles si las velocidades son pequeñas respecto a la velocidad del sonido en el fluido; la razón de la velocidad del flujo, V, a la velocidad del sonido, c, en el medio fluido recibe el nombre de número de Mach, M, es decir,

M=V/c

Los cambios en densidad son solamente del orden del 2% de valor medio, para valores de M < 0.3. Así, los gases que fluyen con M < 0.3 se pueden considerar como incompresibles; un valor de M = 0.3 en el aire bajo condiciones normales corresponde a una velocidad de aproximadamente 100 m/s.

Los flujos compresibles se presentan con frecuencia en las aplicaciones de ingeniería. Entre los ejemplos más comunes se pueden contar los sistemas de aire comprimido utilizados en la operación de herramienta de taller y de equipos dentales, las tuberías de alta presión para transportar gases, y los sistemas censores y de control neumático o fluídico. Los efectos de la compresibilidad son muy importantes en el diseño de los cohetes y aviones modernos de alta velocidad, en las plantas generadoras, los ventiladores y compresores.

Bajo ciertas condiciones se pueden presentar ondas de choque y flujos supersónicos, mediante las cuales las propiedades del fluido como la presión y la densidad cambian bruscamente

Flujos incompresibles estacionario en conductos a presión

Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático y científico suizo Daniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Para el autor John Muller: "Este principio es importante para la medida de flujos, y también puede emplearse para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

  1. Flujo Laminar y Turbulento.

Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente en 1839 por el fisiólogo francés Jean Louis Marie Poiseuille, que estaba interesado por las características del flujo de la sangre, y en 1840 por el ingeniero hidráulico alemán Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió al ingeniero francés Claude Louis Marie Navier en 1827 e, independientemente, al matemático británico George Gabriel Stokes, quien en 1845 perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta. El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos realizados por primera vez a mediados del siglo XIX demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad.

Según James A. Fay: "Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos"; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados.

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Flujo principal Remolinos Flujo turbulento.

 Los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares o turbulentos teniendo en cuenta la estructura interna del flujo. En un régimen laminar, la estructura del flujo se caracteriza por el movimiento de láminas o capas. La estructura del flujo en un régimen turbulento por otro lado, se caracteriza por los movimientos tridimensionales, aleatorios, de las partículas de fluido, superpuestos al movimiento promedio.

En un flujo laminar no existe un estado macroscópico de las capas de fluido adyacentes entre sí. Un filamento delgado de tinta que se inyecte en un flujo laminar aparece como una sola línea; no se presenta dispersión de la tinta a través del flujo, excepto una difusión muy lenta debido al movimiento molecular. Por otra parte, un filamento de tinta inyectado en un flujo turbulento rápidamente se dispersa en todo el campo de flujo; la línea del colorante se descompone en una enredada maraña de hilos de tinta. Este comportamiento del flujo turbulento se debe a las pequeñas fluctuaciones de velocidad superpuestas al flujo medio de un flujo turbulento; el mezclado macroscópico de partículas pertenecientes a capas adyacentes de fluido da como resultado una rápida dispersión del colorante. El filamento rectilíneo de humo que sale de un cigarrillo expuesto a un ambiente tranquilo, ofrece una imagen clara del flujo laminar. Conforme el humo continúa subiendo, se transforma en un movimiento aleatorio, irregular; es un ejemplo de flujo turbulento.

El que un flujo sea laminar o turbulento depende de las propiedades del caso. Así, por ejemplo, la naturaleza del flujo (laminar o turbulento) a través de un tubo se puede establecer teniendo en cuenta el valor de un parámetro adimensional, el número de Reynolds, Re = pVD/u, donde p es la densidad del fluido, V la velocidad promedio, D el diámetro del tubo y u la viscosidad.

El flujo dentro de una capa límite puede ser también laminar o turbulento; las definiciones de flujo laminar y flujo turbulento dadas anteriormente se aplican también en este caso. Como veremos más adelante, las características de un flujo pueden ser significativamente diferentes dependiendo de que la capa. límite sea laminar o turbulenta. Los métodos de análisis también son diferentes para un flujo laminar que para un flujo turbulento. Por lo tanto, al iniciar el análisis de un flujo dado es necesario determinar primero si se trata de un flujo laminar o de un flujo turbulento. Veremos más detalles a este respecto en capítulos posteriores.

Regímenes de flujo laminar y turbulento

Las ecuaciones que rigen el régimen laminar de flujo son las mismas que en el flujo turbulento, las denominadas ecuaciones de Navier-Stokes que para un flujo de un fluido newtoniano e incompresible son:

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Las incógnitas de estas ecuaciones son el campo de velocidades y el de presiones .

El régimen laminar se caracteriza por un movimiento ordenado de las partículas de fluido, existiendo unas líneas de corriente y trayectorias bien definidas. En el régimen turbulento las partículas presentan un movimiento caótico sin que existan unas líneas de corriente ni trayectorias definidas.

En cuanto al campo de velocidades de uno u otro régimen, si en un punto de un campo de flujo se hiciera una medida del valor de una variable de campo (por ejemplo de la componente de la velocidad en dirección X) se obtendría que en régimen laminar ésta presenta un valor bien definido que es constante en el tiempo si las condiciones de contorno del flujo son estacionarias o presenta una ordenada variación temporal si las condiciones de contorno varían en el tiempo. En el régimen turbulento en cambio las variables de flujo presentan una variación temporal, aún cuando las condiciones de contorno del flujo sean estacionarias, muy rápida y aleatoria en un amplio rango de frecuencias (se han medido rangos entre 0 y 10000 Hz).

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El intentar obtener una solución a las ecuaciones del flujo en régimen turbulento esta fuera del alcance del análisis matemático y el cálculo numérico actuales. De forma similar a la teoría cinética donde se estudia el movimiento de infinidad de moléculas hay que recurrir a un estudio estadístico de la turbulencia trabajando con propiedades promedio. Una posibilidad de promediar las variables de flujo es considerar que en un punto del campo las variables vienen dadas como la suma de un valor promedio y una fluctuación turbulenta:

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El valor promedio temporal de una variable se obtiene de la forma:

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Siendo T un periodo tal que el valor promedio obtenido es independiente de este valor. T es mucho más pequeño que la variación del valor promedio de forma que éste último podrá depender del valor del tiempo alrededor del cual se toma el promedio pero no de la amplitud elegida para realizarlo.

De la definición de las variables promedio se deduce que:

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Aunque los valores promedios de las fluctuaciones sean cero no es cierto que el promedio del producto de dos fluctuaciones lo sea, por ejemplo:

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Una vez que se ha definido la manera de promediar, se toman valores promedio en las ecuaciones de Navier-Stokes.

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Aquí no se va a entrar en el detalle del resultado obtenido al realizar estos promedios (para ello puede consultarse la bibliografía) pero decir que las ecuaciones que se obtienen son:

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La ecuación de la continuidad tiene el mismo aspecto sólo que en lugar del campo de velocidades aparece el campo de velocidades promedio. La ecuación de la cantidad de movimiento presenta, además del cambio de las velocidades instantáneas por las promedio, la aparición de un nuevo término, unas tensiones adicionales que se denominan tensiones turbulentas de Reynolds. Estas tensiones cuantifican la influencia de la fluctuación turbulenta en el campo de flujo promedio.

Para poder resolver las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas es necesario conocer como se relacionan estas tensiones turbulentas con las variables de flujo. A la relación matemática esta relación entre , y se conoce como modelo de turbulencia. Es en esta modelación, donde se investiga actualmente, es donde reside la dificultad de resolver el flujo turbulento. Los modelos que se han propuesto son semiempíricos y no son universales entre ellos se podían citar el modelo de longitud de mezcla de Prandtl, el modelo k- y el modelo k- realizable.

Resolución en régimen turbulento del flujo estacionario, incompresible y completamente desarrollado en una tubería de sección circular

REGIMEN LAMINAR

En régimen laminar para este flujo se obtiene una relación entre el caudal q que circula por la tubería y la diferencia de altura piezométrica entre sus extremos mediante la integración de las ecuaciones diferenciales que permiten la obtención del perfil de velocidades para posteriormente hallar el caudal. Siendo Z la dirección del flujo la ecuación de la cantidad de movimiento queda como:

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Que puede integrarse:

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La constante C debe ser cero para que la tensión cortante en r=0 tome un valor finito.

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En el caso de flujo laminar se cumple que:

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Sustituyendo en

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Integrando esta ecuación diferencial:

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La constante de integración se obtiene por medio de la condición de contorno:

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Donde el perfil de velocidades queda como:

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El perfil de velocidades en régimen laminar es un paraboloide. El valor máximo de la velocidad se produce en r=0 y vale:

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Ahora para obtener la relación entre el caudal y la diferencia de alturas piezométricas entre los extremos de una tubería se

integra el perfil de velocidades:

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Integrando esta ecuación diferencial se obtiene:

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O en función de la velocidad media:

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Esta relación indica que en régimen laminar la caída de altura piezométrica en una tubería es proporcional a la velocidad.

REGIMEN TURBULENTO

En régimen turbulento no es posible, al menos de forma directa, hallar el perfil de velocidades mediante la integración de las ecuaciones diferenciales. Para hallar entonces la relación entre la caída de altura piezométrica y el caudal se partirá la ecuación (10) que nos da la distribución de tensiones cortantes en la tubería. De aquí se obtiene una relación entre la diferencia de alturas piezométricas y el esfuerzo cortante en la pared W:

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La experiencia demuestra que el esfuerzo cortante en la pared de un conducto es función de:

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Mediante el análisis dimensional se obtiene que:

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Al parámetro adimensional que contiene al esfuerzo cortante en la pared se le denomina factor de fricción:

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Quedando la ecuación (22) como:

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Esta ecuación conocida como ecuación de DARCY-WEISBACH es válida tanto para régimen laminar como turbulento. En régimen laminar el valor de f se obtiene de forma analítica a partir del perfil de velocidades. La ecuación (20) se puede volver a escribir:

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En régimen laminar en tuberías (Re<2300) la relación entre el factor de fricción y el número de Reynolds es:

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De la ecuación (26) se obtiene que en régimen laminar el factor de fricción no depende de la rugosidad relativa de la tubería (/D).

En régimen turbulento la relación entre f y Re y /D ha sido objeto de muchos estudios teóricos experimentales. Los resultados se presentan en el diagrama de Moody.

PERFIL DE VELOCIDADES EN RÉGIMEN TURBULENTO

Como se ha comprobado en la obtención de la ecuación (25) no se han integrado las ecuaciones diferenciales del flujo para obtener el perfil de velocidades. En el caso de régimen turbulento la obtención del perfil de velocidades es algo complicada. En ciertas ocasiones el perfil se aproxima por una ley de potencia de la forma:

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Donde n vale:

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Siendo  una constante de valor de 0.41

Integrando la ecuación (29) se obtiene:

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FLUJOS Y VALORES PROMEDIO

Supóngase un volumen de control que define una región donde se desea estudiar el flujo de un determinado fluido.

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Dentro del volumen de control se define una superficie arbitraria e imaginaria S que no interfiere con el flujo.
Se quiere conocer el flujo volumétrico, volumen de fluido en la unidad de tiempo, que atraviesa la superficie S.

Si se toma una superficie infinitesimal dS de la superficie S que está orientada por su vector unitario normal n, tal y como se observa en la figura 1.

El volumen de fluido que en un intervalo de tiempo dt atraviesa la superficie dS corresponde al volumen del paralelepípedo dibujado en la figura 1:

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Utilizando el producto escalar quedaría:

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El flujo volumétrico dQ puede ser positivo o negativo según el fluido atraviese la superficie en el sentido de n o en sentido contrario. Esto permitirá definir en superficies cerradas, en las que se tomará siempre hacia n orientado hacia el exterior de la superficie, un flujo entrante (negativo) o un flujo saliente (positivo).
El flujo volumétrico a través de toda la superficie se obtendrá de la suma de todos los caudales volumétricos infinitesimales

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De la misma forma que se ha calculado el flujo volumétrico a través de la superficie S se puede calcular el flujo de cualquier otra propiedad como por ejemplo el flujo másico.

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El flujo de energía cinética

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El flujo de cantidad de movimiento en la dirección X.

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A partir de los flujos que atraviesan la superficie S es posible definir unas propiedades promedio en dicha superficie.

 La más habitual es la velocidad promedio que se define como:

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La energía cinética promedio será:

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En ciertas ocasiones las propiedades promedio se suelen aproximar utilizando

el valor de la velocidad promedio. Así la energía cinética promedio se aproximará

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Tal y como se ha mencionado la expresión anterior es nada más que una aproximación del valor promedio así el flujo de energía cinética se podrá aproximar por:

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Para subsanar el error que se comete al considerar en las ecuaciones la aproximación (10)  se introducen los denominados coeficientes de corrección, por ejemplo el coeficiente a de corrección de la energía cinética:

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EJEMPLO

Como ejemplo de lo explicado se tomará el flujo estacionario, laminar, completamente

desarrollado e incompresible de un fluido newtoniano en una tubería de radio R.

El perfil de velocidades de este flujo es:

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Se calculará:

  • El flujo volumétrico que atraviesa una superficie circular de radio R perpendicular al eje de la tubería

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  • La velocidad promedio es:

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  • El flujo de energía cinética a través de la superficie es:

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  • La energía cinética promedio es:

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  • El factor de corrección de la energía cinética será en este caso a=2.
  1. Número de Reynolds Crítico.

En 1883, cuando el ingeniero británico Osborne Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías, decía que a velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas.

Reynolds demostró que a velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.

Reynolds además determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de Reynolds que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido es menor de 2.100, el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son más elevados suele ser turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecánica de fluidos.

 El ábaco de Moody

Este ábaco fue publicado por L. F. Moody en 1944 basándose en la fórmula de Colebrook.

  1. Perdidas locales en flujo turbulento.

Perdida de carga en: Entrada (redondeadas de bordes vivos, reentradas), estrechamiento (abruptos, gradual), ensanchamiento, curvas y codos, otros accesorios.

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CONCLUSIONES
En el caso de la dinámica de fluidos, el autor R.L Street. Menciona que: "las únicas fuerzas de superficie son las provocadas por la presión, que sumadas a las demás fuerzas, o de gravedad, son las responsables del movimiento del fluido". Bajo estas condicione Newton represento su segunda ley, aplicada a un elemento fluido, o ecuación de cantidad de movimiento, la que se conoce como ecuación de Euler.
La dinámica o hidrodinámica de fluidos ya comprenden cálculos matemáticos mediante formulas complejas, las cuales corresponderán a movimientos de flujos sin comprimir. De aquí se deriva una ramificación de la dinámica y así mismo de la mecánica de fluidos: el flujo incompresible y sin rozamiento, el cual es experimentado por la segunda ley de Newton; pero además ya participan mayor numero de investigadores acerca del tema (Bernoulli, Evangelista, Torricelli, Pascal, etc.).
Al final se deduce que la gravedad junto con otras fuerzas influye para que haya movimiento de un flujo.

Bibliografía
" Fundamentos de Mecánica de Fluidos (2ª Edición). P. Gerhart, R. Gross y J. Hochstein. Adison-Wesley Iberoamericana 1995.
" Mecánica de Fluidos. Frank M. White. McGraw Hill 1979.
" Mecánica de los Fluidos (8ª Edición). Victor L. Streeter y E. Benjamin Wylie. McGraw Hill 1986.
" Ingeniería Química, Tomos 2 y 3. E. Costa Novella y otros. 1984. Alhamba Universidad.
" Incompressible Flow. Ronald L. Panton. John Wiley & Sons, Inc. 1984.
" An Introduction to Fluid Dynamics. G. K. Bachelor. Cambridge Press 1967.
" Viscous Fluid Flow (2ª Edición). Frank M- White. Mc Graw Hill 1974.
" http://www1.ceit.es/asignaturas/Fluidos1/WEBMF/Mecanica%20de%20Fluidos%20I/FAQMFI/FAQ10.htm
" Mecánica de fluidos. A. Crespo. Publicaciones E.T.S.I.I. Madrid. 1989
" La mecánica de los fluidos. I.H. Shames. Editorial Castillo. 1979.
" Mecánica de fluidos. F.M. White. Editorial McGraw Hill. 1984.
" http://www1.ceit.es/asignaturas/Fluidos1/WEBMF/Mecanica%20de%20Fluidos%20I/FAQMFI/FAQ12.html

Anexo.
Instrumentación Básica.
APARATO MEDIDOR DE FLUJO
Descripción del banco de prueba:
El fluido, en este caso agua; es bombeado al aparato por el extremo inferior izquierdo y fluye primeramente a través del Venturis, a continuación por la expansión brusca (Tobera), Orificio y finalmente por el Rotámetro. Al salir del Rotámetro, el agua pasa por una válvula de control conectada al tanque de pesaje, el cual está en el interior de un Banco Hidráulico que entrega agua al aparato medidor de flujo utilizando una bomba instalada en el Banco.
Las presiones estáticas de cada punto a través del sistema de medición son registradas por medio de un manómetro multi-tubular transparente, el mismo que puede ser presurizado para evitar tener una columna de agua muy alta, ya que sólo nos interesa el diferencial de presión.
Este aparato permite al estudiante familiarizarse con algunos de los métodos típicos de medición de flujo de un fluido incompresible, al mismo que se demuestra las aplicaciones de la ecuación de Bernoulli.
La medición del flujo se la hace utilizando un tanque pesaje y un cronómetro, el cual se lo va a considerar como flujo másico de calibración; para poder comparar con cada uno de los medidores como: Venturi, Tobera, Orificio y un Rotámetro conectados en serie, los cuales son objeto de calibración. A partir de la diferencia entre la curva de calibración (tanque de pesaje y cronómetro) y los flujos másicos ideales calculados a partir de la ecuación de Bernoulli, que está en función de las presiones medidas y de la relación de diámetros de cada medidor, se puede calcular el coeficiente de descarga de cada medidor

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Unellez Cojedes Venezuela
U.N.A Portuguesa Venezuela

Jesús Enrique Meléndez Rangel


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