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La evaluación de proyectos de inversión en un contexto de incertidumbre

Enviado por ajascanio



  1. Planteamiento del problema
  2. Distribución probabilística de R acumulada
  3. Modelo convencional vs. modelo basado en probabilidades
  4. El modelo convencional de evaluar un flujo de caja
  5. El modelo convencional esquemático
  6. El modelo probabilístico como alternativa
  7. La teoría de la probabilidad y su uso en la evaluación de proyectos
  8. Referencias bibliográficas

Introducción

El razonamiento lógico se basa en premisas o postulados principales y menores, para luego llegar a una conclusión. Por lo general existen varias premisas interconectadas unas con las otras que nos permiten llegar a una definitiva conclusión válida; pero existen muchos asuntos para los cuales no se puede tener una respuesta en blanco o negro porque lo que se plantea no es suficientemente digno de confianza y la respuesta puede ser solamente "quizá", o sea que la lógica clásica Aristotélica –verdadero o falso- no se puede aplicar en esos casos.(Weaver, 1963,passim)

Un sistema lógico comienza con varios postulados o presunciones coherentes una con la otra y cuando la conclusión es compleja la llamada lógica de la probabilidad nos puede ayudar a buscar la solución, pues podemos establecer un grado de verdad o de falsedad , o sea : un infinito set de valores entre 0 y 1, cuando existen evidencias no completas; y obtener, un grado de confidencia necesario, pesando y evaluando los riesgos alternativos, porque los importantes problemas usualmente requieren una comparación de las desigualdades o de las disputas.(Weaver,ob.cit.)

La evaluación de inversiones en un contexto de incertidumbre es un tema que la mayoría de las veces se soluciona recurriendo al llamado análisis de sensibilidad, que consiste en preguntarse qué le pasaría al VAN (Valor actualizado neto) o a la TIR (Tasa interna de retorno) si se modifican algunos parámetros importantes. No hay duda que esta manera de proceder es una solución parcial y que es posible buscar una manera de que tanto los costos como los beneficios de un proyecto sean calculados en términos de una distribución de probabilidad, para luego ser analizada integralmente y obtener de esa manera unidades de mérito (VAN y TIR) también en términos de probabilidad distributiva.

La esencia del asunto de la incertidumbre es que algunas de las variables que afectan a un proyecto de inversión y su resultado final no son parámetros controlados por el sujeto que formula y evalúa el proyecto. Por lo tanto, es necesario conocer las variables que son difíciles de controlar y entonces proceder a estimar un set de posibles resultados y llegar a determinar los criterios de selección.

Planteamiento del problema

¿Cuál podría ser la decisión más o menos correcta al comparar dos o varios proyectos de inversión? El éxito de un proyecto y las fallas de los otros no evidencia si la decisión que se deba tomar deba ser la correcta. Entendemos la palabra "correcta" en el supuesto de que al implantarse el proyecto, que se supone exitoso, se confirma que realmente lo es sin considerar márgenes de error. Pero toda decisión bajo incertidumbre, no puede esperar que se logre un resultado correcto en ese sentido, pues los márgenes entre éxitos y fracasos siempre estarán presentes. No es posible entonces formular un resultado único, sino un abanico de posibles resultados probables, derivados de observaciones del pasado o sea en circunstancias similares; y señalar, apoyándose en la experiencia, que la probabilidad de un evento puede arrojar un valor pesimista (p), un valor más probable (m) y un valor optimista (o); y su valor medio: ( p +o + 4m) / 6 y la desviación estándar igual a (o – p) / 6. Luego se presenta el asunto de cómo agregar todos los resultados probables para muchas variables en un solo resultado, suponiendo que previamente se ha tenido un buen juicio en cuanto a la selección de variables y los estimados relativos a su distribución de probabilidades (Reutlinger, 1984, p.13)

Se ha dicho que la diferencia entre riesgo e incertidumbre, es que el riesgo es calculable en base a la experiencia anterior, no obstante también se ha dicho que la evaluación del riesgo es un hecho también subjetivo por que básicamente existe en la mente de los analistas. Los resultados en forma objetivo no se pueden obtener. Entonces : ¿cómo se pueden prever los acontecimientos y el posible resultado, durante la evaluación de un proyecto de inversión y en base a los efectos de muchas variables controlables o no (cantidades a producir, precios, costos, competencia, comportamiento del consumidor, etc..) y sus valores que se estimen en un amplio rango ?

La fórmula básica del análisis beneficio-costo es la siguiente:

R= Bt

Donde t = 0,1,….,n

R= total beneficios netos de caja de una inversión descontada con la tasa de oportunidad en el momento t (o costo marginal del capital).

Bt= es el beneficio neto anual en caja ((liquidez: beneficios netos para el capital propio más depreciaciones , menos el pago del capital prestado)

r= es el costo de oportunidad del capital

El estimado de los beneficios y costos se derivan del conocimiento de otros parámetros y variables exógenos que puedan describir las relaciones cuantitativas entre variables del sistema.

Supongamos que queremos obtener la distribución de la probabilidad del valor presente neto de un ingreso neto ( R ), basado en el conocimiento de la probabilidad de una inversión inicial (Y) y de un ingreso bruto (X), descontados con el factor 0,50 (que proviene de la tabla de descuento al interceptar 10 años y la tasa de descuento del 8%, es decir con todos los dígitos : 0,463193).

Valor Presente = (0,5 ) ( Ingreso neto o líquido en caja) – (Costo de Inversión en el año cero), o en forma simbólica :

R = (0,5) (X) – Y

Supongamos ahora que se asume que la distribución de la probabilidad de X e Y es como sigue:

Tabla 1 : Distribución probabilística del ingreso neto ( X ) y del costo de inversión ( Y ).

X (Ingreso neto en caja) Y (Costo de Inversión)

Valor probabilidad Valor probabilidad

20 0,10 8 0,20

22 0,20 10 0,60

25 0,40 12 0,20

28 0,20

30 0,10

La "verdadera" distribución del valor presente neto (R) , se deriva entonces de calcularlo para cada posible combinación de X (ingreso neto en caja) e Y (inversión), y la probabilidad de que ocurra cada una de las combinaciones. En este caso existen 15 posible combinaciones ( 5 probabilidad del ingreso neto en caja por 3 probabilidades del costo de la inversión ). En la siguiente tabla se han calculado 13 combinaciones para efectuar este análisis.

Si se asume que la distribución de probabilidades de X e Y son independientes (es decir que los valores de X e Y no se afectan), la probabilidad de cualquier particular combinaciones de X e Y es el producto de las probabilidades de los respectivos valores de X e Y.

Por ejemplo, la probabilidad de X que tiene un es valor de 20 y la variable Y con un valor de 8 , es : (probabilidad 0,10) x ( probabilidad 0,20) = 0,02. La verdadera distribución de la probabilidad de R (valor presente) vendría basada en asumir distribuciones probabilísticas de X e Y, como aparece en la Tabla 2 siguiente:

Tabla 2: Distribución probabilística del Valor Presente (R )

Probabilidades

Simulada Simulada

muestra muestra

Valor Presente "Verdadera" (50) (100)

(R) distribución observaciones observaciones

+2 0,02 0,06 0,03

+1 0,04 0 0,03

0 0,06 0,04 0,05

0,5 0,08 0,06 0,07

1 0,12 0,08 0,06

2 0,06 0,06 0,08

2,5 0,24 0,30 0,21

3 0,06 0,02 0,03

4 0,12 0,14 0,15

4,5 0,08 0,10 0,13

5 0,06 0,04 0,03

6 0,04 0,10 0,10

7 0,02 0 0,03

1 1 1

Media de R 2,50 2,77 2,94

Varianza de R 3,75 3,82 4,24

El primer valor de R = +2 viene dado por X= 20 con probabilidad de 0,10 e Y= 8 con probabilidad de 0,20; es decir, R= (0,5) (20) – (8) = + 2; y la llamada "verdadera" distribución de ese resultado es igual a : 0,10 x 0,20 = 0,02.

Ahora bien las distribuciones de probabilidad simuladas provienen de un número grande de valores de X e Y en forma aleatoria y el cálculos de sus respectivas probabilidades, lo cual serviría para calcular luego el valor de R de cada set de valores de X y de Y. Si la muestra es muy grande el resultado de la distribución de probabilidad simulada se debería acercar a la distribución de probabilidad verdadera; y en la medida en que la muestra sea más pequeña, se aleja más de la verdadera distribución.

Para estimar el valor medio y la varianza de R, y luego interpretar los resultados a la luz de la distribución normal de Gauss, hacemos lo siguiente:

X promedio = sumatoria (probabilidad del evento i) (Xi)

X promedio = (0,10) (20) + (0,20) (22) + (0,40) (25) + (0,20) (28) + (0,10) (30)=25

Y promedio = sumatoria (probabilidad de evento i) (Yi)

Y promedio = (0,20) (8) + (0,60) (10) + (0,20 (12) = 10

Varianza de X = sumatoria (probabilidad del evento i) ( Xi – X promedio) al cuadrado

Varianza de X = (0,10) (-5) al cuadrado + (0,20) (-3) al cuadrado + 0,20 (3) al cuadrado + 0,10 (5) al cuadrado = 8,6

Varianza de Y = sumatoria (probabilidad del evento i) (Yi – Y promedio) al cuadrado

Varianza de Y = 0,20 (-2) al cuadrado + 0,20 (2) al cuadrado 1,6

Una vez obtenidos esos datos, el cálculo de Valor Presente (R ) promedio y su varianza se realiza como sigue:

R = (0,50) ( valor promedio de X) menos (valor promedio de Y)

R = (0,50) (25) – 10 = 2,5

Y la varianza de R :

VR= (0,50) al cuadrado por varianza de X + Varianza de Y

VR = (0,25) (8,6) + (1,6) = 3,75

Los valores anteriores de la media "verdadera" de R y su varianza, se han estimado bajo el supuesto de que los valores de X e Y no esta correlacionados.

Distribución probabilística de R acumulada

En seguida en la tabla 3 podemos ver una tabla que acumula los cálculos del Valor Presente (R) para evaluar la probabilidad de estos hallazgos.

Tabla 3 : Probabilidad acumulada de R y aproximación a la curva normal

Valor Aproximación

Presente "Verdadero" Muestra 50 Muestra 100 a la curva normal

Ri distribución

2.0 0,02 0,06 0,03 0,01

1.0 0,06 0,06 0,06 0,04

0 0,12 0,10 0,11 0,10

0,5 0,20 0,16 0,18 0,15

1,0 0,32 0,24 0,24 0,22

2,0 0,38 0,30 0,32 0,40

2,5 0,62 0,60 0,53 0,50

3,0 0,68 0,62 0,56 0,60

4,0 0,80 0,76 0,71 0,78

5.0 0,94 0,90 0,87 0.90

6,0 0,98 1,00 0,97 0,96

________________________________________________________________________

Valor medio : 2,5

Varianza : 3,75

Desviación estándar: 1,9365

Modelo convencional vs. modelo basado en probabilidades

En seguida ilustraremos las diferencias de dos modelos de evaluación : a) el modelo convencional donde todas las variables están predefinidas según datos provenientes de los mismos formuladores y evaluadores del proyecto; y b) el modelo basado en variables sometidas a probabilidades, con el fin de disminuir los problemas de la incertidumbre.

El caso que ilustrará las diferencias de los modelos de evaluación es un proyecto hotelero de cinco estrellas y denominado Bahía Blanca, con 330 habitaciones equivalentes a 660 plazas-camas. El proyecto se supone sería construido en dos (2) años. Los principales beneficios netos provienen del flujo de caja y el valor de los beneficios depende en parte de las estimaciones del mercado de visitantes temporales nacionales e internacionales que demandarían los servicios del hotel.

El nuevo hotel inducirá el fortalecimiento de otros negocios que le proporcionarán insumos y otros servicios y podría incluso tener efectos en la aparición de nuevas empresas medianas y pequeñas, pero la evaluación de estos beneficios indirectos e inducidos no serán tratados en este ejemplo, sino solamente los beneficios netos directos relacionados con la operación de la unidad hotelera proyectada.

El modelo convencional de evaluar un flujo de caja

Una evaluación convencional de este proyecto hotelero podría presentarse como sigue:

Tabla 4: Proyecto hotel Bahía Blanca. Actualización de inversiones y beneficios

Años Flujo de caja Inversión Actualización al 15% Actualización al 28%

Caja Invers Caja Invers

1 ----- 1.2141,20 ----- 1.079,30 ----- 969,69

2 ----- 1.068,14 ----- 807,67 ----- 651,94

3 694,66 ----- 456,75 ----- 331,24 ----

4 749,29 ----- 428,41 ----- 279,13 ----

5 795,18 ----- 395,34 ----- 231,43 ----

6 830.97 ----- 359,25 ----- 188,94 ----

7 855,54 ----- 321,63 ----- 151,97 ----

8 855,54 ----- 279,68 ----- 118,73 ----

9 855,54 ----- 243,20 ----- 92,76 ----

10 855,54 ----- 211,48 ----- 72,47 ----

11 855,54 ----- 183,89 ----- 56,62 ----

12 855,54 ----- 159,91 ----- 44,23 ----

13 855,54 ----- 139,05 ----- 34,56 ----

3178,6 1887,0 1602,1 1621,6

VAN con actualización al 15% = 3.178,6 - 1.887,0 = 1.291,6

VAN con actualización al 28% = 1.602,1 – 1.621,6= (19,5)

TMAR promedio = 15% + 28% / 2 =22%

TIR por interpolación entre un van positivo y uno negativo

TIR = 15 + (15 – 28) x 1.291,62 / 1.291,62 + 19,56

TIR = 15 + (13 x 1.291,62 / 1.311,17)

TIR = 15 + (13 x 0,9851)

TIR = 15 + 12,81

Tasa Interna de retorno = 27,81% igual a la Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento (TMAR) igual al 28%. Es decir, el proyecto solamente descontado con una tasa de descuento del 15% anual es factible, pero existe un TMAR del 28% si se coloca el dinero en Bonos o Letras del Estado de bajo riesgo. Así pues, el proyecto tiene una rentabilidad crítica. No obstante, este análisis de riesgo e incertidumbre se puede manejar mucho mejor con los criterios de probabilidad para el conjunto de variables a ser analizadas.

Los costos de inversión y los flujos de caja que aparecen en la tabla anterior están basados en el mejor estimado de acuerdo a la experiencia de hoteles de 5 estrellas similares y con el conocimiento del contexto geográfico y social donde se ubicaría el proyecto.

El modelo convencional esquemático

En la tabla que sigue resumimos los pasos más importantes para realizar una formulación y evaluación de un proyecto de inversión hotelero:

Tabla 5 : Proyecto hotelero. Modelo convencional de evaluación

1. (Costo de inversión del proyecto) =valor del suelo + construcción +maquinaria

y equipos + muebles + activos diferidos +

activos corrientes y otras inversiones

2 ( Cronograma de inversión) =dos años

3. (Financiamiento de la Inversión) = capital propio + capital crédito

4. (Tabla de depreciación lineal) = para todos los rubros de inversión

5. (Estudio de la demanda) = Demanda inicial año uno operativo

6. (Proyección de la demanda) = 1 + tasa de crecimiento) x demanda inicial

7. Tarifas o precios de habitaciones: =tarifas promedio de hoteles similares

8.( Costos operativos) = Imputs intermedios + costo de mano de

obra + gastos generales y administrativos

9.(Evolución de los costos y gastos) =Costos fijos + costos variables

10.(Estimación del punto de equilibrio) =Costos fijos entre el margen de

contribución

11.(Estimación del Estado de Resultado) =Estado de resultado año 1 operativo

12.(Proyección del Estado de Resultado) =(1+ tasa de crecimiento) x Estado de resultado operativo primer año

13.(Estimación del Flujo de Caja) =Salidas y entradas de efectivo proyectados

14.(Cálculo del flujo de caja) =beneficio neto + depreciaciones – cancelar

el capital prestado

15.(Actualización de beneficios e inver ) =Actualización proyectada en el horizonte

de vida del proyecto

16, (Cálculo del VAN ) =Inversión actualizada menos caja

actualizada con la tasa de descuento

relacionada con el costo de oportunidad

del dinero (TMAR).

Sumatoria (1 + i) elevado a la n (Inversión proyectada)= Sumatoria (1+i) elevado a la n (Caja proyectada)

16. (Cálculo de la TIR) =Interpolación entre un VAN positivo y

un VAN negativo.

17. (Análisis de sensibilidad) =Cambio de variables importantes para conocer el impacto en el VAN y la TIR.

El modelo probabilístico como alternativa

Este modelo trata de cuestionar la información sobre las variables del proyecto para determinar la probabilidad de que esos valores puedan ser cierto con varias probabilidades subjetivas. Supongamos que en relación al estudio del mercado o de la demanda de visitantes totales para el hotel en proyecto para el primer año operativo, podría aparecer como sigue:

Tabla 6 : Distribución de la probabilidad de la demanda inicial

Probabilidad Demanda doméstica Demanda internacional

0,05 13.579 9.052

0,05 14.579 10.000

0,10 15.450 11.000

0,20 16.400 11.500

0,20 17.300 12.000

0,20 18.000 12.500

0,10 18.500 13.000

0,05 19.000 13.500

0,05 22.000 14.000

Las probabilidades subjetivas para las variables del proyecto ,que provienen de la consulta con expertos, pueden ser una probabilidad discreta, un rango uniforme, sub-rangos rectangular, rango triangular o referida a la curva normal según la media, la desviación estándar y la varianza.

Supongamos que un analista del mercado hotelero predice que existe un chance de un 60% que la tarifa por cuarto para vender el hotel sea de $ 200 y un 40% de chance que esa tarifa sea de $ 100. En cuanto a los cuartos vendidos el analista estima que existe un 60% de chance para vender 16.400 al año y un chance del 40% para vender 13.579 habitaciones al año. Así pues, el ingreso total probable que se desea sería igual a : $200 x 16.400 = 3,28 millones de dólares al año, suponiendo una pernoctación de una noche. No obstante, la probabilidad podría indicarnos que ese estimado es optimista y que es posible obtener una venta menor.

Asumiendo que los precios o tarifas y las ventas de habitaciones son variables independientes, la verdadera distribución de probabilidad para estimar los ingresos totales es como sigue:

Tabla 7 : Evaluación del probable ingreso por venta de habitaciones

________________________________________________________________________

Tarifa Venta Habitaciones Probabilidad Ingreso

200 16.400 0,60 x 0,60=0,36 3,28

200 13.579 0,60 x 0,40=0,24 2,72

100 16.400 0,40 x 0,60=0,24 1,64

100 13,579 0,40 x 0,40=0,16 1,36

Claramente se observa que existe una probabilidad de 0,48 (0,24 + 0,24) para obtener un ingreso que se ubica entre 2,72 y 1,64 millones de dólares (un valor medio igual a 2,18 millones de dólares).

El modelo probabilístico esquemático

Veamos una tabla sobre la data o variables del proyecto suponiendo probabilidades :

Tabla 8 : Imputs del proyecto: valores originales estimados y distribución de su probabilidad.

Data Item Valor original Distribución de probabilidad

________________________________________________________________________

1. Suelo 270,00 Probabilidad discreta:

40% 335,42

60% 270.00

2. Construcción 2.266,90 Probabilidad triangular :

  1. la probabilidad es ;

    30% 1.093 – 1.749

    50% 1.749 – 2.186

    20% 2.186 – 2.914

  2. si el costo del suelo es 335,4 entonces:
  3. si el costo del suelo es 270,0 entonces :

la probabilidad es:

30% 1.457 – 2.186

50% 2.186 – 2.186

20% 2.186- 2.477

20% 2.477 – 3.206

3. Equipamiento 990,0 Uniforme con rango: 769,0 y 990,0

4. Activos diferidos 100,0 Triangular con rango: 67,0 a 200,0

5. Otros activos 222,0 Triangular con rango: 204,0 a 252,0

6. Tiempo de construcción 2 años

7. Demanda inicial (N) 13.579 Normal: media 13.579, Desviación E 1.100

8. Demanda inicial (E) 9.052 Triangular con rango: 5.903 a 13.775

9. Estancia media 6,92 noches Uniforme rango 7 a 14

10.Tarifas para habitaciones US$ 116 Uniforme rango : 116 a 200

11. Crecimiento demanda (N) 4% Uniforme rango 4% a 6%

12.Crecimiento demanda (E) 3% Uniforme rango 3% a 4%

13.Ocupación media de habit 68% Uniforme rango : 68% a 75%

14.Ratio personas por habit 1,91 Uniforme rango : 1,50 a 1,91

15.Costo Inputs intermedios 0,36 Uniforme rango: -12% + 15%

16.Costo de personal 0,25 Uniforme rango -15% + 10%

17. Costos fijos operativos 0,39 Uniforme rango : -5% + 10%

18. Costos fijos 50% Uniforme rango : 48% a 50%

19. costos variables 50% Uniforme rango: 47% a 51%

20. Crecimiento del Flujo de Caja 3% Uniforme rango : 3% a 4%

21. Tasa de descuento 20% Uniforme rango : 15% al 28%

La teoría de la probabilidad y su uso en la evaluación de proyectos

La evaluación de proyectos de inversión dependen ahora más que nunca de las leyes de la probabilidad en un mundo globalizado y con una intensidad competitiva. Estamos de acuerdo con las reflexiones del matemático norteamericano Warren Weaver cuando señaló:

"Muchos de las decisión que tomamos diariamente son intuitivas – e indudablemente tenemos que buscar otra manera de actuar –tenemos que estar listos para pesar las probabilidades de nuestros juicios " (1963, p. 377).

Claro que la anterior recomendación se supone que se debe considerar al menos en aquellas decisiones que son trascendentes y que pueden mejor o arruinar nuestra calidad de vida o nuestro deseo de progreso como sociedad.

Referencias bibliográficas

Figuerola Palomo, Manuel

1990. Elementos para el estudio de la economía de la empresa turística. Madrid, Editorial Síntesis.

Reutlinger, Shlomo

1970. Techniques for project appraisal under uncertainty. Baltimore, The Johns Hopkins University Press. World Bank Staff Ocasional Papers (No. 10).

Weaver, Warren

1963. Lady Luck : the theory of probability, New York, Anchor Books.

 

Alfredo Ascanio, PhD

Universidad Simón Bolívar

Caracas-Venezuela


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