- Conjunto de Números
racionales - Operaciones y propiedades de los
números racionales - Teoremas del conjunto de
números racionales - Fracciones
Equivalentes - Proporción
- Porcentaje
- Números
Irracionales - Operaciones de los
Números Irracionales - Números
Reales - Operaciones con números
reales - Ejercicios de
aplicación - Bibliografías
La matemática
en su sentido mas amplio engloba un sin fin de componentes que
hacen de ella una de las ciencias mas
reales, completas y concretas, y por ende fundamental en el
desarrollo del
intelecto. En este mismo orden de ideas el número
representa el elemento mas significativo y trascendental , por el
hecho de ser la esencia y la expresión del pensamiento
matemático.
En función de
ello, es necesario conocer a plenitud la composición y
demás valores que el
amplio concepto de
número encierra; de allí que se profundizará
cerda de:
- Números reales: operaciones
básicas, potenciación y propiedades. - Números irracionales; definición y
operaciones
básicas. - Números racionales: definición,
operaciones básicas, propiedades, potenciación y
teoremas de estos conjuntos.
Conjunto de
Números racionales:
Concepto:
Es el conjunto que se puede expresar, como cociente de
dos números enteros, es decir, en forma de
fracción. Los números enteros son racionales pues
se pueden expresar como cocientes de ellos mismo por la unidad
a=a/1.
Los números racionales no enteros se llaman
fraccionarios. Al expresar un número racional no entero en
forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien
un número decimal periódica. El conjunto de
números decimales se denomina por la letra "D".
Operaciones y
propiedades de los números racionales:
Adición:
La operación que permite calcular la suma de dos
números racionales se llama adición. Decimos que la
adición en Q es una operación binaria interna
porque asocia a cada dos números racionales un
número racional. Ejemplo
La expresión 
Propiedades de la
adición:
a.-) Propiedad Conmutativa: "El orden de los
sumandos no altera la suma" esta propiedad se
cumple para cualquiera que sena los números racionales que
se sumen, y recibe el nombre de propiedad
conmutativa de la adición.
Ejemplo:
Si 
;
b.-) Propiedad Asociativa: la forma como se
agrupan los sumandos no altera la suma, esta propiedad se
verifica para cualquiera que sea la terna de números
racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad
asociativa de la adición. En general
si 
representan números racionales cualquiera,
entonces
=
=
c.-) Elemento Neutro: Cualquier número
racional a/b sumando con cero (0) es igual a a/b. El cero (0) se
llama elemento neutro de la adición
luego la suma de 5/9 y 0 es 5/9
el cero
es elemento neutro de la adición de números
racionales.
d.-) Elemento simétrico: en general si a/b
es un número racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que
todo número racional tiene un simétrico u opuesto
con respecto a la adición por ejemplo:
luego la suma de 3/5 y su opuesto –3/5 =
0
Sustracción de números
racionales:
la sustracción es la operación inversa a
la adición. En la adición se busca uno de los
sumandos de una suma dada por ejemplo:
Multiplicación de números
racionales:
el producto de
dos números racionales es un número racional cuyo
numerador es el producto de
los numeradores y cuyo denominador es el producto de los
denominadores. Es decir: 
ejemplo:
Propiedades de la Multiplicación en
Q:
a.-) Conmutativa: en la multiplicación de
números racionales del orden de los factores no altera el
producto. Es decir: 
ejemplo:
b.-) Asociativa: en la
multiplicación de los números racionales la forma
de agrupar los factores no altera el producto. Es
decir:
ejemplo:
luego: 
c.-) Elemento neutro: el (1) es el elemento
neutro de la multiplicación de números racionales.
Es decir a/b · 1 = a/b · 1/1 = a/b
ejemplo:
d.-) Elemento simétrico: cada
número racional, distinto de cero, tiene un
simétrico o inverso respecto la multiplicación. Es
decir: 
ejemplo:
e.-) Distributividad: al multiplicar un
número racional por una suma indicada se obtiene el mismo
resultado que si multiplicamos este número por cada
sumando, luego sumamos. Es decir: 
ejemplo:
= 
=
= 
ß
iguales à =
División de Números
Racionales:
Para calcular el cociente de un número racional
a/b ¸ c/ d
basta con multiplicar el dividendo a/b por el inverso del divisor
c/d es decir: 
Ejemplo:
dividendo – divisor – cociente
Potenciación de los números
racionales:
Es una multiplicación de factores iguales. En los
números enteros vimos que la potencia de b
elevado a la n, es decir bn, se obtiene multiplicando
la base b por si misma tantas veces como lo indica el exponente
n, es decir:
ejemplo: 24 = 2·2·2·2 =
16
Operaciones de las potencias:
- Multiplicación de potencias de igual base: es
decir:
ejemplo:
- Potencia de un producto, es decir:
ejemplo:
- División de potencias de igual base:, es
decir:
ejemplo:
- Potencia de una potencia, es
decir
ejemplo:
Teoremas del conjunto
de números racionales:
- bn = b·b·b· . . .
· b n veces 
Dos fracciones son equivalentes si y solo si sus
productos
cruzados son iguales, es decir:
ejemplo:
Elementos de una
fracción:
- Amplificar: es multiplicar el numerador y
denominador por un mismo número entero nulo. - Simplificar: es dividir el numerador y al
denominador por un divisor común distinto de
1.
Es una razón, con la diferencia de que el
denominador del cociente es el numero total de unidades
enunciadas. Es el resultado obtenido de la suma de dos
proporciones complementarias (p + q) relacionando cada valor por el
número total de unidades y cuyo resultados sumados deben
ser igual a la unidad (1).
Características:
- Expresa la relación cuantitativa entre dos
valores o
características. - La razón viene expresada por el cociente entre
los valores
específicos. - La razón es una valor
relativo. - No depende de los valores
absolutos de los individuos que la forman.
Son proporciones que al ser multiplicadas por 100 se
convierten en números enteros que van a indicar una
relación cuantitativa de alguna
categoría.
Características:
- Las proporciones se convierten en porcentajes al ser
multiplicadas por 100. - Los porcentajes son utilizados para presentar
datos al
público de manera mas comprensible. - Tienen un gran valor práctico para presentar
informaciones en empresas y
otras instituciones. - No permite porcentajes exagerados y en este caso se
deben expresar de otra forma.
Concepto:
Son aquellos que se escriben mediante una
expresión decimal con infinitas cifras y no
periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por
"I".
Operaciones
de los Números Irracionales :
Adición:
Es la combinación interna de unidades decimales
que se originan de una suma algebraica de dos o mas
sumandos.
Ej.
35,72
17,5
183,246
236,466
Sustracción:
Es la operación inversa a la suma de decimales y
tiene por objeto, dados los elementos (minuendo, sustraendo y
diferencia)..
Ej.
57,35
– 24,41
32,94
Multiplicación:
Para multiplicar los decimales, ellos se multiplican
como enteros y en el producto se separan tantas cifras decimales
como tengan entre los dos factores, escribiendo ceros a la
izquierda si son necesarios para separar las cifras
decimales.
Pero en cuanto a la unidad seguida de ceros, se recorre
la coma decimal tantos lugares como ceros tengan el
multiplicando, añadiendo a la derecha del numero decimal
los ceros que sean precisos para poder recorrer
la coma.
Ejemplos:
3,57 * 10 = 35,7.
16,7 * 100 = 1670.
25,32
x 100
2532,00
División:
Esta es efectuada si el dividendo y el divisor fueran
números naturales, pero al bajar la primera cifra decimal
se coloca la coma al cociente.
Ejemplo:
14,25 | 3
02 2 4,75
015
0
Por número real llamaremos a un número que
puede ser racional o irracional, por consiguiente, el conjunto de
los números reales es la unión del conjunto de
números racionales y el conjunto de números
irracionales.
- El conjunto de los números reales es el
conjunto de todos los números que corresponden a los
puntos de la recta - Al conjunto de los números reales es el
conjunto de todos los números que pueden expresarse con
decimales infinitos periódicos o no periódicos
(en este caso un decimal finito, tal como 1,2 puede
considerarse periódico de periodo 0:1,2 = 1,2000 . .
.).El conjunto de los números reales es denotado por
R.
Operaciones
con números reales:
En el conjunto de los números reales se
encuentran definidos dos operaciones básicas que son: la
adición, la multiplicación, la sustracción y
la división.
Adición de números
reales:
La adición de números reales es una
operación que asocia a cada par de números reales a
y b, llamados sumandos, un único número real c,
llamado suma de a y b- la adición es una función
definida así:
+:R x R à R
(a, b) à c = a + b
suma sumandos
Sustracción de números
reales:
Es la operación inversa de la adición.
Mientras en la adición se dan los sumandos y se trata de
calcular la suma:
a + d = m
sumandos suma
en la sustracción se da la suma, llamada ahora
minuendo y un sumando llamado sustraendo y se trata de calcular
el otro sumando llamado diferencia:
m – a = d
minuendo diferencia
sustraendo
la diferencia d = m – a se calcula sumando al
minuendo m el opuesto del sustraendo a:
d = m – a = m + (–a)
Multiplicación:
La multiplicación de números reales es una
operación que asocia a cada par de números reales a
y b, llamados factores; un único número real c,
llamado producto de a y b. La multiplicación es una
función definida así:
R x R à R
(a, b) à c = a . b
producto factores
división de números
reales:
la división es la operación inversa de la
multiplicación, mientras en la multiplicación se
dan los factores y se trata de calcular el producto:
a . b = c
factores producto
en la división se da el producto llamado ahora
dividendo y un factor llamado ahora divisor y se trata de
calcular el otro factor, llamado cociente:
en la división tenemos que:
Potenciación de números
reales:
Una adición de sumandos iguales, se conviene en
escribirlo en forma de producto, así tenemos:
En forma similar, una multiplicación de factores
iguales se conviene escribirlo en forma exponencial. Así
tenemos:
3·3·3·3 = 34 ;
7·7·7·7·7 = 75
El pequeño número colocado en la parte
superior derecha del factor que se repite es denominado
exponente. El exponente indica el numero de veces que el factor
se repite. El factor que se repite recibe el nombre de
base.
El símbolo completo de base y exponente: base
exponente, recibe el nombre de potencia. Así,
34 es la cuarta potencia de tres y 75 es la
quinta potencia de siete.
En general, si b es un número real y n un
número entero positivo, entonces bn se le llama
una potencia de base b y significa el producto de b por sí
mismo n veces, es decir:
Por ejemplo:
52 = 5 · 5 = 25 la base 5 se
multiplica por si misma 2 veces
La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado.
Así: 32 se lee "tres al cuadrado" o "el
cuadrado de tres".
La potencia de exponente 3 recibe el nombre de cubo.
Así p
³ se lee "pi al cubo" ó "el cubo de
pi".
La potencias de exponentes 4, 5, 6 . . . reciben el
nombre de cuarta, quinta, sexta, . . . potencia. Así: (2 –
√5)4 : "cuarta potencia de2 – √5" ó
"2 – √5 a la cuarta".
Se conviene en lo siguiente:
- La potencia de base un número real no nulo y
de exponente cero es uno : a0 = 1, a
¹ 0. - La potencia de base un número real y exponente
uno es el mismo numero real: b1 = b
Así : 101 = 10; (√2 –
3)1 = √2 – 3; p 1 = p .
Radicación de Números
Reales:
La radicación es uno de las operaciones inversas
de la potenciación. Mientras en la potenciación se
dan la base y el exponente y se trata de calcular la potencia
:
exponente
bn = ?
base potencia
Propiedades de los números reales (en la
adición):
a.-) Propiedad conmutativa: en la adición
de números reales, el orden del os sumandos no altera la
suma. Es decir, si a y b son los números reales, entonces
= a + b = b + a , por lo anterior se dice que la adición
de números reales tiene la propiedad
conmutativa.
b.-) Propiedad asociativa: en la adición
de números reales, la forma de agrupar los sumandos no
altera la suma. Es decir, si a, b y c son números reales,
entonces a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c), por lo anterior,
se dice, que la adición de números reales tiene la
propiedad asociativa.
c.-) Existencia de elemento neutro: en el
conjunto R de los números reales, el número real
cero (0) es el elemento identidad o
neutro para la adición porque la suma de cualquier
número a y 0 es 0. es decir, si a es un número
real, entonces: a + 0 = 0 + a = a.
d.-) Existencia de elementos simétricos
opuestos: para cualquier número real existe otro
número real –a, llamado opuesto de a, tal que: a +
(-a) = 0. Así: la suma de un número real y su
opuesto es igual a cero (0), el elemento identidad o
neutro para la adición. Por ejemplo: –√2 =
–(–√2) = √2.
Las propiedades de los números reales (en
la sustracción):
a.-) Si a y b son números reales, entonces
su diferencia a- b es un número real. Por satisfacer esta
propiedad se dice que el conjunto de números reales es
cerrado respecto a la sustracción.
b.-) La sustracción de números
Reales no es conmutativa. Observa la localización de 3
– √2 y √2 – 3 en la recta
real.
c.-) La sustracción de números
reales no es asociativa. Observa:
(3·√2 – √2) –
3·√2 = 2·√2 = 3·√2 –
3·√2 = – √2
3·√2 – (√2 –
3·√2) = 3·√2 –
(–2·√2) = 5·√2
como – √2 ¹ 5·√2 , entonces
(3·√2 – √2) –
3·√2 ¹ 3·√2 – (√2
– 3·√2)
d.-) El número real cero (0) es un
elemento identidad o neutro por la derecha para la
sustracción. Observa que la diferencia de cualquier
número a menos 0 es igual al numero a: √2 – 0
= √2; p –
0 = p ;
(3·√2 – √2) – 0 =
(3·√2 – √2). Pero cero no es elemento
identidad o neutro por la izquierda. En efecto, 0 –
a ¹ a; 0
– 2 ¹
2, 0 – √3 ¹ √3.
Propiedades de los números reales (en la
sustracción):
a.-) si a y b son números reales, entonces
su producto a·b es un número real. Por satisfacer
esta propiedad, se dice que el conjunto de números reales
es cerrado respecto a la multiplicación.
b.-) Propiedad conmutativa: en la
multiplicación de números reales, la forma de
agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b
son dos números reales, entonces: a·b =
b·a.
c.-) Propiedad asociativa: en la
multiplicación de números reales, la forma de
agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b
son dos números reales, entonces: a·b·c =
(a·b)·c = a·(b·c)
d.-) Existencia de elemento identidad o elemento
neutro: en el conjunto R de los números reales, el
número real uno (1) es el elemento identidad o neutro para
la multiplicación porque el producto de cualquier
número a por 1 es a. Es decir, si a es un número
real, entonces: a·1 = 1·a = a.
e.-) Existencia de elemento simétrico o
inverso: para cualquier número real no nulo a, existe
otro número real 1/a = a-1, llamamos inverso de
a tal que: a · 1 / a = 1 ó a ·
a-1 = 1.
f.-) Propiedad distributiva con respecto a la
adición: así, multiplicar un número real
por una suma indicada de números por cada uno de los
sumandos y luego sumar los productos
obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales,
entonces:
(a + b)·c = a·c + b·c
a·c + b·c = (a +b)·c
g.-) Factor cero: todo número multiplicado
por cero da cero. Es decir, si a es un número real
entonces: a·0 = 0; 3·0 = 0; 5·0 = 0,
375·0 = 0, (-4)·0 = 0.
Propiedades de los números reales en la
división:
a.-) si a y b son números reales, con b no
nulo (b ¹
0), entonces su cociente a / b ó a
¸ b es un
número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el
conjunto de números reales es cerrado respecto a la
división, con divisor no nulo.
b.-) La división de números reales
no es conmutativa. Observe que: 8 ¸ 2 ¹ 2 ¸ 8.
c.-) La división de números reales
no es asociativa: observa que:
(16 ¸
4) ¸
2 = 4 ¸
2 = 2
16 ¸
(4 ¸
2) = 16 ¸ 2 = 8
y como 2 ¹ 8 entonces: (16 ¸ 4) ¸ 2 ¹ 16 ¸ (4 ¸ 2)
d.-) El número real uno (1) es elemento
identidad por la derecha para la división. Observa que el
cociente de cualquier número real a entre 1 es igual al
número a: a ¸ 1 = a
pero 1 no es elemento identidad por la
izquierda:
e.-) El divisor en una división siempre
debe se diferente de cero.
- Determinar la propiedad asociativa de estos
números racionales
- Determinar las siguientes potencias
a.- 
b.- 
c.- 
d.- 
- ROJAS, JULIAN. Matemática I Conjunto de
números Racionales. Ediciones UPEL. Caracas 1985. pp
318 - ROJAS, JULIAN. Matemática II Números
Reales. Ediciones UPEL. Caracas 1986. pp 358 - SALAZAR, Jorge. Matemática Educación Básica 7º
grado. Editorial ROMOR. Caracas 1986. Pp. 240. - Universidad Nacional Abierta, Matemática I,
Conjuntos
Numéricos. Caracas 1990. Pp. 189. - ACOSTA, Antonio. Matemática I. Contenidos
Generales. Caracas 1991 Publicaciones UNA. PP.
662.
Documento cedido por:
JORGE L. CASTILLO T.
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