- Teoremas
- Demostración de la regla
de L’Hôpital - Regla de L’Hôpital y
formas Indeterminadas - Ejercicios
- Teorema del valor
medio - Teorema de
Rolle
Suponga que las funciones f y g
son diferenciables en una vecindad perforada del punto a y que
g’(x) es distinta de cero en esa vecindad
Supongamos también que:
Lim f(x) = 0 = lim g(x)
x à
a x à a
entonces
lim f(x) = lim f’ (x)
x à
a g(x) x à a g’ (x)
Siempre que el límite exista del lado derecho
(como número real finito) o sea +¥ ó -¥
Teorema 2:
Supongamos que las funciones f y g
son diferenciables en x = 1, que:
F(a) = 0 = g(a)
Y que
g’(a) ¹ 0, entonces
lim f(x) = f’(a)
xà
a g(x) g’(a)
Demostración de la regla de
L’Hôpital
Supongamos que las funciones f y g del teorema 1 no
solamente son diferenciables, sino también que tienen
derivadas
continuas cerca de x = a y que g’(a) ¹ 0. entonces:
lim f’ (x)
lim f’ (x) = xà a = f’
(a)
xà a g’(x) lim g’ (x)
g’(a)
xà
a
Por la ley de límites de
cocientes. En este caso la Regla de L’Hôpital en la
ecuación (2) se reduce al límite.
Lim f(x) = lim f’(a)
xà a g(x) xà a g’(a)
que es una forma débil de la regla. En realidad
esta forma débil es la que se aplica por lo general en las
aplicaciones con un solo paso de la Regla de
L’Hôpital.
Regla de
L’Hôpital y formas Indeterminadas:
Forma Indeterminada 0/0:
Si
Lim f(x) = 0 = lim g(x); entonces
xà
a xà a
decimos que el cociente f(x) / g(x) tiene forma
indeterminada 0/0 en x = a.
Forma Indeterminada (¥ ):
La regla de L’Hôpital, tiene muchas
variantes. Además el hecho de que el límite puede
ser infinito, el número real a en la Regla de
L’Hôpital, puede ser reemplazada por
+¥ o por
-¥
.
Forma indeterminada (0.¥ )
En estas formas, la regla de L’ Hôpital no
se puede aplicar directamente a ella, es posible convertirla a la
forma 0/0 o en la forma ¥ /¥ . En tal caso se puede aplicar la
regla:
lim f(x) = 0 y lim g(x) = ¥
xà
a xà a.
Decimos que el producto f(x)
* g(x) tiene forma indeterminada 0. ¥ , en x = a.
Forma indeterminada 00,
¥
0,1¥ :
Y = [f(x)]g(x), Al determinar los límites de
una cantidad donde los límites de f y g cuando x
à a, se
obtiene una de estas formas, 00, ¥
0,1¥ . Continuación se presentan cuatro
pasos para determinarlos:
- Sea Y = [f(x)]g(x)
- Calcular el logaritmo natural ln Y =
ln([f(x)]g(x)) = g(x)lnf(x) - Evaluar L = lim ln Y
xà
a
d) Concluya que limxà a
[f(x)]g(x) = eL, función
exponencial continua.
1º) Determinar el 
Solución:
=
(forma indeterminada ¥ /¥ )
= 
Nota: la regla de L’Hôpital permite que el
resultado final sea un límite infinito.
2º) Determine el 
3º) Determinar 
(forma
0/0)
(todavía 0/0)
4º) Evaluar el límite, si
existe
Solución:
y
aplicación de la regla de
L’Hôpital
ya que
=
y
5º) Determinar el límite, si
existe
TEOREMA DEL
VALOR
MEDIO
Teorema A:
Si una función f
es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en su
interior (a, b) entonces existe al medo un número C en (a,
b) tal que:
lo cual equivale a: f(b) – f(a) = f’(c)(b
– a)
Teorema B:
Si F’(x) = G’(x) para todo x de (a, b),
existe una constante C tal que F(x) = G(x) + C, para todo x en
(a,b)
Uso del Teorema
El primer teorema relaciona si una función es
creciente o decreciente con el signo de su derivada, ver
Fig.(1)
El lenguaje
geométrico de valor medio,
dice que si la gráfica de una función continua
tiene una tangente no vertical, en todo punto comprendido entre
A, y B, entonces hay por lo menos un punto C de la gráfica
comprendida entre A y B en el que la tangente es paralela a la
recta secante AB, como lo muestra la Fig.
1.
Demostración del Teorema del Valor
Medio:
Nuestra demostración descansa en el análisis de la función:
S(x) = f(x) – g(x) representada en la Fig.
2.
Aquí, Y = g(x), que es la ecuación de la
recta que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)), puesto que esta recta
tiene como pendiente:
y pasa por (a, f(a)), la forma punto pendiente de su
ecuación es:
Produciendo una fórmula para S(x),
Notándose de inmediato que S(b) = S(a) = 0, para
todo x de (a, b)
Observación: si supiésemos que hay un
número C en (a,b) que satisface S’( c ) = 0,
tendríamos la demostración, porque la última
ecuación sería:
lo cual equivale a la conclusión del
teorema.
Ejercicios:
1º) Sea f(x) = X3 –
X2 – X + 1 en el intervalo [-1,2], encuentre
todos los números que satisfacen la conclusión del
teorema de valor medio.
Solución:
F(x) = X3 – X2 – X +
1
f’(x) = 3X2 – X + 1
Fórmula cuadrática:
3c2 – 2c – 1 = 1 equivale a
3c2 – 2c – 2 = 0
c1 = -0.55
c2 = 1,22 y ambos números están
en el intervalo (-1, 2).
2º) Si f’(x) = 2 · Cos(x) y f(0) =
5 ¿cuál es la función f(x)?
Una función explícita con derivada
2·Cos(x) es
g(x) = 2·Sen(x)
f(x) = g(x) + K = 2·Sen(x) + K, en cualquier
intervalo dado [a, b] que contenga el cero. Determinado el valor
K, si sustituimos x = 0
f(x) = 2·Sen(0) + K Þ
- = 2 · 0 + K
despejando a K; K = 5
y así la función f es : f(x) = 2
· Sen (x) + 5
3º) Sea f(x) = X2/3 en el intervalo
[-8 , 27], demuestre que el teorema del valor medio falla y
descubra por que:
Solución:
y
, no
está en el intervalo (-8, 27).
4º) Dada la función 
y a = 1, b =
3
Solución: f(1) = 0 y f(3) = 0
No satisface la
hipótesis de valor medio, pues la
raíz es negativa, no existe.
5º) Sabiendo que 
y a = 1 y b = 2
ó 
Teorema de Rolle:
Supongamos que la función es continua en el
intervalo cerrado [a, b] y es derivable en su interior (a, b). Si
f(a) = 0, entonces existe un número C en (a, b) tal que
f’(c) = 0.
Demostración del Teorema de
Rolle
Como f es continua en [a, b], debe alcanzar sus valores
máximos y mínimos en [a, b] (por propiedad de
valor máximo). Si f tiene valores
positivos, consideremos su valor máximo, f( c).
Ahora C, no es un intervalo extremo de [a, b], pues un
punto f(a) = 0 y f(b) = 0. por o tanto, C es un punto de (a,b).
Pero sabemos que f es diferenciable en C, f(c) = 0.
Si f tiene valores negativos, podemos considerar su
valor mínimo f’( c) y concluir que f’( c) =
0.
Si f no tiene valores ni negativos ni positivos,
entonces f se anula idénticamente en [a, b], por lo que
f’( c) = 0, para toda C en (a,b).
Ejercicios:
1º) Suponga que 
en [0, 1], determine un número C que
llegue a la conclusión del teorema de
Rolle.
Solución.
F es continua en [0,1] y derivable en (0,1), como
está presente el término x1/2, f no es
derivable en x = 0.
f(0) = 0, f(1) = 0.
f’( c) = 0 para C = 1/3
2º) Hallar 2 intersecciones con el eje x de la
gráfica de f(x) = X2 – 3X + 2, y probar
que f(x) = 0, en algún punto entre ellos
Solución:
2x = 3 è x = 3/2
f(1) = 0
f(2) = 0
- 3/2 está en el intervalo abierto
(1,2).
3º) Dada la función f(x) = 4×3
– 9x, verificar si se cumple el teorema de Rolle en el
intervalo [-3/2, 0]
f’(x) = 12X2 – 9
f’(x) existe para todos los valores de
x, es diferenciable en (-¥ ; +¥ ), es decir, si se cumplen las condiciones
del teorema de Rolle.
4º) Suponga que f(x) = 1 – x2/3
en [-1, 1].
Solución:
f’(0) no existe
f’(x) ¹ 0 para x ¹ 0.
la gráfica
tiene una recta tangente vertical, y no horizontal.
5º) Dada la función f(x) = X4
– 2X2 en los intervalos (-2, 2) en los que
f’( c) = 0.
Solución:
Como f(-2) = 8 = f(2), podemos decir que al menos un C
en (-2, 2) tal que f’( c) = 0.
x = 0, 1, -1
En el intervalo
(-2, 2) la derivada es nula en tres valores distintos de
x.
- EDWARDS, Penney. Cálculo
con Geometría
Analítica. Ediciones Prentice Hall. 4ª
edición. - LEITHOLD, Louis. El Cálculo.
Ediciones ECCGA. 6ª edición. - PURCELL, VARBERG, Cálculo
Diferencial e Integral. Ediciones PRENTICE HALL, 6ª
edición.
Documento cedido por:
JORGE L. CASTILLO T.