Analisis de Colas

Análisis de
sensibilidad
Análisis de
capacidad
Fórmula de
aproximación
Simulación,
simulación Monte Carlo, simulación de eventos
discretos
Distribución de
probabilidades
Costos relacionados con la
cola
Comandos del análisis
de colas
Ventana de
especificación del problema
Barra de
tareas
Procedimientos del
análisis de colas
Ejemplos

INTRODUCCIÓN

Este programa,
Análisis de Colas (QA), resuelve y
evalúa la actuación de un sistema de colas
y costos.

Este programa resuelve
la actuación de una sola fase de un sistema de colas.
La fase única que hace cola en un sistema tiene elementos
mayores incluso una población del cliente, una
cola, y un único o múltiples servidores
(canales). la población del Cliente puede
limitarse o ser ilimitada (infinita) con un modelo de
llegada especificado (distribución); la cola puede limitarse o
ser de longitud ilimitada; y se pueden asumir servidores
múltiples para ser idénticos con una distribución de tiempo
especifica. El sistema de colas se evalúa según las
medidas populares como número promedio de clientes en el
sistema, el número promedio de clientes en la
cola, el número de clientes en la cola para un sistema
ocupado, el tiempo promedio
que un cliente pasa en el sistema, tiempo promedio que un cliente
pasa en la cola en un sistema ocupado, la probabilidad que
todos los servidores están ociosos, la probabilidad que
un cliente se encuentre en espera al llegar al sistema, el
número promedio de clientes sin atender por unidad de
tiempo, el costo total de un
servidor
ocupado por unidad de tiempo, el costo total de un
servidor
ocioso por unidad de tiempo, costo total del cliente que se
encuentra en espera por unidad de tiempo, costo total del cliente
que se ha atendido por unidad de tiempo, costo total del cliente
que no se atendió por unidad de tiempo, longitud total de
la cola por unidad de tiempo, y el costo total del sistema por
unidad de tiempo.

Tres métodos
son incluidos para evaluar cada situación de la
formación de colas: fórmula de cercanía,
aproximación, y la simulación
de Monte Carlo. Si ninguna forma está disponible para un
problema de colas particular, usted puede especificar una
aproximación o simularla para poder
resolverla.

Las capacidades específicas de QA
incluyen:

Análisis de la actuación de la
cola
Análisis de sensibilidad para los
parámetros del sistema
Análisis de capacidad para colas y capacidad
de servicio
Aproximación si no existiese una forma
similar
Simulación – la alternativa para la evaluación de la
actuación
15 distribuciones de probabilidad para el tiempo de
servicio,
los tiempos entre llegadas, y tamaño de lote de
llegada
Muestra la actuación de la cola y análisis del costo
Muestra un gráfico que muestra el
análisis de sensibilidad
Entrada de los datos simple
para los sistemas
M/M

NOTACIÓN.

a : Coeficiente de
presión
sobre el servicio.

b : Coeficiente de
retardación de llegadas

l : Tasa Promedio de
llegadas.

m : Tasa Promedio de
Servicio.

r : Tasa de
ocupación del sistema.

g : Intensidad de
Trafico (l
/m
).

B: Número Promedio de clientes en la
cola

b: Tamaño del Lote.

Cb: Costo por cliente no atendido

Ci: Costo de Servidor Ocioso por unidad de
tiempo.

Cq: Costo por la capacidad de una cola.

Cs: Costo de servidor ocupado por unidad de
tiempo.

Cu: Costo de cliente servido por unidad de
tiempo.

Cw: Costo por cliente esperando en la cola.

K: Numero máximo de clientes permitidos en un
sistema.

L: Numero promedio de clientes en el sistema.

Lb: Numero promedio de clientes en la cola para un
sistema ocupado.

Lq: Numero promedio de clientes en la cola.

N: Población de clientes. El programa considera a
población como infinita, cuando su número supera a
10000 clientes potenciales.

n: Numero de clientes en el sistema, incluidos los que
están siendo atendidos, y los que están en la
cola.

P0: Probabilidad de que todos los servidores
estén ociosos.

P(n): Probabilidad de que hayan n clientes en el
sistema.

Pw o Pb : Probabilidad de clientes que al llegar
esperaran.

Q: Capacidad máxima de la cola (Máximo
espacio de espera).

s: Numero de servidores o canales

W: Tiempo promedio que el cliente pasa en el
sistema.

Wb: Tiempo promedio que un cliente pasa en un sistema
ocupado.

Wq: Tiempo promedio que un cliente pasa en la
cola.

Acá se muestra un
sistema de notación estándar para clasificar
sistemas de colas
como A/B/C/D/E/F, donde:

A representa la distribución de probabilidad
para el proceso de
llegadas
B representa la distribución de probabilidad
para el proceso de
servicio
C representa el número de canales
(servidores)
D representa el número del máximo de
clientes permitido en el sistema de colas (sirviéndose o
esperando por el servicio)
E representa el número máximo de
clientes en total
Nº de clientes potenciales

Opciones comunes para A y B son:

M para una distribución de llegada tipo
Poisson (distribución entre llegadas de tipo
exponencial) o una distribución del tiempo de servicio
de tipo exponencial
D para un valor
deterministico o constante
G para una distribución general (pero con
media y varianza conocida)

Si no se especifican D y E entonces se da por supuesto
que ellos son infinitos.

Por ejemplo un sistema de colas M/M/1, el sistema de
colas más simple, tiene una distribución de llegada
tipo Poisson, una distribución de tiempo de servicio del
tipo exponencial y un solo canal (un servidor).

Note que aquí usando esta anotación,
siempre se asume que hay solamente una cola (línea de
espera) y los clientes se mueven de esta sola cola hacia los
servidores.

ANÁLISIS DE
SENSIBILIDAD.

QA realiza el análisis de sensibilidad
según un rango especificado de número de
servidores, proporción de servicio (m ), coeficiente de presión de
servicio, proporción de la llegada (l ), el tamaño del lote
(volumen) ,
coeficiente de retardación de llegada, la capacidad de la
cola, población del cliente, costo de servidor ocupado por
unidad de tiempo, costo de servidor ocioso por unidad de tiempo,
costo de cliente en espera por unidad de tiempo, costo de cliente
servido por unidad de tiempo, costo por cliente sin atender por
unidad de tiempo, costo unitario de la capacidad de la cola. la
capacidad de la cola, población del cliente, costo de
servidor ocupado por unidad de tiempo, costo de servidor ocioso
por unidad de tiempo, costo por cliente en espera por unidad de
tiempo, costo por cliente servido por unidad de tiempo, el costo
por cliente no atendido, o costo por capacidad de cola unitaria.
QA resuelve y compara las actuaciones según la entrada,
salida, y valores del
paso del parámetro seleccionado. Usted puede especificar
la aproximación o simulación
para el problema con el valor del
parámetro que no tiene ninguna fórmula aproximada
disponible.

ANÁLISIS DE
CAPACIDAD.

Dos capacidades básicas del sistema de colas son
consideradas en QA: número de servidores y la capacidad de
la cola. Después de especificar los rangos del
número de servidores y la capacidad de la cola, QA realiza
la comparación del costo para una combinación de
capacidades diferentes. Note que los elementos del costo
necesitan ser especificados en la entrada de los datos.

FORMULA DE
APROXIMACIÓN.

Cuando el problema de la formación de colas no
tiene ninguna solución aproximada, QA resuelve el Lq como
un modelo de
G/G/s para la aproximación siguiente

Lq= (Lq de M/M/s) [Var(tiempo de
servicio)m
² + Var(tiempo entre llegadas)l ²]/2

donde Var representa la varianza. El resto de las
medidas de la actuación de la cola siguen la
fórmula de M/M/s.

SIMULACION,
SIMULACION MONTE CARLO, SIMULACION DE EVENTOS
DISCRETOS.

La simulación es la imitación de un
proceso del mundo-real o sistema a lo largo del tiempo . La
simulación involucra la generación de eventos
artificiales o procesos para
el sistema y recolecta las observaciones para dibujar cualquier
inferencia sobre el sistema real. Una simulación del
eventos discretos simula sólo eventos que cambian el estado de
un sistema. QA realiza la simulación de eventos discretos
simulando los dos eventos mayores en el sistema de colas: llegada
del cliente y realización de servicio. El método de
Monte Carlo emplea los modelos
matemáticos o la transformación inversa para
generar variables del
azar para los eventos artificiales y colecciona observaciones. QA
también acostumbra usar la transformación inversa
para generar el tiempo de servicio, el tiempo entre llegadas, y
tamaño del lote que guía el evento del sistema de
formación de colas.

Transformación Inversa:

Asuma que la variable aleatoria X tiene la
distribución de probabilidad de f(X) y su función
acumulada es F(X). Sea r un número al azar del intervalo
uniformemente distribuido [0,1]. La transformación
inversa para obtener una muestra de la variable aleatoria de la
distribución f(X) es como sigue:

a). Obtenga un número del azar r

b). Resuelva X de la ecuación r = F(X), es
decir, encuentre el X tal que ese

r = Prob. (x£X)

Para cualquier número del azar, QA acostumbra
usar un método
congruencial para generar un número del
pseudo-aleatorio, es decir,

r(i+1) = (a r(i) + b) mod c

donde un, b, c son constantes, y i = 0, 1, 2,… Nota que
dada la misma semilla aleatoria r(0), el método genera
la misma secuencia de números al azar.

DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDADES.

QA permite manejar distribuciones de probabilidad para
el tiempo de servicio, los tiempos entre llegadas, y
tamaño del lote. Las distribuciones disponibles en QA y
sus funciones
asociadas y los parámetros se describe mas adelante.
Nosotros usaremos la anotación siguiente para describir
las funciones de la
distribución:

P(a,b) : a b

B(a,b) : Función
Beta

G
(a) : Función Gamma

C(n,m): Combinatoria C
mn

Exp(a) : Función Exponencial, e
a

Log(a) : Logaritmo Natural de a

sqr(a) : Raiz Cuadrada de a

a! : Factorial de a

f(x) : Función de Probabilidad (pdf)

m
: Media

s
² : Varianza

Las distribuciones disponibles en WINQSB son:

Distribución Beta.
Distribución Binomial
Constante.
Distribución Discreta
Distribución Erlang
Distribución Exponencial
Distribución Gama
Distribución Geométrica
Distribución Hipergeometrica
Distribución de Laplace
Distribución logarítmica
Normal
Distribución Normal
Distribución de Pareto
Distribución Poisson
Distribución de Función
Potencial
Distribución Triangular
Distribución Uniforme
Distribución Weibull

COSTOS RELACIONADOS
CON LA COLA

Los costos
relacionados con la cola incluyen:

El costo total de servidor ocupado por unidad de tiempo
= Cs(L-Lq) = Cs r

El costo total de servidor ocioso por unidad de tiempo =
Ci (s-r ) = Ci
(s-L+Lq)

Costo total de cliente que espera por unidad de tiempo =
Cw Wq (S l (n) P(n))

Costo total de cliente que esta siendo atendido por
unidad de tiempo =

Cu (W-Wq) (S
l (n) P(n))

El costo total de ser del cliente sin atender por unidad
de tiempo = Cb B

Costo total de la cola por unidad de tiempo = Cq
Q

Costo Total del sistema por unidad de tiempo = la Suma
de todos los anteriores

Notese que estos son los costos utilizados por el
paquete, diferenciándose de aquellos llevados en la
materia de
investigación operativa 2,
pudiéndose encontrar algunas diferencias en los
resultados.

COMANDOS DEL
ANÁLISIS DE COLAS.

MENUS PRINCIPAL Y VENTANA INICIAL.

Los menús para el QA después que el
programa está cargado se muestra debajo:

Este comando inicia un nuevo problema de colas. La
entrada para el nuevo problema incluye nombre del problema,
unidad de tiempo, número de servidores, la
proporción de servicio (m ) con una distribución de tiempo de
servicio, coeficiente de presión de servicio,
proporción de la llegada (l ) con una distribución de tiempo entre
llegadas, el tamaño del lote (volumen) con una
distribución de tamaño de lote, coeficiente de
retardación de llegadas, capacidad de la cola (el espacio
máximo de espera), población del cliente, costo del
servidor ocupado por unidad de tiempo, costo del servidor ocioso
por unidad de tiempo, costo de espera del cliente por unidad de
tiempo, costo de cliente servido por unidad de tiempo, el costo
por cliente no atendido, y/o costo unitario de capacidad de cola.
Si usted especifica el sistema de M/M simple, la entrada
será más simple. Todos los datos se entran en la
columna de "Entrada" exceptuando los parámetros de la
distribución que se entran en las columnas de
"Parámetro". Si usted especifica la distribución
discreta durante el tiempo de servicio, tiempo entre llegadas, o
tamaño del lote, introduzca el número de datos
discretos en Parameter 1 (Parámetro 1) y entre los
datos discretos en Parameter 2 (Parámetro 2) usando
el formato "value 1/probability 1, value 2/probability
2,…" (Valor 1/probabilidad 1, Valor 2/probabilidad
2).

Si hay un problema sin guardar en edición, cuando
usted seleccione el comando New Problem (Nuevo Problema),
QA preguntará si usted quiere guardar el problema. QA
entonces aclara el área de edición para el nuevo
problema.

Este comando inicia una ventana de dialogo para
abrir un archivo guardado
previamente. El diálogo le
permite tanto seleccionar un archivo de datos
en directorio en particular, o entrar una especificación
de un archivo completo de datos incluyendo la ruta. QA
mostrará automáticamente el problema
cargado.

Este comando permite salir del programa

VENTANA DE
ESPECIFICACIÓN DEL PROBLEMA

Para especificar un problema de colas, aquí se
muestra el procedimiento:

Paso 1. Entre en el título del problema que
será parte del título para las ventanas
posteriores.
Paso 2. Entre la unidad de tiempo para la descripción del sistema de colas. El
valor por defecto es hora.
Paso 3. Elija o de clic en el formato de entrada
siguiente

Simple M/M System (Sistema M/M simple): Asume que
tanto el servicio y la llegada del cliente tienen
distribución Poisson.

General Queuing System (Sistema General de colas):
Usted puede especificar una distribución particular para
el servicio, llegada del cliente, y tamaño del
lote.

Paso 4. Si la especificación está
completa, apriete el botón de OK para la entrada de los
datos. Por otra parte, apriete el botón de Cancel. El
botón de Help está para poder
proporcionar ayuda.

BARRA DE
TAREAS

La barra de tareas es similar a la que existe en los
otros módulos del WINQSB, diferenciándose solamente
en algunos botones, por lo cual solo se explicará a
aquellos que diferencian a este de los otros
módulos:

Este comando resuelve la actuación de la cola. Si
no existe ninguna fórmula aproximada para el problema, el
programa preguntará si para resolverlo desea hacerlo por
aproximación o por la simulación de Monte
Carlo.

Después de que la actuación se
evalúa, QA automáticamente desplegará un
resumen de la actuación.

Este orden realiza la simulación de
evento-discreto de Monte Carlo para evaluar la actuación
de la cola. Después de escoger el comando, el programa
desplegará una forma para especificar cómo se
asigna la semilla del azar, disciplina de
la cola , tiempo de la simulación, inicio de recolección
de datos en el tiempo, capacidad de la cola, y el
máximo numero de recolecciones de los datos
(observaciones). La semilla del azar puede ser un valor
predefinido, el reloj del sistema, o un valor entrado. Note que
la misma semilla del azar creará la misma secuencia de
números al azar (número aleatorios).

Usted puede especificar FIFO (primero en entrar-primero
en salir PEPS), LIFO (último en entrar-primero en salir
UEPS), o aleatorizar la disciplina de
la cola. El FIFO es el que se asume para la fórmula de
aproximación.

Es importante especificar una capacidad de la cola
limitada desde que los clientes en espera se guardan en la memoria de
la
computadora. Una capacidad de la cola grande o muy grande
puede usar toda la memoria de la
computadora.
El valor por defecto es 1000 que es normalmente suficiente para
la mayoría de los casos.

Especificando un tiempo de simulación razonable
le permitirá recolectar bastantes observaciones para la
evaluación de la actuación. Usted
puede especificar un tiempo distinto de cero para la
recolección para arreglar los estados del sistema
iniciales. Usted también puede especificar el
número del máximo de recolección
de datos (el valor por defecto es infinito (M)) como la regla
de detención de la simulación. La simulación
se detendrá en el tiempo de simulación o cuando se
alcanza el máximo numero de colecciones de los
datos.

Esta orden realiza el análisis de sensibilidad
del problema de colas para un rango especificado de número
de servidores, proporción de servicio (m ), coeficiente de presión
de servicio, proporción de la llegada (l ), coeficiente de
retardación de llegada, el tamaño de lote (volumen)
, la capacidad de la cola, población del cliente, costo de
servidor ocupado por unidad de tiempo, costo de servidor ocioso
por unidad de tiempo, costo de cliente en espera por unidad de
tiempo, costo de cliente servido por unidad de tiempo, costo por
cliente sin atender por unidad de tiempo, costo unitario de la
capacidad de la cola.

QA resuelve la actuación de acuerdo al inicio,
final, y valores de
cada paso del parámetro seleccionado.

Usted puede especificar la aproximación o
simulación para el problema con el valor del
parámetro que no tiene ninguna fórmula aproximada
disponible. Este comando realiza el análisis de
sensibilidad del problema de colas para un rango especificado de
número de servidores, proporción de servicio
(m ),
coeficiente de presión de servicio, proporción de
la llegada (l ),
etc. QA resuelve los costos según los valores
iniciales, finales, de cada paso del número de servidores
y capacidad de la cola.

Esta orden realiza el análisis de capacidad del
problema de colas con un número diferente de servidores y
capacidad de la cola. QA resuelve los costos según
los valores
iniciales, finales, de cada paso del número de servidores
y capacidad de la cola.

Usted puede especificar la aproximación o
simulación para el problema con el valor del
parámetro que no tiene ninguna fórmula aproximada
disponible.

Este comando dispone de las siguientes
opciones:

Performance Summary.

Esta orden muestra la actuación del problema de
colas. Incluye todas las medidas populares de la formación
de colas. Si la actuación es medida por simulación,
el número de observaciones recolectadas, el número
del máximo de clientes en la cola, y el tiempo total de
simulación del CPU en
segundos será mostrado.

Probability Summary

Este comando muestra la probabilidad del sistema de
colas. Muestra P(n), la probabilidad de que existan n clientes en
el sistema, donde n puede ser desde 0 a 200, y la probabilidad
acumulativa.

Show Sensitivity Analysis –
Table

Este comando clasifica los resultados del
análisis de sensibilidad del problema de colas para un
rango especificado de número de servidores,
proporción de servicio (m ), coeficiente de presión de servicio,
proporción de la llegada (l ), coeficiente de retardación de
llegada, el tamaño de lote (volumen) , la capacidad de la
cola, población del cliente, costo de servidor ocupado por
unidad de tiempo, costo de servidor ocioso por unidad de tiempo,
costo de cliente en espera por unidad de tiempo, costo de cliente
servido por unidad de tiempo, costo por cliente sin atender por
unidad de tiempo, costo unitario de la capacidad de la
cola.

Show Sensitivity Analysis – Graph

Este comando muestra los resultados gráficos del análisis de
sensibilidad del problema de colas para un rango especificado de
número de servidores, proporción de servicio
(m ),
coeficiente de presión de servicio, proporción de
la llegada (l ),
coeficiente de retardación de llegada, el tamaño de
lote (volumen) , la capacidad de la cola, población del
cliente, costo de servidor ocupado por unidad de tiempo, costo de
servidor ocioso por unidad de tiempo, costo de cliente en espera
por unidad de tiempo, costo de cliente servido por unidad de
tiempo, costo por cliente sin atender por unidad de tiempo, costo
unitario de la capacidad de la cola.

Después de que la orden es escogida, seleccione
una medida particular de la actuación para el despliegue
gráfico.

Show Capacity Analisis

Este comando muestra los resultados del análisis
de capacidad del problema colas con un número diferente de
servidores y capacidad de la cola. Todos los elementos del costo
relacionados están incluidos.

PROCEDIMIENTOS
DEL ANÁLISIS DE COLAS

COMO ENTRAR UN PROBLEMA

Para entrar en un problema de colas, este es el procedimiento
general:

Prepare los parámetros de la cola para el
problema. (Nota: usted no tiene que tener un modelo formal para
la entrada de los datos. Usted puede modificarlo junto con el
proceso.)
Seleccione el comando New Problem (Nuevo Problema)
para entrar el problema. El programa planteará la
ventana de especificación. Seleccione tanto el sistema
de M/M simple o el sistema de colas general para la entrada de
los datos. El sistema de M/M simple tendrá un formato de
entrada mucho más simple.
Entre los parámetros de la cola en la columna
de "Entry" (Entrada). Note que para el sistema de colas
general, los parámetros de la distribución se
entran en las columnas de "Parameters 1-3" (Parámetros
1-3).
(Opcional) Use las órdenes de Format (Formato)
para cambiar el formato numérico, conjunto de
caracteres, color,
alineación, alturas de la fila, y anchuras de la
columna.
(Opcional, pero importante) Después que el
problema se entra, escoja el comando Save Problem As (Guardar
el Problema Como) para guardar el problema.

COMO ENTRAR UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD

Para entrar una distribución de probabilidad,
este es el procedimiento general:

1. Pulse Doble clic en la celda para entrar la
distribución en la hoja de
cálculo de entrada de datos. Esto planteará una
lista de funciones de probabilidad para escoger.

2. Escoja o de clic en la función de probabilidad
de la lista. Deben mostrarse los parámetros apropiados
para la función al lado de la lista. Usted puede apretar
Help para ver las Funciones de Distribución de
Probabilidad.

3. Presione el botón de OK para volver a la forma
de entrada de datos. Los parámetros que siguen el nombre
de la distribución deberán cambiar su descripción de acuerdo con la
función escogida.

COMO ENTRAR UNA DISTRIBUCIÓN
DISCRETA

Si usted ha especificado una distribución
discreta (el número de valores discretos se entra en la
fila "Number of discrete values") durante el tiempo de servicio,
los tiempos entre llegadas, o el tamaño del lote, este es
el procedimiento para entrar los valores discretos y las
probabilidades asociadas:

Entre el número de datos discretos en la fila
"Number of discrete values" (Parámetro
1).
Entre los datos discretos en la fila "Discrete
values" (Parámetro 2) usando el formato "valor
1/probabilidad 1, valor 2/probabilidad 2,…", separe cada par
de valores y la probabilidad asociada por una coma
","
Cuando se termine, apriete las teclas de flecha para
mover el cursor al otro formulario de entrada de
datos.

COMO RESOLVER UN PROBLEMA

Para resolver un problema de colas, aquí se
muestra el procedimiento general:

Prepara los parámetros de la cola para el
problema. (Nota: usted no tiene que tener un modelo formal para
la entrada de los datos. Usted puede modificarlo junto con el
proceso.)
Seleccione la orden New Problem (Nuevo Problema) para
entrar el problema.
Para una práctica general buena, usted puede
querer guardar el problema escogiendo el comando Save Problem
As (Guardar el Problema Como) antes de resolverlo.
Seleccione el orden Solve the Performance (Resuelva
la Actuación) o Simulate the System (Simule el Sistema)
para resolver el problema.
Después que el problema se resuelve, escoja
los órdenes del Results Menu (Menú de los
Resultados) para mostrar los resultados apropiados.

COMO LLEVAR ADELANTE UNA
SIMULACIÓN

Para cualquier problema de colas que usted defina en QA,
usted puede usar la simulación Monte Carlo para evaluar la
actuación del sistema. Para simular el sistema de colas,
aquí se muestra el procedimiento general:

Asuma que el problema se ha entrado y las
distribuciones están definidas.
Seleccione la orden Simulate the System (Simule el
Sistema). El programa planteará una forma para
permitirle especificar el proceso de la simulación,
incluyendo:

(a). Random seed (semilla del Azar): Usted puede
escoger el valor por defecto o reloj del sistema, o entrar un
valor particular para la semilla del azar. Cada vez usted
ejecute la simulación, si la misma semilla del azar se
usa, generará la misma sucesión números
aleatorios. Por consiguiente, escogiendo el reloj del sistema
como la semilla del azar garantiza una sucesión del
azar diferente.
(b). Queuing discipline (Disciplina de la cola):
Usted puede escoger FIFO (PEPS), LIFO (UEPS), o al azar para
la disciplina de la cola. Disciplina de la cola es la regla
para poder escoger al cliente en espera a ser servido cuando
un servidor se pone disponible. Si el sistema tiene una
solución de la forma aproximada, el resultado debe
estar muy cerca del de la simulación usando la
disciplina FIFO.
(c). Simulation time (Tiempo de la
Simulación): Que indica cuanto tiempo
funcionará el sistema de colas.
(d). Start collection time (Iniciar tiempo de
colección): Indica cuando el programa empieza a
recolectar datos sobre la actuación de la cola. Un
tiempo de inicio distinto de cero para la recolección
puede filtrar la inicialización del estado del
sistema.
(e). Queue capacity (Capacidad de la Cola): esto
permite al sistema el mantener a los clientes de espera. El
valor por defecto es 1000 que es normalmente suficiente para
la mayoría de las situaciones. No se recomienda el
entrar una capacidad de cola grande ya que puede usar toda
la memoria
de la
computadora.
(f). Maximum number of data collections
(Número Máximo de recolecciones de datos): Esto
es otra regla de detención para que el programa
detenga el proceso de la simulación. Acompañado
con el tiempo de la simulación, el programa detiene la
simulación cuando cualquiera de los dos se
alcanza.

Presione el comando OK para iniciar la
simulación si las especificaciones anterior se han
hecho. Cuando se haya terminado la simulación, el
resultado se mostrará.

COMO LLEVAR ADELANTE UN ANÁLISIS DE
SENSIBILIDAD.

Para un problema de colas que usted define en QA, usted
puede realizar el análisis de sensibilidad para ver
cómo la actuación del sistema cambia para valores
de parámetro diferentes. Para realizar el análisis
de sensibilidad, aquí el procedimiento general:

Asuma que el problema se ha entrado y los
parámetros están definidos.
Seleccione el comando Perform Sensitivity
Analysis (Realice Análisis de Sensibilidad). El
programa planteará una forma para permitirle especificar
el análisis de sensibilidad, incluyendo:

(a). Seleccione un parámetro: escoja a
cualquiera de la lista.
(b). Rango del parámetro: Entre los valores
del inicio, final, y los valores para cada paso del
parámetro seleccionado para la evaluación. El
número de las situaciones de la cola resuelta
será determinado por los valores de inicio, final, y
valores de cada paso.
(c). Método de Solución: El
método predefinido para el problema de colas es la
fórmula aproximada. Sin embargo, cuando usted cambia
un parámetro a un valor diferente puede hacer el
problema irresoluble por la fórmula. Cuando ése
es el caso, el programa usará el método
especificado, aproximación o simulación para
evaluar el problema automáticamente.
(d). (Opcional) Especificación de la
Simulación: si la simulación es escogida en el
paso (c), después de presionar la orden OK, usted
necesita entrar la especificación de la
simulación.

Presione OK para empezar el análisis si las
especificaciones anteriores se realizaron. Cuando se haya
acabado del análisis, se mostrará el
resultado.
Usted puede usar el Results Menu (Menú
de los Resultados) para mostrar el resultado gráfico del
análisis de sensibilidad.

COMO LLEVAR ADELANTE UN ANÁLISIS DE
CAPACIDAD.

Para un problema de colas que usted define en QA, usted
puede realizar el análisis de capacidad para comparar los
costos de configuraciones diferentes del número de
servidores y capacidades de la cola. Para realizar
análisis de capacidad, aquí el procedimiento
general:

Asuma que el problema se ha entrado y los
parámetros se han definido.
Seleccione la orden Perform Capacity Analysis
(Realice Análisis de Capacidad). El programa
planteará una forma para permitirle especificar el
análisis de capacidad, incluyendo:

(a). Rango del número de servidores: entre
los valores de inicio, final, y los valores de cada paso del
número de servidores para la
evaluación.
(b). Rango de la capacidad de la cola: entre los
valores de inicio, final, y los valores de cada paso de la
capacidad de la cola (espacio de espera) para la
evaluación. El número de las situaciones de la
cola resueltas será determinado por los valores de
inicio, final, y los valores de cada paso del número
de servidores y la capacidad de la cola. La capacidad
predefinida de la cola es infinita (M).
(c). Método de Solución: el
método predefinido para el problema de colas es la
fórmula de aproximación. Sin embargo, cuando
usted cambia el número de servidores y la capacidad de
la cola puede hacer el problema irresoluble por la
fórmula. Cuando ése es el caso, el programa
usará el método especificado, como
también aproximación o simulación, para
evaluar el problema, automáticamente.
(d). (Opcional) Especificación de la
Simulación: si la simulación es escogida en
paso (c), después de presionar OK, usted necesita
entrar la especificación de la
simulación.

Presione OK para empezar el análisis si las
especificaciones anteriores se han hecho. Cuando se haya
acabado del análisis, se mostrará el
resultado.

COMO IMPORTAR DATOS DE OTRAS APLICACIONES DE HOJAS DE
CALCULO.

Si usted decide entrar un problema de colas de una
aplicación de hoja de cálculo
como Microsoft
Excel, use los pasos siguientes:

Para el Sistema M/M de Entrada Simple:
Fila 1: "QA", Nombre del Problema, Unidad de tiempo,
0.
Fila 2: "Problem Specification", "Entry".
Fila 3: "Number of servers", número de
servidores.
Fila 4: "Service rate per server", proporción
de servicio.
Fila 5: "Customer arrival rate", proporción
de llegadas.
Fila 6: "Queue capacity (maximum waiting space)",
capacidad de la cola.
Fila 7: "Customer population", población del
cliente.
Fila 8: "Busy server cost per unit time", Costo de
servidor ocupado por unidad de tiempo.
Fila 9: "Idle server cost per unit time", Costo de
servidor ocioso por unidad de tiempo.
Fila 10: "Customer waiting cost per unit time",
Costo de cliente en espera por unidad de tiempo.
Fila 11: "Customer being served cost per unit time",
Costo de cliente que se sirve por unidad de
tiempo.
Fila 12: "Cost of customer being balked", el costo
de cliente no atendido.
Fila 13: "Unit queue capacity cost", Costo Unitario
de la capacidad de la cola.
Para la Entrada de Sistema de Formación de
colas de espera General:
Fila 1: "QA", Nombre del Problema, Unidad de tiempo,
1.
Fila 2: "Problem Specification", "Entry".
Fila 3: "Number of servers", número de
servidores.
Fila 4: "Service time distribution", nombre de la
distribución.
Fila 5: "Parameter 1", parámetro
1.
Fila 6: "Parameter 2", parámetro 2. (Si no
existe ningún parámetro 2, entre 0.)
Fila 7: "Parameter 3", parámetro 3. (Si no
existe ningún parámetro 3, entre en
0.)
Fila 8: "Service pressure coefficient", coeficiente
de presión.
Fila 9: "Interarrival time distribution", nombre de
la distribución entre llegadas.
Fila 10: "Parameter 1", parámetro
1.
Fila 11: "Parameter 2", parámetro 2. (Si no
existe ningún parámetro 2, entre 0.)
Fila 12: "Parameter 3", parámetro 3. (Si no
existe ningún parámetro 3, entre en
0.)
Fila 13: "Arrival discourage coefficient",
coeficiente de retardación de llegada.
Fila 14: "Batch size distribution", nombre de la
distribución.
Fila 15: "Parameter 1", parámetro
1.
Fila 16: "Parameter 2", parámetro 2. (Si no
existe ningún parámetro 2, entre 0.)
Fila 17: "Parameter 3", parámetro 3. (Si no
existe ningún parámetro 3, entre en
0.)
Fila 18: "Queue capacity (maximum waiting space)",
capacidad de la cola.
Fila 19: "Customer population", población del
cliente.
Fila 20: "Busy server cost per unit time", Costo de
servidor ocupado por unidad de tiempo.
Fila 21: "Idle server cost per unit time", Costo de
servidor ocioso por unidad de tiempo.
Fila 22: "Customer waiting cost per unit time",
Costo de cliente en espera por unidad de tiempo.
Fila 23: "Customer being served cost per unit time",
Costo de cliente atendido por unidad de tiempo.
Fila 24: "Cost of customer being balked", Costo de
cliente sin atender por unidad de tiempo.
Fila 25: "Unit queue capacity cost", Costo Unitario
de la capacidad de la cola.
Note que si la distribución discreta es
especificada para el tiempo de servicio, los tiempos entre
llegadas, o el tamaño de lote uso el formato descrito
Cómo Entrar una Distribución
Discreta.
Entre el problema con la siguiente secuencia.
Aquí se muestran las entradas para cada celda en la
hoja de
cálculo: (Note que las celdas están separadas
por "," y los textos requeridos están en "")
Guarde la hoja de cálculo
en un archivo con el formato del texto.
Los datos guardados se archivan entonces y pueden ser
recuperados por QA.

EJEMPLOS

EJEMPLOS DE COLAS

Un almacén
tiene 2 cajeras que atienden a razón de 1.5 minutos por
cliente siguiendo una distribución exponencial. Los
clientes llegan a este almacén
siguiendo una distribución Poisson a razón de 30
por hora. Con esta información calcular: A)La probabilidad
de que el sistema esté lleno, B) La intensidad de
trafico.

Datos:

Numero de servidores = 2

l =30
[cl/hr]

m =1/1.5 [cl/min]=
40 [cl/hr]

El problema será del tipo
M/M/2/FIFO/¥
/¥

Procedimiento

Se iniciará un nuevo problema en el modulo
Análisis de Colas (QA).
Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un
modelo del que se conocen todos los datos. Este se
llamará Cajeras, eligiendo como unidad de tiempo a
horas:
Los valores de M, representan que es un valor
infinito, como ya se menciono antes.
En la hoja de cálculo se introducirá
los datos conocidos como se muestra:
Al presionar el icono se verá la ventana de los
resultados:

De la ventana de resultados podemos
concluir:

Customer arrival rate per hour = l = 30 [cl/hr]

Service rate per server per hour = m = 40 [cl/hr]

Overall system effective arrival rate per hour = Tasa
de llegadas eficaces al sistema global por hora = 30

Overall system effective service rate per hour = Tasa
de servicio eficaz del sistema global por hora = 30

Overall system utilization = Tasa de ocupación
del sistema = r
= 37.5 %

Average number of customers in the system =
Número promedio de clientes en el sistema = L =
0.8727

Average number of customers in the queue =
Número promedio de clientes en la cola = Lq =
0.1227

Average number of customers in the queue for a busy
system = Número promedio de clientes en la cola para un
sistema ocupado = Lb = 0.6

Average time customer spends in the system = Tiempo
promedio que un cliente pasa en el sistema = W = 0.0291
[horas]

Average time customer spends in the queue = Tiempo
promedio que un cliente pasa en la cola = Wq = 0.0041
[horas]

Average time customer spends in the queue for a busy
system = Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un
sistema ocupado = Wb = 0.02 [horas]

The probablity that all servers are idle =
Probabilidad de que todos los servidores esten ociosos =
P0 = 45.45 %

The probablity an arriving costumer waits =
Probabilidad de que un cliente espere al llegar al sistema = Pw
= Pb = 20.45 %

Average number of customers being balked per hour =
Numero promedio de clientes que no serán atendidos por
el sistema por hora = 0

Por lo que las respuestas buscadas son

Tasa de ocupación del sistema =
r = 37.5
%
Probabilidad de que un cliente espere al llegar al
sistema = Pw = Pb = 20.45 %

Adicionalmente podemos realizar los siguientes
análisis:

Observar las probabilidades estimadas de que existan
de 0 hasta 200 clientes en la cola:

En este caso no es necesario llegar a 200 clientes, ya
que se puede observar claramente, que las probabilidades de que
existan 9 clientes, ya son casi cero (0.0001), siendo
así de que la probabilidad de que existan 10 clientes
sea cero.

También podemos realizar una simulación
del sistema:

Si presionamos veremos la siguiente ventana:

En el que usaremos:

La semilla de aleatoriedad por defecto
Una disciplina de cola de tipo FIFO
(PEPS)
Un tiempo de simulación de cola de 24 horas
(1 día).
El momento que iniciará la
recolección de datos será a las cero
horas.
La capacidad de la cola es infinita
(M).
El máximo de número de recolecciones
de datos será infinito (M).

Si presionamos OK, se llevará adelante la
simulación y veremos los siguientes resultados de la
actuación de la cola durante 24 horas:

System M/M/2 =Sistema M/M/2

Customer arrival rate per hour = l = 30 [cl/hr]

Service rate per server per hour = m = 40 [cl/hr]

Overall system effective arrival rate per hour = Tasa
de llegadas eficaces al sistema global por hora =
27.3295

Overall system effective service rate per hour = Tasa
de servicio eficaz del sistema global por hora =
27.3295

Overall system utilization = Tasa de ocupación
del sistema = r
= 34.2151 %

Average number of customers in the system =
Número promedio de clientes en el sistema = L =
0.7565

Average number of customers in the queue =
Número promedio de clientes en la cola = Lq =
0.0722

Average number of customers in the queue for a busy
system = Número promedio de clientes en la cola para un
sistema ocupado = Lb = 0.4174

Average time customer spends in the system = Tiempo
promedio que un cliente pasa en el sistema = W = 0.0277
[horas]

Average time customer spends in the queue = Tiempo
promedio que un cliente pasa en la cola = Wq = 0.0026
[horas]

Average time customer spends in the queue for a busy
system = Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un
sistema ocupado = Wb = 0.0153 [horas]

The probablity that all servers are idle =
Probabilidad de que todos los servidores esten ociosos =
P0 = 48.8648%

The probablity an arriving costumer waits =
Probabilidad de que un cliente espere al llegar al sistema = Pw
= Pb = 17.2951 %

Average number of customers being balked per hour =
Numero promedio de clientes que no serán atendidos por
el sistema por hora = 0

Simulation time in hours = Tiempo de simulación
en horas = 24

Starting data collection in hour = Iniciar
recolección de datos en el tiempo = 0

Number of observations collected = Número de
observaciones recolectadas = 656

Maxium number of costumers in queue = Número
máximo de clientes en la cola = 4

Total simulation CPU time in
second = Tiempo total de simulación en el CPU =
0.1050

Las probabilidades estimadas para n
clientes:

Se puede observar que se puede esperar para un tiempo de
simulación de 24 horas, un máximo de 6 clientes con
una probabilidad de casi cero (0.0002).

Otro de los análisis del que podemos disponer
es el de Análisis de sensibilidad.

Si presionamos podremos observar la siguiente ventana:

Si realizamos un análisis de sensibilidad,
seleccionando como parámetro de análisis a la
tasa de llegadas l
, haciendo que esta cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un
paso de 10 [cl/hr], utilizando el modelo de aproximación
G/G/s, podremos ver de que manera reacciona el
sistema:

Podemos observar claramente de que la
utilización del sistema va en incremento en una
proporción de 10 [cl/hr], y cuando ésta llega a
los 70 [cl/hr], se da una utilización del 87.5%
(Máxima utilización posible), pero si seguimos
incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistema se
vuelve inestable, es decir el número de servidores es
insuficiente.

También podemos ver el gráfico del
análisis de sensibilidad de un parámetro
determinado en función del parámetro
analizado:

Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis –
Graph

Se abrirá la siguiente ventana:

En la que seleccionaremos como variable independiente
para el gráfico a L (Número promedio de clientes
en el sistema), en función de nuestro parámetro
analizado (l
):

En el que se puede ver un crecimiento
exponencial.

Así sucesivamente se pueden ir analizando cada
uno de los parámetros, dependiendo que necesidades se
tiene.

Otro análisis disponible es el de
Análisis de Capacidad:

Costo de servidor ocupado por hora = 5 $
Costo de servidor ocioso por hora = 1 $
Costo por cliente en espera = 0.5 $
Costo por cliente servido por hora = 3 $
Costo por cliente no atendido = 1 $
Costo unitario por capacidad de cola = 3
$
Como éste análisis se realiza a partir
de costos, se asumirán los siguientes costos
Si presionamos podremos observar la siguiente ventana:

En el que variaremos el número de servidores de
2 a 8, con un paso de 1, y en el que la capacidad de la cola es
Infinita, seleccionando la formula G/G/s de
aproximación.

c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados
será la siguiente:

Una cadena de supermercados es abastecida por un
almacén central. La mercadería que llega a este
almacén es descargada en turnos nocturnos. Los camiones
que descargan llegan en forma aleatoria siguiendo una Poisson a
razón de dos camiones por hora. En promedio 3
trabajadores descargan 3 camiones por hora siguiendo una
distribución exponencial. Si el número de
trabajadores del equipo es incrementado, la razón de
servicio se incrementa en la misma proporción. Cada
trabajador recibe 5$ por hora durante el turno nocturno de 8
horas. El costo de tener el chofer esperando ser servido, se
estima en 20 $ por hora. Se desea determinar el tamaño
del equipo que minimiza el costo total.

Datos:

Numero de servidores = 2

l =2
[cl/hr]

m 1= 3
[cl/hr], m
2= 4 [cl/hr], m 3= 5
[cl/hr]…………

El problema será del tipo
M/M/1/FIFO/¥
/¥

CS = 5 [$/hr]

CE = 20 [$/hr]

Procedimiento

Se iniciará un nuevo problema en el modulo
Análisis de Colas (QA).
Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un
modelo del que se conocen todos los datos. Este se
llamará Supermercados, eligiendo como unidad de tiempo
a horas:
En la hoja de cálculo se introducirá
los datos conocidos como se muestra:

Si presionamos podremos observar la siguiente ventana:

Si realizamos un análisis de sensibilidad,
seleccionando como parámetro de análisis al
número de servidores, haciendo que esta cambie de 1 a 10
con un paso de 1, utilizando el modelo de aproximación
G/G/s en caso de no existir una formula para este modelo,
podremos ver de que manera reacciona el sistema:

Podemos observar claramente de que a medida que se
incrementa el número de servidores (1-15), los costos
totales van disminuyendo, pudiéndose notar que el que al
llegar a 4 servidores, se tiene el costo mínimo
(23.4783), siendo que desde 5 servidores, nuevamente el costo
total va en aumento. Podemos ver el gráfico del
análisis de sensibilidad de el costo total, en
función del número de servidores:

Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis –
Graph

Se abrirá la siguiente ventana:

Pudiéndose ver el siguiente
gráfico

Por lo que la respuesta del número de
servidores a seleccionar es 4

1. ¿Qué tanto debe esperar en promedio
  un trabajo para recibir atención?
2. ¿Será necesario la compra de otra
  computadora?
3. Si la distribución del tiempo de servicio
  fuera Erlang con una media de 1.5 y con un parámetro
  k = 5, ¿Cuánto debería esperar un
  trabajo para ser atendido? ¿Cuál sería
  la probabilidad de ser atendido?
Cierta computadora
tarda exactamente 1.5 horas en atender un servicio requerido.
Si los trabajos llegan según una Poisson a razón
de un trabajo cada 120 minutos, se desea saber:

Datos:

Numero de servidores = 1

l =1/120 [tr/min]
= 0.5 [tr/hr]

m = 1/1.5 [tr/hr]
= 0.667 [tr/hr]

El problema será del tipo
M/M/1/FIFO/¥
/¥

Procedimiento

Se iniciará un nuevo problema en el modulo
Análisis de Colas (QA).
Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un
modelo del que se conocen todos los datos. Este se
llamará Computadora, eligiendo como unidad de tiempo a
horas:
En la hoja de cálculo se introducirá
los datos conocidos como se muestra:

Al presionar el icono se verá la ventana de los
resultados:

De la ventana de resultados podemos
concluir:

Customer arrival rate per hour = l = 0.5 [tr/hr]

Service rate per server per hour = m = 0.667 [tr/hr]

Overall system effective arrival rate per hour = Tasa
de llegadas eficaces al sistema global por hora =
0.5

Overall system effective service rate per hour = Tasa
de servicio eficaz del sistema global por hora = 0.5

Overall system utilization = Tasa de ocupación
del sistema = r
= 74.9625 %

Average number of customers in the system =
Número promedio de clientes en el sistema = L =
2.9940

Average number of customers in the queue =
Número promedio de clientes en la cola = Lq =
2.2444

Average number of customers in the queue for a busy
system = Número promedio de clientes en la cola para un
sistema ocupado = Lb = 2.9940

Average time customer spends in the system = Tiempo
promedio que un cliente pasa en el sistema = W = 5.9880
[horas]

Average time customer spends in the queue = Tiempo
promedio que un cliente pasa en la cola = Wq = 4.4888
[horas]

Average time customer spends in the queue for a busy
system = Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un
sistema ocupado = Wb = 5.9880 [horas]

The probablity that all servers are idle =
Probabilidad de que todos los servidores esten ociosos =
P0 = 25.0375 %

The probablity an arriving costumer waits =
Probabilidad de que un cliente espere al llegar al sistema = Pw
= Pb = 74.9625 %

Average number of customers being balked per hour =
Numero promedio de clientes que no serán atendidos por
el sistema por hora = 0

Por lo que las respuestas buscadas son

Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola = Wq
= 4.4888 [horas]
No, porque la Tasa de ocupación del sistema
= r =
74.9625 %

La resolución del inciso c es la que
sigue:

Se iniciará un nuevo problema en el modulo
Análisis de Colas (QA).
Se elegirá Sistema General de colas, por que
es un modelo del que se conocen todos los datos de la
distribución Erlang. Este se llamará Computadoras
1, eligiendo como unidad de tiempo a horas:
Como el problema es del tipo:
M/EK/1/FIFO/¥ /¥ . En la hoja de cálculo se
introducirá los datos conocidos como se
muestra:

Al presionar el icono se verá la ventana de los
resultados:

INSERTAR EJEMPLO DEL ING. MANCHEGO

4. Las secretarias de cinco oficinas sacan
copias en una copiadora en forma periódica. La
razón de llegadas a la copiadora es Poisson con una
media de 4 por hora; el tiempo de servicio es exponencial con
una tasa promedio de 6 por hora.

¿Cuál es la probabilidad de que la
copiadora esté ociosa?
¿Cuál es el número promedio de
secretarias usando la copiadora?
¿Cuál es el número promedio de
secretarias en la copiadora?

Datos:

Numero de servidores = 1

l = 4
[secr/hr]

m = 6
[secr/hr]

El problema será del tipo
M/M/1/FIFO/5/5

Procedimiento

Se iniciará un nuevo problema en el modulo
Análisis de Colas (QA).
Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un
modelo del que se conocen todos los datos. Este se
llamará secretaria, eligiendo como unidad de tiempo a
horas:

3) En la hoja de cálculo se introducirá
los datos conocidos como se muestra:

Al presionar el icono se verá la ventana de los
resultados:

Por lo que lo que los resultados buscados
son:

Probabilidad de que la copiadora este ociosa =
P0 = 1.4183 %
Número promedio de secretarias usando la
copiadora = L = 3.5213
Número promedio de secretarias en la
copiadora = Lq = 2.5355

Los autos que
llegan a una caseta de pago en una carretera siguen una Poisson
con una media de 90 autos por
hora. El tiempo promedio para pasar es de 38 segundos. Los
chóferes se quejan de un largo tiempo de paso y por ello
el tránsito está dispuesto a disminuir a 30
segundos el tiempo de paso, introduciendo nuevos mecanismos.
Este cambio se
justifica si antes el número de autos que esperan sea
mayor a cinco. Por otro lado, el % de tiempo ocioso en la
caseta con el nuevo sistema no deberá ser mayor al 10 %
¿Se justifica el cambio?

Datos:

Numero de servidores = 1

l = 90
[autos/hr]

m = 3600/30
[autos/hr] = 120 [autos/hr]

N = 6

P0 £ 10 %

El problema será del tipo
M/M/1/FIFO/N/¥

Procedimiento

Los pasos 1 y 2 son los mismos, que en los anteriores
problemas.

En la hoja de cálculo se introducirá
los datos conocidos como se muestra:

Al presionar el icono se verá la ventana de los
resultados:

Como las condiciones eran: Lq = 5 y
P0 £ 10 %

Pero del modelo nos muestra de que Lq = 1.3878 y
P0 = 27.7813 %

Entonces se rechaza la implementación de un
nuevo sistema

Datos:
Numero de servidores = 2
l = 1/5
[autos/min] = 12 [autos/hr]
m = 15
[autos/hr]
El problema será del tipo
M/M/1/FIFO/¥
/¥
Procedimiento
Los pasos 1 y 2 son los mismos, que en los
anteriores problemas.
3) En la hoja de cálculo se
introducirá los datos conocidos como se
muestra:
Al presionar el icono se verá la ventana de los
resultados:
Las respuestas buscadas son:
Tasa de ocupación del sistema =
r = 40%
Probabilidad de que el sistema este lleno = Pw = Pb
= 22.8571%
Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema =
W = 0.0794[horas]
Se tiene un puesto de gasolina con dos bombas,
localizado en un punto privilegiado de la ciudad con un
servicio excelente. Cada 5 minutos (siguiendo una
exponencial) llega un cliente. Suponiendo que el puesto
está abierto desde las 6 horas hasta las 21 horas y
que la tasa de servicio es de 15 clientes por hora (siguiendo
una Poisson) a)¿Cuál es la tasa de
ocupación del sistema?, b) ¿Cuál es la
probabilidad de que el sistema este lleno?, c) Cuál es
el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema?
1. ¿Cuánto puede esperar perder
  diariamente el dueño de la gasolinera, debido a la
  impaciencia de los automovilistas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un
  cliente se vaya?
3. Sí esta probabilidad fuera del 15 % o
  menos, ¿Cuál sería el número
  óptimo de bombas de gasolina?
Una estación de servicio maneja cuatro
bombas de
gasolina. El tiempo necesario para servir a un cliente tiene
una distribución exponencial con un índice medio
de 5 minutos. Los automóviles llegan a la gasolinera con
una distribución de Poisson a un índice medio de
30 por hora. Si llega un automóvil y no hay bombas
disponibles, la venta se
pierde. La venta
promedio de gasolina es de 4 $ por
automóvil.