Elevación de polinomios a una potencia cualquiera

Enviado por jmiub

(Método de
Villarreal)

Breve reseña
histórica
Método de
Villarreal

Hace mucho tiempo leyendo
un texto de
historia del
Perú de Gustavo Pons Muzzo en el capitulo X IV
:"Las Ciencias en
la Epoca Republicana"
encontré un personaje llamado Federico Villarreal V.
(1850-1923) y según su biografía se
trató de un reconocido matemático de finales del
siglo XIX y comienzos del siglo XX que descubrió en 1873
un novedoso

método para "elevar un polinomio cualquiera a
una potencia cualquiera" en ese instante me entró una
curiosidad por saber en que consistía ese
método.

Pasaron los años y en el mes de enero de este
año (2002) me enteré por medio de una
conversación informal con mi amigo el futuro ilustre
matemático huaralino Edward W.Morales que él
había encontrado en al biblioteca de la
Universidad
Nacional Mayor de San Marcos el trabajo
original de Villarreal relativo a dicho método y fue
él mismo quién me proporcionó esa valiosa
información que le he dado forma y lo
plasmo en este trabajo, ahora
bien espero sinceramente, que el contenido de este trabajo sea de
tu completo agrado.

Julio A. Miranda Ubaldo

BREVE RESEÑA
HISTORICA

En 1873, encontrándose en su pueblo natal
Túcume del departamento de Lambayeque (Perú),
Federico Villarreal V. (1850-1923) descubre un método para
elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Este
hecho provocó que otro matemático peruano
Cristóbal de Losada y Puga (1894-1961) estudiase a
profundidad este descubrimiento y bautizase el desarrollo de
la potencia del polinomio como el "Polinomio de Villarreal". El historiador
peruano Jorge Basadre en su "Historia de la República del
Perú" (Tomo X, pag.28) dice: " Es tan perfecto que aun
para el caso de un binomio resulta fácil y seguro y
rápido que el método del binomio de Newton".

En su tesis de 1879
para optar el grado de bachiller en ciencias matemáticas titulado:"Fórmulas y métodos
que deben completarse en
matemáticas puras" Villarreal inserta su
método pasando desapercibido – según él
– "por el estado de
las matemáticas en el Perú". Este novedoso
método Villareal lo publica por primera vez el 31 de marzo
de 1886 en la revista " La
Gaceta Científica" (2do tomo) pero como siempre
sucede en nuestro medio muy pocas personas le dieron la debida
importancia a su trabajo.

En 1919 Vilarreal nuevamente publica su método
esta vez en la "Revista de Ciencias" bajo el título
de:

"Elevación de polinomios a una
potencia cualquiera" que es justamente el
título de este trabajo.

Veamos…………………………..

METODO DE
VILLARREAL

Consideremos el siguiente polinomio completo y
ordenado dependiente de "x" y de grado "m":

y
elevémoslo a la n-ésima potencia, es de esperarse
que el resultado sea otro polinomio completo y ordenado
dependiente de "x" y de grado "mn":

en resumidas
cuentas:

donde y

procedamos a obtener los coeficientes :, ,……,,,y usando el método de
Leibnitz
(método de los coeficientes
indeterminados).

Hagamos: …..(2)
y

……(3)

entonces la ecuación (1) podemos escribirla de
la siguiente manera:

…..(4)

tomando derivadas a la
ecuación (4):

…..(5)

y multiplicándola por :

……(6)

pero de (4) la ecuación (6) también
puede escribirse como:

…..(7)

De acuerdo a la ecuación (7) es necesario que
derivemos y
entonces de (2) y
(3)

respectivamente:

…..(8)

…..(9)

vayamos por partes efectuando primeramente para esto multipliquemos
(3) y (8), que por comodidad vamos a iniciarlo desde los primeros
términos de y , luego a
este resultado le multiplicamos "" entonces tendremos:

Luego: …..(10)

Análogamente efectuemos siguiendo las mismas
indicaciones que la multiplicación anterior
obteniéndose:

Luego:

……(11)

De la ecuación (7) : (10) y (11) son iguales,
ahora bien de acuerdo al método de los coeficientes
indeterminados para que esta igualdad se
verifique cualquiera que sea el valor de "x"
es necesario que en ambos miembros los coeficientes sean
idénticos y de una misma potencia de "x", entonces por
comparación:

despejando :

….(12)

despejando:

….(13)

despejando :

….(14)

despejando:

: …..(15)

y así sucesivamente:

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…..(16)

despejando :

…….(16)

y continua………………pero nosotros hasta
aquí nos quedamos.

Las expresiones (12) , (13), (14), (15) y (16) son
los coeficientes del polinomio y por inducción matemática
lo podemos escribir de manera más general
así:

…..(17)

siendo: y

Esta Fórmula nos permite calcular con mucha
facilidad los coeficientes del polinomioa quién se le denomina, con justa
razón: El Polinomio de
Villarreal y a la fórmula
(17):Fórmula de
recurrencia de Villarreal.

Ejemplo: Desarrollar