Elevación de polinomios a una potencia cualquiera

(Método de Villarreal)

2. Breve reseña histórica
3. Método de Villarreal

INTRODUCCION

Hace mucho tiempo leyendo un texto de historia del Perú de Gustavo Pons Muzzo en el capitulo X IV :"Las Ciencias en la Epoca Republicana" encontré un personaje llamado Federico Villarreal V. (1850-1923) y según su biografía se trató de un reconocido matemático de finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX que descubrió en 1873 un novedoso

método para "elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera" en ese instante me entró una curiosidad por saber en que consistía ese método.

Pasaron los años y en el mes de enero de este año (2002) me enteré por medio de una conversación informal con mi amigo el futuro ilustre matemático huaralino Edward W.Morales que él había encontrado en al biblioteca de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos el trabajo original de Villarreal relativo a dicho método y fue él mismo quién me proporcionó esa valiosa información que le he dado forma y lo plasmo en este trabajo, ahora bien espero sinceramente, que el contenido de este trabajo sea de tu completo agrado.

Julio A. Miranda Ubaldo

BREVE RESEÑA HISTORICA

En 1873, encontrándose en su pueblo natal Túcume del departamento de Lambayeque (Perú), Federico Villarreal V. (1850-1923) descubre un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Este hecho provocó que otro matemático peruano Cristóbal de Losada y Puga (1894-1961) estudiase a profundidad este descubrimiento y bautizase el desarrollo de la potencia del polinomio como el "Polinomio de Villarreal". El historiador peruano Jorge Basadre en su "Historia de la República del Perú" (Tomo X, pag.28) dice: " Es tan perfecto que aun para el caso de un binomio resulta fácil y seguro y rápido que el método del binomio de Newton".

En su tesis de 1879 para optar el grado de bachiller en ciencias matemáticas titulado:"Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras" Villarreal inserta su método pasando desapercibido - según él – "por el estado de las matemáticas en el Perú". Este novedoso método Villareal lo publica por primera vez el 31 de marzo de 1886 en la revista " La Gaceta Científica" (2do tomo) pero como siempre sucede en nuestro medio muy pocas personas le dieron la debida importancia a su trabajo.

En 1919 Vilarreal nuevamente publica su método esta vez en la "Revista de Ciencias" bajo el título de:

"Elevación de polinomios a una potencia cualquiera" que es justamente el título de este trabajo.

Veamos................................

METODO DE VILLARREAL

Consideremos el siguiente polinomio completo y ordenado dependiente de "x" y de grado "m":

y elevémoslo a la n-ésima potencia, es de esperarse que el resultado sea otro polinomio completo y ordenado dependiente de "x" y de grado "mn":

en resumidas cuentas:

donde y

procedamos a obtener los coeficientes :, ,......,,,y usando el método de Leibnitz (método de los coeficientes indeterminados).

Hagamos: .....(2) y

......(3)

entonces la ecuación (1) podemos escribirla de la siguiente manera:

.....(4)

tomando derivadas a la ecuación (4):

.....(5)

y multiplicándola por :

......(6)

pero de (4) la ecuación (6) también puede escribirse como:

.....(7)

De acuerdo a la ecuación (7) es necesario que derivemos y entonces de (2) y (3)

respectivamente:

.....(8)

.....(9)

vayamos por partes efectuando primeramente para esto multipliquemos (3) y (8), que por comodidad vamos a iniciarlo desde los primeros términos de y , luego a este resultado le multiplicamos "" entonces tendremos:

Luego: .....(10)

Análogamente efectuemos siguiendo las mismas indicaciones que la multiplicación anterior obteniéndose:

Luego:

......(11)

De la ecuación (7) : (10) y (11) son iguales, ahora bien de acuerdo al método de los coeficientes indeterminados para que esta igualdad se verifique cualquiera que sea el valor de "x" es necesario que en ambos miembros los coeficientes sean idénticos y de una misma potencia de "x", entonces por comparación:

• 

despejando :

....(12)

• 

despejando:

....(13)

• 

despejando :

....(14)

• 

despejando:

: .....(15)

y así sucesivamente:

...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

• 

.....(16)

despejando :

.......(16)

y continua..................pero nosotros hasta aquí nos quedamos.

Las expresiones (12) , (13), (14), (15) y (16) son los coeficientes del polinomio y por inducción matemática lo podemos escribir de manera más general así:

.....(17)

siendo: y

Esta Fórmula nos permite calcular con mucha facilidad los coeficientes del polinomioa quién se le denomina, con justa razón: El Polinomio de Villarreal y a la fórmula (17):Fórmula de recurrencia de Villarreal.

Ejemplo: Desarrollar

Solución:

El polinomio esta completo y ordenado respecto a "" luego por comparación con la expresión (1 ): ; ;

; ; ; y

procedamos a obtener los coeficientes teniendo en cuenta que: y

Usando la fórmula de los coeficientes de Villarreal (17) para cada valor de "" .

Para :

Para

Para

 

Para

Para

nótese que:

Para

 Al igual que en caso anterior

Para

Aquí:

Para

Aquí

.........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

y así sucesivamente siguiendo este mismo procedimiento que es bastante simple y repetitivo obtendremos los demás coeficientes:

:

Por tanto los términos del polinomio serán:

.

Finalmente el desarrollo de la potencia del polinomio será:

=

Este ejemplo aparece en el trabajo original de Villarreal que estamos desarrollando.

Buen provecho Señores...............................

 

Julio A. Miranda Ubaldo

Edward Morales Chero

Walm0222hotmail.com

Huaral,