Final de matemática discreta. U.T.N.F.R.B.A.

(Cátedra Lic. María
Hortensia Arriola)

04 / 03 / 03

EN TODOS LOS EJERCICIOS RECUADRAR LA ÚNICA
RESPUESTA CORRECTA. EL EXAMEN SE APRUEBA CON AL MENOS 9 (NUEVE)
RESPUESTAS CORRECTAS. SOLO SE SUMAN LAS RESPUESTAS CORRECTAS, LAS
INCORRECTAS NO RESTAN PUNTOS.

1. La cantidad de formas en que se pueden
distribuir, en forma ordenada, once personas en dos mesas
circulares con seis y cinco asientos respectivamente es
de:

2. Sea el conjunto de pares de
palabras (p, q) donde la palabra p es una palabra de
10 letras que se obtiene permutando las letras de
la palabra elecciones y la palabra q es una
palabra de 9 letras obtenida permutando las letras
de la palabra alteradas. La cantidad de
pares de palabras (p, q) tal que p comienza con "e" y q comienza
con "s" es de:

3. De los esquemas de proposiciones
categóricas:

p 1: $ x: (p(x) Ù q(x)), p2:" x:(q(x) ® r(x)) definidas en un
dominio D,
no se desprende en forma válida
C:

4. Lo indicado justifica la verdad
de la proposición definida en R:

"
x: $ y:

5. La familia
Barrionuevo, luego del bochorno acontecido en Catamarca, decide
tomarse unos días en la playa. Esta familia
está compuesta por el padre (x), la madre, un hijo (y) y
dos hijas (z y t). Al bañarse, la familia tiene las
siguientes precauciones: como a la madre no le gusta demasiado
el agua, solo
se baña cuando el padre no se baña y el hijo o
alguna hija se baña o bien, cuando el padre se
baña, las dos hijas se bañan y no se baña el
hijo.

La expresión que indica cuando se baña la
madre tiene:

6. Es posible que en algún
Álgebra de Boole, $ a: $ b: $ c tal que no se cumpla lo
indicado:

 7. Dada R Í A x A. y R ¹ Æ : R es simétrica si y sólo
si:

8. Dada M = M (R) = con R Í A x A y A = {x, y, z,
t}

9. Sea el conjunto X = {
I2, I3, I4, I5,
I6,….}= {In / n Î N > 1 } con In
= {k. n / k Î Z} ordenado por la relación:
In R Im sii In
Í Im.
Los elementos maximales del conjunto son:

10. Dada la relación de
equivalencia definida en R2: (a, b) R (c, d) sii
a2- b2 = c2-d2, la
clase de
equivalencia del par (0 0):

11. "
a, b, c Î
Z : MCD {a, b, c} = (a, b, c) es igual a:

12. "
a Î
Z :si a Ï
y a
Ï entonces:

13. En todo árbol no
trivial:

14.Sea el grafo simple G
cuyos vértices son los elementos del conjunto
D30, de modo que dos vértices v y w son
adyacentes sii (v, w) = 1

15. La Cantidad de componentes
conexas que debe tener un grafo con 1200 vértices, 1000
aristas y sin ciclos es de:

FINAL DE MATEMÁTICA DISCRETA.
U.T.N. 1 / 6 / 02.

1.Realizar las siguientes acciones:

a. Demostrar que dado un grafo conexo
no Euleriano con 35 vértices entre los cuales veinte
vértices son de valencia impar y quince vértices
son de valencia par, es posible agregar sólo un
vértice junto con algunas aristas que partan de ese nuevo
vértice y vayan a los vértices anteriores de tal
manera que el nuevo grafo sea Euleriano.

b. A partir de las premisas:
p1: $
x:(p(x) Ù q(x)) y p2:
" x:(
r(x) ® (~
p(x) Ù
~q(x))), determinar
una conclusión válida no coincidente con las
premisas (probar la validez del razonamiento obtenido mediante el
uso de reglas de inferencia)

2. Responder en forma justificada a los siguientes
interrogantes:

a. Si se considera un curso de 150
alumnos:

¿De cuántos modos se los
puede distribuir en 4 aulas si el aula 406 tiene 35 asientos,
cada aula tiene por lo menos 20 alumnos , los alumnos no pueden
estar parados y las restantes aulas son lo suficientemente
grandes como para albergar a todos? (no interesa distinguir las
personas)

b. .¿Es posible que un conjunto ordenado (A,
R) con admita
máximo diferente del supremo?

c. ¿Puede asegurarse que si un
número primo divide al producto de
dos enteros no nulos divide al menos a uno de ellos?

3. Analizar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones (justificar la respuestas):

a. Dado un conjunto B = {a1,
a2 ,a3,…, an } con n
Î N
³ 4 y el grafo
Gn cuyos vértices son todos los subconjuntos de
dos elementos de B en el cual los vértices son adyacentes
únicamente en el caso que sean disjuntos: |V| = y |A| =

b. Es posible determinar algún álgebra de
Boole en el cual : ⊀

c. Cada clase de equivalencia cl((a, b)) (con
a ¹
b) correspondiente a la relación S definida en
R2 en la forma: (x, y) S (z, t) sii (x –
y)2 = (z – t)2 , está
constituida por dos rectas paralelas.

Observaciones

• Para aprobar el examen se necesita resolver
  correctamente cuatro ítems.
• Al terminar el examen podrás ver la
  resolución del mismo en cartelera
• Recordá que podés aclarar tus dudas
  suscribiéndote al grupo de
  consulta

RESOLUCIÓN FINAL DE MATEMÁTICA
DISCRETA.

U.T.N.F.R.B.A 01 / 06 /
02.

1.

a. Dado que un grafo es Euleriano si y
sólo si es conexo y admite "0" o "2" vértices de
valencia impar, al agregar un vértice (v), para mantener
la conexidad bastará conectarlo a cualquiera de los
vértices del grafo dado y para forzar el cumplimiento de
la segunda condición enunciada, se podrá por
ejemplo:

• Agregar 20 aristas que conecten el vértice
  "v" con los 20 vértices de valencia impar para que de
  este modo todos los vértices tengan valencia par ("0"
  vértices de valencia impar)
• Agregar 18 aristas que conecten el vértice
  "v" con 18 de los 20 vértices de valencia impar para
  que de este modo queden 2 vértices de valencia impar y
  33 vértices de valencia par.

b. Para conjeturar una conclusión
válida, convendrá asociar a cada uno de los
esquemas proposicionales los conjuntos de
verdad respectivos y vizualizar las premisas a través de
diagramas de
Venn:

p(x) P = {a / v(p(a)) = V}

q(x) Q = {a / v(q(a)) = V}

r(x) R = {a / v(r(a)) = V}

De este modo:

• la primera premisa: p1:
  $
  x:(p(x) Ú q(x)) nos dirá que P
  È Q
  ¹ Æ sii

P ¹
Æ o
Q ¹
Æ

• la segunda premisa: p2:
  " x:( r(x)
  ® (~ p(x)
  Ù ~q(x))) nos
  dirá

que R Ì

En consecuencia se podría inferir en forma
válida (por ejemplo): $ x: ~r(x)

Hagamos una prueba formal:

1. $
x:(p(x) Ú
q(x)) (premisa)

2. p(a) Ú q(a) (particularización
existencial en 1.) ("a" es una constante determinada del universo de
definición)

3. "
x:( r(x) ®
(~ p(x) Ù
~q(x))) (premisa)

4. r(a) ®
(~ p(a) Ù
~q(a)) (particularización universal en
3.)

5. r(a) ®
~ (p(a) Ú
q(a)) ) (ley de De Morgan
en 4.)

6. (p(a) Ú q(a)) ® ~ r(a) (contrarecíproco en 5.
)

7. ~ r(a) (modus ponens (2, 6)

8. $
x:( ~ r(x)) (generalización existencial en
7.)

2.

a. Dado que de entrada hay que distribuir 20
alumnos en cada aula:

|||

restarán distribuir 150 – 80 = 70
alumnos.

Ahora bien como en el aula 406 no entran más de
35 alumnos la cantidad de alumnos (de los setenta que hay que
distribuir) que podrán ir en esa aula será x con
0£
x £
15 . Las situaciones extremas serían las
indicadas:

||| |||

En consecuencia restarán distribuir 70 – x
= n con 55£
n £
70 alumnos en las tres aulas restantes. De donde tomando
como modelo de
conteo la idea de puntos ( n puntos representativos de los
alumnos por distribuir) y barras (2 barras representativas de las
tres aulas restantes), el número buscado estará
dado por la suma:

b. NO ES POSIBLE , dado que
si un conjunto ordenado tiene máximo (M), este coincide
con el supremo:

Habrá que probar que:

i)."M" es cota superior de A

ii). si C es cota superior de A. entonces M
≼
C

D/

i) :
máximo de A≼

(definición de máximo /
definición de cota superior)

ii) C es cota superior de A≼ CM ≼ C

(definición de cota superior / M)

c. SÍ, PUEDE ASEGURARSE

Si y
p es primo entonces o

D /

• Si nada habrá que probar
• Si p ∤ a, habrá que probar que
  

. Dado que p es primo y p ∤ a necesariamente
(a,p) = 1 = s.a + t.p con s y t enteros. Entonces multiplicando
por "b "ambos miembros quedará

b = s(a.b) + (b.t) p s. (kp) + (b.t) p = (s.k + b.t).p con lo cual

3.

a. VERDADERA

D /

• Dado que los vértices son subconjuntos de
  dos elementos tomados de un conjunto de n elementos,
  efectivamente |V| =
• Dado que los vértices adyacentes son
  aquellos subconjuntos de dos elementos que no tienen
  elementos en común, el grafo será regular y la
  valencia o grado de cada vértice será

(para hallar los vértices adyacentes a uno
dado (conjunto de dos elementos: x e y) bastará quitar del
conjunto de vértices "x" e "y" y determinar todos los
conjuntos de dos elementos del conjunto restante).

Si ahora se tiene en cuenta que en todo grafo
, de acuerdo a
lo dicho anteriormente quedará:

sii
|A| =

b. FALSA

Teniendo en cuenta que toda álgebra de Boole
está ordenada a través de la relación de
orden: x ≼ y sii x + y = y,
resultará:

x. (y +z) + = (x + x. (y +z)) + = x + =

(ley asociativa – ley conmutativa / ley de
absorción / ley conmutativa)

con lo cual x. (y +z) ≼

c. VERDADERA

De acuerdo a la definición de la
relación:

Cl((a, b)) = { (x, y) / (x, y) S (a, b)} y
como

(x, y) S (a, b) sii (x – y)2 = (a
– b)2 sii x –y = a – b o x – y
= b – a sii

y = x – (a –b) o y = x – (b
–a) quedará:

Cl((a, b)) = { (x, y) / y = x – (a –b) o
y = x – (b –a)} y efectivamente quedarán (si
a ¹
b) dos rectas paralelas de pendiente "1" y ordenadas al
origen opuestas entre
sí.

FINAL MATEMÁTICA DISCRETA 5 /
12 / 02

EJERCICIO Nº 1

Realizar las siguientes acciones:

a. Analizar la validez del siguiente
razonamiento (probar o refutar su validez)

Todos los créditos bancarios para compra de inmuebles
tienen un plazo de cancelación de 10 años. Algunos
créditos para compra de inmuebles tienen un interés
mensual del 8%. Por lo tanto todos los créditos bancarios
tienen un interés mensual del 8% y un plazo de
cancelación de 10 años.

b. A través del uso de propiedades de
congruencias, hallar resto ((3.94 +
115.5 -35) :10)

c. Hallar el conjunto mayorante (cotas
superiores) -supremo y minorante (cotas inferiores)
–ínfimo del conjunto X = Í R2 ordenado a través
de la relación definida en R2 en la forma: A R
B sii aij ≤ bij " i, j

EJERCICIO Nº 2

Responder a los siguientes
interrogantes:

a. ¿Qué forma tiene la matriz de
adyacencia de un grafo completo Kn y la matriz de
adyacencia de un grafo bipartido completo
Km,n.

b. ¿Porqué puede asegurarse que la
siguiente afirmación no es tautológica?

En toda Algebra de Boole y cualquiera sea el valor de a,
b y c:

a + ( b . c ) a + (b.) Þ
c =

c. ¿Puede asumirse el conjunto A = {cl
((0, y)) / y ³
0}como conjunto cociente correspondiente a la
relación de equivalencia definida en R2
:

(a, b) S (c, d) sii |4.a – b| =
|4.c – d|?

EJERCICIO Nº 3

¿Verdadero o falso?
(justificar)

a. La cantidad de soluciones enteras de la
ecuación: x + y + z = 21

con x >
1, y >
4, z >
5 es 45.

b. Si se considera el grafo indicado a
través de la tabla de pesos , hay por lo menos tres
árboles
generadores mínimos distintos del mismo (hallarlos
mediante aplicación de algoritmo
adecuado).

RESOLUCIÓN FINAL
MATEMÁTICA DISCRETA 05 / 12 / 02

EJERCICIO N º 1

a. En U = { x / x es crédito
bancario}con :

i (x) : x es crédito para compra de
inmuebles

c(x): x es crédito cancelable a 10
años

o(x): x es crédito con interés mensual
del 8%

el esquema de razonamiento quedará en la
forma:

"
x: (i (x) ®
c(x)); $
x:(i (x) Ù o(x)) "
x: (c (x) Ù o(x))

Ahora entonces si se visualizan las premisas mediante el
uso de diagramas de Venn asociando un conjunto a cada forma
proposicional (el conjunto de verdad de dicha forma
proposicional):

i (x) « I

c (x) « C

o (x) « O

se podría ver que el razonamiento es
inválido:

Bastará entonces hallar una interpretación que muestre claramente que
cabe la posibilidad de que las premisas sean verdaderas y la
conclusión falsa.

Por ejemplo:

Sobre U = R,

i (x) : x > 10

c(x): x > 5

o(x): x 18

V(premisa 1) = V

(por definición de "ser mayor que" y considerando
que 10 >5)

V(premisa 2) = V (por ejemplo 15 satisface la
conjunción).

V(conclusión) = F (por ejemplo 20 no satisface la
conjunción)

b. Para determinar el resto de la división
planteada (con congruencias), convendrá tener en cuenta
las siguientes propiedades relativas al conjunto de los
enteros:

1. " a : a
   º n
   r con r : resto (a: n)
2. a º
   n b Þ a p º n b
   p
3. a º
   n b Þ a. c º n b. c
4. a º
   n b Ù c º n d Þ a + c
   º n
   b + c
5. a º
   n b Ù c º n d Þ a . c
   º n
   b . d

Entonces si comenzamos considerando las potencias que
intervienen en el enunciado se podrá observar lo
siguiente:

i. 94 = 92. 92 y como
92 = 81 y 81º 10 1 , resultará
94 º
10 1

  en consecuencia por (3) :
3.94 º 10 3

ii. 11º 10 1 , de donde
115 º 10 15
º
10 1

 en consecuencia por (3):
115. 5 º 10
5

iii. por (1): –35
º 10
5 (-35 = (-4). 10 + 5)

Finalmente por (4) quedará: 3.94 +
115.5 -35 º 10 3 + 5 + 5
º 10
13 º
10 3

 De donde Resto ((3.94 +
115.5 -35): 10) = 3

c. Quizás convenga hacer el diagrama de
Hasse restringido a X:

Si se considera :

A : , B:
, C: el diagrama
quedará:

 Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

 Y entonces:

X* = con supremo:

X* = con ínfimo:

EJERCICIO Nº 2

a.

1. Teniendo en cuenta la definición de grafo
completo con n vértices: grafo simple (sin lazos ni
aristas paralelas) con la particularidad que cada vértice
es adyacente a los restantes), la matriz de adyacencia de
Kn será una matriz cuadrada de orden n,
tendrá 0`s en la diagonal principal y 1’ s fuera de
la diagonal principal.

2. Teniendo en cuenta la definición de grafo
bipartido completo K m, n

con m + n vértices : grafo simple (sin lazos ni
aristas paralelas) con la particularidad que cada vértice
de V 1 (|V 1 | = m) es adyacente a los
vértices de V 2 (|V 2 | = n), la
matriz de adyacencia de K m, n será una matriz
cuadrada de orden m + n, de la forma indicada:

b.

Si se tiene en cuenta que en toda álgebra de
Boole no existen elementos que coincidan con su complemento, el
consecuente del condicional planteado será falso para
cualquier asignación de valores a "
c". Bastará entonces indicar algún álgebra
de Boole y valores específicos a las variables a, b
y c de modo que el antecedente sea verdadero. Con esto
quedará probado que el enunciado no es
tautológico.

Sea por ejemplo:

A = (P({1,2, 3}), È , Ç , ` , Æ , {1,2,3}) con a = b =
Æ y c =
{1}

Efectivamente:

a + ( b . c ) = Æ È
(Æ
Ç {1}) =
Æ

a + (b.)
= Æ È ((Æ Ç {2,3}) = Æ

con lo cual Æ Í
Æ es verdadero
(recordar que en esta álgebra de Boole : Í

c.

Si consideramos las clases de equivalencia
correspondientes a la relación de equivalencia indicada,
quedará:

Cl ((a, b)) = {(x, y) Î R2 / |4. x – y| = |4. a
– b|} y teniendo en cuenta que:

|4. x – y| = |4. a – b| sii 4. x – y =
4. a – b o 4. x – y = – 4. a + b sii

y = 4. x + (b – 4. a) o y = 4. x + ( 4. a – b),
quedará:

Cl ((a, b)) = {(x, y) Î R2 / y = 4. x + (b – 4.
a) o y = 4. x + ( 4. a – b)}

(o sea que cada clase consta de dos rectas con pendiente
= 4 y ordenada al origen variable en función de
a y b siempre que b ¹ 4.a en cuyo caso se reduce a un
sóla recta, la recta de ecuación: y =
4.x

Entonces como para armar el conjunto cociente
habrá que elegir un representante de cada clase, se puede
optar por elegir como representante al punto intersección
con el eje positivo de las ordenadas, incluyendo también
al (0, 0) como representante de la recta y = 4.x, tal como se
propone en el enunciado.

EJERCICIO Nº 3

a. VERDADERO

Dado que el problema se reduce al de distribuir objetos
idénticos (en este caso 21 unidades) en casilleros (en
este caso tres casilleros asociadas a las tres variables que
entran en juego) y con
la consideración que x > 1, y > 4, z > 5, el
estado de
situación será el siguiente:

·
· |
· · · ·
· |
· · · ·
· ·

 con lo cual restan distribuir 21 – (2 + 5 +
6) = 8 en tres casilleros (dos barras) y la respuesta entonces
estará dada por el númeor combinatorio

b. VERDADERO

Efectivamente por aplicación de algoritmo de
Prim, pueden hallarse por lo menos tres árboles
generadores mínimos diferentes de peso = 6.
Mostremos en detalle la construcción de los
mismos:

Consultas – dudas:
matemdiscreta[arroba]gruposyahoo.com.ar

 FINAL DE MATEMÁTICA
DISCRETA. U.T.N. 12 / 12 / 02.

EJERCICIO Nº 1. ¿Verdadero o falso?
(justificar)

a. Los dos grafos de la
figura

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

son isomorfos pues tienen el mismo número de
vértices y de aristas.

b. Es posible determinar un subconjunto no
vacío S de modo tal que el álgebra de
Boole

(P(S),È , Ç , ` ,Æ , S) sea isomorfa al álgebra de
Boole (D 30, +, · , ` , 1, 30)

c. Se puede asumir el conjunto A =
como conjunto
cociente correspondiente a la relación de equivalencia
definida en R2 x 2 : A S B sii Traza (A) = Traza
(B)

(Recordar que la traza de una matriz está dada
por la suma de los elementos de la diagonal
principal).

EJERCICIO Nº 2. Responder en forma razonada a
los siguientes interrogantes:

1. ¿Es posible hallar al menos un árbol
   generador del grafo indicado, que tenga sólo tres
   puentes y cuatro puntos de articulación (o puntos de
   corte)?

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

b. Si se considera el esquema de
razonamiento:

" x: P(x)
® $ x: P(x), $ x: (P(x) Ù Q(x)), $ x: (Q(x) Ù R(x)) ∴ $ x: (P(x) Ù R(x)) y la
interpretación:

U = ℝ, P(x) : |x| > 4, Q(x):x2 < 25 R(x): |x| ≤
4

¿puede afirmarse si la
conclusión es válida o no?

c. Para dar el examen de
matemática discreta del día 12/12, un alumno de
primer año de sistemas
dedicó 30 hs de estudio a lo largo de diez días y a
partir del 3 / 12. ¿De cuántas formas pudo
distribuir las horas de estudio (se supone que cada día lo
ha hecho un número entero de horas) si el martes 4/ 12 no
pudo estudiar porque tuvo fiebre y el fin
de semana por lo menos le dedicó 2 hs cada
día?

EJERCICIO Nº 3. Demostrar:

a. en Z: (a, b) = d Û (d | a Ù d | b Ù (a|d, b|d) = 1

b. que si el conjunto ordenado (A, ≼) ,con
A Í B,
tiene un máximo : x, entonces x coincide con el
supremo. 

RESOLUCIÓN FINAL DE
MATEMÁTICA DISCRETA . 12 / 12 / 02

EJERCICIO Nº 1.

a. FALSO

Si bien es cierto que los grafos tienen la misma
cantidad de vértices (6) y de aristas (9), estas son
condiciones necesarias pero no suficientes para que los grafos
sean isomorfos. Si se observa las valencias de los
vértices, el primer grafo tiene dos vértices de
valencia 4 mientras que el segundo grafo tiene

tres vértices de valencia 4.El hecho de
encontrar un atributo no invariante en los mismos permite afirmar
que no son isomorfos.

b. VERDADERO

Teniendo en cuenta que D30 = {1, 2, 3, 5, 6,
10, 15, 30}y que a partir de los factores primos de este conjunto
se podrán obtener los restantes (recordar que todo
elemento de este conjunto será de la forma
2a.3b.5c con a, b y c
Î {0,1}, el
conjunto buscado será por ejemplo S = {2, 3, 5} con |P(S)|
= 8 = | D 30| y un isomorfismo posible:

Observación:

• Dado que toda álgebra de Boole está
  ordenada, si confeccionáramos los diagramas de Hasse
  correspondientes (D30 ordenada por la
  relación " es divisor de " y P(S) ordenada por la
  relación "está incluido en") veríamos que
  son idénticos, lo que garantiza que se cumplan las
  condiciones:

f(x + y ) = f(x) + f(y) y f(x. y) =
f(x). f(y)

• Por otra parte como los neutros se corresponden, se
  cumplen las condiciones: f(0A) = 0B y
  f(1A) = 1B
• Finalmente la función definida resulta ser
  biyectiva.

De lo dicho se arriba a que efectivamente f es
isomorfismo

c. FALSO

Dado que la traza de las matrices
tomadas como "supuestos representantes" de las distintas clases
de equivalencia resulta ser un número real positivo, no
representan a las matrices con traza negativa como por ejemplo a
la matriz de
traza = -3 + 0 = -3, con lo cual el conjunto definido no puede
asumirse como conjunto cociente.

EJERCICIO Nº 2.

a. NO ES POSIBLE

Esto se debe al hecho de que si bien es posible hallar
más de un árbol generador del grafo indicado,
todas las aristas de un árbol son puentes, en este
caso habrá exactamente 11 puentes (12 extremos) con
la particularidad de que sus extremos o bien son hojas o bien
puntos de corte. Así podrás hallar por ejemplo
árboles generadores con 3 hojas y 9 puntos de corte o bien
árboles generadores con 4 hojas y 8 puntos de corte por
ejemplo.

b. PUEDE AFIRMARSE QUE LA CONCLUSIÓN NO
ES VÁLIDA, debido a que con la interpretación
indicada las premisas resultan ser verdaderas y la
conclusión falsa, condición necesaria y suficiente
para afirmar que el esquema de razonamiento es
inválido.

• V (p1: " x: P(x) ® $
  x: P(x)) = V

En realidad esta premisa " x: P(x) ® $ x: P(x), es verdadera
cualquiera sea la interpretación considerada: si todos las
constantes del universo de definición son raíces
del esquema proposicional P(x), en particular alguna constante es
raíz de P(x).

• V (p2: $ x: (P(x) Ù Q(x))) = V

Por ejemplo la constante a = 4.5 es raíz
del esquema P(x) Ù Q(x)

• V (p3: $ x: (Q(x) Ù R(x)))) = V

Por ejemplo la constante a = 0 es raíz del
esquema Q(x) Ù R(x)

• V (C: $ x: (P(x) Ù R(x))) = F

Esto se debe a que P(x) º Ø
R(x)

c. Si se considera la idea de " distribución de elementos indistinguibles
en cajas" (visualizadas a través de puntos y barras), en
este caso los elementos indistinguibles serán las horas de
estudio (30 horas: 30 puntos) y las cajas serán los
días de estudio (10 días : 9 barras). En
consecuencia como el martes 4 no pudo estudiar por la fiebre, el
casillero correspondiente estará vacío y como el
sábado y el domingo estudió al menos 2 hs, en las
cajas correspondientes se pondrá de entrada dos puntos. De
este modo el esquema de análisis será entonces:

|vacío | | | · · | · ·
| | | |

Y entonces restarán distribuir 30 – 4 = 26
horas (26 puntos) en 9 días (8 barras). La respuesta a
esta cuestión la dará el número:

EJERCICIO Nº 3.

a.

D /

Þ ) H ) (a, b)
= d T ) d | a Ù d | b Ù (a|d, b|d) = 1

D /

Como de la hipótesis y por definición de
máximo común divisor se desprende en forma
inmediata que d | a Ù d | b, restará
probar que a|d, b|d) = 1

De la hipótesis y por
propiedad del
máximo común divisor, existen enteros s y t de modo
tal que: d = s. a + t. b.

Dividiendo ambos miembros por d quedará: 1 = s.
(a/d) + t. (b/d) lo que por teorema de Bézout significa
que (a|d, b|d) = 1

Ü )

H ) d | a Ù d | b Ù (a|d, b|d) = 1

T ) (a, b) = d sii

Como de la hipótesis se desprende i), resta
probar ii):

Por Teorema de Bézout e hipótesis: existen
enteros s y t de modo tal que:

1 = s.(a/d) + t. (b/d) lo que significa (multiplicando
ambos miembros por d) que d = s. a + t. b.

Ahora bien de x | a Ù x| b se desprende (propiedad de
divisibilidad):

x | a. s Ù x| t. b y de esta afirmación a
su vez se desprende (propiedad de divisibilidad) que x | a. s +
t. b. En consecuencia x | d

b.

Habrá que probar que:

i)."x" es cota superior de A

ii). si c es cota superior de A. entonces
x ≼ c

D/ i). : máximo de AÛ "
a Î
A: a≼ x Þ x: cota superior de (A,
≼)

(definición de máximo /
definición de cota superior)

ii). c es cota superior de A Û " a Î A: a≼ c
Þ
x≼ c

(definición de cota superior / x)