Programación lineal. Flujo de redes

Enviado por cjmmarti

Las técnicas de flujo de redes están orientadas a optimizar situaciones vinculadas a las redes de transporte, redes de comunicación, sistema de vuelos de los aeropuertos, rutas de navegación de los cruceros, estaciones de bombeo que transportan fluidos a través de tuberías, rutas entre ciudades, redes de conductos y todas aquellas situaciones que puedan representarse mediante una red donde los nodos representan las estaciones o las ciudades, los arcos los caminos, las líneas aéreas, los cables, las tuberías y el flujo lo representan los camiones, mensajes y fluidos que pasan por la red. Con el objetivo de encontrar la ruta mas corta si es una red de caminos o enviar el máximo fluido si es una red de tuberías.

Cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un origen y un destino, la técnica, algoritmo o el modelo adecuado es el de la ruta más corta; aunque existen otros modelos de redes como el árbol de expansión mínima, flujo máximo y flujo de costo mínimo cada uno abarca un problema en particular. En este trabajo se mencionan los modelos de redes existentes y los problemas que abarca cada uno de ellos, además se describen los algoritmos que aplican estos modelos para encontrar la solución optima al problema. Utilizando la terminología utilizada para representarlos como una red.

Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:

• Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión).
• Modelo de la ruta más corta.
• Modelo del flujo máximo.
• Modelo del flujo del costo mínimo.

El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solución del problema.

Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:

1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.)
2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.
3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.

Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un árbol de expansión. Por tanto el problema es hallar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima:

1. Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano.
2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados.
3. Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución optima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates hasta el final.

Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.

Características:

1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.
2. Los nodos restantes son nodos de trasbordo.
3. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dad por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo.
4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.

El problema de flujo máximo se puede formular como un problema de programación lineal, se puede resolver con el método símplex y usar cualquier software. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada.

Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo máximo:

1. Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo).
2. Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.
3. Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa la paso 1.

Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino.

Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino.

Algoritmo de la ruta más corta:

1. Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. (Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.)
2. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.)
3. Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.)
4. Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera esta distancia.

Red: Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vértices). Las líneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas).

Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre lo nodos A Y B.

En un problema de programación lineal, las redes pueden representar un conjunto de estaciones, campos petrolíferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades, interconectadas entre si a través de caminos, conductos, tuberías que permiten fluir productos para la comercialización o la distribución.

Arcos Dirigidos: Se dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en una dirección (como en una calle de un sentido). La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco.

Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra Manera es AB.

Arcos No Dirigidos: Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones (como una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que es un arco no dirigido.

También se les llama ligadura. Aunque se permita que el flujo a través de un arco no dirigido ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas.

Trayectoria: Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan los nodos O y T en la figura 1 es la sucesión de arcos OB-BD-DT (OBDT), y viceversa.

Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas.

Trayectoria Dirigida: Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria es factible.

Trayectoria No Dirigida: Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) pueden ser hacia o desde el nodo j. Con frecuencia alguna trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i).

Ciclo: Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En la red no dirigida que se muestra en la figura 5 existen muchos ciclos, OA-AB-BC-CO.

Red Conexa: Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado. Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. La figura 1 representa una red conexa.

Árbol de Expansión: es una red conexa para los n nodos, que contiene ciclos no dirigidos. Todo árbol de expansión tiene justo n-1 arcos, ya que este es el número mínimo de arcos necesarios para tener una red conexa y el máximo numero posible para que no haya ciclos no dirigidos.

La figura 6 representa una red conexa, la figura 7 muestra los cinco nodos de la red conexa de la figura 6, ahora la figura 8 muestra el proceso para hacer crecer un árbol colocando una rama a la vez, hasta obtener un árbol de expansión. En cada etapa del proceso se tienen varias alternativas para el nuevo arco, por lo que la figura 8 muestra solo una de las muchas formas de construir un árbol de expansión.

Capacidad de Arco: Es la cantidad máxima de flujo (quizás infinito) que puede circular en un arco dirigido.

Nodo Fuente: (o nodo de origen) tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo excede al flujo que entra a él.

Nodo Demanda: (o nodo destino) es el caso contrario al nodo fuente, donde el flujo que llega excede al que sale de él.

Nodo de Trasbordo: (o nodo intermedio) satisface la conservación del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale.

Red Dirigida: Es una red que tiene solo arcos dirigidos.

En una red dirigida, un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, según si la trayectoria en cuestión es dirigida o no dirigida. (Como una trayectoria dirigida también es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto.) Por ejemplo en la figura 9 DE-ED es un ciclo dirigido. Por contrario, AB-BC-CA no es un ciclo dirigido puesto que la dirección del arco AC es opuesta a la de los arcos AB y BC. Por otro lado, AB-BC-AC no es un ciclo dirigido porque ABCA es una trayectoria no dirigida.

Red No Dirigida: Es una red donde todos sus arcos son no dirigidos. La figura 10 representa una red no dirigida.

1. Diseño de redes de telecomunicación (redes de fibra óptica, de computadores, telefónicas, de televisión por cable, etc.)
2. Diseño de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vías ferroviarias, carreteras, etc.)
3. Diseño de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.
4. Diseño de una red de cableado en equipo eléctrico (como sistemas de computo) para minimizar la longitud total del cable.
5. Diseño de una red de tuberías para conectar varias localidades.
6. Diseño de una red de tuberías de gas natural mar adentro que conecta fuentes del golfo de México con un punto de entrega en tierra con el objetivo de minimizar el costo de construcción.
7. Determinación de la ruta más corta que une dos ciudades en una red de caminos existentes.
8. Determinar la capacidad anual de máxima en toneladas de una red de conductos de pasta aguada de carbón que enlaza las minas carboneras de Wyoming con las plantas generadoras de electricidad Houston. (Los conductos de pasta aguada de carbón transportan éste bombeando agua a través de tubos adecuadamente diseñados que operan entre las minas de carbón y el destino deseado.)
9. Determinación del programa de costo mínimo de los campos petrolíferos a refinerías y finalmente a los campos de distribución. Se pueden enviar petróleo crudo y productos derivados de la gasolina en buques tanque, oleoductos y/o camiones. Además de la disponibilidad de la oferta máxima en los campos petrolíferos y los requisitos de demanda mínima en los centros de distribución, deben tomarse en cuenta restricciones sobre la capacidad de las refinerías y los modos de transporte.

Se tiene la red de distribución para Distribution Unlimited Co.

Trayectoria de Aumento: Una trayectoria de aumento es una trayectoria dirigida del nodo fuente al nodo destino en la red residual, tal que todos los arcos en ese trayectoria tienen capacidad residual estrictamente positiva. El mínimo de estas capacidades residuales se llama capacidad residual de la trayectoria de aumento porque representa la cantidad de flujo que es factible agregar en toda la trayectoria. Por lo tanto, cada trayectoria de aumento proporciona una oportunidad de aumento más el flujo a través de la red original.

El problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los problemas de optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Igual que el problema del flujo máximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Igual que el problema de la ruta más corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a través de un arco. Igual que el problema de transporte o el de asignación, puede manejar varios orígenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas) para el flujo, de nuevo con costos asociados. De hecho, estos cuatro problemas son casos especiales del problema de flujo de costo mínimo.

A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo:

1. La red es una red dirigida conexa.
2. Al menos uno de los nodos es nodo fuente.
3. Al menos uno de los nodos es nodo demanda.
4. El resto de los nodos son nodos de trasbordo.
5. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.)
6. La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.
7. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad.
8. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío.)

La DISTRIBUTION UNLIMITED CO. Fabricará el mismo nuevo producto en dos plantas distintas y después tendrá que enviarlo a dos almacenes. La red de distribución disponible para el envío de este producto se muestra en la figura, donde A y B son las fábricas, D y E son los almacenes y C es el centro de distribución. Las cantidades que deben enviarse desde A y B se muestran a la izquierda, y las cantidades que deben recibirse en D y E se muestran a la derecha. Cada flecha representa un canal factible de envío. A puede enviar directamente a D y tiene tres rutas posibles (ACE, ABCE y ADE) para mandar bienes a E. La fábrica B tiene solo una ruta a E (BCE) y una a D (BCED). El costo por unidad enviada a través de cada canal se muestra al lado de la flecha. También, junto a AB y CE se muestran las cantidades máximas que se pueden enviar por estos canales. Los otros canales tienen suficiente capacidad para manejar todo lo que las fábricas pueden enviar.

La decisión que debe tomarse se refiere a cuánto enviar a través de cada canal de distribución. El objetivo es minimizar el costo total de envío.

Formulación:

Minimizar

Sujeto a:

El tipo más importante de aplicación del problema del flujo de costo mínimo es en la operación de la red de distribución de una compañía. En la siguiente tabla se muestran algunos tipos de aplicaciones comunes del problema de del flujo de costo mínimo:

Se proporciona un nodo de recursos para cada origen y un nodo de demanda para cada destino pero no se incluyen nodos de trasbordo en la red. Todos los arcos son dirigidos, desde el nodo de recursos hasta el nodo de demanda, en donde distribuir unidades del origen i al destino j corresponde a un flujo a través del arco . El costo por unidad distribuida se convierte en el costo por unidad de flujo.

Considere una red conexa dirigida en la que los n nodos incluyen al menos un nodo origen y al menos un nodo destino. Las variables de decisión son:

= flujo neto generado en el nodo i.

El valor de depende de la naturaleza del nodo i, en donde

, si i es un nodo de trasbordo.

El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a través de la red para satisfacer la demanda dada.

Usando la convención de que las sumas se toman sólo sobre arcos existentes, la formulación de programación lineal de este problema es

Minimizar

Sujeta a,

y

La primera suma en las restricciones de los nodos representa el flujo total que sale del nodo i mientras que la segunda representa el flujo total que entra al nodo i, así, la diferencia es el flujo neto generado en este nodo.

En lagunas aplicaciones, es necesario tener una cota inferior para el flujo que pasa para cada arco . Cuando esto ocurre se hace una conversión de variables, , donde se sustituye por en todo el modelo, a fin de ajustar el modelo al formato anterior con restricciones de no negatividad.

No se garantiza que el problema tenga soluciones factibles, esto depende en parte de qué arcos están presentes en la red y de sus capacidades. De cualquier manera, para una red diseñada razonablemente, la condición necesaria más importante es la siguiente.

Propiedad de soluciones factibles: una condición necesaria para que un problema de flujo de costo mínimo tenga soluciones factibles es que

Es decir, el flujo total generado en los nodos origen es igual al flujo total absorbido por lo nodos destinos.

El modelo de PL de la ruta más corta se construye de la siguiente manera:

1. Cada variable corresponde a un arco.
2. Cada restricción corresponde a un nodo.

Por lo tanto, si representa la cantidad de flujo en el arco (i,j), el modelo de la ruta más corta con n nodos está dado como:

Minimizar

Sujeto a:

La primera y última restricción señala que el flujo total (suma de variables) que sale del nodo 1 es igual a 1 y que flujo total que se recibe en el nodo n también es igual a 1. En cualquier nodo intermedio, el flujo total que entra al nodo es igual al flujo total que sale del mismo nodo. La función objetivo requiere que se minimice la distancia total que recorre la unidad del flujo.

1. Considere la siguiente red dirigida.

• Encuentre una trayectoria dirigida del nodo A al nodo F y después identifique otras tres trayectorias no dirigidas del nodo A al F.

• Encuentre tres ciclos dirigidos, después identifique un ciclo no dirigido que incluya todos los nodos.

• Identifique un conjunto de arcos que formen un árbol de expansión.

• Frederick S. Hiller y Gerald J. Liberman. Investigación De Operaciones. McGraw-Hill. Séptima Edición. 2002.
• Hamdy A. Taha. Investigación De Operaciones. Ediciones Alfaomega. Cuarta Edición. 1991.

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ESTUDIOS REALIZADOS: UNIVERSITARIO