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Productos notables




Enviado por amor01_5



    1. Definición
    2. Ejercicios para la
      clase
    3. Laboratorio N°
      01
    4. División
      algebraica
    5. Estudio de cada uno de los
      métodos
    6. Laboratorio N°
      02
    7. Problemas
      resueltos
    8. Tareas

    Definición

    Son aquellos productos que
    se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por
    simple inspección. Su denominados también
    "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo
    desarrollo es
    clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las
    más importantes son :

    1. ( a + b )2 = a2 + 2ab +
      b2

    2. Binomio de Suma al Cuadrado

      ( a – b )2 = a2 – 2ab +
      b2

    3. Binomio Diferencia al
      Cuadrado

      ( a + b ) ( a – b ) = a2 –
      b2

    4. Diferencia de Cuadrados

      ( a + b )3 = a3 + 3
      a2b + 3 ab2 +
      b3

      = a3 + b3 + 3 ab (a +
      b)

    5. Binomio Suma al Cubo

      ( a – b )3 = a3 – 3
      a2b + 3 ab2 –
      b3

    6. Binomio Diferencia al Cubo

      a3 + b3 = ( a + b ) (
      a2 – ab + b2)

    7. Suma de dos Cubos
    • Diferencia de Cubos

    a3 – b3 = ( a – b ) (
    a2 + ab + b2)

    • Trinomio Suma al Cuadrado ó
      Cuadrado de un Trinomio

    ( a + b + c)2 = a2 +
    b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

    = a2 + b2 + c2 +
    2 ( ab + bc + ac)

    • Trinomio Suma al Cubo

    ( a + b + c)3 = a3 +
    b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

    • Identidades de
      Legendre

    ( a + b)2 + ( a – b)2
    = 2 a2 2b2 = 2(a2 +
    b2)

    ( a + b)2 + ( a – b)2
    = 4 ab

    • Producto de dos binomios que tienen un
      término común

    ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x +
    ab

     Ejemplos :

    1. Solución :

      Aplicando producto
      notable en "a" que es una suma de binomios

      x2 – 2x + 1 = ( x –
      1)2

      Luego : ( x – 1)2 (x2 +
      x + 1)2 + (x3 +
      1)2

      Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos
      :

      (x3 – 1)2 +
      (x2 + 1)2

      (x3)2 – 2×3 (1) + 1
      + (x3)2 + 2×3 (1) +
      1

      (x3)2 +
      (x3)2 + 2 = 2
      (x3)2 + 2

      = 2×6 + 2 = 2 (x6 +
      1)

    2. Efectuar : ( x2 – 2x + 1) (
      x2 + x + 1)2 + ( x3 +
      1)2

      M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) (
      a3 – b3 ) (a2 –
      ab + b2) (a4 – a2
      b2 + b4) + b12

      Solución

      Ordenando los productos notables tenemos
      :

      ( a + b ) ( a2 + b2 )
      ( a3 – b3 ) (a2
      – ab + b2) (a4 –
      a2 b2 + b4) +
      b12

      * **

      Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ",
      tenemos :

      ( a + b ) (a2 – ab + b2)
      = a3 + b3

      Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *",
      tenemos :

      ( a2 + b2 ) (a4
      – a2 b2 + b4) =
      a6 + b6

      Remplazando en la expresión inicial tenemos
      :

      ( a3 + b3 ) ( a6 +
      b6 ) ( a3 – b3 ) +
      b12

      Ordenando los factores tenemos :

      ( a3 + b3 ) ( a6
      + b6 ) ( a3 – b3 )
      + b12

      ¨

      aplicando productos notables en "¨ " :

      ( a6 + b6 ) ( a6 +
      b6 ) = a12 – b12 +
      b12 = a 12 Rpta.

    3. Simplificar :

      Solución

      Desarrollando las potencias mediante productos
      notables tenemos :

      Simplificando y reduciendo términos
      semejantes tenemos :

      K = a2 –
      b2
      Rpta.

    4. Simplificar :
    5. Hallar el valor de P
      :

    Solución
    :

    à P = à à P = 91/2
    à

    • P = 3 Rpta.
    1. Hallar el valor de E :

    Solución
    :

    EJERCICIOS PARA LA CLASE

    1. R = (a + b + c) (a + b – c) + (a + b – c) (a
      – b + c) + ( a – b + c) (b + c – a)
      +

      ( b – c + a) (b – c – a) –
      4ab

    2. Efectuar :

    3. Reducir :

    4. Calcular el valor de :
    5. Simplificar :

    N = (x-2) ( x + 3) (x – 4)(x+1) – x2
    (x – 1)2 + 14x (x-1) – 24

    5. Si:

    Hallar el valor de K :

    K = x(x + 1) ( x + 2) (x + 3)

    LABORATORIO N° 01

      1. (ax + 1)2 (ax
        – 1)2 (a2x +
        1)2
      2. (a + 2)( a – 2) (a2 – 2 a
        + 4) (a2 + 2 a + 4)
      3. (x2 – x + 1) (x2 + x
        + 1) ( x4 – x2 + 1)
        (x4 – 1)
    1. Reducir :

      A = ( x + 2)2 (x – 1)2
      (x + 1)2 (x + 1)2 (x –
      2)2

    2. Hallar el valor de A :
    3. Si : x + x-1 = 3 Hallar : E =
      x6 + x-6

      a) ( x + 1/x)2 ; b) ( x4
      – x + 3)2 ; c) (x4 – 9)
      (x4 – 7)

      b) (x4 + 3)2 (x4
      – 3)2 ; e) (x + y + 3) (x + y –
      3); f) (x5 + 1) (x10 –
      x5 + 1)

      g) ; h) ; i) (x – 2) (x-4) (x-9)

    4. Efectuar :
    5. La suma de dos números es 5 y su producto 5.
      ¿cuál es la suma de sus cubos?
    6. La suma de dos números es 5 y la suma de sus
      cubos es 95. Hallar la suma de los cuadrados.
    7. Simplificar :
    8. Si : ( a + 1)2 = (+2) a calcular :

      B = ( a + b + c)2 + (a + b –
      c)2 + (b + c – a)2 + ( c + a
      – b)2

    9. Calcular :
    10. Si : a + b + c = 2

    a2 + b2 + c2 =
    6

    a3 + b3 + c3 =
    17 Hallar : a . b . c

    Si : A = ( x + 8) (x + 9) – (x + 7) ( x +
    10)

    B = ( x – 5) ( x – 4) – (x – 6 )
    (x – 3) Hallar A . B

    11. Simplificar :

    12. Calcular :

    W = a5 + b5

    Si : a + b = 4

    a . b = 2

    Respuestas :

    1) a) a4x; b) a6 –
    64; c) x12 – 1; 2) A =
    x8 – 10 x6 + 33 x4 –
    40×2 + 16; 3) E = 322

    4) 50; 5) 21; 6) x + y; 7) 5 =
    3; 9) 1; 10) 4; 11) x +a; 12)
    464

    DIVISIÓN ALGEBRAICA

    Definición :

    División algebraica es la operación que
    consiste en obtener una expresión llamada cociente y
    otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividiendo
    y divisor.

    Así tenemos :

    D

    d

     

    Donde :

     

    r

    q

     

    D : dividendo

     

     

     

     

    d : divisor

     

     

     

     

    q : cociente

     

     

     

     

    r : residuo

    Nota Importante: En toda
    división la nomenclatura de
    grados es :

    1. D° = grado de dividendo
    2. d° = grado de divisor
    3. q° = grado de cociente
    4. r° = grado de residuo o resto

    Propiedades fundamentales

    1. D = dq ó

      r = 0

    2. Si la división es exacta, se obtiene un
      cociente exacto y el residuo de la división es un
      polinomio idénticamente nulo.
    3. Si la división es inexacta se obtiene un
      cociente completo y el residuo de la división no es un
      polinomio idénticamente nulo.

    D = d . q + r ó D = q + r/d

    r ≠ 0

    Propiedades de la
    división

    1. q° = D° – d°

    2. En toda división el grado del cociente es igual
      al grado del dividendo menos el grado del divisor.

      D° ≥ d°

    3. En toda división, el grado del dividendo es
      mayor o igual que el grado del divisor :

      d° > r°

    4. En toda división el grado del divisor es mayor
      que el grado del resto.

      r maximo = d° – 1

    5. En toda división el grado máximo del
      resto es igual al grado del divisor menos 1
    6. En el caso de polinomios homogéneos el grado
      del resto es mayor que el grado del divisor : r° >
    7. En el caso de polinomios homogéneos no se
      cumple la propiedad
      4

    Casos de la División

    1. División de los
      monomios
    • Se aplica la regla de los signos en
      la división de signos.
    • Se dividen los coeficientes
    • Se dividen las letras aplicando teoría de exponentes.

    Ejemplo :

    Dividir : efectuando tenemos : S = -8×3
    y2 z2

    1. Se divide cada uno de los términos del
      polinomio por el monomio, separando los coeficientes
      parciales en sus propios signos.

      Ejemplo :

      Dividir :

      Solución :

      Dividiendo cada término del dividendo entre
      el divisor, tenemos :

      Efectuando tenemos :

      K = 9 x2 y2 –
      5×4 y4 z2 +
      11×10 y7 z4

    2. División de un Polinomio por un
      Monomio

      En este caso se pueden usar cualquiera de los
      siguientes métodos :

      1. Método clásico o
        normal
      2. Método de coeficientes
        separados
      3. Método de Horner
      4. Método de Ruffini

      ESTUDIO DE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES
      METODOS

    3. División de los Polinomios

      Para dividir mediante este método se debe seguir los siguientes
      pasos :

    4. Método Clásico o
      Normal
    5. Se ordena los polinomios, generalmente en forma
      decreciente.
    6. Se escribe en línea horizontal uno a
      continuación de otro utilizando el signo de
      división aritmética.
    7. Se divide el primer término del dividendo,
      entre el primer termino del divisor, obteniéndose el
      primer término del cociente.
    8. Este término se multiplica por cada uno de
      los términos del divisor y se pasan a restar con los
      correspondientes términos del dividendo.
    9. Se divide el primer término del resto obtenido
      entre el primer término del divisor y se obtienen el
      segundo término del cociente.

      Ejemplo : Hallar el cociente en la
      siguiente división :

      Solución : Ordenamos ambos polinomios en
      forma decreciente, la operación se dispone en la
      forma siguiente :

      6×5 –
      21×4 – 13×3 +
      25×2 – 12x + 7

       

      3×4 + 0x3 +
      0x2 – 2x + 1

      – 6×5 – 0x4
      – 0x3 + 4×2 –
      2x

       

      2x – 7

       

      -21×4 – 13×3 +
      29×2 – 14x + 7

       

       

       

      21×4 + 0x3 +
      0x2 – 14x + 7

       

       

       

      -13×3 + 29×2
      – 28x + 14

       

       

      Donde : cociente ( q ) = 2x – 7

      Residuo ( r ) = -13×3 +
      29×2 – 28x + 14

    10. Se procede como en el pasa 4 y así
      sucesivamente hasta terminar la división.

      En este caso, además de los consideraciones
      anteriores se debe tener en cuenta :

    11. Método de Coeficientes
      Separados
    12. Se trabajan solamente con los coeficientes y sus
      correspondientes signos del dividendo y divisor.
    13. En el caso de faltar un término con una
      potencia
      de la variable se coloca en su lugar cero, en el
      divisor.
    14. De esta manera se obtiene los coeficientes con sus
      signos del polinomio cociente.

      q° = D° – d

      r° = d – 1

      1. Este método es recomendable para
        polinomios de una sola variable.

      Ejemplo : Efectuar la siguiente
      división :

      Solución : Observamos que el polinomio
      dividendo y divisor están ordenados.

      Luego :

      6 – 20 – 13 + 25
      – 12 + 7

       

      3 – 1 + 1

      – 6 + 2 – 2

       

      2 – 6 – 7 + 8

       

      – 18 – 15 + 25

       

       

       

      18 – 6 + 6

       

       

       

       

      -21 + 31 – 12

       

       

       

       

      +21 – 7 + 7

       

       

       

       

       

      24 – 5 + 7

       

       

       

       

       

      -24 + 8 – 8

       

       

       

       

       

      + 3 – 1

       

       

      El cociente ( q ) es de grado : q° = D° –
      d° = 5 – 2 = 3

      El cociente
      es q = 2×3 – 6×2 – 7x +
      8

      el de grado : r° = d° – 1 = 2 – 1 =
      1

      El resto ( r ) es de grado r = 3x –
      1

    15. Para determinar el grado del cociente y resto se
      aplican las propiedades :
    16. Método de Horner

    Este método es un caso particular del
    método de coefientes separados y se emplea para la
    división de dos polinomios de cualquier
    grado.

    Procedimiento :

    • Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila
      con su propio signo
    • Se escribe los coeficientes del divisor en una
      columna a la izquierda del primer término del dividendo;
      el primero de ellos con su propio signo y los restantes con
      signo cambiado.
    • El primer término del dividendo se divide
      entre el primer término del divisor, obteniéndose
      el primer término del cienote.
    • Se multiplica este término del cociente
      solamente por los términos del divisor a los cuales se
      cambio de
      signo, colocándose los resultados a partir de la segunda
      fila, corriendo un lugar hacia la derecha.
    • Se reduce la siguiente columna y se coloca el
      resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer
      coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del
      cociente.
    • Se multiplica este cociente por los términos
      del divisor a los cuales se cambió de signo,
      colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo
      un lugar hacia la derecha.
    • Se continuaría este procedimiento
      hasta obtener el término debajo del último
      termino del dividendo, separando inmediatamente los
      términos del cociente y resto.
    • Para obtener los coeficientes del residuo se reducen
      directamente cada una de las columnas que
      pertenecen.

    Ejemplo Efectuar la división
    polinómica expresada por :

    Solución :

    Los grados del cociente y residuo serán
    :

    q° = D° – d° = S – 2 = 3

    r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1

    Procedimiento :

     

    Columna

    Cocientes del
    dividendo

      

     

     

     

     

     

     

     

     

    12

    – 4

    + 8

     

     

    Fila

    4

    8

    + 14

    + 5

    +16

    + 3

    + 2

    Coeficiente que si se les cambia de
    signo

    -1

     

    -2

    – 6

     

     

     

    -3

     

     

    – 3

    – 9

     

     

     

     

     

     

    + 1

    + 3

     

     

     

     

     

     

    – 2

    – 6

     

     

    2

    3

    – 1

    2

    4

    – 4

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Coeficiente del
    cociente

    Coeficiente del
    resto

     

     

     

     

     

    Explicación

    Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es el
    primer coeficiente del cociente

    2 se multiplica por los términos del divisor, a
    los cuales se le cambió de signo ( -1; -3), dando como
    resultado : -2; -6 que se colocan en la fila corriendo un lugar
    hacia la derecha.

    Se suma a la segunda columna ( correspondiente al
    dividendo) y el resultado se divide entre 4 igual a 3, este valor
    es el segundo coeficiente del cociente.

    3, se multiplica por ( -1; – 3) y da la tercera fila :
    -3 ; – 9, corriendo un lugar hacia la derecha.

    Se suma la tercera columna, da – 4, se divide
    entre 4, da – 1; este resultado es el tercer coeficiente
    del cociente.

    -1, se multiplica por ( -1; -3) y da la fila : +1; +3,
    corriendo un lugar a la derecha.

    Se suma la cuarta columna, da +8, se divide entre 4, da
    2, este resultado es el cuarto coeficiente del
    cociente.

    2, se multiplica por ( -1) y (-3) y da la fila : -2 y
    -6

    como el último término de este producto
    queda debajo del último coeficiente del dividendo 2, se
    separa con una línea los términos obtenidos los
    cuales pertenecen al cociente.

    Se reducen las siguientes columnas, da 4 y -4 y se baja
    directamente, y se bajan directamente y vienen a ser los
    coeficientes del resto.

    Entonces : Q(x) = 2×3 + 3×2
    – x + 2 ( cociente obtenido)

    R(x) = 4x – 4 ( residuo
    obtenido)

    2. Dividir :

    Solución : q° = D° – d°

    q° = 5 – 2 = 3

    r° = d – 1 = 2 – 1 = 1

    Solución :

     

     

    – 18

    – 21

    24

     

     

    3

    6

    – 20

    – 13

    + 25

    – 12

    + 7

    1

     

    2

    – 2

     

     

     

    -1

     

     

    – 6

    + 6

     

     

     

     

     

     

    – 7

    + 7

     

     

     

     

     

     

    + 8

    – 8

     

    2

    – 6

    – 7

    + 8

    + 3

    – 1

     

     

     

     

    Q (x) = 2×3 – 6×2 – 7x
    + 8

    ( cociente obtenido )

    R (x ) = 3x – 1

    ( residuo obtenido)

    1. Regla de RUFFINI

    Esta regla, es un caso particular del método de
    Horner. Se aplica en general para dividir un P(x) entre un
    divisor que tenga o adopte las siguientes formas :

    x ± b ; ax ± b y axn
    ± b

    Se estudian 3 casos :

    • Cuando el coeficiente del primer término
      del divisor es diferente de cero.

    su forma general : x ± b . se opera así
    :

    1. Se escriben los coeficientes del dividendo en
      línea horizontal;
    2. Se escribe el término independiente del
      divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo
      del coeficiente del primer término del
      dividendo;
    3. Se divide como en el caso de Horner, teniendo
      presente que el primer coeficiente del cociente es igual al
      primer coeficiente del dividendo.

      Ejemplo :

      1. Solución :

        Escribimos los coeficientes en el respectivo
        cuadro ( completando con ceros los términos que
        faltan):

        q° = D° – d° = 5 – 1 =
        4

        r° = d° – 1 = 1 – 1 =
        0

         

        Cocientes del
        dividendo

         

         

         

         

         

         

         

         

        2

        0

        1

        0

        3

        2

        – 1

         

        – 2

        2

        – 3

        3

        – 6

         

        2

        – 2

        3

        – 3

        6

        – 4

         

         

         

         

         

         

        Resto

         

        Coeficiente del
        cociente

         

         

         

         

         

        Termino Independiente del divisor con signo
        cambiado

        Entonces : Q(x) = 2×4 –
        2×3 + 3×2 – 3x + 6 (
        cociente obtenido)

        R(x) = 4 ( residuo obtenido)

      2. Obtener el cociente y el resto en la
        división :
      3. Efectuar :
    4. Para obtener el cociente, se separa la
      última columna que viene a ser el resto.

    Solución : ordenando y completando el polinomio
    dividiendo tenemos :

    Operando tenemos :

    q° = D° – d° = 6 – 1 = 5

    r° = d – 1 = 1 – 1 = 0

    Cocientes del dividendo

     

    3

    0

    2

    – 3

    0

    0

    5

    2

     

    6

    12

    28

    50

    100

    200

     

    3

    6

    14

    25

    50

    100

    205

     

     

     

     

     

     

     

    Resto

     

    Coeficiente del
    cociente

     

     

     

     

    Donde :

    Cociente obtenido : 3

    Residuo obtenido :

    1. Cuando el coeficiente del primer término
      del divisor es diferente de cero.

    Su forma general es : ax ± b

    • Se transforma el divisor, extrayendo factor
      común, el primer término del divisor, es decir
      :
    • ( ax ± b) = a ( a ± b/a )
    • Se divide entre ( x ± b/a) , como en el primer
      caso.
    • Los coeficientes del cociente obtenido se dividen
      entre el primer coeficiente del divisor.
    • El resto obtenido no sufre
      alteración

    Ejemplo : Hallar cociente y resto en
    :

    Solución :

    a) Se factoriza 3 así :

    b) Dividiendo entre x + 2/3

    c) Previamente se completa el dividendo con
    cero

    Operamos así :

    Ordenando y completando los coeficientes de el
    polinomio, tenemos :

     

    18

    0

    – 29

    – 5

    – 12

    – 16

     

    – 12

    8

    14

    – 6

    12

     

    18

    – 12

    – 21

    9

    – 18

    – 4

     

     

     

    Donde :

    Cociente obtenido : 18×4 –
    12×3 – 21×2 + 9x –
    18

    Residuo obtenido : – 4

    1. En este caso para que la división se pueda
      efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben
      ser múltiplos del exponente de la variable del
      divisor.

      Ejemplo Hallar el cociente y el
      resto en :

      Solución :

      Observamos que los exponentes de la variable del
      dividendo son múltiplos del exponente del divisor
      (9), por lo tanto, se puede aplicar el
      método.

      Haciendo : x9 = y, la división
      es :

      3y + 1 = y + 1/3 = 0 Þ y = -1/3

       

      6

      + 17

      – 16

      + 17

      + 12

      -1/3

       

      – 2

      – 5

      7

      – 8

       

      6

      + 15

      – 21

      + 24

      4

       

      Cociente primario : 6y3 +
      15y2 – 21y + 24

      Simplificando tenemos ( dividiendo entre 3)
      : 2y3 + 5y2 – 7y + 8

      Reemplazando : y = x9 , el cociente
      será : 2×27 + 5×18 –
      7×9 + 8

      Y de residuo o resto, tenemos : R = 4

      LABORATORIO N° 02

    2. Cuando el divisor es de la forma : axn
      + b

    3. Calcular el cociente y el resto de la
      división

    4. Calcular A + B; si la división en exacta
      :

      El resto obtenido es un Polinomio
      idénticamente nulo.

    5. Calcular : "m" y "n" si la división :

    6. Dividir por el método de Horner :

      Banco A : ( x5 – 5×2 +
      2) soles

      Banco B : ( 6×3 + 7×6
      – 6) soles

      Banco C : (2×4 – 2×2 +
      x ) soles

      Banco D : ( – 2×4 –
      6×3 + 5) soles

      Si quisiera repartir entre (x2 + x + 1)
      personas entre partes iguales. ¿cuánto le
      tocará a cada uno?

    7. Mi capital
      esta en las siguientes bancos
      :

      a)

      b)

      c)

      d)

      PROBLEMAS RESUELTOS

    8. Dividir :

      Solución :

      7

      28

      2

      -7

      22

      -16

      3

       

      12

      – 20

       

       

       

       

       

      6

      – 10

       

       

       

       

       

      – 9

      15

      -5

       

       

       

       

       

       

      4

      2

      – 3

      3

      – 1

      Q(x) : 4 x2 + 2 x – 3

      R(x) : 3 x – 1

    9. Efectuar por el método de Horner

      Solución
      : Haciendo : 4x + 3 = 0

      4 x = -3

      x = – 3/4

      20

      -13

      -13

      14

      -3/4

       

      -15

      21

      – 6

       

      20

      – 28

      8

      8

      Q(x) = 5×2 – 7 x + 2

      R(x) = 8

    10. Hallar Cociente y Resto por Ruffini

      es exacta

      Por método de Horner

      2

      6

      0

      – 13

      a

      – b

      4

       

      12

      – 15

       

       

       

       

       

      24

      – 30

       

       

       

       

       

      – 8

      10

      – 5

       

       

       

       

       

       

      3

      6

      – 2

      (a – 38) . (-b +
      10)

      Si es exacta R = 0

      a – 38 = 0

      a = 38 – b + 10 = 0

      b = 10 a + b = 48
      rpta.

    11. Hallar ( a + b ) si la división

      + 1

      1

      a + 1

      a + b

      b + 1

      a

      b

      – a

       

      – a

      – b

       

       

       

       

       

       

      – a

      – b

       

       

      – b

       

       

       

      0

      0

       

       

       

       

       

       

      – a

      – b

       

      1

      1

      0

      1

      0

      0

      Resto = 0

    12. Hallar el resto por método de Horner

      deja 4 de resto

      21×4 –
      41×3 – 23×2 + mx
      – 16

      3 x – 5

      -21×2 +
      35×3

       

      7×3 – 2×2 11x
      + 4

       

      -6 x3 –
      23×2 + mx – 16

       

       

      +6×3 –
      10×2

       

       

      – 33×2 + mx
      – 16

       

       

      + 33×2 – 55 x

       

      (m – 55)x –
      16

       

       

      – 12 x + 20

       

      (m – 67) x +
      4

       

      m – 67 = 0

      m = 67

      TAREA

      1. Resolver por el método de
      Horner

      Q(X) = 4×2 + 7 x + 2

      R(X) = 10 x + 1

    13. Calcular "m" si la división

      a) b)

      Q(X) = 4×2 + 13 x + 33 Q(X) =
      5×2 + 7x + 4

      R = 67 R = 12

    14. Resolver por el método de Ruffini

      es 5

      por el método de ruffini. R : a =
      19

    15. Hallar "a" si el resto de la división :

      Q(X) = 4 x2 – 2x + 3

      R(X) = 3×2 + 6 x – ( a +
      9)

    16. Hallar el resto y cociente por le método de
      Horner

      1. 4×4 + 2×3 –
        12×2 + 35x – 25 : 2×2 + 4x
        – 5
      2. x6 + x5 y –
        7×4 y2 + 12×3
        y3 – 13×2 y4+7x
        y5 – y6 : x2
        – 2 x y + y2
      3. xm+2 – 5xm
        – 3xm+1 + 20xm-1 +
        25xm-3 : xm –
        3xm-1 + 5xm-3
      4. x2n – 4x2n-2 +
        5x2n-3 + 2x2n – 4 –
        2x2n-4 : xn –
        xn-1 + xn-2
    17. Dividir por el método clásico :

      Teorema del Resto

      Es el método por el cual se obtienen el
      residuo de una división algebraica sin efectuar
      división.

      1° El divisor se iguala a cero

      2° Conseguiremos el resto Remplazando el
      valor anterior en el dividendo D

      Ejemplos

      Calcular el resto de las divisiones :

      1) 2n4 – 5n3 +
      7n2 – 9n + 3 ÷ ( n – 1
      )

      Solución

      1° n – 1 = 0

      2° n = 1 se reemplaza en el dividendo
      :

      n = 1R = 2n4 –
      5n3 + 7n2 – 9n + 3

      R = 2( 1)4 – 5(1)3 +
      7(1)2 – 9(1) + 3

      R = 2 – 5 + 7 – 9 + 3

      R = – 2 Residuo

    18. Dividir entre monomios y polinomio entre
      monomio

      2×4 –
      4×2 + 3x + 6 ÷ 3 + 2

      Solución

      3x + 2 = 0

      3x = – 2

      x = -2/3

      se reemplaza en :

      2×4 – 4×2 + 3x +
      6

    19. Hallar el residuo de los siguientes
      derivados

    Solución
    :

    x + y – z = 0

    x + y = z

    se reemplaza en

    R = ( x + y + z )2 – 4 z (x + y) +
    3

    R = ( z + z)2 – 4z . z + 3

    R = (2 z)2 – 4 z2 +
    3

    R = 4 z2 – 4 z2 +
    3 à
    R = 3

    TAREA

    Hallar el residuo de los divisiones :

    1. 3×4 + 2¸ x3 + 13×2
    + ¸
    x – 6 ÷ 3x – ¸ R.
    -2

    2. (x + a)5 – x5 –
    a5 ÷ x + 2ª R. 30
    a5

    3. [x (x + 1) (x + 2) (x + 3) –
    12]4 ÷ x2 + 3x +
    5 R. 81

    4. (x – y + 7)28 – (x – y
    + 5)15 + 3 ÷ (x – 4 +
    6) R. 5

    5. 35×4 + 11×3 + 14×2
    – 18x – 13 ÷ 5x + 3 R. 5

    6. Hallar "m" si la división :

    es
    exacta

    Solución :

    Por Teorema del Resto

    x + y = 0 à x = – y

    se remplaza en :

    (x – y)7 – x7 –
    my7 = 0

    (-y – y)7 – (-y)7 +
    my7 = 0

    (– 2y)7 – (-y)7 +
    my7 = 0

    – 128y7 + y7 –
    my7 = 0

    y7 ( – 128 + 1 + m) = 0

    – 127 + m = 0

    m = – 127

    JOSE LUIS CARRILLO RIGOFRIO

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