1. Definición
2. Ejercicios para la clase
3. Laboratorio N° 01
4. División algebraica
5. Estudio de cada uno de los métodos
6. Laboratorio N° 02
7. Problemas resueltos
8. Tareas

1. Efectuar : ( x² – 2x + 1) ( x² + x + 1)² + ( x³ + 1)²

Solución :



Aplicando producto notable en "a" que es una suma de binomios

x² – 2x + 1 = ( x – 1)²

Luego : ( x – 1)² (x² + x + 1)² + (x³ + 1)²



Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos :

(x³ – 1)² + (x² + 1)²

(x³)² - 2x³ (1) + 1 + (x³)² + 2x³ (1) + 1

(x³)² + (x³)² + 2 = 2 (x³)² + 2

= 2x⁶ + 2 = 2 (x⁶ + 1)

2. Simplificar :

M = ( a + b ) ( a² + b² ) ( a³ – b³ ) (a² – ab + b²) (a⁴ – a² b² + b⁴) + b¹²

Solución

Ordenando los productos notables tenemos :

( a + b ) ( a² + b² ) ( a³ – b³ ) (a² – ab + b²) (a⁴ – a² b² + b⁴) + b¹²

* **

Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :

( a + b ) (a² – ab + b²) = a³ + b³

Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :

( a² + b² ) (a⁴ – a² b² + b⁴) = a⁶ + b⁶

Remplazando en la expresión inicial tenemos :

( a³ + b³ ) ( a⁶ + b⁶ ) ( a³ – b³ ) + b¹²

Ordenando los factores tenemos :

( a³ + b³ ) ( a⁶ + b⁶ ) ( a³ – b³ ) + b¹²

¨

aplicando productos notables en "¨ " :

( a⁶ + b⁶ ) ( a⁶ + b⁶ ) = a¹² – b¹² + b¹² = a ¹² Rpta.

3. Simplificar :



Solución

Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos :



Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos :











K = a² - b² Rpta.

4. Hallar el valor de P :

1. Efectuar :

R = (a + b + c) (a + b - c) + (a + b – c) (a – b + c) + ( a – b + c) (b + c – a) +

( b – c + a) (b – c – a) – 4ab

2. Reducir :



3. Calcular el valor de :



4. Simplificar :

Nota Importante: En toda división la nomenclatura de grados es :

1. División de un Polinomio por un Monomio

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, separando los coeficientes parciales en sus propios signos.

Ejemplo :

Dividir :

Solución :

Dividiendo cada término del dividendo entre el divisor, tenemos :



Efectuando tenemos :

K = 9 x² y² – 5x⁴ y⁴ z² + 11x¹⁰ y⁷ z⁴

2. División de los Polinomios

En este caso se pueden usar cualquiera de los siguientes métodos :

1. Método clásico o normal
2. Método de coeficientes separados
3. Método de Horner
4. Método de Ruffini

ESTUDIO DE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES METODOS

3. Método Clásico o Normal

Para dividir mediante este método se debe seguir los siguientes pasos :

4. Se ordena los polinomios, generalmente en forma decreciente.
5. Se escribe en línea horizontal uno a continuación de otro utilizando el signo de división aritmética.
6. Se divide el primer término del dividendo, entre el primer termino del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.
7. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo.
8. Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtienen el segundo término del cociente.
9. Se procede como en el pasa 4 y así sucesivamente hasta terminar la división.

Ejemplo : Hallar el cociente en la siguiente división :



Solución : Ordenamos ambos polinomios en forma decreciente, la operación se dispone en la forma siguiente :

6x5 – 21x4 – 13x3 + 25x2 – 12x + 7			3x4 + 0x3 + 0x2 – 2x + 1
- 6x5 – 0x4 – 0x3 + 4x2 – 2x			2x - 7
	-21x4 – 13x3 + 29x2 – 14x + 7
	21x4 + 0x3 + 0x2 – 14x + 7
	-13x3 + 29x2 – 28x + 14

Donde : cociente ( q ) = 2x – 7

Residuo ( r ) = -13x³ + 29x² – 28x + 14

10. Método de Coeficientes Separados

En este caso, además de los consideraciones anteriores se debe tener en cuenta :

11. Se trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor.
12. En el caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, en el divisor.
13. De esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del polinomio cociente.
14. Para determinar el grado del cociente y resto se aplican las propiedades :

q° = D° - d

r° = d – 1

1. Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

Ejemplo : Efectuar la siguiente división :



Solución : Observamos que el polinomio dividendo y divisor están ordenados.

Luego :

6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7					3 – 1 + 1
- 6 + 2 – 2					2 – 6 - 7 + 8
	- 18 – 15 + 25
	18 – 6 + 6
		-21 + 31 – 12
		+21 – 7 + 7
			24 – 5 + 7
			-24 + 8 – 8
			+ 3 - 1

El cociente ( q ) es de grado : q° = D° - d° = 5 – 2 = 3

\ El cociente es q = 2x³ – 6x² – 7x + 8

el de grado : r° = d° - 1 = 2 – 1 = 1

El resto ( r ) es de grado r = 3x – 1

15. Método de Horner

1. Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;
2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;
3. Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.
4. Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

Ejemplo :

1. Obtener el cociente y el resto en la división :



Solución :

Escribimos los coeficientes en el respectivo cuadro ( completando con ceros los términos que faltan):

q° = D° - d° = 5 – 1 = 4

r° = d° - 1 = 1 – 1 = 0

	Cocientes del dividendo
	2	0	1	0	3	2
- 1		- 2	2	- 3	3	- 6
	2	- 2	3	- 3	6	- 4
						Resto
	Coeficiente del cociente

 

 

 

 

Termino Independiente del divisor con signo cambiado

Entonces : Q(x) = 2x⁴ – 2x³ + 3x² – 3x + 6 ( cociente obtenido)

R(x) = 4 ( residuo obtenido)

2. Efectuar :

1. Cuando el divisor es de la forma : axⁿ + b

En este caso para que la división se pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor.

Ejemplo Hallar el cociente y el resto en :



Solución :

Observamos que los exponentes de la variable del dividendo son múltiplos del exponente del divisor (9), por lo tanto, se puede aplicar el método.

Haciendo : x⁹ = y, la división es :



3y + 1 = y + 1/3 = 0 Þ y = -1/3

	6	+ 17	- 16	+ 17	+ 12
-1/3		- 2	- 5	7	- 8
	6	+ 15	- 21	+ 24	4

 

Cociente primario : 6y³ + 15y² – 21y + 24

Simplificando tenemos ( dividiendo entre 3) : 2y³ + 5y² – 7y + 8

Reemplazando : y = x⁹ , el cociente será : 2x²⁷ + 5x¹⁸ – 7x⁹ + 8

Y de residuo o resto, tenemos : R = 4

LABORATORIO N° 02

2. Calcular el cociente y el resto de la división



3. Calcular A + B; si la división en exacta :



4. Calcular : "m" y "n" si la división :



El resto obtenido es un Polinomio idénticamente nulo.

5. Dividir por el método de Horner :



6. Mi capital esta en las siguientes bancos :

Banco A : ( x⁵ – 5x² + 2) soles

Banco B : ( 6x³ + 7x⁶ – 6) soles

Banco C : (2x⁴ – 2x² + x ) soles

Banco D : ( - 2x⁴ – 6x³ + 5) soles

Si quisiera repartir entre (x² + x + 1) personas entre partes iguales. ¿cuánto le tocará a cada uno?

7. Dividir :

a)

b)

c)

d)

PROBLEMAS RESUELTOS

8. Efectuar por el método de Horner



Solución :

7	28	2	-7	22	-16
3		12	- 20
			6	- 10
				- 9	15
-5
	4	2	- 3	3	- 1

Q(x) : 4 x² + 2 x – 3

R(x) : 3 x – 1

9. Hallar Cociente y Resto por Ruffini



Solución : Haciendo : 4x + 3 = 0

4 x = -3

x = - 3/4

	20	-13	-13	14
-3/4		-15	21	- 6
	20	- 28	8	8



Q(x) = 5x² – 7 x + 2

R(x) = 8

10. Hallar ( a + b ) si la división

es exacta

Por método de Horner

2	6	0	- 13	a	- b
4		12	- 15
			24	- 30
				- 8	10
- 5
	3	6	- 2	(a – 38) . (-b + 10)

Si es exacta R = 0

a – 38 = 0

a = 38 - b + 10 = 0

b = 10 a + b = 48 rpta.

11. Hallar el resto por método de Horner



+ 1	1	a + 1	a + b	b + 1	a	b
- a		- a	- b
			- a	- b
- b				0	0
					- a	- b
	1	1	0	1	0	0

Resto = 0

12. Calcular "m" si la división

deja 4 de resto

21x4 - 41x3 – 23x2 + mx – 16					3 x – 5
-21x2 + 35x3					7x3 – 2x2 11x + 4
	-6 x3 – 23x2 + mx – 16
	+6x3 – 10x2
- 33x2 + mx – 16
		+ 33x2 – 55 x
(m – 55)x – 16
			- 12 x + 20
(m – 67) x + 4

m – 67 = 0

m = 67

TAREA

1. Resolver por el método de Horner



Q(X) = 4x² + 7 x + 2

R(X) = 10 x + 1

2. Resolver por el método de Ruffini

a) b)

Q(X) = 4x² + 13 x + 33 Q(X) = 5x² + 7x + 4

R = 67 R = 12

3. Hallar "a" si el resto de la división :

es 5

por el método de ruffini. R : a = 19

4. Hallar el resto y cociente por le método de Horner



Q(X) = 4 x² – 2x + 3

R(X) = 3x² + 6 x – ( a + 9)

5. Dividir por el método clásico :

1. 4x⁴ + 2x³ – 12x² + 35x – 25 : 2x² + 4x – 5
2. x⁶ + x⁵ y – 7x⁴ y² + 12x³ y³ – 13x² y⁴+7x y⁵ – y⁶ : x² – 2 x y + y²
3. x^m+2 – 5x^m – 3x^m+1 + 20x^m-1 + 25x^m-3 : x^m – 3x^m-1 + 5x^m-3
4. x²ⁿ – 4x^2n-2 + 5x^2n-3 + 2x^{2n – 4} – 2x^2n-4 : xⁿ – x^n-1 + x^n-2
5. 

2. Dividir entre monomios y polinomio entre monomio

1. 
2. 
3. 
4. 

Teorema del Resto

Es el método por el cual se obtienen el residuo de una división algebraica sin efectuar división.

1° El divisor se iguala a cero

2° Conseguiremos el resto Remplazando el valor anterior en el dividendo D

Ejemplos

Calcular el resto de las divisiones :

1) 2n⁴ – 5n³ + 7n² – 9n + 3 ÷ ( n – 1 )

Solución

1° n – 1 = 0

2° n = 1 se reemplaza en el dividendo :

n = 1 R = 2n⁴ – 5n³ + 7n² – 9n + 3

R = 2( 1)⁴ – 5(1)³ + 7(1)² – 9(1) + 3

R = 2 – 5 + 7 – 9 + 3

R = - 2 Residuo

3. Hallar el residuo de los siguientes derivados

2x⁴ – 4x² + 3x + 6 ÷ 3 + 2

Solución

3x + 2 = 0

3x = - 2

x = -2/3

se reemplaza en :

2x⁴ – 4x² + 3x + 6















4. 

1. 3x⁴ + 2¸ x³ + 13x² + ¸ x – 6 ÷ 3x - ¸ R. -2

x + y = 0 à x = - y

amor01_5[arroba]hotmail.com