- Divergencia
- Rotacional de un campo
vectorial - Teorema de
Stokes - Gradiente
- Operador
Nabla - Laplaciano
- Espectro
electromagnético - Ondas
electromagnéticas - Referencia
electrónica - Bibliografía
En este trabajo se
desarrolla algunos temas muy importantes de un caso muy
importante de la relación entre ciencia y
tecnología: el electromagnetismo
El caso del electromagnetismo es notable, entre otras
cosas, por el hecho de que una vez llevados a cabo los
descubrimientos científicos tuvieron inmediata
aplicación práctica y viceversa, las aplicaciones
prácticas fomentaron la investigación científica para
resolver diferentes problemas, lo
cual a su vez abrió nuevos horizontes
científicos.
Haciendo una muy breve historia sobre aquellos
científicos que aportaron grandiosos descubrimientos sobre
el electromagnetismo se puede mencionar a. James Glerk Maxwell
que realizó una gran síntesis
teórica de los trabajos de Ampère y Faraday sobre
la electricidad y el
magnetismo, lo
que le condujo al sorpresivo descubrimiento de que la luz era de origen
eléctrico y magnético. Además, como
consecuencia de la teoría
que desarrolló predijo la existencia de las ondas
electromagnéticas.
Basado en el trabajo de
sus antecesores, Maxwell construyó uno de los pilares de
la física,
comparable con la mecánica desarrollada por Newton. Se ha
de mencionar que la teoría electromagnética de
Maxwell sirvió para el futuro desarrollo de
la teoría de la relatividad de Einstein.
Años después de que Maxwell hiciera la
predicción de las ondas electromagnéticas en forma
teórica, Hertz llevó a cabo un notable experimento,
que es un ejemplo de la forma en que se hace ciencia. Se
propuso indagar si en la naturaleza
efectivamente existen ondas electromagnéticas. Su trabajo
verificó en forma brillante las predicciones de
Maxwell.
Después de los experimentos de
Hertz no quedó ya ninguna duda, desde el punto de vista
conceptual, acerca de la realidad física de los campos,
idea que Faraday había propuesto originalmente y que
Maxwell elaboró en su forma matemática. Esta idea ha sido de crucial
importancia en la física posterior, tanto para la
relatividad de Einstein como para las teorías
modernas de las partículas elementales
Otra consecuencia de los trabajos de Maxwell y Hertz fue
el inicio de las comunicaciones
inalámbricas
A partir de la década de 1950 se ha vivido en una
revolución
continua. Los avances científicos en la comprensión
de la estructura de
la materia han
dado lugar a un sinfin de aplicaciones del
electromagnetismo.
Supongamos (Fig.3) un punto P dentro de un
pequeño volumen
v limitado a su vez por una superficie s. En este caso el volumen
es un prisma recto de aristas x, y y
z, paralelas a los ejes x, y, y z respectivamente. Todo ello en
un espacio en el que se supone que existe un campo vectorial F.
El flujo del campo F a través de la superficie s es, como
hemos visto en (5.9),. (1) Si este flujo lo
dividimos
(1)
por v, tendríamos el
flujo por unidad de volumen: (1). Se denomina divergencia de
F (div F) al límite, cuando
v tiende a cero, de esta última
expresión.
div F =
(1) (5.17)
Vamos a encontrar otra expresión de la
divergencia en el sistema de
coordenadas más frecuentemente utilizado (coordenadas
cartesianas). El fujo de F a través de las 6
caras del cubo será la suma de los flujos a través
de cada una de dichas caras. Así, a través de la
cara A paralela al plano yz, el flujo valdrá:
A =
Fx (1)
y a través de la cara opuesta a la A:
A’ = –
Fx (1)
Desarrollando en serie de Taylor Fx
(x+ x/2, y, z) y Fx (x- x/2, y, z)
tendríamos:
A =
(1)
A’ =
(1)
donde con los puntos suspensivos queremos indicar los
términos del desarrollo con ( x)2,
( x)3, etc ….. Pero como vamos a hacer
tender a cero v y por lo tanto x, y y
z, esos términos serán despreciables
frente al primero. Luego
A +
A’ = (1)
Con un razonamiento idéntico para las caras
paralelas a xz y a xy tendremos que
B +
B’ = (1)
C +
C’ = (1)
Como (1)
= A + A’
+ B + B’ +
C + C’, nos queda
finalmente:
div F
=(1); div
F = (1)
(5.18)
Si utilizamos coordenadas cilíndricas,
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Y en coordenadas
esféricas:
Para
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ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL
Hemos definido anteriormente (5.8) el concepto de
circulación de un campo vectorial F a lo
largo de una trayectoria (abierta o cerrada). También
hemos visto que si c es una curva cerrada:
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Cuando un depósito lleno (una bañera, por
ejemplo) está vaciándose a través de un
desagüe, alrededor de éste se forman remolinos que
son una imagen muy
intuitiva de la circulación del vector velocidad. El
desagüe sería la ‘fuente’ de la
circulación, la causa de la ‘rotación’
a su alrededor, una imagen intuitiva de lo que vamos a definir en
seguida como rotacional.
Supongamos un punto P0 en el espacio en el
que está definido un campo vectorial F.
Alrededor de este punto imaginamos una curva cerrada y plana C,
que limita una superficie pequeña S que incluye al punto
P0. La circulación de F alrededor
de la curva C dependerá de la orientación de esta.
Supongamos que hemos escogido la orientación en la que el
valor de dicha
circulación es máximo. "Se llama rotacional de
F en el punto P0 al valor cuando s
tiende a cero de un vector perpendicular a la superficie S;
sentido determinado por la regla del sacacorchos o de la mano
derecha, y cuyo módulo es: ".
Lo escribimos así:
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Siendo an un vector unitario en
la dirección perpendicular a la superficie
s. Naturalmente si F fuera un campo
conservativo, el rot F será el vector
nulo.
ROTACIONAL EN COORDENADAS CARTESIANAS.
Vamos a determinar la componente x del rot
F usando coordenadas cartesianas. En Fig. 4 –
a:
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Puede escribirse un determinante de tercer orden cuyo
desarrollo sea el rotacional cartesiano de A.
Los elementos de la segunda fila son los componentes del
operador nabla. Esto sugiere que el rotacional A se puede
escribir como . Como con otras expresiones del análisis vectorial, esta conveniente
notación se usa para rotacional A en otros sistemas
coordenados aunque solo está definido en el
cartesiano.
Las expresiones para el rotacional A en coordenadas
cilíndricas y esféricas pueden derivarse en la
misma forma antes mencionada, aunque con más
dificultad.
(Cilíndrico)
(Esférica)
Dos propiedades del operador rotacional frecuentemente
útiles son:
Para cualquier campo vectorial A.
- la divergencia de un rotacional es cero. Esto
es: - el rotacional de un ardiente es cero. Esto es
:
Para cualquier función
escalar de posición ƒ
Recordemos la definición de rotacional de un
campo escalar F. Si multiplicamos los dos miembros de esta por
s.an, nos
quedará:
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Donde c es la línea que limita a la
superficie s. Como hemos de hacer tender a cero
s, el primer miembro de (5.40) es el elemento diferencial
rot F.ds (
xF). ds, y el segundo es la
circulación de un signo (en sentido CW por ejemplo), a lo
largo de la línea c. s es un pequeño cuadrado y
c el perímetro de sus cuatro lados (Fig.
6).
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Esta relación que transforma una integral de
superficie en una integral de línea se denomina "teorema
de Stokes" y es de gran interés en
Electromagnetismo.
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Si nuevamente se recuerda que la divergencia es una
operación sobre un vector, que da como resultado un
escalar al igual que el producto punto
de dos vectores que
también da un escalar, parece posible encontrar algo que
pudiera "puntearse" formalmente con D para producir el
escalar
Obviamente, esto no puede hacerse usando un producto
punto; el proceso debe
ser una operación punto
Con esto en mente, se define el operado "nabla"
como un
operador vectorial.
Aparecen operadores escalares semejantes en varios
métodos de
soluciones de
ecuaciones
diferenciales donde con frecuencia D reemplaza a d/dx,
D2 a d2/dx2 y así
sucesivamente. Se conviene al definir (dígase nabla) que se le trate como
un vector ordinario con la importante excepción de que
resultan derivadas
parciales en vez de productos de
escalares
Constituye la ecuación de Laplace. La
operación se llama el laplaciano de V.
En coordenadas cartesianas la ecuación de Laplace
es:
(Cartesianas)
Y la forma de en coordenadas cilíndricas y
esféricas puede obtenerse usando las expresiones para la
divergencia y el gradiente, obtenidas para dichos sistemas de
coordenadas. Como referencia, el laplaciano en coordenadas
cilíndricas es:
(Cilíndricas)
Y en coordenadas esféricas es:
(Esféricas)
Estas ecuaciones
pueden desarrollarse más efectuando las derivadas
parciales indicadas; sin embargo, con frecuencia es más
útil tenerlas en las formas dadas anteriormente; es
más, resulta mucho más fácil desarrollarlas
después, en caso necesario, que recomponer nuevamente los
términos diferenciados
Es el conjunto de ondas electromagnéticas. Van
desde las de menor longitud de onda y por lo tanto mayor
frecuencia y energía, como son los rayos cósmicos,
rayos gamma, y rayos X, pasando
por la luz ultravioleta, luz visible (que en realidad ocupa una
estrecha franja del espectro electromagnético),
infrarroja, hasta las ondas electromagnéticas de mayor
longitud de onda y menor energía como son las ondas de
radio. En
cualquier caso, cada una de las categorías es de ondas de
variación de campo electromagnético.
La tabla a continuación muestra el
espectro electromagnético, con sus longitudes de onda,
frecuencias y energías.
| Longitud de | Frecuencia | Energía |
Rayos gamma | < 10 pm | >30.0 EHz | >19.9E-15 J |
Rayos X | < 10 nm | >30.0 PHz | >19.9E-18 J |
Ultravioleta | < 200 nm | >1.5 PHz | >993E-21 J |
Ultravioleta | < 380 nm | >789 THz | >523E-21 J |
Luz | < 780 nm | >384 THz | >255E-21 J |
Infrarrojo Cercano | < 2.5 um | >120 THz | >79.5E-21 J |
Infrarrojo Medio | < 50 um | >6.00 THz | >3.98E-21 J |
Infrarrojo Lejano/submilimetrico | < 1 mm | >300 GHz | >199E-24 J |
Microondas | < 30 cm | >1.0 GHz | >1.99e-24 J |
Ultra Alta Frecuencia Radio | <1 m | >300 MHz | >1.99e-25 J |
Muy Alta Frecuencia Radio | <10 m | >30 MHz | >2.05e-26 J |
Onda corta Radio | <180 m | >1.7 MHz | >1.13e-27 J |
Onda Media(AM) Radio | <650 m | >650 kHz | >4.31e-28 J |
Onda Larga Radio | <10 km | >30 kHz | >1.98e-29 J |
Muy Baja Frecuencia Radio | >10 km | <30 kHz | <1.99e-29 J |
El espectro electromagnético es el conjunto de
ondas electromagnéticas que existen en el universo
ordenadas en función de sus frecuencias o longitudes de
onda, o lo que es lo mismo, de la energía que
transportan.
Los objetos celestes, aparte de los cuerpos del Sistema Solar,
están tan lejos que la luz que emiten es en la
práctica el único medio que tenemos para
estudiarlos y entender su naturaleza. Uno de los descubrimientos
fundamentales de la física del siglo XX fué que la
luz tiene una naturaleza dual: a veces se comporta como ondas y a
veces como partículas, llamadas fotones. Algunos
fenómenos pueden interpretarse en base al modelo
ondulatorio de la luz, y en otras situaciones debe enfocarse el
problema desde pensando en la luz como un conjunto de
fotones.
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La luz visible representa apenas una pequeña
porción del espectro electromagnético, que se
extiende desde los rayos gamma hasta longitudes de onda de radio.
Aunque en realidad ambos extremos del espectro
electromagnético se extienden desde cero hasta el
infinito.
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La luz blanca es en realidad una mezcla de longitudes de
onda. Cuando hacemos que la luz blanca pase a través de un
prisma, se descompone en longitudes de onda o colores que la
integran, formando un espectro.
La ciencia encargada del análisis de los
espectros se llama espectroscopía.
Una onda electromagnética consiste de campos
eléctricos y magnéticos oscilantes. Estos campos se
propagan en el vacío con una velocidad constante c = 300
000 km/s. Este valor es una constante fundamental de la
naturaleza y uno de los pilares en que se sustenta la
Física moderna, en especial la Teoría de la
Relatividad.
Para la luz visible la unidad de medida usada es el
Angstrom:
1 Ångstrom=10-8
cm
Y abarca el rango de 4000 Å a 7000 Å.
Otras propiedades ondulatorias de la luz son su frecuencia y su
energía:
f=c/l E=hc/l
Donde c es la velocidad de la luz en el
vacío, h es la constante de Planck, y l es la longitud de
onda.
Son aquellas ondas que no necesitan un medio material
para propagarse. Incluyen, entre otras, la luz visible y las
ondas de radio, televisión
y telefonía.
Todas se propagan en el vacío a una velocidad
constante, muy alta (300 0000 km/s) pero no infinita. Gracias a
ello podemos observar la luz emitida por una estrella lejana hace
tanto tiempo que
quizás esa estrella haya desaparecido ya. O enterarnos de
un suceso que ocurre a miles de kilómetros
prácticamente en el instante de producirse.
Las ondas electromagnéticas se propagan mediante
una oscilación de campos eléctricos y
magnéticos. Los campos electromagnéticos al
"excitar" los electrones de nuestra retina, nos comunican con el
exterior y permiten que nuestro cerebro
"construya" el escenario del mundo en que estamos.
Las O.E.M. son también soporte de las telecomunicaciones y el funcionamiento complejo
del mundo actual.
ORIGEN Y FORMACIÓN
El campo E originado por la carga acelerada depende de
la distancia a la carga, la aceleración de la carga y del
seno del ángulo que forma la dirección de
aceleración de la carga y al dirección al punto en
que medimos el campo (sen ).
Un campo
eléctrico variable engendra un campo
magnético variable y este a su vez uno
eléctrico, de esta forma las O.E.M. se propagan en el
vacío sin soporte material
CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS
ELECTROMAGNÉTICAS
- Absorción y Emisión.
Cuando las ondas de radiación
pasan a través de un gas los
átomos o moléculas que lo componen pueden absorber
parte de esta energía. Cada átomo o
molécula absorbe una longitud de onda específica.
Cuando la radiación es captada después de su paso
por el gas es captada en su espectro le "faltara" la
porción absorbida por el creando en el espectro una
línea oscura de absorción. Este gas a su vez
reemitirá la energía absorbida, esta observada
contra un fondo oscuro producirá líneas brillantes
de emisión que tendrán la misma longitud de onda
del las radiaciones absorbidas. A este fenómeno se le le
conoce como ley de
Kirchhoff.
- Reflexión.
Así como las ondas del espectro visible son
reflejadas por superficies como el agua o los
espejos, las ondas de radio también los son. El principio
de reflexión es el que a permitido el diseño
y construcción de antenas
parabólicas que reflejan y concentran la luz en un solo
punto para que pueda ser captado por un receptor.
- Refracción.
Es la desviación de las ondas cuando ellas pasan
a través de un medio transparente. Las diferentes
sustancias tienen diferentes índices de
refracción
Ej. el vacío es 1 y el agua
1.3
- Fase.
Se dice que dos ondas están en fase cuando sus
picos y valles coinciden.
- Interferencia.
Cuando dos ondas de la misma frecuencia y
dirección se encuentran la onda resultante será la
suma de ambas, a esto se le denomina Interferencia
Constructiva. Cuando dos ondas tienen la misma amplitud y
están fuera de fase 180 grados -es decir el pico de una
coincide con el valle de otra – las dos ondas se cancelan a esto
se le denomina Interferencia Destructiva.
- Difracción.
Cuando una onda electromagnética pasa por un
obstáculo en el espacio la onda es desviada alrededor del
objeto.
- Cintilación.
Cuando una onda electromagnética viaja a
través del medio se ve sometida a pasar por áreas
que varían en presión,
temperatura,
densidad entre
otras su consecuencia es que desde el punto de observación parecerá que las ondas
varíen en intensidad, el efecto visual de esto es que las
estrellas titilen o se vean espejismos en las tierras muy secas.
Este mismo fenómeno ocurre con todas las ondas del
espectro.
http://tamarugo.cec.uchile.cl/FI33A-01/
http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/112/htm/electr.htm
www.etc.upm.es
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www.es. geocities.com/fisicaultramoderna/
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www. omega.
ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/112/htm/electr.htm
www.library.thinkquest.org/C003776/
espanol/book/reflexion_refraccion.htm
BIBLIOGRAFÍA
Electromagnetismo
Jhon Kraus
Mc. Graw Hill
Teoría electromagnetica
William Hayt
Mc. Graw Hill
REALIZADO POR:
ALBERTO G. B.
Facultad de Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones
Universidad Veracruzana