La transformada de Laplace

 

La transformada de Laplace se define como:

Siendo f(t) una función continua para ; s>0; s>so ; siendo "s" un parámetro real; y so un valor fijo de "s".

La integral impropia se define como:

y se dice que si el límite existe también existe la transformada de Laplace; y decimos que la integral converge.

Se puede representar la actividad de la transformada de Laplace mediante el siguiente esquema:

 

Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de

;para s>a. Resultado.

Ejemplo 2: Obtener la transformada de Laplace de f (t)= t.

aplicando la integración por partes:

L{t} =

Resultado.

Y en general : L{ } =

Ejemplo 3: Obtener la transformada de Laplace de Sen at.

Paso 1.- ; resolviendo la integral por partes:

Paso 2.-

Paso 3.-

Paso 4.- ; Integrando por partes:

Paso 5.- u= Cos at ; du= -a Sen at dt ;

Paso 6.-

Paso 7.-

Paso 8.-

Paso 9.-     Resultado.

Ejemplo 4: Método alternativo para obtener la transformada de Sen at ;y simultáneamente la transformada de Cos at :

Paso 1.-

Paso 2.- Sustituir Sen at  por :

Paso 3.- L{}

Paso 4.- Como en el ejemplo 1,se obtuvo ; entonces en este

caso:

Paso 5.- Utilizando la identidad de Euler:

y aplicándola a éste caso:

Paso 6.-

Paso 7.- Aplicando la propiedad de las igualdades en:

; se obtiene que

y que   Resultados.

Propiedades de la transformada de Laplace.

I) Si f(t), f1 (t) y f2(t) ;poseen transformadas de Laplace y,C es una constante entonces:

Paso 1.- L { f(t)+ L f1(t)+ L f2(t) } = L {f(t)} + L { f1(t)} + L { f2(t) }

Paso 2.- L { C f(t) } = C L { f(t) }

II ) Si F(s) = L { f(t) } , entonces:

L { } =

Ejemplo: Obtener

Paso 1.- L {} = (-1) { }=

Paso 2.-

Paso 3.-

Paso 4.- {    Resultado.

Para s >a , n=0, 1, 2, 3...

Transformada de Laplace de derivadas.

Obtener la transformada de Laplace de f ' (t).

resolviendo la integral por partes:

L {f ' ( t ) } = L { f(t) } - f(0)    Resultado.

Obtener la transformada de Laplace de f '' (t) .

Haciendo f ' (t) = g(t) ; f '' (t) = g ' (t) ;y g(0)= f ' (0) ; y aplicando el resultado
anteriormente
obtenido de la transformada, para la primera derivada tenemos:

L { f ' ' (t) } = L { f ' (g) } = s L {g (t)} - g(0) ;

s L { g( t ) } = s L { f ' ( t ) } = s ( - f (0) + s L { f (t) } )

L { f ' ' (t) } = s2 L { f (t) } - s f (0) - f ' (0) Resultado.

Generalizando tenemos:

L { } = sn L { f (t) } - sn-1 f (0) - sn-2 f ' (0) - .... - f n-1 (0)

Función Gamma

Obtener la función gamma de 1: sustituir x=1

    Resultado.

Obtener la función gamma de ( x+1) :

Integrando por partes:

=
Resultado.

Generalizando tenemos que:

 Esta es la propiedad más importante de la función
gamma.

Aplicando la función gamma obtener la transformada de Laplace de f(t) =;siendo n
un entero no negativo y, t ;

L { } =

si sustituimos

tenemos que L{}=     Resultado.

Teorema de Traslación del eje s :

Si F(s) = L{f(t)} existe para s>c , entonces L { } existe para s>a+c :

La traslación de S de la transformada corresponde a la multiplicaciónde la función original de t por

En forma semejante: L { F(s-a) }=  haciendo S

Aplicando éste teorema en las transformadas obtenidas anteriormente:

Como entonces

 

Como entonces

Como ; entonces

Así como hay tablas de integrales para facilitar la solución de problemas de integración, utilizaremos las tablas de transformadas.

de Laplace para agilizar la solución de problemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, que en el tema anterior resolvimos por el método de coeficientes indeterminados.

A continuación se presentan las transformadas de Laplace más comunes que utilizaremos, en la solución de problemas algebraicos y en los problemas de aplicación.

 

 TRANSFORMADAS DE LAPLACE         

= L {f (t)}=F(s)

FORMULAS

_____________________|____________________________

 ; s>a

  ; s>0

  ; s>0

  ; s>0

  ; s>0

  ; s>a

  ; s>a

  ;

Traslación del eje s

32. Ejemplo

Siendo la fórmula

33. Ejemplo

Siendo la fórmula

En todos los casos a, b, k, son constantes y además .

34.

35.

36.

37.

38.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

 

RESOLVER LAS ECUACIONES UTILIZANDO

LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE.

Problema 1.- con las condiciones :

Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a término.

Paso 2.-- Sumando los términos semejantes

Paso 3.- Se factoriza la transformada :

Paso 4.- Se despeja la transformada:

Paso 5.-- Se obtiene la transformada inversa de Laplace

;

Paso 6.-   

;  

Paso 7.- Se obtiene el resultado final:

Resultado

 

La solución de la ecuación, puede obtenerse en el Mathematica con la instrucción: DSolve[{y'' [x]+4 y'[x]+4 y[x]==4 E^(-2 x),y[0]== -1,y'[0]==4},y[x],x]

Una gráfica de la solución es:

Problema 2. Condiciones iniciales

Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a

término.

Paso 2.-

Paso 3.- Se factoriza la ecuación;

Paso 4.- Se despeja la transformada:

Paso 5.- Se obtiene la transformada inversa de toda la ecuación.

Fórmulas de fracciones parciales:

Paso 6.- Se encuentra el valor de las constantes utilizando el método de Fracciones Parciales.

L

Paso 7.-

Paso 8.- .

Paso 9.- Se aplica la propiedad de las igualdades factorizando los términos en S, del mismo exponente:

Una vez factorizado los términos, se igualan con su correspondiente valor que se encuentra en el lado derecho de la ecuación :

;

Paso 10.- Una vez obtenidos los valores de las constantes se procede a sustituir.

Resultado  

La solución de la ecuación se obtiene en el Mathematicacon la instrucción:

DSolve[{y''[t]-4 y'[t] + 4 y[t] ==t^3 , y[0]==0,y'[t]==0},y[t],t]

Una gráfica de la solución obtenida es:

Problema 3.-

Paso 1.- Se aplica la transformada a toda la ecuación:

Paso 2.- Se saca la transformada como factor común:

Paso 3.- Se despeja la transformada:

Paso 4.- Se obtiene la transformada inversa:

Paso 5.- Se aplican la fórmulas correspondientes para obtener los resultados:

Paso 6.-

Paso 7.-      Resultado.

Paso 8.- La ecuación también se puede resolver en el Mathematica con la instrucción: DSolve[{y''[t]+10 y'[t]+25 y[t] ==10 E^(-5 t),y[0]==1,y'[0]==5},y[t],t]

Paso 9.- Una gráfica del resultado obtenido es:

Problema 4.-

Paso 1.- La transformade de toda la ecuacón es:

Paso 2.-  Factor común de la transformada:

Paso 3.- Se despeja la transformada:

Paso 4.- Se obtiene la transformada inversa:

Paso 5.-

Resultado.  

Paso 6.- La solución de la ecuación se puede obtener en el Mathematica con la instrucción:DSolve[{ y''[x]-6y'[x]+9y[x]==x^2 E^(3x), y[0]==2,y'[0]==6},y[x],x]

Paso 7.- La gráfica del resultado es

Problema 5.-

Paso 1.- Se aplica la transformada a toda la ecuación:

Paso 2.- Factorizando la transformada:

Paso 3.- Despejando la transformada:

Paso 4.- Obteniendo la transformada inversa:

Paso 5.- Simplificando la expresión en una suma de fracciones parciales:

Paso 6.-  Resolviendo se tiene:

Paso 7.-  Por lo que obteniendo la transformada inversa de toda la expresión:

Resultado.

Paso 8.-  La solución se puede obtener en el Mathematica con la instrucción:

DSolve[{y''[x]-4y'[x]+4y[x]==4 Cos [2 x],y[0]==0,y'[0]==5},y[x],x]

Paso 9.-  La gráfica de la solución es:

Problema 6.-

Paso 1.-  Aplicando la transformada a toda la ecuación:

Paso 2.-  Factorizando la transformada:

Paso 3.- Despejando la transformada:

Paso 4.-  Obteniendo la transformada inversa:

Paso 5.-  Resolviendo con las fórmulas:

  Resultado.

Paso 6.- La solución se obtiene el el Mathematica con la instrucción:

DSolve[{ y'' [x]+6 y' [x]+9 y[x]==6 x^2 E^(-3 x),y[0]==1,y' [0]==4},y[x],x]

Paso 7.- La gráfica de la solución es:

 

 

 

Responsable:

Ing. Arturo García González

 

ESTA TEORIA FUE SACADA DE:

docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/default.htm

 

 

Presentada por:

 

SERGIO DGM

 

Estudiante de Ingeniería Electromecánica de Argentina