Trabajo Práctico de Análisis
Matemático III
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- Escriba con sus palabras de qué se trata el
"principio de incertidumbre".
El principio de incertidumbre trata de explicar que no
es posible saber la posición y la velocidad de
una partícula en un determinado instante, esto se ve
reflejado en la obra por la metáfora de Heisenberg
según la cuál esquiaba y descendía de la
montaña a gran velocidad y sólo podía
tomar una decisión a la vez: ir hacia izquierda o
derecha ante un obstáculo.
Esta teoría fue de crucial importancia para la
física
ya que dio fin a la era de la física
determinística y dio origen a la física y
mecánica
cuántica.
El principio de Incertidumbre
de Heisenberg:
El hecho de que cada partícula
lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la
capacidad para determinar al mismo tiempo su
posición y su velocidad. Este principio fue enunciado por
W. Heisenberg en 1927.
- Es natural pensar que si una partícula esta
localizada, debemos poder
asociar con alla un paquete de ondas
más o menos bien localizado.
Un paquete de ondas se construye mediante la
superposición de un número infinito de ondas
armónicas de diferentes frecuencias.
En un instante de tiempo dado, la función de
onda asociada con un paquete de ondas esta dado por
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donde k representa el número de
onda
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y donde la integral representa la suma de ondas con
frecuencias (o número de ondas) que varían desde
cero a + infinito ponderadas mediante el factor
g(k).
El momento de la partícula y el número
de ondas están relacionados ya que
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de lo cual se deduce que
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- Queda claro que para localizar una partícula
es necesario sumar todas las contribuciones de las ondas cuyo
número de onda varia entre cero e
infinito y por lo tanto el momento
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también varía entre cero e infinito. Es
decir que está completamente indeterminado.
- Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la
siguiente figura diferentes tipos de paquetes de onda y su
transformada de Fourier que nos dice como están
distribuidas las contribuciones de las ondas con número
de ondas
k dentro del
paquete.
- En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien
localizado en el espacio x, tiene contribuciones
prácticamente iguales de todas las ondas con
número de ondas k. - En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la
posición del paquete de ondas, también es posible
definir el número de ondas (o el momento) de la
partícula. - En el último caso vemos que al definir bien el
momento
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- de la partícula, entonces su posición
queda completamente indefinida. - Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre,
del paquete de ondas tanto en el espacio normal
como en el espacio de momentos 
.
como en el espacio de momentos 
.El principio de
incertidumbre nos dice que hay un límite en la
precisión con la cual podemos determinar al mismo tiempo
la posición y el momento de una
partícula.
- La expresión matemática que describe el principio de
incertidumbre de Heisenberg es
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- Si queremos determinar con total precisión la
posición:
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- De la desigualdad para el principio de incertidumbre
verificamos entonces que
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Es decir, que la incertidumbre en el momento es
infinita.
Es la llamada Ecuación de Difusión,
con este cálculo se obtendría la cantidad
necesaria de Uranio que se necesitaría para crear la
bomba atómica y debido a un error de cálculo de
Heisenberg no se llega a construir la bomba en Alemania.Se basa en la fórmula de Einstein, E =
m.c2, donde "E" es energía, "m" es la masa,
multiplicada por el cuadrado de "c", que es la velocidad de
la luz de
300.000 kilómetros por segundo; aquí se ve que
para una masa muy pequeña la liberación de
energía es enorme.Esta "energía
nuclear atómica" inmensa se produce de dos formas
distintas, que parecerían contradictorias: Por
"fisión" o división y por "fusión" o integración, tanto en los astros como
en los átomos y laboratorios:
1- Por "fisión" o división, es como se
produjo la Bomba Atómica A, de uranio, que
estalló en Hiroshima en 1945: Se produce bombardeando
el núcleo con electrones en el "ciclotrón",
produciendo la división del núcleo, con la
consiguiente desintegración del átomo,
y la "reacción en cadena" que produce la
desintegración de los átomos vecinos; casi
instantáneamente pueden estallar trillones de
átomos bombardeados por los neutrones liberados en las
explosiones de sus respectivos vecinos.Este método se usa también en
centrales eléctricas gigantes, en submarinos, para
generar calor, en
medicina,
la industria,
agricultura, etc.2- Por "fusión" o integración, es lo
opuesto: Consiste en fundir dos elementos en uno. Así
es como se hizo la Bomba H, de Hidrógeno, que tiene una potencia
de 100 a 1000 veces más que la de Uranio. Se usaron
dos isótopos de Hidrógeno, que son
átomos con el mismo número de protones pero
distinto número de neutrones en el núcleo y al
transformase el uno en el otro producen una energía
colosal, la resultante de la transformación del
Hidrógeno en su isótopo Helio, y
viceversa.Para ver el gráfico
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superior- ¿Cuál es el nombre de la
ecuación de la que el profesor
Böhr le reprochó a su alumno no haber calculado
para arribar a la posibilidad de fabricar la bomba
nuclear? - Escriba cuál es su interpretación de por qué no la
habrá calculado.
En la obra se ve reflejada a travéz de la
actitud de
Heisenberg por un lado la presión
ejercida por la nación Alemana para desarrollar lo antes
posible la Bomba Atómica con una mezcla de competencia por
la gran excelencia académica y científica que
refleja la época. Por otro lado, se pone de manifiesto
la incertidumbre del ser humano (más de unos pocos tan
brillantes) por contribuir a la creación de una de las
más devastadoras y terribles armas que la
historia del
hombre ha
visto y la culpa él mismo y Böhr así como
varios otros pueden adquirir; esta, creo yo, es una de las
principales razones por la cual quizás hasta
inconscientemente un matemático brillante y especialista
en cálculo comete semejante error y esto es lo que su
profesor de alguna manera le señala (además
también aquí entra el centro de la trama
¿a qué fue Heisenberg esa noche a Copenhague?, a
buscar un rechazo o una incentivación cómplice
apoyado en un descubrimiento físicamente notable por
parte de su profesor y amigo Böhr que le haga tomar la
decisión final?, quizás….).
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Figura: Diagrama del
reactor experimental de Haigerloch.
Bibliografía
Utilizada:
- Conceptos de Física Moderna, A. Beiser – 2a.
Edición. Mc. Graw Hill 1977 - Los Atomos,
Biblioteca
Salvat de Grandes Temas No. 6 – Salvat Editores, 1974
- El breviario del Sr. Tompkins, George Gamow,
Breviarios del Fondo de Cultura
Económica, No. 323 - Qué es la mecánica cuántica?, V.I.
Rídnik, Editorial MIR 1977
Sitios de Internet:
http://www.teatrosanmartin.com.ar/html/fichacopen2.html
Javier Jiménez Bonino
Universidad de
Palermo