En base al concepto de fase
de una onda se hace una revisión crítica
de las principales ideas físicas aparecidas a principios del
siglo XX: el principio de relatividad y la dualidad
onda-partícula. También se analiza el papel de la
física clásica planteando el problema de la
mecánica de una partícula cargada y
acelerada.
A los 16 años Einstein se hizo la siguiente pregunta:
Si un observador inercial es capaz de moverse a la velocidad
(constante) de una onda electromagnética plana,
¿como vería los campos eléctrico y
magnético?. La respuesta clásica es la que supone
la onda electromagnética como una onda en la superficie de
un estanque de agua: se
verían unos campos estáticos, lo mismo que en el
caso de la onda de agua se ve una forma que no oscila. Pero si
las leyes
físicas son las mismas para cualquier observador inercial
(principio de relatividad) , resulta que las leyes de Maxwell no
están de acuerdo con la visión clásica
anterior. Por una parte, la existencia de campos independientes
del tiempo
necesitan del concurso de algún tipo de distribución de carga (ley de
Gauss;n-1); pero no podemos recurrir a esto, ya que el
hecho relevante es que las ondas
electromagnéticas pueden propagarse en el vacío.
Por otra parte, adoptando la hipótesis del vacío, el campo
eléctrico de una onda electromagnética se debe
a oscilaciones del campo
magnético y viceversa . Esto es lo que exigen las
leyes de Fáraday y Ampere-Maxwell. Por tanto la luz que se
propaga en el vacío consta de campos oscilantes para
cualquier observador inercial.
¿Que es lo que falla en la visión
clásica?. Por un lado aparecen ondas que se propagan sin
la participación de un medio material; el vacío
aparece como objeto físico. Por otro lado, si el
observador clásico no fuese capaz de moverse a la
velocidad de las ondas electromagnéticas en el
vacío, entonces siempre percibiría campos
oscilantes tal como requieren las leyes de Fáraday y
Ampere-Maxwell. Esto, a la vez que da una alternativa de
solución al problema, supone la existencia de un
límite al movimiento de
cualquier objeto físico, y este límite es la
velocidad de la luz en el vacío.
Esta imagen nos hace
ver la importancia de considerar las propiedades
cinemáticas de los diferentes tipos de ondas que se dan en
la naturaleza.
Este estudio se puede hacer considerando el concepto de fase.
Los fenómenos de interferencia y difracción son
lugares comunes en varias ramas de la física. Los experimentos que
incluyen estos fenómenos se cuentan entre los que producen
las medidas mas exactas.
La fase aparece directamente en las leyes que determinan los
patrones de interferencia para cualquier onda plana. Por tanto,
considerando el principio de relatividad, la forma de estas leyes
se puede mantener para observadores inerciales en movimiento
relativo uniforme si se supone que la fase de cualquier onda
plana es invariante. Este carácter de la fase se tomará
aquí como un principio, y por tanto solo queda justificado
por las consecuencias que produce, las cuales serán el
hilo conductor de este trabajo. Los
principios básicos que se utilizarán son:
1-Principio de Relatividad Restringido: Las leyes
físicas son independientes del estado de
movimiento de cualquier observador inercial.
2-Límite de la velocidad de la luz
2.1-La velocidad de la luz en el vacío es
una constante física.
2.2-No se puede transferir información entre un foco y un receptor a
velocidad superlumínica.
3-Dualidad Onda-Partícula: Cualquier
partícula libre tiene una onda cuántica plana
asociada.
4-La fase de cualquier onda plana:
(k*Δr–wΔt
) es invariante entre observadores inerciales.
Resulta difícil definir conceptos tan
básicos, de hecho algunos filósofos los consideran ideas "a priori"
del entendimiento. En física es mejor fijarnos en lo que
hacemos con ellos. Utilizamos el espacio y el tiempo para limitar
las acciones de la
naturaleza y así poder
establecer un orden y compararlas. Entre otros conceptos que
dependen de este orden está la idea de causalidad,
asociada a nuestro sentido físico.
La física clásica siempre asumió la
relatividad del espacio: Un objeto puede ocupar un lugar fijo
para un observador y para otro ocupar varios lugares
sucesivamente. Pero si nos dicen que el tiempo es relativo, es
decir, que las acciones físicas en un experimento no
tienen por que tener el mismo orden temporal para todos los
observadores; parece que se abren las puertas del Caos, de
la falta de causalidad. Veremos que un examen mas profundo
(Einstein, 1905) elimina la impresión de caos arbitrario y
restablece la idea de Universo en física mediante
el principio de relatividad.
El descubrimiento del carácter relativo del
tiempo se basa en el análisis de sucesos
simultáneos.
Supongamos el siguiente escenario: dos sistemas de
referencia cartesianos paralelos en desplazamiento relativo
uniforme sobre la dirección común que se considera eje
"x". Distinguiremos los dos observadores por el sentido de la
velocidad relativa vista por cada observador, es decir, uno
será el observador "+" y otro será el observador
"-".La velocidad relativa correspondiente será
v+ y v- .
Sea ahora una regla situada a lo largo del eje
x- en reposo para este observador. Desde el punto
medio (x0- ) de la regla se genera un pulso
electromagnético esférico que llega a los dos
extremos de la regla: x1- y x2- (x1-
< x2-). Dado que la velocidad de
propagación es la misma en los dos sentidos (la velocidad
de la luz c), si se producen sendas acciones cuando la luz
llega a los extremos de la regla, estas aparecen al mismo tiempo:
son simultáneas para el observador "-". Pero visto por el
observador "+", resulta que el efecto conjunto de la velocidad
relativa y la constancia de la velocidad de la luz provoca un
cambio en el
orden de las acciones anteriores: la parte del pulso que se mueve
en contra de la velocidad relativa recorre menos espacio hasta el
extremo correspondiente que la parte del pulso que se mueve en el
mismo sentido que la velocidad relativa. Si el pulso recorre esos
espacios con la misma velocidad "c" tenemos que las acciones
generadas en los extremos no son simultáneas para
"+":
Donde se ha supuesto que, para el observador "+", el
pulso se emite también, en un instante determinado, desde
el centro de la regla móvil. Esta ecuación da el
orden temporal de las acciones mencionadas.
Si ahora intercambiamos los papeles y la regla
está en reposo para el observador "+", manteniendo su
dirección y sentido sobre el eje común, el
resultado para el observador "-"es el mismo, salvo el signo de la
velocidad relativa que cambia, es decir, el orden temporal de las
acciones se invierte:
Por otra parte, note el lector que la experiencia sobre
simultaneidad que se propone puede ser utilizada para sincronizar
relojes (tiempos locales) espacialmente separados. Esta forma de
sincronización es, esencialmente, un medio de
transmisión de información. Esta es la forma
en que Einstein[1] define el tiempo físico para un
sistema de
coordenadas asociado a un observador inercial.
Las propiedades del espacio y el tiempo:
Linealidad, Relatividad y Simetría.
Debemos encontrar alguna regla que nos permita
relacionar los espacios y los tiempos de las acciones
físicas que miden dos observadores en movimiento relativo.
Solo así los observadores pueden creer que están
experimentando los mismos, o distintos, fenómenos, y por
tanto llegar a leyes comunes.
¿Cómo puede ser esta regla?: a falta de
otro criterio, debe ser lo mas sencilla posible.
Una acción
física (A) está limitada, al menos, por dos
sucesos: dos conjuntos de
coordenadas x, y, z, t. Esta acción se puede
descomponer en dos (Al, As), introduciendo
un tercer suceso que sea simultáneo con el suceso final y
local con el suceso inicial. La relación mas sencilla de
los tiempos y espacios de estas acciones es la
lineal:
Donde Al es una acción local: los
sucesos limitantes ocurren en un mismo punto; y As es
una acción simultánea: los sucesos limitantes
ocurren a la vez.
Para el observador que verifique la simultaneidad de
As será t(As) = 0, pero para
cualquier otro en movimiento relativo este término no se
anula, como se ha visto antes. Esto representa la
relatividad del tiempo. Para el observador que verifique
la localidad de Al, será e(Al)=0,
pero para cualquier otro observador en movimiento relativo, la
acción Al cambia de posición y este
término no se anula. Esto representa la relatividad del
espacio. Estos términos, t(As) y
e(Al), tienen una propiedad de
asimetría directamente relacionada con el
movimiento relativo. La forma mas sencilla para esta propiedad es
la siguiente:
Si el observador "+"mide el espacio de una acción
que sea local para el observador "-" , obtendrá un
valor "e". Si
se intercambian los papeles y es ahora el observador "-" quien
mide el espacio de la misma acción, ahora local para el
observador "+", obtendrá un valor "-e"
(Transformación de Galileo).
Si el observador "+"mide el tiempo de una acción
que sea simultánea para el observador "-", obtendrá
un valor "t". Si se intercambian los papeles y es ahora el
observador "-" quien mide el tiempo de la misma acción,
ahora simultánea para el observador "+", obtendrá
un valor "-t".
Esta condición de asimetría supone, en la
experiencia de la regla del apartado anterior (ec. 1.1),
que
v- =
-v+
Y que la longitud de la regla móvil:
x2-x1, no depende de la
dirección de su velocidad relativa al observador. Esta
asimetría en el tiempo supone también que las
acciones simultáneas no pueden estar relacionadas
causalmente ya que no existe un orden objetivo para
ellas. Si suponemos que las leyes físicas
son causales, es decir, que representan un orden
temporal objetivo de las acciones físicas, entonces estas
leyes no deben depender de la existencia de acciones
simultáneas(n-2).
Quedan otras dos componentes del espacio y el tiempo por
analizar: el tiempo local t(Al) y el espacio
simultáneo e(As). Las propiedades de estas
magnitudes son notoriamente diferentes. La longitud de una regla
, es decir, el espacio simultáneo, no puede anularse para
ningún observador inercial y es independiente de la
dirección de su velocidad relativa. La marcha de un reloj,
es decir, el tiempo local, tampoco puede detenerse por efecto de
la velocidad relativa y es independiente de la dirección
de esta velocidad. Note el lector la importancia de estos
conceptos, pues se relacionan directamente con la forma
física en que medimos el espacio y el tiempo. Estas
componentes no deben participar del carácter
asimétrico de las componentes anteriores. Las conclusiones
que siguen toman como hipótesis el
carácter simétrico de estas
componentes.
La transformación del tiempo
local
La condición de simetría es la
siguiente:
(a)Si el observador "+" mide el tiempo
Δtl de una
acción local, el observador "-"medirá un tiempo
Δt.
(b)Si se cambian los papeles y el observador "-"mide el
tiempo de la misma acción local, que evidentemente debe
ser también Δtl; entonces el observador
"+"medirá un tiempo Δt.
Suponemos ahora que en nuestro sistema se mueve una onda
plana a la velocidad de la luz en la dirección creciente
del eje "x" común a los dos sistemas de referencia. Si
aplicamos la simetría del tiempo local al principio de
igualdad de
fase tenemos:
Dividiendo (a) por w- y (b) por
w+, multiplicando las ecuaciones y
dado que w/k = c:
La transformación del espacio
simultáneo
La condición de simetría es la siguiente
(se consideran solo sucesos sobre el eje x):
(c)Si el observador "+" mide el espacio
Δxs de una
acción simultánea, el observador "-" medirá
un espacio Δx.
(d)Si se cambian los papeles y el observador "-" mide el
espacio de la misma acción simultánea, que
evidentemente debe ser también Δxs;
entonces el observador "+" medirá un espacio
Δx.
Aplicando esto en nuestro caso:
Nos damos cuenta de que los intervalos de tiempo que
aparecen están asociados al mismo suceso simultáneo
visto por observadores con movimiento relativo +v y –v, por
tanto, como se vio antes estos tiempos tienen signos
contrarios. Por tanto, si dividimos la primera ecuación
por k- , la segunda por k+ y sumamos las
ecuaciones tenemos, utilizando la relación de vectores de
onda de 1.3:
La contracción de Lorentz: relación
entre espacios simultáneos (reglas en reposo y en
movimiento)
Sea ahora otra acción intermedia definida por ser
local al sistema "-", sus límites temporales son
simultáneos, según el criterio del observador "+",
con los sucesos de la acción que este observador desea
medir y los sucesos iniciales de las dos acciones coinciden
espacialmente también. El valor Δx de 1.4 se puede
descomponer en el sistema "+", aplicando la linealidad del
espacio (1.2), así:
Es decir, consta de un espacio simultáneo y el
desplazamiento relativo de la acción intermedia local.
Para el caso descrito por 1.4 el desplazamiento relativo depende
del incremento de tiempo por pérdida de simultaneidad.
Este incremento se ha calculado anteriormente en 1.1:
Y por
tanto de 1.2’ 
Igualando esto a la transformación del espacio
simultáneo (1.4) tenemos la contracción de
Lorentz
Transformación completa del
tiempo
Sustituyendo la ecuación 1.5 en la
ecuación del tiempo simultáneo 1.1 y sumando con
los resultados del tiempo local, como requiere 1.2, tenemos la
transformación completa del tiempo:
Dilatación de tiempos locales (relojes en
reposo y en movimiento)
Supongamos un reloj en reposo para el observador "+".
Para "-" se moverá con la velocidad v_ de modo que
D t_
v_=D
x_. Si suponemos el mismo origen de tiempos para los
relojes de "+" y de "-", tenemos que para un reloj en reposo
situado en cualquier valor de x_ es
por tanto, para un mismo observador, un reloj en
movimiento (t+) atrasa respecto de uno en reposo (t-).
Transformación completa de la coordenada
x
Partiendo de (1.2’) y sustituyendo la
transformación completa del tiempo (1.6) y la
contracción de Lorentz (1.5) tenemos
Transformación completa de las coordenadas
y, z
Puesto que estas coordenadas vectoriales son
perpendiculares a la velocidad relativa, las componentes
simétricas y asimétricas de sucesos sobre estas
direcciones son como si la velocidad relativa se
anula:
Cinemática elemental:
¿qué se mueve?
Todo movimiento supone una relación entre las
coordenadas espaciales y el tiempo. Las relaciones mas sencillas
que pueden establecerse son:
Siendo los vectores A y B constantes. Aplicando las
ecuaciones 1.6, 1.7 y 1.8 a 1.A tenemos
El resultado 1.9 es la misma ley 1.A vista por el
observador "+" y determina las componentes de la velocidad para
este observador. Si hacemos lo mismo con 1.B, comprobaremos que
esta ley se mantiene invariante si B se transforma como
A/c2 . De este modo la cinemática elemental consta de dos
leyes
Evidentemente 1.A representa el movimiento de una
partícula a velocidad constante, siendo el vector V su
velocidad. El resultado 1.B se presenta intencionadamente como un
movimiento dependiente de 1.A. El sistema 1.A-1.B recuerda a un
paquete de ondas cuyas componentes se desplazan a la velocidad de
la luz: 1.A se refiere al grupo de ondas
y 1.B a la fase. Para algunos autores 1.B se asocia con un giro,
vibración o spin interno de la partícula[6].
Evidentemente ambas expresiones son incompatibles y se refieren a
movimientos independientes. El lector comprobará que una
dualidad similar al conjunto 1.A, 1.B aparece
insistentemente en la exposición.
Transformaciones de frecuencia y longitud de
onda
Aplicando las transformaciones 1.6, 1.7 y 1.8 al
invariante de fase para una onda plana cualquiera que se propaga
en una dirección dada se obtiene, considerando que
(x,y,z,t) pueden tomar cualquier valor:
Para ver el significado físico de estas
ecuaciones clasificaré las ondas planas en tres casos
según su comportamiento
respecto al movimiento relativo:
I- Existe un observador inercial que no es capaz de
medir la oscilación de la onda con un reloj en reposo: w_
= 0. Haciendo esta sustitución en 1.10 vemos que la
frecuencia de la onda es un término asimétrico,
dependiente de la velocidad relativa en módulo y
dirección. La longitud de onda es un término
simétrico, de modo que tiene un significado físico
objetivo: se trata de una distancia real, un espacio
simultáneo. Se puede demostrar que la ley de
composición de velocidades 1.9 es válida para estas
ondas y por tanto, ya que existe un observador para el que la
velocidad de estas ondas se anula, nunca superan la velocidad de
la luz. Como consecuencia siempre podemos encontrar un
foco para estas ondas. El movimiento de este foco se puede
modular y por tanto el observador puede utilizar estas ondas para
transmitir información. Por su naturaleza estas ondas
no admiten condiciones de contorno temporales, y sabemos
que admiten condiciones de contorno espaciales, como espejos por
ejemplo. Llamemos a este caso onda espacial.
Ejemplos de ondas espaciales: ondas transversales como
las ondas en la superficie del agua o pulsos en una cuerda tensa.
Un sólido rígido (como límite una
partícula) o cualquier cosa capaz de mantener una forma
definida independiente del tiempo puede considerarse como
combinación de ondas espaciales.
II- Existe un observador inercial que no es capaz de
medir la longitud de onda con una regla en reposo: k_ = 0. En
este caso el vector de onda tiene un comportamiento
asimétrico y la frecuencia se transforma de forma
simétrica, de modo que es ahora la frecuencia la que tiene
un significado físico objetivo: se trata de un tiempo
local, del periodo de una vibración real. La velocidad de
estas ondas es siempre por encima de la velocidad de la luz, por
tanto, según el principio 2.2, no es posible encontrar
un foco emisor real para ellas ni, en general, una referencia
inercial para su movimiento. En rigor esto no supone que estas
ondas no transmitan información, sino que el observador,
al no encontrar un foco, no puede codificar información en
ellas. Por otra parte según el principio de Huygens
para las ondas del caso I, la llegada de una señal a un
receptor supone la creación de un foco secundario de
reemisión. Esto no es posible en este caso: el
receptor no puede ser foco secundario; lo cual significa
que estas ondas, manteniendo el principio de Huygens, se propagan
en el vacío (como se supuso para la luz). Por su
naturaleza estas ondas no admiten condiciones de contorno
espaciales y el aparente sentido único del tiempo no hace
probable la existencia de condiciones de contorno en forma de
espejos temporales, en los que estas ondas se reflejen hacia su
pasado. La única forma de considerar la existencia
física de estas ondas es que actúen sobre
receptores. Si el principio de Huygens no es aplicable a los
receptores, entonces estos no admiten ni reflexión ni
refracción , y por tanto estas ondas ceden toda su
energía e impulso (colapso) al tiempo que llegan al
primer receptor que encuentren. Así vemos que existen
condiciones de contorno temporales para ellas. Llamemos a este
caso onda temporal, aunque por sus propiedades bien puede
llamarse onda cuántica. El comportamiento de estas
ondas las hace esquivas a nuestra experiencia diaria, pero si
cumplen los principios a que nos atenemos debe considerarse su
existencia igualmente que el resto de los casos .
III- No existen observadores inerciales para los que
se anulen ni la frecuencia ni el vector de onda.
La frecuencia y el vector de onda tienen significado
físico objetivo. Llamemos al caso onda
espacio-temporal. Ejemplos de ondas espacio-temporales son
las ondas longitudinales, como el sonido, y
también el caso transversal de la luz. Note el lector que
el sonido presenta una fenomenología cuántica por medio de
los fonones y la luz por medio de los fotones. Por
tanto hay que pensar que estas ondas heredan las propiedades de
los casos anteriores y son una asociación de onda espacial
y onda temporal. Esto supone que son posibles casos de ondas
sonoras y electromagnéticas (y partículas, como
veremos) cuyo origen no es posible determinar
físicamente.
Honestamente, creo que estas son consecuencias
lógicas de los principios
adoptados(n-3).
Un paquete de ondas espacio-temporales en el
vacío cuyas componentes se mueven a la velocidad de la luz
tiene dos componentes: la onda de grupo que se mueve a velocidad
inferior a la luz y la onda de fase que se mueve a velocidad
superior a la luz. Por tanto un paquete de este tipo de alguna
forma se desdobla en una asociación de dos componentes:
onda espacial y onda temporal. Las relaciones 1-A y 1-B hacen
pensar que el objeto físico a que se hace referencia es
mas similar a un paquete de ondas que a una partícula. Lo
fundamental de todo esto es que el objeto representado es una
asociación entre onda espacial y onda temporal; el paquete
de ondas es solo una forma de conseguir esta asociación y
también es solo una forma de hablar de velocidades
superiores a la de la luz.
La dualidad onda partícula es un hecho demostrado
en experimentos de interferencia y difracción. Se han
realizado experiencias con diferentes partículas,
como electrones, neutrones e incluso moléculas complejas.
En todas se han encontrado patrones de interferencia asociadas a
la fase de una onda.
La Energía y el Impulso mecánico de las
partículas están, según De Broglie,
directamente relacionados con la frecuencia y el vector de ondas
de la onda asociada:
Dado que el impulso mecánico de una
partícula depende linealmente de su velocidad, para el
observador que percibe la partícula en reposo el vector de
onda se anula y, por tanto, se trata de una onda temporal del
apartado anterior. De 1.10 obtenemos inmediatamente
Estas relaciones son las mismas que en relatividad se
introducen para una partícula(onda espacial), pero note el
lector que ahora se han deducido de las propiedades de un objeto
(onda temporal) que se mueve a una velocidad superior a la de la
luz. En suma, vemos que podemos considera a la partícula
como una asociación de onda espacial y onda
temporal, y por tanto se puede incluir en el caso III junto con
la luz y el sonido. Investiguemos ahora las interacciones que
puede tener una partícula según estas ecuaciones.
Buscamos posibles relaciones invariantes entre modificaciones de
Energía y modificaciones de Impulso. Las mas sencillas,
siguiendo el esquema dual ya utilizado, son las
siguientes:
La aplicación de las transformaciones de
energía/impulso 2.0 al caso de la ecuación 2.a
da
Es decir: a se transforma como una velocidad (ec
1.9). La aplicación de las transformaciones de
energía/impulso a la ecuación (2.b) da
Es decir, b se transforma como una velocidad
dividida por el cuadrado de la velocidad de la luz.
Recordando los conceptos básicos de la mecánica: El impulso mecánico, la
masa como relación entre el impulso y la velocidad de la
partícula y la energía cinética, podemos
identificar lo siguiente:
Para 2.a el factor invariante a es la velocidad
de la partícula: V. La ecuación es la
definición de energía cinética de una
partícula de masa constante. Se trata por tanto de una
acción acelerativa sobre la
partícula:
Para 2.b el factor invariante b es la velocidad
de la partícula dividida por el cuadrado de la velocidad
de la luz: V/c2. Utilizando la equivalencia
masa-energía, la ecuación representa una
variación de impulso de la partícula debido a una
modificación instantánea de masa.
Ambas ecuaciones, 2.1 y 2.2, son incompatibles, y se
refieren a acciones independientes.
En un caso general, cuando la partícula
experimente los dos tipos de interacción tenemos, haciendo la
multiplicación escalar de 2.2 por V y sumando con
2.1
Donde dP y dE son, respectivamente, la
suma de los cambios de impulso y energía de 2.1 y de 2.2.
Evidentemente la desigualdad 2.3 se debe enteramente a
2.2.
Planteamiento de la mecánica de una
partícula eléctricamente cargada y
acelerada
El comportamiento de una carga acelerada, con
idependencia de la fuerza
aceleradora, es un problema límite de la física
clásica. La radiación
de un sistema de cargas es un hecho descrito en el teorema de
Pointing; consecuencia lógica
de las ecuaciones de Maxwell. El punto clave es la interpretación del vector de Pointing
(S=ExH), que aparece en este teorema, como
flujo de energía en base al principio de
conservación de la energía de un sistema
electromagnético. Desde esta perspectiva se puede pensar
que la radiación, como la energía potencial, es un
comportamiento asociado al sistema de cargas, no a las cargas
individuales. En este sentido se habla en los textos de
radiación dipolar,
cuadripolar…[3].
Sin embargo en la teoría
clásica se ve inmediatamente que la radiación de un
sistema de cargas se puede calcular si se conoce el movimiento de
dichas cargas, ya que esto es suficiente para determinar los
campos que aparecen en el vector de Pointing. Hay una
relación directa entre el movimiento del sistema de cargas
y la radiación. H.A. Lorentz fue mas allá y
amplió el resultado para una carga aislada que resulte ser
acelerada de cualquier modo, independientemente de la existencia
de una energía potencial. Demostró que el campo en
las proximidades de una carga con simetría esférica
resulta distorsionado por los efectos conjuntos de la
aceleración de dicha carga y la velocidad de
propagación finita de las alteraciones del campo. Esta
distorsión genera una "auto-fuerza" neta del campo
sobre la partícula, sobre su propia fuente, tal que el
desplazamiento de esta fuerza puede representar, al menos en
ciertos casos, la energía electromagnética radiada.
De este modo Lorentz no atribuye la radiación a la
aceleración relativa entre las cargas, tal como
sería de esperar si la radiación fuese un
comportamiento del sistema, sino a la aceleración de
una carga respecto de cualquier sistema inercial. En cuanto a
la conservación de la energía, la energía de
radiación se extrae directamente de la
energía mecánica de la partícula cargada, no
directamente de la energía potencial del sistema
electromagnético. Este será el punto de vista de
partida para el planteamiento del
problema. Abraham y Lorentz dan una forma teórica para
la fuerza de autofrenado, sin embargo aquí solamente se
supondrá su existencia y las propiedades que esta fuerza
debiera tener respecto de la radiación.
En lo que sigue se distinguirá y se
tratará de relacionar los conceptos de partícula
(mecánica) y carga puntual (electromagnetismo). Como modelo
electromagnético de la partícula se toma el de una
carga puntual, con algún matiz adicional que se
introducirá mas adelante. Una carga puntual acelerada
emite energía e impulso en forma de radiación. La
razón de esta atribución es que la energía
dEr emitida al campo de radiación en un instante
dt, se puede seguir hacia atrás en el tiempo hasta
una acción ocurrida en el punto que ocupaba la carga en un
tiempo pasado. Esta acción es un cambio en la velocidad
del punto cargado, y por tanto en la partícula se
experimenta el efecto del aumento de energía
dEr.
Otra propiedad de la radiación emitida es que,
para un observador inercial en reposo instantáneo respecto
del punto cargado, la radiación se emite de forma
simétrica respecto de dicho punto, de forma que el impulso
total emitido por la radiación dPr se
anula.
Si hacemos que la velocidad v_ entre dos sistemas
de referencia inerciales coincida con la velocidad V_ de
la partícula en el instante dt_ entonces en el
instante correspondiente dt+ la
partícula está en reposo para el observador "+" , y
por tanto para el impulso de radiación instantáneo
será dPr+x =0. Esto conduce según
2.0 a la ecuación 2.2 (y por tanto a 2.3) para la
relación entre energía e impulso de la
radiación. Es decir, la radiación supone,
inicialmente, un aumento de la energía interna de la
partícula.
Analicemos la dinámica del sistema según la
conservación de la energía-impulso. La
energía-impulso transferida por la fuerza externa a la
partícula se invierte en:
A-Modificación de la energía-impulso del
campo de la carga puntual
B-Modificación de la energía-impulso de la
partícula.
En cuanto a la modificación del campo, los
resultados teóricos indican la existencia de dos
campos
A.1-Un campo casi-estacionario, igual que el campo de
una carga puntual que se mueve a velocidad constante, pero que
depende de la velocidad retardada. Las líneas de este
campo pasan por el punto cargado.
A.2-Un campo de radiación, independiente del
anterior. Las líneas de este campo no pasan por el punto
cargado.
Por tanto la modificación de
energía-impulso del campo tiene dos componentes: la
modificación de energía-impulso del campo
casi-estacionario y la modificación de
energía-impulso del campo de radiación.
El concepto de masa electromagnética, como
señala Feynman, no está explicado coherentemente en
electromagnetismo clásico, aunque existe evidencia
experimental. En este punto voy a suponer que la
modificación de energía e impulso del campo
casi-estacionario de la carga puntual se puede representar
considerando que la masa de la partícula contiene una
parte que es de origen electromagnético.
Si se supone, siguiendo la mecánica de Newton, que la
fuerza exterior, cuyo punto de aplicación suponemos
está en el punto cargado, solamente ejerce un efecto
acelerativo según 2.1,y sin considerar energía
potencial:
Donde el subíndice "ext" indica la
interacción con la fuerza externa, el "p" se refiere a la
partícula, el "r" a la radiación y V es la
velocidad del punto cargado. De esta ecuación se deduce
que, como los términos asociados a la radiación
verifican la desigualdad (2.3), los términos asociados a
la partícula también tienen que verificarla, es
decir, hay que suponer una acción adicional de
modificación de energía interna de la
partícula:
Donde los superíndices de las energías
hacen referencia a los casos descritos por las ecuaciones 2.1 y
2.2 .
Note que se ha supuesto que la velocidad del punto
cargado es igual que la velocidad de la
partícula.
Se ve inmediatamente que la ecuación anterior
requiere que
dEp(2.2) =
-dEr (2.5)
Es decir, siempre que haya radiación, hay una
disminución de la energía interna de la
partícula. Esta disminución cancela, exacta y
simultáneamente, el aumento de energía interna
de la partícula debida a la radiación de la carga
puntual. De este modo la energía interna de la
partícula, y por tanto la masa, es un parámetro
constante. Note el lector que, si hubiésemos
supuesto que la modificación de energía por
radiación no se debe contar entre las formas de
interacción de la partícula, la ecuación 2.5
se interpretaría como una pérdida progresiva de
energía interna de la partícula, situación
que no se considera aceptable físicamente. Note
también que, como ya se ha dicho, el principio de
relatividad hace problemático que las leyes físicas
dependan de la existencia de acciones simultáneas debido a
la relatividad de la simultaneidad. Siguiendo con el
razonamiento, las ecuaciones del movimiento de la
partícula son las conocidas de mecánica
clásica:
Fext*dr =
dEp(2.1) Fextdt =
dPp(2.1) (2.6)
La radiación no aparece por ningún lado y
parece violarse la conservación de la
energía. En realidad la experiencia indica que,
asociado a la radiación, hay un efecto de frenado
sobre la partícula. La forma habitual (y clásica)
de representar este hecho con las ecuaciones 2.6 es introducir
una fuerza adicional de auto-frenado cuyo origen
está en el campo propio de la partícula acelerada.
Esta fuerza es la que se ha mencionado al principio; calculada
teóricamente por Abraham y Lorentz. Por tanto, los
términos de la izquierda de las ecuaciones 2.6 constan de
dos partes: el campo externo y la fuerza de auto-frenado. Los
términos de la derecha corresponden a la
modificación de energía cinética e impulso
de una partícula de masa constante.
Resumiendo la situación, tenemos los siguientes
supuestos:
1-La masa electromagnética resume las
modificaciones de energía-impulso del campo de la
partícula.
2-La velocidad del punto cargado y de la
partícula es la misma.
3-La fuerza externa tiene un efecto exclusivamente
acelerativo sobre la partícula.
4-Se deduce que el aumento de energía interna de
la partícula asociado a la radiación se compensa
simultáneamente con un término de
disminución de energía interna de la
partícula: la masa es constante.
5-Existe una fuerza de auto-frenado entre la
partícula y su campo.
El planteamiento intuitivo de la fuerza de auto-frenado
Faf es que, para cumplir con la
conservación de la energía, el efecto
energético de esta fuerza es restar a la partícula
una energía cinética equivalente a la de
radiación, y de este modo provocar su frenado. De la misma
forma, la fuerza de auto-frenado debe contemplar la
conservación del impulso:
Es inmediato comprobar que estas relaciones son
incompatibles, dado que los términos de
radiación cumplen 2.2 y la fuerza de auto-frenado cumple
2.1. En mi opinión se pueden dar dos
interpretaciones:
1-La "fuerza" de auto-frenado no puede tener un efecto
exclusivamente acelerativo, sino que afecta, de alguna forma, a
la masa de la partícula. De hecho, la
interpretación lógica de 2.7 en el contexto de este
trabajo es que la fuerza de auto-frenado es responsable de
eliminar el exceso de energía interna de la
partícula asociada a la radiación.
2-La radiación no se extrae totalmente del
movimiento de la carga, sino que también hay que
considerar la energía potencial del sistema
electromagnético. Es decir, hay que considerar el teorema
de Pointing completo.
Sin embargo notemos que la ecuación 2.3 tiende a
ser una igualdad en el límite de la velocidad de la luz de
forma que las interacciones de la partícula tienden al
comportamiento acelerativo descrito en 2.1. Por tanto al menos
en el límite se puede mantener la ley de la fuerza de
auto-frenado según 2.7 junto con el resto de los
argumentos utilizados. ¿Hay algo mas allá de este
límite…?.
Desde el Límite
La fuerza de Lorentz
:F=q(E+vxB), introduce la masa
mecánica en el conjunto de las ecuaciones de Maxwell. El
éxito
conjunto de la mecánica y del electromagnetismo
clásico depende de la posibilidad de reducir los problemas al
comportamiento de algún tipo de partículas
incondicionalmente estables, es decir, su masa es un
parámetro constante. Esta condición hace que estas
teorías
sean sistemas cerrados, circulares, auto-consistentes. Los
problemas se enfocan en relacionar el movimiento de las
partículas con fuerzas y campos y al revés. En la
mecánica de Newton sabemos que si hay una fuerza sobre una
partícula esta se acelera y que si se acelera entonces
está sometida a una fuerza. La fuerza de auto-frenado se
puede introducir utilizando esta lógica clásica,
pero esto conduce a plantear el "subproblema" de la estructura y
estabilidad interna de las partículas cargadas.
Sin embargo, el problema de la estabilidad no es
extraño al electromagnetismo. La ley de Lenz dice que las
corrientes asociadas a fuerzas electromotrices inducidas en un
conductor por alteración del flujo magnético
externo, generan campos magnéticos que, a su vez, tienden
a cancelar las alteraciones del flujo magnético externo.
Este comportamiento se puede incluir dentro del principio de Le
Châtelier. Según este
principio, si un sistema en equilibrio
estable es sometido a tensión entonces
reaccionará para compensar esa tensión. Por
otro lado, la emisión de radiación de una
partícula real es discontinua en el tiempo. Por tanto no
resulta difícil imaginar una capacidad de acumular
energía interna para la partícula. Esta capacidad
de "entrar en tensión" es la otra cara de la moneda de la
fuerza de auto-frenado. Esta fuerza es necesaria para compensar
tensiones internas en las partículas relacionadas con la
emisión de radiación. Si la estabilidad de algunas
partículas, como pueda ser el electrón, tiene una
base electromagnética, entonces solo se necesita la
acción de este campo; tensión y compensación
deben ser fases de un mismo proceso: la
acción del campo electromagnético sobre la
partícula. Como se vio, según el principio de
relatividad es conveniente que las acciones de
tensión-compensación no sean simultáneas.
Supongamos por tanto una duración para un proceso que las
relacione. El carácter de este tiempo puede deducirse de
las conclusiones a que hemos llegado. Las ecuaciones 2.7 son
válidas en el límite de altas velocidades y por
tanto los supuestos 1-5 son correctos al menos en este
límite. En particular según el supuesto 4 el
proceso de tensión-compensación es
instantáneo, no tiene duración. Por tanto, como
condición cinemática, la duración de dicho
proceso disminuye a medida que la velocidad de la
partícula tiende a la velocidad de la luz. Esto indica que
esta duración, aunque está asociada a una
acción local a la partícula, no se transforma como
el tiempo local de 1.3. En cambio es mas adecuado asociar el
proceso con la frecuencia de alguna onda temporal. La onda
definida en las ecuaciones de De Broglie cumple la
condición cinemática establecida para la
duración (periodo) del proceso local de
tensión-compensación; basta considerar que el
impulso mecánico local en el sistema de referencia propio
de la partícula es nulo. Esta posibilidad apunta a la
existencia de una conexión o acoplo entre la onda
cuántica temporal y el campo electromagnético, de
modo que hay un flujo de energía asociado a la
radiación (y a la modificación de masa) entre estos
objetos.
Si la onda cuántica temporal tiene que ver con la
radiación entonces la onda espacial tiene que ver con el
efecto acelerativo de las fuerzas. Esta idea de dualidad subyace
a toda la exposición. Pero si la onda cuántica se
modifica para absorber el aumento de energía interna de la
partícula habríamos encontrado un foco para modular
dicha onda, lo cual no es posible por principio. Para explicar
esto considero que existen unos límites para la modulación
de la onda cuántica determinados por la
relación ΔE ΔT =
h. Esta expresión define una
condición de contorno temporal. Si una onda colapsa y cede
una energía ΔE, entonces el tiempo de su
modulación ha sido ΔT. De alguna forma llega un
momento en que se borran todas las huellas. Si un observador
quisiera modular la onda cuántica de un electrón,
debería realizar al menos una interacción
mínima (fotón) con la partícula. Pero esto
ya supone el colapso de la onda, dado que la energía
transferida y el tiempo empleado son compatibles con las
condiciones de contorno de la onda cuántica. De este modo,
el observador sigue sin poder modular la onda cuántica
(aun cuando encuentre un foco), y por tanto no puede transferir
información a velocidad superlumínica.
La representación mas elemental de la materia es una
pareja de ondas, espacial y temporal, con propiedades muy
diferentes pero que permanecen asociadas formando las
componentes de una unidad mas profunda. La onda espacial
necesita un espacio simultáneo pero no tiene limitaciones
temporales; lo mas sencillo es pensar que se trate de las
dimensiones de lo que llamamos partícula; por tanto al
hablar de partícula nos estamos refiriendo solo a una de
las componentes. La onda temporal necesita un tiempo local, una
vibración, pero no tiene limitaciones espaciales. El
comportamiento de la materia en un caso concreto
depende de la existencia o no de receptores que provoquen
el colapso de la onda cuántica(n-4). Esta
asociación fundamental de ondas depende de una pieza
clave: la inercia o masa de la partícula. La
radiación está asociada a incrementos de masa y a
la onda temporal; la modificación de energía
cinética está asociada al valor absoluto de la masa
y a la onda espacial. En los dos casos hay un efecto inercial,
bien de oposición a la aceleración (3ª Ley de
Newton de acción-reacción) o de oposición a
la radiación (autofrenado de Abraham-Lorentz). Es debido
al carácter clave de la masa que las ecuaciones 2.0 se
pueden derivar tanto de planteamientos relativos a la onda
cuántica como relativos a la partícula.
Por otra parte aparece un nuevo objeto de estudio en
física: el vacío; con la capacidad de propagar
ondas.
n-1: La propagación de una onda
electromagnética en un medio material está asociada
a la polarización de dicho medio. Esto es así por
la naturaleza eléctrica de la materia.
n-2:Una carga no interactúa
simultáneamente con varios centros de fuerza
(acción a distancia: 3ª ley de newton), sino que solo
hay una acción local del campo único (fuerza
de Lorentz :F=q(E+vxB)).
n-3: La física actual asocia una
energía al vacío, un tema considerado entre otros
autores por Feynmann y Hawking .
n-4:Según Heisemberg la propia observación de la materia, es decir la
extracción de información, provoca este colapso. La
consecuencia de este fenómeno es que, para el observador,
la materia aparece según la imagen de la física
clásica: "Creo que el concepto de trayectoria
clásica puede entenderse de esta forma: La trayectoria se
manifiesta solo cuando está asociada a un fenómeno
de observación." (Heisemberg-1927).
El observador puede ser independiente de las ondas del
caso I, ya que estas se propagan en un medio material. Pero el
observador no puede ser independiente de las ondas del caso II ya
que comparten un medio común: el vacío. Aparece de
este modo un problema en la medida de dichas ondas, ya que las
propiedades del vacío se pueden modificar
"involuntariamente" por la existencia de campos.
[1]J.Stachel :Einstein 1905 un año milagroso. Ed.
Drakontos Clásico.
Capitulo 3: Sobre la electrodinámica de los
cuerpos en movimiento.
[2]A.Einstein : El significado de la relatividad. Ed
Planeta-Agostini.
[3]Landau-Lifschizt : Teoría Clásica de
Campos. Ed. Reverté 2ª edición.
[4]Bredov-Rumiantsev-Toptiguin: El Campo
Electromagnético. Ed. MIR.
[5]Feynman-Leighton-Sands: Lecciones de Física de
Feynman. Vol 2. Ed. McGraw-Hill
[6] P.Kittl: Deducción Elemental de la Estructura Fina
del Espectro del Hidrógeno. http://cabierta.uchile.cl/revista/18/educacion/edu10/
Enrique Cantera del Rio
Lcdo en Fisica.
be ahavá
Octubre-2004
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