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Geometría

Enviado por jsanabria123



  1. Reseña histórica
  2. Geometría
  3. Euclides
  4. Los Elementos de Euclides
  5. Reseña Histórica de la Evolución de las Geometrías no Euclideanas
  6. Geometría de Lobatchevsky
  7. El significado Real de la Geometría de Lobatchevsky
  8. Conclusión
  9. Anexos
  10. Bibliografía

Introducción

La geometría fue, primero, la ciencia de la medida de las extensiones (geo = tierra; metrón = medida). Lo que se aprendió a medir (con los geómetras griegos) fue la extensión de una línea, recta o curva; de una superficie limitada por líneas y de un volumen limitado por superficies. Pero rápidamente la expresión medir adquirió entre los griegos un sentido muy general de "establecer relaciones". Estas relaciones eran de dos clases:

  • Relaciones de posición que se enuncian por proposiciones tales como " La recta D es paralela a la recta D’", " la recta D es tangente al círculo C", etc.
  • Relaciones métricas, tales como "el segmento AB es triple del segmento AC", "la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número que ninguna fracción puede definir", etc.

Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los geómetras de la antigüedad pusieron a punto un método que se convertiría más adelante en el método matemático por excelencia: la demostración.

Todo el arte de los geómetras griegos consistió en reunir un conjunto importante de teoremas enlazados mediante largas cadenas de razones - como dijo Descartes- a algunos principios primeros. Este "corpus" es la geometría euclidiana.

Precisamente, el valor estético de la construcción euclídea y la trascendencia intelectual de su programa consiste en haberse propuesto eslabonar el conjunto de axiomas, definiciones y razonamientos con arte y perfección. En vez del confuso montón de intuiciones y demostraciones de los geómetras anteriores, Euclides seleccionaba unos pocos conceptos fundamentales y unas pocas relaciones entre estos conceptos, enunciadas explícitamente, para, desde aquí, pasar a la creación de nuevos conceptos y al descubrimiento de nuevas relaciones entre ellos.

La geometría de Euclides, la geometría de Descartes, la geometría de Riemann o la de Lovachevski, etc., son unas teorías deductivas. Los entes de los cuales tratan se llaman figuras y podemos dar de ellas diversas imágenes que nos permiten comunicar con nuestros semejantes. Estas imágenes pueden ser símbolos figurativos, ecuaciones, etc.

  • La Geometría no euclídea: Geometría para la que no es válido el axioma de paralelismo de Euclides (quinto postulados de Euclides).
  • La Geometría hiperbólica: Geometría no euclídea en la cual el postulado de las paralelas se sustituye por otro según el cual desde un punto exterior a una recta se pueden trazar al menos dos paralelas a ella, las cuales separan a todas las rectas que pasan por el punto en dos clases. Una, la de las que cortan a la recta dada y otra, la de las que no tienen puntos comunes con esa recta.
  • La Geometría elíptica: Geometría no euclídea en la cual el quinto se sustituye por otro el cual desde un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a ella.
  • La Geometría proyectiva: Geometría cuyos objetos son los espacios proyectivos y sus aplicaciones propias, las proyectividades.

Reseña histórica.

Es importante, antes de emprender un estudio de la geometría Euclidiana, revisar algunos antecedentes históricos que nos permita tener una visión general de su desarrollo. Tanto Proclos, como Herodoto, consignan en sus escritos que la geometría tuvo sus orígenes en Egipto con la medición de áreas, ya que el río Nílo, al desbordarse, borraba las señales que limitaban los terrenos de los agricultores. Según reseña el historiador Herodoto, en tiempos de Ramses II (1300 A. C.) la tierra del valle del Nilo se distribuía en terrenos rectangulares iguales por los cuales se debía pagar un impuesto anual, pero cuando el río invadía los terrenos, el agricultor tenía que avisar al rey lo sucedido, enviando éste a su vez a un supervisor que medía la parte en que se había reducido el terreno para que pagara sobre lo que quedaba, en proporción a impuesto que se había fijado. Precisamente, la palabra Geometría significa «medición de tierra».  Afirma Herodíto que habiéndose originado la geometría en Egipto, país después a Grecia.  Hay evidencias históricas, también, de aplicaciones,  geométricas, algunos miles de años antes de nuestra era en regiones tales como Mesopotamia, (comprendida entre los ríos Tígris y Eufrates) y algunas regiones del centro, sur y este de Asia, en las cuales se desarrollaron grandes obras de ingeniería en la construcción de edificios y sistemas de canalización y drenaje. Los babilonios (Mesopotamia), habían desarrollado la aritmética a muy buen nivel, permitiéndoles hacer cálculos astronómicos y mercantiles. Conocían reglas (2000 - 1600 A. C.) para calcular el área de triángulos, rectángulos, trapezoides, volumen de paralelepípedos rectangulares, volumen de prisma recto, volumen de cilindro circular recto, del área del círculo (con aproximación 71= 3). Hay vestigios de que en esa época era también conocido el teorema de Pitágoras. La geometría babilónica y egipcia, como podemos apreciar era eminentemente práctica. Se le utilizaba para resolver una serie de problemas de la vida cotidiana y no como una disciplina especial, metódica. A La matemática prehelénica se, le veía como una colección de reglas para hacer cálculos que les permitía   obtener   resultados   satisfactorios para las necesidades de la época. Alcanzaron un gran desarrollo de, la habilidad operatoria, pero sin que se presentara un sólo caso de razonamiento deductivo, como se presentó posteriormente en la etapa griega. Las relaciones matemáticas de los babilonios y egipcios fueron esencialmente formuladas, mediante el método de experimentación y error, de manera empírica, de ahí que muchas de ellas eran definitivamente erróneas.

Cualquiera que sea la conexión entre las matemáticas griegas y las de oriente, los griegos trasformaron la geometría en algo muy diferente del conjunto de conclusiones empíricas que usaron sus predecesores. Los griegos, propusieron que los hechos matemáticos deben ser establecidos por razonamientos deductivos. Las conclusiones matemáticas deben ser confirmadas mediante una demostración lógica, no por experimentación. No se sabe con certeza por qué los griegos decidieron alrededor de 600 A. C. abandonar el método empírico de obtener conocimientos matemáticos y  adoptar el de razonamiento deductivo. Tal vez una de las causas sea su estructura social, pues los filósofos, artistas y matemáticos pertenecían a una clase social privilegiada que desdeñaban los  trabajos  manuales y las ocupaciones prácticas que eran desempeñadas por las clase más bajas, lo cual permitía a las clases privilegiadas dedicar tiempo a pensar, pues por aquel tiempo los griegos eran muy dados a hacer grandes teorías para explicar el mundo. De hecho no existen fuentes para el estudio de la geometría griega antigua, la única fuente de que se dispone, de tal época, es la obra de Proclo, conocida con el nombre de sumario de Eudemo, escrita en el siglo V D. C., y en la cual se esboza de manera muy breve el  desarrollo de la geometría, desde la antigüedad hasta Euclides. El sumario de Eudemo debe su nombre a que está basado en una serie de trabajos escritos por Eudemo, discípulo de Aristóteles.   Según lo relaciona el sumario de Eudemo, la geometría demostrativa se inicia en 600 a. c. con Tales de Mileto, comerciante originario de Mileto, en la costa de Asia Menor. Conocido como uno de los «siete hombres sabios»  de la antigüedad, también se dedico a la filosofía, matemática, astronomía y política, frecuentemente se le llama «el padre de la geometría demostrativa», pues aplicó a sus trabajos los procedimientos del razonamiento deductivo. A Tales se le acreditan los siguientes resultados, geométricos:

  • Un diámetro biseca un círculo.
  • Los ángulos a la base de un triángulo isósceles son iguales.
  • Los ángulos opuestos formados por dos rectas que se intersecan son iguales.
  • Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y dos ángulos iguales.
  • El ángulo inscrito en un semicírculo es ángulo recto (los babilonios conocían esto 1400 a los antes).

El siguiente matemático griego famoso en el sumario de Eudemo es Pitágoras, nacido aproximadamente en el año 572 a. c. en la isla de Samos, isla del mar Egeo, cercano a la ciudad de Mileto. Pitágoras, 50 años más joven que tales, razón por la cual se cree que fue discípulo de éste, es famoso no solo por el teorema que lleva su nombre, sino por sus estudios de  música y sobre todo por haber fundado en el puerto de Crotona, al sur de Italia, la famosa escuela Pitagórica para el  estudio de la filosofía, la música, la matemática y las ciencias naturales y a la cual se le atribuye la práctica de ritos secretos. Parece ser que con el transcurso del tiempo, sus estudios derivaron también hacia la política, lo cual, hizo que finalmente se desbandaran. La contribución de los pitagóricos a la geometría fue, entre otras, el teorema que demuestra que la suma  de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos, al cual se llegó a través de los conocimientos que obtuvieron de las paralelas; propiedad de las figuras semejantes, así como una serie de estudios sobre áreas y volúmenes. Los pitagóricos proporcionaron a la geometría, sobre todo, un gran avance en el aspecto del desarrollo deductivo de la matemática. Muchos de los conocimientos geométricos los plantearon como una cadena de proposiciones sucesivas basadas en unas cuantas suposiciones iniciales y unos cuantos axiomas.

Platón (427-347 a. c.), filósofo, fue otro de los personajes que influyeron en el desarrollo de la matemática en Grecia, no por sus descubrimientos matemáticos, sino porque en su escuela era de primordial importancia que sus  alumnos estudiaran geometría, ya que estaba convencido que la geometría era un campo de entrenamiento muy importante para la mente, debido a sus elementos gicos y a la más pura actitud mental que crea su estudio. A la entrada de la academia colocó un letrero que decía: «que nadie entre si no sabe geometría». Durante el siglo IV a. c., el rey Felipe de Macedonia emprendió la conquista de Persia, enemigos de los griegos. Felipe fue muerto y sucedido por Alejandro El Magno. A la muerte de Alejandro El Magno, Egipto quedó bajo el mando de Ptolomeo I, un antiguo general de Alejandro. En ese tiempo, el año 331 a. c., la capital de Egipto se estableció en Alejandría y Ptolomeo la concibió como el centro de la gran cultura griega. Fundó en 300 a. c. la Universidad de Alejandría a la cual atrajo, pagando muy buenos salarios, a los más notables artistas, filósofos, historiadores, poetas, astrónomos, etc., de la época que se desenvolvían en un, ambiente físico óptimo: atractivo edificio con grandes jardines, laboratorio, salas de lectura, así como una gran biblioteca con una colección de más de 600,000 obras. El matemático más notable en esa universidad fue Euclides, quién fundó precisamente la escuela de matemáticas de Alejandría. No se sabe cual es su fecha de nacimiento y se cree que se educó en la Escuela Pitagórica de Atenas. Euclides escribió sobre astronomía, música, óptica y otras materias, sin embargo, la obra que le dió fama universal fueron "Los Elementos", trabajo cuya mayor parte es una colección de los trabajos de sus predecesores, resumido en 13 libros o  capítulos que incluyen 465 proposiciones, muchas de las cuales no son de geometría sino de teoría de números y de álgebra, escrita como una sola cadena deductiva y que por cientos de generaciones se ha conservado como un ejemplo de lógica.  El Libro I contiene los conceptos iniciales, así como los teoremas de congruencia, líneas paralelas  y figuras, rectilíneas. El Libro II es dedicado al álgebra, el Libro III,  al círculo y el IV a la construcción de polígonos regulares. El Libro V y VI contiene la teoría de las proporciones y sus aplicaciones a la geometría. Los Libros VII, VIII y IX contienen teoría de números. El Libro X es dedicado a la teoría de los irracionales y los últimos tres a la geometrías liba,  Ningún tratado ha causado un impacto tan grande sobre las matemáticas como Los Elementos, es la obra científica que más se ha editado, analizado, traducido y estudiado en el mundo. Uno de sus máximos méritos es la selección y  disposición sistemática de los teoremas  en un orden   meticulosamente lógico, procediendo  paso a paso, teorema por teorema, desde las proposiciones más simples, hasta las más complejas, estableciéndose como un modelo de razonamiento, llamado razonamiento deductivo. Es lógico pensar que no todos los trabajos eran ajenos, Euclides tuvo que hacer un buen número de demostraciones y perfeccionar otras para dar a la obra una secuencia tal, que se viera como un todo. Es lógico pensar que no todos los trabajos eran ajenos, Euclides tuvo que hacer un buen número de demostraciones y perfeccionar otras para dar a la obra una secuencia, que se viera como un todo. Después de Euclides, el matemático de más renombre fue Arquímedes de Siracusa (287 - 212 a. c.). Después de estudiar en Alejandría, regresó a Sicilia lugar donde escribió tres obras sobre geometría plana: «Medidas de una circunferencia»,  «Cuadratura de la parábola» y «Sobre espirales», que son ejemplos de rigor en las demostraciones. También dejó escritos sobre la esfera, el cilindro, conos, así como estudios sobre mecánica y aritmética. El tercer matemático de la antigüedad fue Apolonio, quién nació en el año 262 a. c., en Perga, al sur de Asia Menor; 25 más joven que Arquímedes, estudió en Alejandría, donde murió alrededor del año 200 a. c., Apolonio adquirió reputación entre sus contemporáneos como «el más grande geómetra» debido a su magnífica obra «Secciones cónicas», el último de los trabajos de la matemática griega considerada como una obra maestra. Escrita en ocho libros, contiene el estudio más acabado sobre el tema. La época de oro de la matemática griega llega a su fin con la muerte de Apolonio. Pocas contribuciones geométricas se hicieron después de estos grandes matemáticos. Herán (125 d. c.) calculó el área del triángulo en función de sus lados.

Menelao (98 d. c.)  y Claudio Ptolomeo (168 d. c.) pusieron las bases de la trigonometría. Ptolomeo aplicó la trigonometría a la astronomía, su obra máxima es «Almagesto», una obra que es a la astronomía lo que Los elementos es a la geometría. Pappus (s IV) calcula las superficies generadas por una línea que gira alrededor de un eje situado en un plano y de volúmenes que se generan cuando se hace girar una superficie  alrededor de un plano. La gran civilización griega que se había desarrollado en, Mesopotamia, en Egipto y en Grecia, fue paulatinamente destruida al ser conquistada por lo\ romanos, primeramente Grecia en el año 146 a. c. y finalmente Egipto en el año 30 a. c. El último aliento de la civilización griega se extinguió con la conquista de Egipto por los Árabes, comandados por Omar en el año 640 d. c. iniciando así la  caída del imperio romano y el inicio de una época conocida como la edad del oscurantismo de Europa, por su decadencia de productividad científica y cultural, que duró hasta el siglo XII d. c.  Desde el año 200 hasta el año 1200 d. c. los hindúes, influenciados de alguna manera por los griegos, habían hecho varias contribuciones a la aritmética y al álgebra. Los árabes, que a estas alturas habían extendido sus dominios sobre todas las tierras que bordean el Mediterráneo y sobre el Cercano Este agrupaban muchas razas unidas por la religión mahometana, absorbieron los conocimientos griegos e hindúes. Fue muy importante para la conservación de la cultura del  mundo que los árabes asimilaran y resguardaran sus  conocimientos. Numerosos trabajos hindúes y griegos referentes a astronomía, medicina y matemática, fueron diligentemente traducidos a la lengua árabe y   así se salvaron hasta que posteriormente los escolares Europeos pudieron traducirlos al latín y a otros idiomas. En el año 1482 se imprimió la primera versión de la obra  de Euclides. En el año 1533 se tradujo el Libro I de Comentarios sobre Euclides, de Proclo. En 1572, se tradujo Los elementos de Euclides del griego, que sirvió como base para muchas otras traducciones siguientes.  Después del período del renacimiento, inició el período que corre hasta nuestros días y que se conoce con el nombre, de era  moderna. Durante esta época y debido a efervescencia que causaron tantas obras de los grandes geómetras griegos, los matemáticos de la era moderna descubrieron una gran cantidad de proposiciones, a partir de las señaladas en Los elementos, dando lugar este cúmulo de conocimientos a lo que hoy se conoce como Geometría Moderna.

Geometría

La geometría es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

En el ámbito de las matemáticas, se distinguen varias clases de geometría:

Geometría algorítmica:

Aplicación del álgebra a la geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas de la extensión.

Geometría analítica:

Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis matemático.

Geometría del espacio:

Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano.

Geometría descriptiva:

Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de los sólidos.

Geometría plana:

Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.

Geometría proyectiva:

Rama de la geometría que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano.

Euclides

Biografía

Euclides (en griego ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ, Eukleides) es un matemático griego, que vivió alrededor del año 300 a.C, ~(325 adC) - (265 adC) Escribió los Elementos, una de las obras más conocidas de la literatura mundial. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Los teoremas que nos enseña Euclides son los que generalmente aprendemos en la escuela. Por citar algunos de los más conocidos:

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Retrato de Euclides en una estampilla

  • La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°.
  • En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento, por ejemplo en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea círculos y combinaciones de círculos. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene ancho, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene ancho, por lo que tiene dimensión dos. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres. De hecho, en la geometría euclidiana las únicas dimensiones posibles son las que corresponden a los números enteros: 0, 1, 2 y 3.

Los Elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín.

Durante el reinado del faraón helenista Tolomeo I Soter (323-285 a. C.) quien, deseando modernizar los tratados de geometría existentes, encomendó a Euclides escribir una compilación o refundición completa. El resultado fue los "Elementos", en trece volúmenes, a los que posteriormente se añadieron dos más, atribuidos a Hipsicles de Alejandría. Se cuenta que Ptolomeo pregunto a Euclides si no hay una manera más simple de aprender Geometría que estudiar los "Elementos", a lo que el autor respondió " No existe un camino real hacia la Geometría".

Al comienzo de cada uno de los libros que componen los Elementos, Euclides presenta unas definiciones y unas Nociones Comunes relativas a los temas desarrollados.

Tomos de los Elementos

  • El libro I de los "Elementos" trata sobre rectas paralelas, perpendiculares, y las propiedades de los lados y ángulos de los triángulos.
  • El II desarrolla el álgebra geométrica.
  • El III estudia las propiedades del círculo y de la circunferencia.
  • El IV los polígonos inscritos y circunscritos.
  • El V la teoría de las proporciones de Eudoxio.
  • En el VI aplica dicha teoría a la semejanza de triángulos y otros problemas. Los libros VII, VIII. IX y X están dedicados a la aritmética.
  • El XI estudia la perpendicularidad y el paralelismo de rectas y planos, ángulos diedros y poliedros, etc.
  • El XII aplica el método exhaustivo de Eudoxio a diversos problemas geométricos, como la equivalencia de pirámides y la semejanza de conos y cilindros.
  • El XIII estudia los poliedros regulares.

La obra de Euclides no es totalmente original, pues muchos de sus libros están basados en geómetras anteriores. Sin embargo, sistematizó todos los conocimientos de su época, ordenó las enseñanzas a su manera y demostró los teoremas requeridos por su nueva ordenación lógica, basada en el método axiomático; todo se deduce a partir de cinco axiomas y cinco postulados, cuya verdad se considera evidente.

Los axiomas son:

  • Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
  • Si cantidades iguales se suman a cantidades iguales, las sumas son iguales.
  • Si cantidades iguales se restan de cantidades iguales, las diferencias son iguales.
  • Dos figuras que coinciden son iguales entre sí.
  • El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

Los postulados son:

  • Es posible trazar una línea recta entre dos puntos cualesquiera.
  • Todo segmento puede extenderse indefinidamente en línea recta.
  • Un círculo puede tener cualquier centro y cualquier radio.
  • Todos los ángulos rectos son iguales.
  • Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por ese lado.

Otra forma equivalente, más conocida de expresar el quinto postulado es: "Por un punto exterior a una recta no puede trazarse más que una paralela a ella"
Algunas proposiciones equivalentes al postulado de las paralelas (postulado 5) son:

  • Playfair: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una.
  • Proclo: Dos rectas paralelas están entre si a una distancia finita.
  • Legendre: Existe un triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos vale dos rectos.
  • Saccheri y Laplace: Existen dos triángulos no congruentes, con los ángulos de uno respectivamente iguales a los del otro.
  • Legendre y Lorente: Por un punto cualquiera interior a un ángulo menor que dos tercios de rectos pasa una recta que corta a ambos lados del ángulo.
  • Gauss: Si k es un entero cualquiera, siempre existe un triángulo cuya área es mayor que k.
  • Bolilla: Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia.
  • Entre otros.

Durante mucho tiempo, los geómetras lucharon por demostrarlo a partir de los otros cuatro y de los cinco axiomas, sin conseguirlo. A partir del siglo XIX surgieron nuevas geometrías no euclidianas que niegan este postulado y lo sustituyen por otros diferentes. Los "Elementos" de Euclides tuvieron una influencia enorme sobre los matemáticos árabes y occidentales, prácticamente hasta nuestros días. También se le atribuyen otras obras como "Óptica", "Datos" "Sobre las divisiones" "Fenómenos" (sobre Geometría esférica) y "Elementos de la Música".

Reseña Histórica de la Evolución de las Geometrías no Euclideanas

En 1697 el italiano Giolamo Saccheri abrió un gran campo de posibilidades para la resolución del problema sobre el quinto postulado. Se podría decir que dio el pistoletazo de salida en una carrera con muchos obstáculos pero con una meta abrumadora. La importancia de su trabajo radica en la suposición de que el quinto postulado de Euclides es falso e intentar llegar a una contradicción.

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  FIGURA 1: El Cuadrilátero de Saccheri

  Con la FIGURA 1, Saccheri prueba que el ángulo ADC es igual al ángulo BCD. Se hizo la siguiente pregunta: ¿son ángulos rectos? Supuso que no:

Hipótesis del ángulo obtuso: ADC y BCD son mayores que un recto (es decir, mayores que 90º).

Hipótesis del ángulo agudo: ADC y BCD son menores que un recto (menores que 90º).

         De la hipótesis 1 y del resto de los axiomas pudo deducir que ADC y BCD son ángulos rectos, con lo que se llegó a una contradicción. De la hipótesis 2 obtuvo muchos teoremas y propiedades de una geometría no-euclidiana que se consolidará unos pocos años después, pero sin saber lo que estaba haciendo realmente. Continuó hasta llegar al siguiente teorema: "Dado cualquier punto A y una recta b, con la hipótesis del ángulo agudo existe en el haz (familia) de rectas que pasan por A dos rectas p y q que dividen el haz en dos partes. La primera de ellas consiste en las líneas que intersecan a b y la segunda la forman las líneas (que forman un ángulo α) que tienen una perpendicular comϊn con b en algϊn sitio a lo largo de b. Las rectas p y q son asintóticas a b".

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 FIGURA 2: Las rectas de Saccheri

 De este resultado y una cadena de razonamientos muy extensa demostró que p y b tendrían una perpendicular común en su punto común, que está en el infinito. ¡Otra vez nos encontramos con el infinito! Saccheri afirmó que este descubrimiento era totalmente descabellado y, aun sin llegar a una contradicción, lo rechazó decidiendo que la hipótesis del ángulo agudo era falsa.

         Así, sólo quedaba suponer que ADC y BCD son ángulos rectos. Saccheri ya había demostrado que, en este caso, la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º, y esto implica la veracidad del quinto postulado.

         Nuestro matemático italiano quedó sumamente satisfecho de su logro, pero Klügel (1739-1812) observó en su disertación de 1763 que los resultados de Saccheri no conducían a una contradicción sino a resultados que parecían estar en contraposición con la experiencia. Esto motivó a Lambert (1728-1777) a considerar un cuadrilátero con tres ángulos rectos y estudiar la posibilidad de que el cuarto fuera agudo u obtuso. Dedujo que la hipótesis del ángulo obtuso originaba propiedades como las que se obtenían para figuras sobre una esfera si se prescindía del absurdo que provocaba con respecto al quinto postulado, y conjeturó que los teoremas que se deducían bajo la hipótesis del ángulo agudo se verificaban en figuras sobre una esfera de radio imaginario. Este descubrimiento afirmaba que cualquier conjunto de hipótesis que no conducía a contradicciones nos ofrecía una geometría posible.

         F. K. Schweikart (1780-1859), influido por los trabajos de Saccheri y Lambert, hizo una distinción clara entre dos geometrías: la de Euclides y aquella en la que se verificaba que la suma de los ángulos de un triángulo es distinta a 180º. A esta última la llamó astral porque cabía la posibilidad de que se cumpliera en el espacio de las estrellas.

         F. A. Taurinus (1794-1874), un sobrino de Schweikart y seguidor de sus avances en esta materia, demostró la conjetura de Lambert acerca de la hipótesis del ángulo agudo. Afirmaba que únicamente la geometría euclidiana podía ser verdadera para el espacio físico (incluyendo, por tanto, el de las estrellas) pero que la geometría astral era "lógicamente consistente" (en el sentido de que no llevaba a ninguna contradicción).

         Con la obra de Lambert, Schweikart y Taurinus el mundo matemático se convenció de que el quinto postulado de Euclides no se podía demostrar a partir del resto de los axiomas, es decir, que es independiente. Además, cabe subrayar que también se demostró que bajo hipótesis contradictorias se pueden deducir geometrías tan consistentes como la de Euclides. Llegados a este punto deberíamos reparar en la problemática que subyace en todos los descubrimientos de este periodo determinado de la historia de las matemáticas. ¿Es posible modelizar el espacio físico con cualquiera de estas geometrías? La evidencia de que la geometría euclídea era perfectamente compatible reinaba en el pensamiento de la época pero también la consistencia de todas aquellas geometrías que se originan a partir de hipótesis contrarias a nuestra protagonista: al axioma de las paralelas.

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FIGURA 3: Resumen de las hipótesis de las geo

         Que las geometrías sobre la esfera no respondían a las propiedades del mundo físico pese a su carácter no contradictorio seguía siendo una creencia bastante arraigada en el seno de la Matemática, que todavía era euclidiana. El propio D'Alembert llamó al problema del axioma de las paralelas "el escándalo de los elementos de la Geometría".

         La primera persona que realmente llegó a comprender este problema fue Gauss (1777-1855). Comenzó su trabajo con tan solo 15 años y en 1813 todavía no había conseguido grandes progresos, aunque seguía empeñado en reducir el axioma de los restantes. Escribió: "En la teoría de las paralelas ni siquiera ahora estamos mucho más lejos que Euclides. Ésta es una parte vergonzosa de las matemáticas...".

         En 1813 desarrolló una nueva geometría. La llamó geometría antieuclídea, más adelante geometría astral y finalmente la bautizó geometría no euclídea. En 1817 Gauss se había convencido de que el quinto postulado era independiente y estudió las consecuencias que se pudieran derivar de su geometría, a saber, aquella en la que se puede trazar más de una línea paralela a una recta dada y que pasa por un punto exterior a ésta. Llegó a la conclusión de que era perfectamente aplicable al espacio físico.

         Todavía es un misterio el hecho de que Gauss no publicara sus descubrimientos, aunque en una de sus cartas llegó a decir que se debía a un miedo a ser malinterpretado. Quienes sí publicaron toda la construcción de esta nueva geometría fueron Lobatchevsky (1793-1856) y Janos Bolyai (1802-1860), hijo de W. F. Bolyai. En el siguiente apartado hablaremos únicamente de la solución propuesta por Lobatchevsky, puesto que la de Bolyai es totalmente análoga.

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Geometría de Lobatchevsky

Biografía

Nikolai Ivanovich Lobatchevsky estudió en la Universidad de Kazan. Publicó por primera vez su teoría sobre el axioma de las paralelas en su obra Sobre los fundamentos de la geometría en el año 1829-1830, pero no fue plenamente aceptada hasta muchos años después. Su trabajo, tanto como el de Bolyai, se ignoró hasta aproximadamente 30 años después. El tema atrajo la atención gracias a que el nombre de Gauss proporcionó peso a las ideas cuando se hizo pública su correspondencia en 1855 después de su muerte. Fue en 1868 cuando Beltrami (1835-1900) obtuvo un modelo real donde se verificaban parte de las propiedades de la geometría de Lobatchevsky y la colocó en el mismo lugar que la euclídea.

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FIGURA 4: Las rectas de Lobatchevsky

 Lobatchevsky, como la mayoría de sus contemporáneos, intentó deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los restantes axiomas de esta geometría, al puro estilo de Saccheri.

         La esencia de la solución de este problema la expuso él mismo en su obra Nuevos elementos de Geometría (1835): "Es bien sabido que, en geometría, la teoría de las rectas paralelas ha permanecido hasta ahora incompleta. Los inútiles esfuerzos realizados desde los tiempos de Euclides a lo largo de dos mil años me han inducido a sospechar que los conceptos no contienen la verdad que queríamos probar, sino que, al igual que otras leyes físicas, solamente pueden ser verificados mediante experimentos, tales como observaciones astronómicas. Convencido por fin de la verdad de mi conjetura y considerando que este difícil problema está completamente resuelto, expuse mis argumentos en 1826".

         Comenzó sus investigaciones suponiendo que por un punto exterior a una recta no pasa una, sino al menos dos rectas paralelas a la recta dada y desarrolló una geometría totalmente concebible que no lleva a contradicción alguna. Se puede resumir la solución de Lobatchevsky al problema del quinto postulado como sigue: "El postulado no puede ser probado".

Obra

Añadiendo a las proposiciones básicas de la geometría el axioma opuesto se puede desarrollar una geometría extensa y lógicamente perfecta. La verdad de los resultados de cualquier geometría lógicamente concebible debe ser desarrollada no sólo como un esquema lógico arbitrario, sino como una teoría que abra nuevos caminos y métodos para las teorías físicas.

         Uno de los resultados más sorprendentes es el siguiente:

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FIGURA 4: Las rectas de Lobatchevsky

Dada una recta AB y un punto C (ver FIGURA 4) todas las rectas que pasan por C caen dentro de dos clases respecto a AB, a saber: la clase de las rectas que cortan a AB y la clase de las que no lo hacen. A la última pertenecen las dos rectas p y q que forman la frontera entre las dos clases. Estas dos líneas fronteras son llamadas las rectas paralelas. El ángulo π (a) se llama ángulo de paralelismo. Las otras rectas que no son paralelas y que pasan por C y las que no cortan a AB son llamadas rectas que no intersecan, aunque en el sentido de Euclides éstas son paralelas a AB y así, en este sentido, la geometría de Lobatchevsky contiene un número infinito de paralelas que pasan por C.

         También llegó a establecer la trigonometría no euclidiana, resolución de triángulos y cálculo de áreas y volúmenes. Mostró identidades trigonométricas para triángulos que se mantenían en su geometría, advirtiendo que a medida que el triángulo se hacía más pequeño las identidades tendían hacia las identidades trigonométricas usuales. Con esto y una cadena de razonamientos y deducciones verdaderamente sorprendentes no sólo construyó una geometría plena sino que redujo a la geometría euclídea a un caso límite y, por tanto, particular.

         Todo el trabajo de Lobatchevsky, Bolyai y Gauss y su concepción acerca de estas nuevas teorías revolucionó los fundamentos de la Matemática. Aunque fuera lógicamente concebible, no se podía aplicar al mundo físico, por lo que esta nueva geometría se vio relegada a puro juego y deducción matemática sin ninguna trascendencia ni real ni social.

El significado Real de la Geometría de Lobatchevsky

Eugenio Beltrami

Biografía       

  En 1868 el italiano Eugenio Beltrami publicó Ensayo sobre la interpretación de la Geometría no euclídea, que proporcionó un modelo para la geometría no-euclidiana de Lobatchevsky dentro de la geometría euclídea 3-dimensional.

Fotografía de Beltrami

Obra

Consideró una curva llamada tractriz (ver FIGURA 5). Una de las propiedades de esta curva es que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con el eje OY es constante. El eje OY es una asíntota. Al girar la curva alrededor de su asíntota se engendra una superficie llamada seudoesfera, representada en la parte derecha de la FIGURA 5.

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        FIGURA 5: Tractriz y seudoesfera

 Beltrami hizo notar que la geometría intrínseca de la seudoesfera coincide con la geometría sobre parte del plano de Lobatchevsky. De este modo, esta geometría no euclidiana tiene un perfecto significado real: no es más que una exposición abstracta de la geometría sobre la seudoesfera.

         Pero, como hemos mencionado con anterioridad, Beltrami sólo estableció una correspondencia entre la seudoesfera y parte del plano de Lobatchevsky. El problema de dar una interpretación real a todo el plano y el espacio quedaba sin solventarse. La solución fue dada más tarde por el matemático alemán Klein (1849-1925).

         Las ideas más generales del modelo que propuso Klein en 1870 para esta particular geometría son las siguientes: En un plano usual tomamos el interior de un círculo; un punto se considera como un punto; una recta, como una cuerda (excluyendo los extremos); un movimiento se toma como una transformación que transforma el círculo en sí mismo y las cuerdas en cuerdas; la situación de los puntos (un punto está sobre una recta; un punto está entre otros dos) se considera con el sentido usual. La regla para medir longitudes y ángulos (y también áreas) se deduce de la forma en que se definen los movimientos; la igualdad de segmentos y ángulos (o de figuras arbitrarias) también se define, y esta misma definición es aplicable a la operación de transportar un segmento a lo largo de otro.

         Con todas estas condiciones, a cada teorema de la geometría de Lobatchevsky en el plano corresponde un hecho verdadero de la geometría de Euclides dentro del círculo, y viceversa: todo hecho de este tipo se puede reinterpretar en forma de un teorema de la geometría de Lobatchevsky.

         Pero aún fue más lejos: diseñó un modelo para el espacio de esta geometría. Análogamente al caso del plano, consideró una el interior de una esfera (ver FIGURA 6).

         Una recta se interpreta como una cuerda, un plano como un círculo cuya circunferencia esté sobre la esfera; pero la superficie de la esfera, y por tanto los puntos extremos de las cuerdas y las circunferencias de esos círculos, se excluyen; finalmente, un movimiento se define como una transformación de la esfera en sí misma que transforma cuerdas en cuerdas.

         Cuando se dio este modelo de la geometría de Lobatchevsky se estableció al mismo tiempo que su geometría tiene un significado real sencillo. La geometría de Lobatchevsky es válida porque se puede tomar como exposición concreta de la geometría en un círculo o en una esfera. Al mismo tiempo se probó su carácter no contradictorio: sus resultados no pueden llevar a contradicciones porque cada uno de ellos se puede trasladar al lenguaje de la geometría euclidiana ordinaria dentro del círculo (o una esfera si se trata de la geometría de Lobatchevsky en el espacio).  

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 FIGURA 6: La Esfera de Klein

Geometría de Riemann.

Biografía

Riemann (1826-1866) Nació: 17 de Septiembre 1826 en Breselenz, Hannover (Ahora Alemania), Falleció: 20 de Julio 1866 en Selasca, Italia escribió su tesis doctoral bajo la supervisión de Gauss, dio una clase inaugural en la que reformuló todo el concepto de la geometría, que el veía como un espacio con la suficiente estructura adicional para poder medir cosas como la longitud. Esta lección no se publicó hasta 1868, dos años después de la muerte de Riemann, pero había de tener una profunda influencia en el desarrollo de las diferentes geometrías. Riemann trató brevemente una geometría 'esférica' en la que cada línea que pasaba por un punto P exterior a una recta AB se cruzaba con la recta AB. En esta geometría no existían las paralelas.

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Obra

Tal vez su más conocida aportación fue su geometría no euclidiana, basada en una axiomática distinta de la propuesta por Euclides, y expuesta detalladamente en su célebre memoria Sobre las hipótesis que sirven de fundamento a la geometría. Esta geometría se sigue si se considera la superficie de una esfera y se restringen las figuras a esa superficie. Medio siglo más tarde, Einstein demostró, en virtud de su modelo de espacio-tiempo relativista, que la geometría de Riemann ofrece una representación más exacta del universo que la de Euclides. Murió de tuberculosis antes de cumplir los cuarenta años.

Conclusión

Gracias a la realización de este trabajo pudimos comprender un poco mejor lo que es la geometría Euclídea; las repercusiones que ésta tuvo en pensamiento del mundo antiguo.

Además de conocer las diferencias que existen entre los distintos tipos de geometría, y de los pensadores responsables de sus fundaciones, es muy interesante reconocer y estudiar estas diferencias, ya que nos muestran las diversas formas de pensamiento de la mente humana.

El estudio formal de la geometría euclidiana y de las demás geometrías nos permite organizarlas de forma tal que podemos conocer y entender sus estructuras conceptuales, facilitando así su estudio futuro.

El estudio de los Elementos de Euclides es muy importante ya que es la recopilación de todos sus pensamientos e ideales, además de contar con todos sus axiomas, postulados y teoremas, los cuales son de gran utilidad para entender y poder aplicar su concepto de geometría.

Estructura conceptual de la Geometría.

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Anexos

GAUSS, Carl F. (1777-1855): Matemático alemán nacido en Brunswick y fallecido en Gotinga. Gauss fue un niño prodigio en matemáticas y continuó siéndolo toda su vida. Hay quien le considera uno de los tres mayores matemáticos de la historia junto a Arquímedes y Newton. Su inteligencia superdotada llamó la atención del duque de Brunswick, quien decidió costearle todos sus estudios, entrando en 1795 en la universidad de Gotinga. Antes de cumplir los veinte años hizo algunos descubrimientos importantes, entre los que se incluye el método de los mínimos cuadrados. Gauss halló un método para construir un polígono equilátero de 17 lados con ayuda de regla y compás, e incluso fue más allá, demostrando que sólo ciertos polígonos equiláteros se podían construir con ayuda de regla y compás. Hizo una labor importante en la Teoría de Números. También construyó una geometría no euclídea, basada en axiomas distintos a los de Euclides, pero se negó a publicarla. Lovachevski y Bolyai ostentan el honor de su descubrimiento al publicarla algo más tarde. En 1799 Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra. También demostró que los números se podían representar mediante puntos en un plano. El 1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética. Se levantó una estatua en su honor en su ciudad natal, que descansa sobre un pedestal en forma de estrella de 17 puntas, en celebración de su descubrimiento de la construcción del polígono de 17 lados. Le llamaban Príncipe de las Matemáticas.

BOLYAI, Janos (1802-1860): Matemático húngaro nacido en Kolozsvar y fallecido en Marosvásárheli, ambas en Hungría. Su padre había sido gran amigo de Gauss, llegando incluso a intentar demostrar el quinto axioma de Euclides. En 1825 ponía en práctica los mismos proyectos que Lovachevski sobre la geometría no euclideana, publicando en 1831 un apéndice en un libro de su padre sobre matemáticas. En él explicó su geometría, que Lovachevski había publicado tres años antes.

SACCHERI, Giovanni Girolamo (1667-1733): Nació y murió en San Remo, Génova (ahora Italia). Se unió a la Orden de los Jesuitas en 1865. Cinco años después marchó a Milán, donde estudió filosofía y teología en el Colegio Jesuita. Allí, Tommaso Ceva le animó a estudiar matemáticas. En 1694 fue ordenado sacerdote y se dedicó a enseñar en colegios jesuitas. Fue catedrático de matemáticas en Pavia desde 1699 hasta su muerte

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Esquema de la evolución de la Geometría no Euclidianas

 Bibliografía

 

 

Elaborado por:

Carlos A. Albenda Solís.

Jorge Sanabria Hernández

Cartago, Costa Rica. 2004


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