Para comenzar diré que este articulo lo publico a
partir de lo difícil que fue para mi conseguir ayuda sobre
la solución numérica al método de
triangulación para la ubicación de un punto
conociendo 4 puntos y la distancia respectiva de cada uno de
estos puntos al punto
buscado.
Acerca del concepto de lo
que es un GPS y su
funcionamiento hay vasta información en Web pero,
quizá me equivoque, no he encontrado una solución
concreta para el método de triangulación.
Así que no abundare en conceptos acerca del modus operandi
de este aparato.
Para hallar la solución numérica puede tomarse
varios caminos pero antes de tomar alguno de ellos debemos
definir los parámetros de este método.
La triangulación es usada por los GPS’s para la
ubicación de un punto en la tierra
conociendo la ubicación de 4 satélites
(S1, S2, S3, S4) y las respectivas distancias (d1, d2, d3, d4) de
los satélites al punto buscado (P0).
Paso 1
El GPS envía una señal de radio al primer
satélite y este a su vez traza imaginariamente una esfera
con centro en las coordenadas de S1 (x1, y1, z1) y radio d1, y
supone que el punto se encuentra dentro de esa esfera.
Paso 2
Luego el GPS envía una señal de radio al segundo
satélite y este traza una segunda esfera con centro en S2
(x2, y2, z2) y radio d2 y determina que el punto se encuentra
dentro del circulo que se forma de la
intersección de las esferas S1 y S2.
Paso 3
Luego el GPS hace lo propio con el tercer satélite y
este traza una tercera esfera con centro en S3 (x3, y3, z3) y
radio d3 la cual, al interceptarla con el circulo ya encontrado
nos dará dos posibles puntos como solución
Paso 4
Por ultimo el GPS manda una ultima señal al cuarto
Satélite el cual trazara una cuarta esfera desde S4 (x4,
y4, z4) y radio d4 de donde se hallara el punto P0 de coordenadas
(x0, y0, z0) con lo cual se encontrara así el punto
buscado.
Determinación de las distancias d1, d2, d3,
d4
Para determinar las distancias del GPS a los 4
satélites se usa una a de las reglas del movimiento
rectilíneo uniforme diferencial
di = t * c ±
Δ
Donde
t = Diferencia de reloj entre los puntos (tiempo de
viaje de la señal)
c= Velocidad
de las ondas
electromagnéticas, en este caso de radio que es la
misma que la de la luz(c=299,792.458 m/s).
Δ= Error que se admite ya que la seρal no
viaja en el vaciσ
Seguro que jamás te habías preguntado
porque en tus cursos de geometría
analítica plana y espacial no se había tocado a
fondo ejercicios sobre intersección de circunferencias o
de esferas, y menos si se trataban de problemas de
carácter generalizado, si no los hiciste
hasta ahora cuando trates de resolver el problema literalmente
como lo he explicado sabrás el porque.
Claro que Lehman nos da una especie de ayuda en su
capitulo de circunferencia al hallar la circunferencia que pasa
por la intersección de dos circunferencias, claro sin
decir exactamente en que puntos se intersecan estas.
Si intentamos resolver el problema tal y como se
describe, como primer paso se definiría la ecuación
de 4 esferas con centro el S1, S2, S3, S4 y seria
así:
E1: 
E2: 
E3: 
E4: 
Luego intentaremos interceptar 
nos encontraremos con la ecuación
de una circunferencia con términos en xy, yz, y xz y ya
que no sabríamos los ángulos directores de la
circunferencia engendrada y si a su vez se intentase interceptar
esta circunferencia con E3 la cosa se pondría color de hormiga,
así que buscaremos una solución más
hábil para este problema.
Esta solución la hallaremos con la ayuda de la
mano siempre oportuna del álgebra
vectorial, así que definamos el escenario.
Primero debemos de conocer ciertos conceptos que nos
ayuden a encontrar una relación entre los vectores, lo
cual nos permita encontrar el punto buscado.
Una de las cosas que debemos saber es que los
satélites orbitan a 20000 Km. de la tierra
ósea que a su vez ellos están navegando en una
esfera, ahora suponiendo que el centro de la tierra es el origen
de coordenadas y que la esfera que contiene a los
satélites tiene un radio dado (podemos poner el valor de 20000
si deseamos) que llamaremos R entonces comenzaríamos
definiendo que:
De donde tenemos:
………….…………
(1)
……………………
(2)
……………………
(3)
……………………
(4)
Efectuando:
(1) – (2)
(2) – (3)
(3) – (4)
Sabiendo que:
Tenemos:
De las ecuaciones
1-2, 2-3, 3-4, tenemos el sistema
siguiente:
Y finalmente hallamos los puntos
buscados:
Pero, ¿que pasaría si las orbitas de los
satélites en lugar de ser circulares fuesen
elípticas?
La única variación que la
solución tendría es que no podríamos
asumir que las distancias del origen a los satélites
serian las mismas.
Ósea:
Luego en la operación (1)-(2)
tendríamos:
Encontrando la diferencia
Como única variación en la
búsqueda de los puntos; es decir la solución
estaría dada por:
Donde:
A=
B=
C=
Si desean comprobar este resultado, tal como yo lo
hice, les recomiendo que usen dos sencillos programas para
hacerlo: El Autocad para
dibujar las esferas y obtener los puntos de intersección
y un programa con
funciones
matriciales como el Excel con
ellos podrán dar fe de que la formula cumple para
cualquier caso.
Condiciones
finales del problema
Como condición final del problema
debería de aclara por si acaso alguien no hubiese
caído en cuenta, de que el problema lo he descrito
suponiendo que todos los elementos se encuentran en el
vacío.
¿Que trato de decir con esto? Que en
condiciones normales el tiempo de viaje no será
directamente proporcional a la velocidad de la luz sino que
variara dependiendo de las condiciones climáticas, la
geografía, y la infraestructura del sitio
donde se encuentre el aparato.
Lehman, Ch. (1994). Geometría
Analítica. México: Limusa.
Figueroa G.R (1992). Vectores y Matrices. Lima:
Editorial San
Marcos
ALFONSO BULLON VALLEJO