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Teoría de colas




Enviado por martinez_ferreira



    1. Definiciones
      iniciales
    2. Introducción a la
      Teoría de Colas
    3. Modelo de formación de
      Colas
    4. Objetivos de la
      formación de Colas
    5. Elementos existentes en un
      modelo de Colas
    6. Notación de
      Kendall
    7. Terminología
    8. Demostración
    9. Características
      claves
    10. El proceso de
      servicio
    11. Medidas de rendimiento para
      evaluar un sistema de Colas
    12. Conclusión
    13. Bibliografía

    "No importa en qué cola se
    sitúe: La otra siempre avanzará más
    rápido"

    (Primera Ley de
    Harper)

    "Y si se cambia de cola, aquélla
    en la que estaba al principio empezará a ir
    más

    deprisa" (Segunda Ley de
    Harper)

    INTRODUCCIÓN

    Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos
    encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el
    contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., el
    fenómeno de las colas surge cuando unos recursos
    compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un
    elevado número de trabajos o clientes.

     El estudio de las colas es importante porque
    proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio
    que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en
    la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar
    un determinado grado de servicio a sus clientes.

     Debido a lo comentado anteriormente, se plantea
    como algo muy útil el desarrollo de
    una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las
    características que tiene un determinado modelo de
    colas.

     Definiciones
    iniciales

    La teoría de colas es el estudio
    matemático del comportamiento
    de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los
    "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un
    "servidor", el
    cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está
    disponible inmediatamente y el cliente decide
    esperar, entonces se forma la línea de espera.

    Una cola es una línea de espera y la
    teoría
    de colas es una colección de modelos
    matemáticos que describen sistemas de
    línea de espera particulares o sistemas de colas. Los
    modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del
    sistema y los
    tiempos promedio de la línea de espera para un sistema
    dado.

    Los sistemas de colas son modelos de sistemas que
    proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier
    sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un
    servicio de algún tipo y salen después de que dicho
    servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este
    tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas
    interconectadas formando una red de colas. En la
    siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas
    sencillo. Este modelo puede usarse para representar una
    situación típica en la cual los clientes llegan,
    esperan si los servidores
    están ocupados, son servidos por un servidor disponible y
    se marchan cuando se obtiene el servicio requerido.

    El problema es determinar qué capacidad o tasa de
    servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya
    que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe
    con exactitud en que momento llegarán los clientes.
    También el tiempo de
    servicio no tiene un horario fijo.

    Los problemas de
    "colas" se presentan permanentemente en la vida diaria: un
    estudio en EEUU concluyó que, por término medio, un
    ciudadano medio pasa cinco años de su vida esperando en
    distintas colas, y de ellos casi seis meses parado en los
    semáforos.

    Introducción a la Teoría de
    Colas

    En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno
    muy común es la formación de colas o líneas
    de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real
    de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar
    dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los
    cruces de dos vías de circulación, los
    semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros
    automáticos, la atención a clientes en un
    establecimiento comercial, la avería de
    electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser
    reparados por un servicio técnico, etc.

    Todavía más frecuentes, si cabe, son las
    situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas
    tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos
    enviados a un servidor para ejecución forman colas de
    espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de
    Internet, a un
    servidor Web puede
    recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor
    propiamente dicho, podemos recibir la señal de
    líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro
    teléfono móvil está colapsada
    en ese momento, etc.

    Origen:

    El origen de la Teoría de
    Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang
    (Dinamarca, 1878 – 1929) en 1909 para analizar la
    congestión de tráfico telefónico con el
    objetivo de
    cumplir la demanda incierta de servicios en
    el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones
    acabaron en una nueva teoría denominada teoría de
    colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora
    una herramienta de valor en
    negocios
    debido a que un gran número de problemas pueden
    caracterizarse, como problemas de congestión
    llegada-salida.

    Modelo de formación de colas.

    En los problemas de formación de cola, a menudo
    se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas
    telefónicas, la espera de máquinas
    para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y
    estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante,
    operarios en un taller de reparación, pistas en un
    aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a
    menudo contienen una velocidad
    variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de
    servicio, y una velocidad variable de prestación del
    servicio en la estación de servicio.

    Cuando se habla de líneas de espera, se refieren
    a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los
    clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios
    existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de
    servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir,
    a ser cada vez mas larga a medida que transcurre el tiempo. Las
    estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios
    existentes son excesivos en relación con la demanda de los
    clientes; en este caso, las estaciones de servicio podrían
    permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede
    que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio
    sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente
    están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden
    encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean
    adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional
    de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos últimos
    casos tipifican una situación equilibrada que tiende
    constantemente hacia el equilibrio, o
    una situación estable.

    En la teoría de la formación de colas,
    generalmente se llama sistema a un grupo de
    unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar
    al unísono con una serie de operaciones
    organizadas. La teoría de la formación de colas
    busca una solución al problema de la espera prediciendo
    primero el comportamiento del sistema. Pero una solución
    al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el
    tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también
    en minimizar los costos totales de
    aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo
    prestan.

    La teoría de colas incluye el estudio
    matemático de las colas o líneas de espera y provee
    un gran número de modelos matemáticos para
    describirlas.

     Para ver el
    gráfico seleccione la opción "Descargar" del
    menú superior

     Se debe lograr un balance económico entre
    el costo del
    servicio y el costo asociado a la espera por ese
    servicio

    La teoría de colas en sí no resuelve este
    problema, sólo proporciona información para la toma
    de decisiones

    Objetivos de la
    Teoría de Colas

    Los objetivos de
    la teoría de colas consisten en:

    • Identificar el nivel óptimo de capacidad del
      sistema que minimiza el coste global del mismo.
    • Evaluar el impacto que las posibles alternativas de
      modificación de la capacidad del sistema tendrían
      en el coste total del mismo.
    • Establecer un balance equilibrado ("óptimo")
      entre las consideraciones cuantitativas de costes y las
      cualitativas de servicio.
    • Hay que prestar atención al tiempo de
      permanencia en el sistema o en la cola: la "paciencia" de los
      clientes depende del tipo de servicio específico
      considerado y eso puede hacer que un cliente "abandone" el
      sistema.

    Elementos existentes en un modelo de
    colas

    Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de
    individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a
    solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla
    finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista,
    sí permite (por extraño que parezca) resolver de
    forma más sencilla muchas situaciones en las que, en
    realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha
    suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando,
    aún siendo finita la población potencial, su
    número de elementos es tan grande que el número de
    individuos que ya están solicitando el citado servicio
    prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la
    población potencial genera nuevas peticiones de
    servicio.

    Cliente: Es todo individuo de
    la población potencial que solicita servicio. Suponiendo
    que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son
    0<t1<t2<…, será importante
    conocer el patrón de probabilidad
    según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo
    más habitual es tomar como referencia los tiempos entre
    las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes
    consecutivos: T{k} = tktk-1,
    fijando su distribución de probabilidad. Normalmente,
    cuando la población potencial es infinita se supone que la
    distribución de probabilidad de los Tk (que
    será la llamada distribución de los tiempos entre
    llegadas) no depende del número de clientes que
    estén en espera de completar su servicio, mientras que en
    el caso de que la fuente de entrada sea finita, la
    distribución de los Tk variará según
    el número de clientes en proceso de ser
    atendidos.

    Capacidad de la cola: Es el máximo
    número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes
    de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o
    infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los
    cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la
    mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es
    finita, no es una gran restricción el suponerla infinita
    si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a
    la cola por haberse llegado a ese número límite en
    la misma.

    Disciplina de la cola: Es el modo en el que los
    clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas
    más habituales son:

    La disciplina
    FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first
    come first served): según la cual se atiende primero al
    cliente que antes haya llegado.

    La disciplina LIFO (last in first out), también
    conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste
    en atender primero al cliente que ha llegado el
    último.

    La RSS (random selection of service), o SIRO (service in
    random order), que selecciona a los clientes de forma
    aleatoria.

    Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por
    el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para
    determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el
    número de servidores de dicho mecanismo (si dicho
    número fuese aleatorio, la distribución de
    probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad
    del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso
    de que los servidores tengan distinta destreza para dar el
    servicio, se debe especificar la distribución del tiempo
    de servicio para cada uno.

     Para ver el
    gráfico seleccione la opción "Descargar" del
    menú superior

     La cola, propiamente dicha, es el conjunto
    de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han
    solicitado el servicio pero que aún no han pasado al
    mecanismo de servicio.

    El sistema de la cola: es el conjunto formado por
    la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la
    cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente
    de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos
    elementos pueden verse más claramente en la siguiente
    figura:

     Para ver el
    gráfico seleccione la opción "Descargar" del
    menú superior

     Un modelo de sistema de colas debe especificar la
    distribución de probabilidad de los tiempos de servicio
    para cada servidor.

    La distribución más usada para los tiempos
    de servicio es la exponencial, aunque es común
    encontrar la distribución degenerada o
    determinística
    (tiempos de servicio constantes) o la
    distribución Erlang (Gamma).

    Notación de Kendall

    Por convención los modelos que se trabajan en
    teoría de colas se etiquetan

     Para ver el
    gráfico seleccione la opción "Descargar" del
    menú superior

     Las distribuciones que se utilizan son:

    • M: Distribución exponencial
    (markoviana)

    • D : Distribución degenerada (tiempos
    constantes)

    • E k : Distribución Erlang

    • G : Distribución general

    M / M / s : Modelo donde tanto los tiempos entre
    llegada como los tiempo de servicio son exponenciales y se tienen
    s servidores.

    M / G / 1: Tiempos entre llegada exponenciales,
    tiempos de servicio general y 1 sólo servidor

    Terminología

    Usualmente siempre es común utilizar la siguiente
    terminología estándar:

    Estado del
    sistema :
    Número de clientes en el sistema.

    • Longitud de la cola: Número de
    clientes que esperan servicio.

    • N(t) : Número de clientes en el
    sistema de colas en el tiempo t (t 0).

    • Pn (t): Probabilidad de que exactamente n
    clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el
    número en el tiempo cero.

    • s : Número de servidores en el
    sistema de colas.

    •  n : Tasa media de llegadas
    (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de
    nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.

    • n : Tasa media de servicio para
    todo el sistema (número esperado clientes que completan su
    servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el
    sistema.

    Nota: n representa la tasa
    combinada a la que todos los servidores ocupados logran terminar
    sus servicios

     n: Cuando  n es constante para
    toda n

    n : Cuando n es constante para
    toda n  1

     

    1

     

    Tiempo entre llegadas

    esperado

     

    1

     

    Tiempo entre llegadas

    esperado

    Ejemplo:

    Sea = 3 personas /
    hora

     

     

    1

     

     

     

     

    1 hora

    3

     

     

    = 20 minutos

     

    factor de
    utilización para la instalación se servicio
    (fracción esperada de tiempo fue los servidores
    individuales están ocupados).

    

    s

     También puede interpretarse como
    número promedio de personas siendo atendidas

    Nota: Para los sistemas de colas que
    analizaremos haremos la suposición de que el sistema se
    encuentra en la condición de estado estable.

    Demostración

    Para s = 1

    : fracción esperada de tiempo que
    los servidores individuales están
    ocupados).  

    1/ 

    1/ 

      = 12/ hora
    
    5 minutos

     = 15/ hora
    
    4 minutos

    El servidor está trabajando 4 de cada 5 minutos,
    es decir está trabajando el 80% del tiempo

    : Número promedio de personas
    siendo atendidas

    Número promedio = 0 * P0 + 1 *
    P1

    Número promedio = P1

    Número promedio =
    1/1/

    Número promedio =

    La siguiente notación supone la condición
    de estado estable:

    • Pn : Probabilidad de que haya exactamente
    n clientes en el sistema

    • L: Número esperado de clientes en
    el sistema.

    • Lq : Longitud esperada de la cola (excluye
    los clientes que están en servicio).

    W : Tiempo de espera en el sistema
    para cada cliente

    • W : E(W )

    W q: Tiempo de espera en la cola
    para cada cliente.

    • Wq: E (Wq )

    Relaciones entre L , W , Lq y Wq

    Supongamos que n es una constante
    para toda n:

    L =  W Lq = 
    Wq

    Supongamos que el tiempo medio de servicio es una
    constante 1/ para toda n  1

    W = Wq + 1/ L =
    Lq+

    Estas relaciones son fundamentales pues permiten
    determinar las cuatro cantidades fundamentales L, W, Lq, Wq, en
    cuanto se encuentra analíticamente el valor de una de
    ellas.

    Características claves.

    Existen dos clases básicas de tiempo entre
    llegadas:

    Determinístico, en el cual clientes sucesivos
    llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un
    ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en
    donde los artículos llegan a una estación en
    intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de
    tiempo)

    Probabilístico, en el cual el tiempo entre
    llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre
    llegadas probabilísticos se describen mediante una
    distribución de probabilidad.

    En el caso probabilístico, la
    determinación de la distribución real, a menudo,
    resulta difícil. Sin embargo, una distribución , la
    distribución exponencial, ha probado ser confiable en
    muchos de los problemas prácticos. La función de
    densidad, para
    una distribución exponencial depende de un
    parámetro, digamos  (letra griega lambda), y
    está dada por:

    f(t)=(1/  )e 
    t

    en donde  (lambda) es el número promedio
    de llegadas en una unidad de tiempo.

    Con una cantidad, T, de tiempo se puede hacer uso de la
    función de densidad para calcular la probabilidad de que
    el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T unidades a
    partir de la llegada anterior, de la manera siguiente:

    P(tiempo entre llegadas
    <=T)=1-e  t

    El
    proceso de servicio.

    El proceso de servicio define cómo son atendidos
    los clientes. En algunos casos, puede existir más de una
    estación en el sistema en el cual se proporcione el
    servicio requerido. Los bancos y los supermercados, de nuevo, son
    buenos ejemplos de lo anterior. Cada ventanilla y cada
    registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio. A
    tales estructuras se
    les conoce como sistemas de colas de canal múltiple. En
    dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos, en
    el sentido en que proporcionan la misma clase de
    servicio con igual rapidez, o pueden no ser idénticos. Por
    ejemplo, si todos los cajeros de un banco tienen la
    misma experiencia, pueden considerarse como
    idénticos.

    Al contrario de un sistema de canal múltiple,
    considere un proceso de producción con una estación de
    trabajo que
    proporciona el servicio requerido. Todos los productos
    deben pasar por esa estación de trabajo; en este caso se
    trata de un sistema de colas de canal sencillo. Es importante
    hacer notar que incluso en un sistema de canal sencillo pueden
    existir muchos servidores que, juntos, llevan a cabo la tarea
    necesaria. Por ejemplo, un negocio de lavado a mano de
    automóviles, que es una sola estación, puede tener
    dos empleados que trabajan en un auto de manera
    simultánea

    Otra característica del proceso de servicio es el
    número de clientes atendidos al mismo tiempo en una
    estación. En los bancos y en los supermercados (sistema de
    canal sencillo), solamente un cliente es atendido a la vez. Por
    el contrario, los pasajeros que esperan en una parada de
    autobús son atendidos en grupo, según la capacidad
    del autobús que llegue.

    Otra característica más de un proceso de
    servicio es si se permite o no la prioridad, esto es
    ¿puede un servidor detener el proceso con el cliente que
    está atendiendo para dar lugar a un cliente que acaba de
    llegar?. Por ejemplo, en una sala de urgencia, la prioridad se
    presenta cuando un médico, que está atendiendo un
    caso que no es crítico es llamado a atender un caso
    más crítico. Cualquiera que sea el proceso de
    servicio, es necesario tener una idea de cuánto tiempo se
    requiere para llevar a cabo el servicio. Esta cantidad es
    importante debido a que cuanto más dure el servicio,
    más tendrán que esperar los clientes que llegan.
    Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo pude ser
    determinístico o probabilístico . Con un tiempo de
    servicio determinístico, cada cliente requiere
    precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser
    atendido. Con un tiempo de servicio probabilístico, cada
    cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de
    servicio. Los tiempos de servicio probabilísticos se
    describen matemáticamente mediante una distribución
    de probabilidad. En la práctica resulta difícil
    determinar cuál es la distribución real, sin
    embargo, una distribución que ha resultado confiable en
    muchas aplicaciones , es la distribución exponencial .En
    este caso, su función de densidad depende de un
    parámetro, digamos (la letra griega my) y esta dada
    por

    s(t)=(1/  )e-
    t

    en la que:

     = número promedio de clientes
    atendidos por unidad de tiempo,

    de modo que:

    1/  = tiempo promedio
    invertido en atender a un cliente

    En general, el tiempo de servicio puede seguir cualquier
    distribución, pero, antes de que pueda analizar el
    sistema, se necesita identificar dicha
    distribución.

    Medidas de rendimiento para evaluar un sistema de
    colas

    El objetivo último de la teoría de colas
    consiste en responder cuestiones administrativas pertenecientes
    al diseño
    y a la operación de un sistema de colas. El gerente de un
    banco puede querer decidir si programa tres o
    cuatro cajeros durante la hora de almuerzo. En una estructura de
    producción, el administrador
    puede desear evaluar el impacto de la compra de una nueva
    máquina que pueda procesar los productos con más
    rapidez.

    Cualquier sistema de colas pasa por dos fases
    básicas. Por ejemplo, cuando el banco abre en la
    mañana, no hay nadie en el sistema, de modo que el primer
    cliente es atendido de forma inmediata. Conforme van llegando
    más clientes, lentamente se va formando la cola y la
    cantidad de tiempo que tienen que esperar se empieza a aumentar.
    A medida que avanza el día, el sistema llega a una
    condición en la que el efecto de la falta inicial de
    clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera de cada cliente
    ha alcanzado niveles bastante estables.

    Algunas medidas de rendimiento comunes

    Existen muchas medidas de rendimiento diferentes que se
    utilizan para evaluar un sistema de colas en estado estable. Para
    diseñar y poner en operación un sistema de colas,
    por lo general, los administradores se preocupan por el nivel de
    servicio que recibe un cliente, así como el uso apropiado
    de las instalaciones de servicio de la empresa.
    Algunas de las medidas que se utilizan para evaluar el
    rendimiento surgen de hacerse las siguientes
    preguntas:

    Preguntas relacionadas con el tiempo, centradas en el
    cliente, como
    :

    1. ¿Cuál es el tiempo promedio que un
      cliente recién llegado tiene que esperar en la fila
      antes de ser atendido?. La medida de rendimiento asociada es el
      tiempo promedio de espera, representado con Wq
    2. ¿Cuál es el tiempo que un cliente
      invierte en el sistema entero, incluyendo el tiempo de espera y
      el de servicio?. La medida de rendimiento asociada es el tiempo
      promedio en el sistema, denotado con W
    3. Preguntas cuantitativas relacionadas al
      número de cliente, como
      :
    4. En promedio ¿cuántos clientes
      están esperando en la cola para ser atendidos?. La
      medida de rendimiento asociada es la longitud media de la cola,
      representada con Lq
    5. ¿Cuál es el número promedio de
      clientes en el sistema?. La medida de rendimiento asociada es
      el número medio en el sistema, representado con
      L

    Preguntas probabilísticas que implican tanto a
    los clientes como a los servidores, por ejemplo:

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que un
      cliente tenga que esperar a ser atendido?. La medida de
      rendimiento asociada es la probabilidad de bloqueo, que se
      representa por, pw
    2. En cualquier tiempo particular, ¿cuál
      es la probabilidad de que un servidor esté ocupado?. La
      medida de rendimiento asociada es la utilización,
      denotada con U. Esta medida indica también la
      fracción de tiempo que un servidor esta
      ocupado.
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que existan
      n clientes en el sistema?. La medida de rendimiento asociada se
      obtiene calculando la probabilidad Po de que no haya clientes
      en el sistema , la probabilidad Pi de que haya un cliente en el
      sistema, y así sucesivamente. Esto tiene como resultado
      la distribución de probabilidad de estado, representada
      por Pn, n=0,1……
    4. Si el espacio de espera es finito,
      ¿Cuál es la probabilidad de que la cola
      esté llena y que un cliente que llega no sea atendido?.
      La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de
      negación del servicio, representada por Pd

    Preguntas relacionadas con los costos,
    como:

    1. ¿Cuál es el costo por unidad de tiempo
      por operar el sistema?
    2. ¿Cuántas estaciones de trabajo se
      necesitan para lograr mayor efectividad en los
      costos?

    El cálculo
    específico de estas medidas de rendimiento depende de la
    clase de sistema de colas. Algunas de estas medidas están
    relacionadas entre sí. Conocer el valor de una medida le
    permita encontrar el valor de una medida relacionada.

    Relaciones entre medidas de
    rendimiento

    El cálculo de muchas de las medidas de
    rendimiento depende de los procesos de llegadas y de servicio del
    sistema de colas en específico. Estos procesos son
    descritos matemáticamente mediante distribuciones de
    llegada y de servicio. Incluso sin conocer la distribución
    especifica, las relaciones entre algunas de las medidas de
    rendimiento pueden obtenerse para ciertos sistemas de colas,
    únicamente mediante el uso de los siguientes
    parámetros de los procesos de llegada y de
    servicio.

     = número promedio
    de llegadas por unidad de tiempo

     = número promedio
    de clientes atendidos por unidad de tiempo en una
    sección

    Supongamos que una población de clientes infinita
    y una cantidad limitada de espacio de espera en la fila. El
    tiempo total que un cliente invierte en el sistema es la cantidad
    de tiempo invertido en la fila más el tiempo durante el
    cual es atendido:

    Tiempo promedio en el sistema = Tiempo de espera +
    Tiempo de servicio

    El tiempo promedio en el sistema y el tiempo promedio de
    espera están representados por las cantidades W y Wq,
    respectivamente. El tiempo promedio de servicio puede expresarse
    en términos de parámetros de &. Por ejemplo, si
    & es 4 clientes por hora, entonces , en promedio, cada
    cliente requiere 1 /4 para ser atendido. En general, el tiempo de
    servicio es 1/&, lo cual nos conduce a la siguiente
    relación :

    W = Wq + 1/

    Consideremos ahora la relación entre el
    número promedio de clientes en el sistema y el tiempo
    promedio que cada cliente pasa en el sistema. Imaginemos que un
    cliente acaba de llegar y se espera que permanezca en el sistema
    un promedio de media de hora. Durante esta media hora, otros
    clientes siguen llegando a una tasa ¿¿digamos doce
    por hora??. Cuando el cliente en cuestión abandona el
    sistema, después de media hora, deja tras de sí un
    promedio de (1/2)*12 = 6 clientes nuevos.

    Es decir, en promedio, existen seis clientes en el
    sistema en cualquier tiempo dado. Entonces:

    Tiempo promedio de clientes = Número de
    llegadas X *Tiempo promedio en el sistema.

    de modo que:

    L = *W

    Utilizando una lógica
    parecida se obtiene la relación entre el número
    promedio de clientes que esperan en la cola y el tiempo promedio
    de espera en la fila:

    Tiempo promedio de clientes = Número de
    llegadas X Unidad de tiempo en la cola

    de manera que:

    Lq = * Wq

    CONCLUSIÓN

    La teoría de las colas es el estudio
    matemático de las colas o líneas de espera. La
    formación de colas es, por supuesto, un fenómeno
    común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un
    servicio excede a la oferta
    efectiva.

    Con frecuencia, las empresas 
    deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe
    estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es
    imposible predecir con exactitud cuándo llegarán
    los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo
    será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas
    decisiones implican dilemas que hay que resolver con
    información escasa. Estar preparados para ofrecer todo
    servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar
    mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro
    lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas
    excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientes
    tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios,
    están pagando un coste, en tiempo, más alto del que
    esperaban. Las líneas de espera largas también son
    costosas por tanto para la empresa ya que
    producen pérdida de prestigio y pérdida de
    clientes.

    La teoría de las colas en si no resuelve
    directamente el problema, pero contribuye con la
    información vital que se requiere para tomar las
    decisiones concernientes prediciendo algunas
    características sobre la línea de espera:
    probabilidad de que se formen, el tiempo de espera
    promedio.

    Pero si utilizamos el concepto de
    "clientes internos" en la organización de la empresa,
    asociándolo a la teoría de las colas, nos estaremos
    aproximando al modelo de organización empresarial
    "just in time"
    en el que se trata de minimizar el costo asociado a la ociosidad
    de recursos en la cadena productiva.

    BIBLIOGRAFÍA

    Arbonas, M.E. Optimización Industrial (I):
    Distribución de los recursos. Colección Productica
    No. 26. Marcombo S.A, 1989.

    Arbonas, M.E. Optimización Industrial (II):
    Programación de recursos. Colección
    Productica No. 29. Marcombo S.A, 1989.

    Moskowitz,H. y Wright G.P. Investigación
    de Operaciones. Prentice_Hall Hispanoamericana S.A.
    1991.

    Buffa,E: Operations Management: Problems and Models.
    Edición
    Revolucionaria,La Habana, 1968.

    http://www.eumed.net/

    www.gestiopolis.com

    www.monografias.com

    http://es.wikipedia.org/

     

     

    Autor:

    Matías Martínez

    UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDT

    INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

    Caracas, 10 de Noviembre de 2004

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