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Transferencia de calor




Enviado por andres_marrugo



    1. Ley de Enfriamiento de
      Newton
    2. Transferencia de calor por
      convección
    3. Transferencia de calor por
      radiación
    4. Conclusiones
    5. Bibliografía
    1. La gente siempre ha entendido que algo fluye de los
      objetos calientes a los fríos. A eso se le llama flujo
      de calor. En
      el siglo XVIII y comienzos del XIV, los científicos
      imaginaban que todos los cuerpos contenían un fluido
      invisible al cual llamaron calórico. Al
      calórico se le asigno un variedad de propiedades,
      algunas que probaron ser inconsistentes con la naturaleza. Pero su más importante
      propiedad
      era que fluía de cuerpos calientes a fríos. Era
      una manera útil de pensar acerca del calor.

      Hoy en día, en la física, a
      éste flujo de calor, más propiamente
      transferencia de calor, se le define como el proceso
      por el que se intercambia energía en forma de calor
      entre distintos cuerpos, o entre diferentes partes de un
      mismo cuerpo que están a distinta temperatura. El calor se puede transferir por
      convección, radiación o conducción. Aunque
      estos tres procesos
      pueden tener lugar simultáneamente, puede ocurrir que
      uno de los mecanismos predomine sobre los otros
      dos.

      La conducción es la transferencia de calor a
      través de un objeto sólido: es lo que hace que
      el mango de una varilla se caliente aunque sólo la
      punta esté en el fuego. La convección
      transfiere calor por el intercambio de moléculas
      frías y calientes: es lo que hace que el agua de
      una caldera se caliente uniformemente aunque sólo su
      parte inferior esté en contacto con la llama. La
      radiación es la transferencia de calor por
      radiación electromagnética (generalmente
      infrarroja): es el principal mecanismo por el que un fuego
      calienta una habitación.

      De las tres formas de transferencia de calor, la que
      más ha gestado discusiones y dicotomías ha sido
      la teoría de transferencia de calor por
      radiación electromagnética. A
      continuación discutimos los diversos aportes que se
      han hecho en la teoría de la transferencia de calor,
      desde la ley de
      enfriamiento de Newton
      hasta la formulación de Planck para la
      radiación de un cuerpo negro, teniendo en cuenta las
      inconsistencias y las conjeturas a las que se han llegado,
      por el acercamiento desde la física clásica,
      hasta los primeros indicios de la teoría
      cuántica.

    2. INTRODUCCIÓN

      Newton estudió el fenómeno de la
      transferencia de calor y demostró que en el
      enfriamiento de cuerpos que no están demasiado
      calientes se cumple una ley sencilla. Según
      ésta ley empírica la razón con que
      cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la
      diferencia entre su temperatura y la del medio que le rodea,
      que es la temperatura ambiente.
      Si la temperatura de un cuerpo es y la temperatura del ambiente que lo
      rodea ,
      encontró experimentalmente que el calor perdido,
      Q, por el cuerpo en un tiempo
      t es

      *

      Esta es denominada ley de enfriamiento de
      Newton.
      Ahora sabemos que es solo aproximadamente cierta,
      y en el supuesto de que no sea demasiado grande.

      Al ser aplicada solo para diferencias de temperatura
      no muy grandes y contener un sustento experimental y no
      teórico, Newton demuestra inconsistencias en la
      formulación de dicha ley. Es importante ver que esta
      ley contempla los efectos combinados de la conducción,
      convección y radiación.

    3. LEY DE
      ENFRIAMIENTO DE NEWTON

      En los sólidos, la única forma de
      transferencia de calor es la conducción. Si se
      calienta un extremo de una varilla metálica, de forma
      que aumente su temperatura, el calor se transmite hasta el
      extremo más frío por conducción. No se
      comprende en su totalidad el mecanismo exacto de la
      conducción de calor en los sólidos, pero se
      cree que se debe, en parte, al movimiento
      de los electrones libres que transportan energía
      cuando existe una diferencia de temperatura. Esta
      teoría explica por qué los buenos conductores
      eléctricos también tienden a ser buenos
      conductores del calor. En 1822, el matemático
      francés Joseph Fourier dio una expresión
      matemática precisa que hoy se conoce
      como ley de Fourier de la conducción del
      calor.

      1. Esta ley afirma que la velocidad de conducción de calor a
        través de un cuerpo por unidad de sección
        transversal es proporcional al gradiente de temperatura
        que existe en el cuerpo (con el signo
        cambiado).

        Sea J la densidad de corriente de energía
        (energía por unidad de área y por unidad de
        tiempo), que se establece en la barra debido a la
        diferencia de temperaturas entre dos puntos de la misma.
        La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad
        entre el flujo de energía J y el gradiente
        de temperatura.

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        Siendo K una constante
        característica del material denominada
        conductividad térmica.

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        Figura 1 Elemento diferencial que transfiere
        calor por conducción

        Consideremos un elemento de la barra de longitud
        dx y sección S. La energía
        que entra en el elemento de volumen en la unidad de tiempo es
        JS, y la que sale es J’S. La
        energía del elemento cambia, en la unidad de
        tiempo, en una cantidad igual a la diferencia entre el
        flujo entrante y el flujo saliente.

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        Esta energía, se emplea en cambiar la
        temperatura del elemento. La cantidad de energía
        absorbida o cedida (en la unidad de tiempo) por el
        elemento es igual al producto de la masa de dicho elemento por
        el calor específico y por la variación de
        temperatura.

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        Igualando ambas expresiones, y teniendo en
        cuenta la ley de Fourier, se obtiene la ecuación
        diferencial que describe la conducción
        térmica

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      2. Ley de Fourier
      3. Solución
        analítica

      Supongamos una barra metálica de longitud
      L, conectada por sus extremos a dos focos de calor a
      temperaturas Ta y Tb
      respectivamente. Sea T0 la temperatura
      inicial de la barra cuando se conectan los focos a los
      extremos de la barra.

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      Figura 2 Barra metálica expuesta a un
      gradiente de temperatura.

      Al cabo de cierto tiempo, teóricamente
      infinito, que en la práctica depende del tipo de
      material que empleamos, se establece un estado
      estacionario en el que la temperatura de cada punto de la
      barra no varía con el tiempo. Dicho estado está
      caracterizado por un flujo J constante de
      energía. La ley de Fourier establece que la
      temperatura variará linealmente con la distancia
      x al origen de la barra.

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      La temperatura en cualquier punto x a lo
      largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t)
      es la solución de la ecuación diferencial, que
      es una combinación de dos términos, la que
      corresponde al régimen permanente más la del
      régimen transitorio.

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      Las condiciones de contorno, es decir, la
      temperatura T0 en el instante inicial
      (t=0), y las temperaturas en los extremos
      Ta (para x=0) y Tb
      (para x=L) que permanecen invariables, nos
      permiten obtener los
      valores de los coeficientes
      kn

      Para n par

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      Para n impar

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      Así, la temperatura en cualquier punto de la
      barra x, en un instante t, se compone de la
      suma de un término proporcional a x, y de una
      serie rápidamente convergente que describe el estado
      transitorio.

      El factor de proporcionalidad se denomina
      conductividad térmica del material. Los materiales
      como el oro, la
      plata o el cobre
      tienen conductividades térmicas elevadas y conducen
      bien el calor, mientras que materiales como el vidrio o
      el amianto tienen conductividades cientos e incluso miles de
      veces menores; conducen muy mal el calor, y se conocen como
      aislantes. En ingeniería resulta necesario conocer la
      velocidad de conducción del calor a través de
      un sólido en el que existe una diferencia de
      temperatura conocida. Para averiguarlo se requieren técnicas matemáticas muy complejas, sobre todo
      si el proceso varía con el tiempo; en este caso, se
      habla de conducción térmica transitoria. Con la
      ayuda de ordenadores (computadoras) analógicos y digitales,
      estos problemas
      pueden resolverse en la actualidad incluso para cuerpos de
      geometría complicada.

    4. TRANSFERENCIA DE
      CALOR POR CONDUCCIÓN
    5. TRANSFERENCIA DE CALOR POR
      CONVECCIÓN

    Si existe una diferencia de temperatura en el interior
    de un líquido o un gas, es casi
    seguro que se
    producirá un movimiento del fluido. Este movimiento
    transfiere calor de una parte del fluido a otra por un proceso
    llamado convección. El movimiento del fluido puede ser
    natural o forzado. Si se calienta un líquido o un gas, su
    densidad (masa por unidad de volumen) suele disminuir. Si el
    líquido o gas se encuentra en el campo gravitatorio, el
    fluido más caliente y menos denso asciende, mientras que
    el fluido más frío y más denso desciende.
    Este tipo de movimiento, debido exclusivamente a la no
    uniformidad de la temperatura del fluido, se denomina
    convección natural. La convección forzada se logra
    sometiendo el fluido a un gradiente de presiones, con lo que se
    fuerza su
    movimiento de acuerdo a las leyes de la
    mecánica de fluidos.

    Supongamos, por ejemplo, que calentamos desde abajo una
    cacerola llena de agua. El
    líquido más próximo al fondo se calienta por
    el calor que se ha transmitido por conducción a
    través de la cacerola. Al expandirse, su densidad
    disminuye y como resultado de ello el agua caliente asciende y
    parte del fluido más frío baja hacia el fondo, con
    lo que se inicia un movimiento de circulación. El
    líquido más frío vuelve a calentarse por
    conducción, mientras que el líquido más
    caliente situado arriba pierde parte de su calor por
    radiación y lo cede al aire situado por
    encima.

    Para ver el gráfico seleccione la
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    Figura 3 Flujo en una tetera debido a
    la transferencia de calor por
    convección. 

    1. TRANSFERENCIA DE CALOR POR
      RADIACIÓN
      1. Radiación del cuerpo
        negro

    La teoría estadística de la radiación
    representó un enorme papel en el desarrollo de
    la teoría cuántica. La teoría
    electromagnética clásica de la luz, que
    había explicado un amplio círculo de
    fenómenos vinculados con la propagación de la luz,
    y que había logrado aceptación general a fines del
    S. XIX, a principios del S.
    XX se encontró con dificultades insuperables en
    relación con el problema de la emisión de la luz y,
    en particular, con el de la radiación térmica.
    Entendemos por radiación térmica toda la
    radiación emitida por un cuerpo calentado.

    Como es sabido, el carácter de la luz emitida y, en
    particular, su intensidad, como también la dependencia de
    ésta respecto de la frecuencia (composición
    espectral de la radiación) están determinados por
    la temperatura y la naturaleza del cuerpo emisor.

    Sin embargo, hay un caso en que la composición
    espectral de la radiación es independiente de la
    naturaleza del emisor y viene determinada exclusivamente por su
    temperatura. Se trata de la llamada radiación de equilibrio.

    Imaginemos una cavidad cerrada, con paredes que no dejan
    pasar el calor y mantenidas a una determinada temperatura T. Las
    paredes de la cavidad emitirán y absorberán
    ondas
    electromagnéticas.

    Dado que toda la radiación
    electromagnética se encuentra confinada en la cavidad
    cerrada, al cabo de un cierto tiempo se establecerá en el
    sistema un estado
    de equilibrio estadístico. Las paredes de la cavidad
    emitirán, por unidad de tiempo, la misma energía
    electromagnética que absorben. En la cavidad
    existirá un sistema de ondas electromagnéticas
    estacionarias que no variarán con el tiempo.

    La densidad de energía del correspondiente campo
    electromagnético dentro de la cavidad se expresa
    como:

    La radiación térmica contendrá
    diferentes frecuencias. La densidad de energíaque corresponde a un
    intervalo de frecuencias dado dv, será distinta,
    evidentemente, para las diferentes frecuencias. La densidad de
    energía de la radiación de frecuencia dada
    dependerá también de la temperatura T de las
    paredes emisoras. De esta manera,

    Un simple razonamiento termodinámico prueba si
    embargo, que es
    independiente de la naturaleza del emisor, en particular, de las
    paredes (de las propiedades absorbentes y emisoras, del estado de
    la superficie, etc.).

    Consideremos, en efecto, dos cavidades cuyas paredes se
    calientan hasta la misma temperatura, pero constituidas por
    materiales distintos. Supongamos que la densidad de la
    energía espectral de la radiación dependa de la
    naturaleza del emisor y sea diferente en una y otra cavidad.
    Entonces, poniendo en comunicación ambas cavidades, es posible
    romper el equilibrio. La radiación pasará a aquella
    cavidad en la que su densidad sea menor. Como resultado de esto,
    la densidad de radiación de dicha cavidad crecerá,
    las paredes de la misma absorberán más
    energía, y su temperatura se elevará. Entre las
    paredes de ambas cavidades se establece una diferencia de
    temperaturas que se puede utilizar para obtener trabajo
    útil.

    Figura 4 Dos cavidades radiantes inicialmente a la
    misma temperatura se colocan como se muestra en la
    figura.

    La hipótesis que se acaba de hacer lleva a
    concluir la posibilidad de una violación espontánea
    del equilibrio en un sistema cerrado y a que es posible construir
    un motor perpetuo de
    segunda especie (claramente una violación de la segunda
    ley de la termodinámica), lo que como es sabido, es
    imposible. Queda demostrado de esta manera que la distribución espectral de la densidad de
    energía de la radiación de equilibrio es una función
    universal de la frecuencia v y de la temperatura
    T.

    1. EL estudio de las propiedades emisoras y
      absorbentes de los cuerpos materiales llevó a Gustav
      Kirchhoff a establecer un teorema muy importante que ha
      recibido su nombre, el teorema de Kirchhoff.

      Se le llamará capacidad radiante (o
      emisora) de un cuerpo cualquiera a la magnitud
      E(v) igual a la energía emitida por
      cm2 de superficie del cuerpo por unidad de
      tiempo con una frecuencia entre v y v +
      dv por unidad de intervalo de frecuencias. Por otra
      parte, se le llamará capacidad absorbente
      A(v) de un cuerpo la fracción de toda
      la energía luminosa en el intervalo entre v y
      v + dv que incide en 1 cm2 y que
      es absorbida dentro del cuerpo por unidad de intervalo de
      frecuencias.

      El teorema de Kirchhoff establece que la
      razón de las capacidades radiante y absorbente
      E(v)/A(v) es una función
      universal de la frecuencia y de la temperatura del cuerpo
      que no depende ni de la naturaleza y propiedades de los
      cuerpos, ni de sus dimensiones geométricas, es
      decir,

      Ahora bien, resulta que la función
      universal
      está ligada por una simple relación con la
      densidad de energía de la radiación de
      equilibrio:

      donde c es la velocidad de
      la luz. Así, pues, el teorema de Kirchhoff se puede
      escribir de la forma

      Dado que la capacidad absorbente de un cuerpo
      puede hallarse si demasiada dificultad a partir de la
      medición de los coeficientes de
      absorción y de consideraciones geométricas,
      hallar la forma de la función presentaba gran
      interés. De la formula de Kirchhoff
      se deduce que tiene particular importancia un cuerpo en el
      que la capacidad absorbente sea igual a la unidad. Este cuerpo
      absorbe toda la energía electromagnética que
      incide sobre él, cualquiera que sea la frecuencia.
      Este cuerpo se llamó cuerpo negro
      absoluto.

      Para el cuerpo negro absoluto se tiene
      que:

      Ésta formula demuestra que el cuerpo
      absolutamente negro tiene una capacidad emisora mayor que
      la de todos los demás cuerpos. Su capacidad radiante
      es una función universal de la frecuencia v y
      de la temperatura T. Midiéndola, es posible
      determinar experimentalmente la forma de la
      función.

      Por descontado que no todos los cuerpos que
      existen en la naturaleza son absolutamente negros.
      Cualquiera que sea la naturaleza de la superficie del
      cuerpo, una cierta parte de la energía luminosa que
      incide sobre él es reflejada. Sin embargo, la
      cavidad cerrada, llena de radiación, que se ha
      considerado antes es un cuerpo absolutamente negro. En
      efecto, toda la radiación emitida por las paredes de
      la cavidad es absorbida por ellas mismas. Si en la cavidad
      se practica una pequeña abertura, estudiando la
      distribución de la energía luminosa que sale
      por ella es posible hallar experimentalmente la
      función. El tamaño de la abertura debe ser
      suficientemente pequeño para que la perdida de
      energía a través de ella no conduzca a una
      desviación apreciable respecto del estado de
      equilibrio. Con ayuda de un modelo
      de cuerpo absolutamente negro de este tipo se
      estudió experimentalmente la distribución
      espectral de la energía para diferentes
      temperaturas.

      En la figura 5 se presentan curvas típicas
      de esa especie. Se toman como abcisas las longitudes de
      onda de la radiación saliente, y en ordenadas, la
      densidad de energía de radiación con una longitud de
      onda que se encuentra entre y. La densidad de energía de
      radiación con una longitud de onda dada está
      ligada con por la igualdad
      siguiente:

      dv =

      Teniendo en cuenta que,

      ,

      se tiene que,

      Para ver el gráfico
      seleccione la opción "Descargar" del menú
      superior

      Figura 5 Distribución de energía
      radiada por un cuerpo negro. La gráfica representa
      la distribución de la energía (línea
      roja) radiada por un cuerpo negro para varias longitudes de
      onda. Para las longitudes de onda más cortas, la
      energía aumenta a medida que aumenta la
      temperatura.

    2. Teorema de Kirchhoff
    3. Ley de desplazamiento de Wien

    En la figura 5 se observa como la energía de la
    radiación de cuerpo negro varía con la temperatura
    y la longitud de onda. A medida que se incrementa la temperatura
    del cuerpo negro, se observan dos comportamientos distintos. El
    primer efecto es que el pico de la distribución se corre
    hacia las longitudes de más cortas. Por ello a bajas
    temperaturas las longitudes de onda de la radiación
    térmica están principalmente en la región
    infrarroja del espectro electromagnético, la
    radiación no es observada por el ojo (pico en el
    infrarrojo). A medida que la temperatura aumenta se percibe un
    brillo rojo (pico en la cercanía del infrarrojo con algo
    visible en el extremo rojo del espectro). A temperaturas
    suficientemente altas, se observa un brillo blanco (pico en el
    visible).

    Se descubrió que este corrimiento obedecía
    la siguiente relación denominada ley de desplazamiento de
    Wien* :

    dondees
    la longitud de onda a la cual la curva tiene su pico y T
    es la temperatura absoluta del objeto que emite la
    radiación. La longitud de onda en el pico de la curva es
    inversamente proporcional a la temperatura absoluta; es decir,
    conforme la temperatura aumenta, el pico se desplaza a longitudes
    de onda más cortas.

    1. El segundo efecto es que la cantidad total de
      energía que el objeto emite aumenta con la
      temperatura, lo cual se describe por la ley de
      Stefan-Boltzmann, la cual se escribe de la siguiente
      forma:

      P =

      Tendiendo en cuenta que I = P /A es
      la intensidad de la radiación sobre la superficie
      del objeto y que la emisividad e = 1, para un cuerpo
      negro, la ley de Stefan-Boltzmann se puede escribir en la
      forma:

      dondees la constante de Stefan-Boltzmann cuyo valor
      determinado experimentalmente es de .

      Como consecuencia de la ley de Stefan-Boltzmann se
      demostró que un cuerpo caliente debe irradiar calor
      de acuerdo con la siguiente ecuación:

      Las temperaturas involucradas son absolutas,
      siendo la
      temperatura del objeto caliente y la del medio que lo rodea. Para
      diferencias de temperatura muy pequeñas la ley de
      Stefan-Boltzmann se puede reducir a la ley de enfriamiento
      de Newton.

    2. Ley de Stefan-Boltzmann

      A continuación se presenta el calculo de la
      función espectral.

      La radiación electromagnética en una
      cavidad cerrada forma un sistema de ondas
      estacionarias. Este campo electromagnético puede
      substituirse por el correspondiente conjunto de osciladores
      equivalentes. La energía del campo
      electromagnético es igual a la suma de las
      energías de los osciladores. En el caso de la
      radiación en una cavidad, y de acuerdo con lo dicho
      anteriormente, hay que atribuir al campo una temperatura
      igual a la temperatura T de las paredes emisoras. Se
      puede decir, en consecuencia, que a cada onda estacionaria
      en la cavidad corresponde un oscilador que tiene una
      frecuencia v y una energía que depende de la
      frecuencia y también de la temperatura
      T.

      Cada uno de los osciladores que substituyen al
      sistema de ondas estacionarias puede encontrarse en
      diferentes estados y tener valores
      de la energía distintos. Sin embargo, lo que nos interesa no
      es la energía instantánea de los osciladores,
      sino su energía media ; el promedio se toma aquí
      respecto de todos los estados posibles del oscilador. La
      energía de las ondas estacionarias, por unidad de
      volumen de la cavidad, cuyas frecuencias están
      comprendidas entre v y dv, es
      numéricamente igual a la energía media de
      todos los osciladores que substituyen las oscilaciones
      normales y que tienen frecuencias en el mismo intervalo. Si
      g(v)dv es el numero de osciladores, lo dicho
      puede escribirse en la forma

    3. Teoría clásica de la
      radiación negra

      Para el caso de ondas electromagnéticas
      solamente es necesario tener en cuenta que están
      polarizadas y pueden tener dos direcciones de
      polarización. Si se tienen en cuenta las dos
      direcciones de polarización, es necesario
      multiplicar por dos el número de oscilaciones, para
      una frecuencia entre v y dv, entonces, se
      tiene que:

      La fórmula no exigió acudir en su
      deducción a ningún concepto de
      la teoría cuántica, sino que se obtuvo antes
      de que se creara dicha teoría. Para la
      energía media de un oscilador se tomo su valor clásico
      y la
      densidad de radiación de equilibrio a la temperatura
      T se escribió en la forma

      A esta expresión se le conoce como ley de
      Rayleigh-Jeans.

      Es del todo evidente que ésta
      fórmula carece de sentido. En efecto, dicha formula
      prueba que la densidad de energía del campo
      electromagnético en una cavidad cerrada es una
      función monótona creciente de la frecuencia.
      Dado que en la cavidad se pueden presentar oscilaciones de
      todas la frecuencias, en particular, la fórmula conduce a una
      densidad de energía infinitamente grande
      cuando.

      El resultado obtenido significa que las fuentes
      de radiación encerradas en la cavidad
      deberían emitirla hasta que toda la energía
      térmica que contienen pasara al campo de
      radiación y su temperatura descendiera hasta el cero
      absoluto. Así, por ejemplo, si un emisor colocado en
      la cavidad es un cuerpo sólido caliente, del
      resultado obtenido se deduce que el equilibrio del sistema
      emisor-campo electromagnético se establece solamente
      después que dicho cuerpo se enfría hasta el
      cero absoluto.

      Ésta conclusión tiene un simple
      significado. Según la ley de distribución
      uniforme de la energía todos los grados de libertad
      son equivalentes, y en el estado de equilibrio corresponde
      la misma energía a cada uno de ellos. La
      energía térmica que contiene el emisor
      –un cristal formado por N átomos-, puede
      considerarse distribuida entre 3N osciladores. El campo
      electromagnético en la cavidad se puede asimismo
      considerar como conjunto de osciladores. Sin embargo, el
      número de éstos es infinitamente mayor que
      3N. Los números de onda de las posibles ondas
      estacionarias en una cavidad cerrada que tiene forma
      cúbica deben satisfacer las condiciones:

      donde L es la longitud de la arista del
      cubo, y k1, k2, k3 son
      números que toman valores enteros desde cero hasta
      infinito. Se observa que los valores de k1,
      k2, y k3 están limitados por
      el numero de partículas N. De esta manera, el
      número de ondas electromagnéticas
      estacionarias en la cavidad y el correspondiente
      número de osciladores del campo
      electromagnético es infinitamente mayor que el
      número de osciladores que son necesarios para
      describir el movimiento térmico en un cristal. En el
      estado de equilibrio, toda la energía debe estar
      contenida en el campo, puesto que a cada oscilador debe
      atribuirse la misma energía.

      Este resultado se encuentra en plena
      contradicción con los datos
      experimentales. Prueba la experiencia que la densidad de
      energía térmica contenida en el emisor es
      muchísimo mayor que la densidad de energía
      del campo electromagnético. Por ejemplo, para
      T = 300 K la densidad de energía
      térmica para un sólido es 1014
      veces mayor que la densidad de energía medida dentro
      de la cavidad con radiación. En lo que concierne a
      la distribución espectral de la densidad de
      energía expresada por la fórmula de
      Rayleigh-Jeans, esta se encuentra de acuerdo con la
      distribución medida de energía en el espectro
      del cuerpo negro para pequeñas frecuencias que
      cumplen la condición . Por el contrario, para frecuencias
      grandes, cuando es crece con la frecuencia v de manera mucho
      más lenta que según la ley
      v2.

      Así, pues, la ley de distribución
      uniforme conduce, al aplicar al problema de la
      radiación del cuerpo negro, a una teoría que
      discrepa totalmente de los datos experimentales en la
      región de las altas frecuencias.
      Históricamente fue éste el primer caso bien
      estudiado de completa inadecuación de los conceptos
      clásicos. La inadmisible contradicción con la
      experiencia a que condujo la estadística
      clásica llevó a los contemporáneos a
      llamar a la situación que así se
      producía "catástrofe en el ultravioleta". La
      salida a esta contradicción se encontró en el
      desarrollo de la teoría cuántica.

    4. Ley de Rayleigh-Jeans y la catástrofe en
      el ultravioleta*
    5. La fórmula de Planck

    La manera más simple, si bien no la más
    evidente desde el punto de vista físico, de obtener la
    función distribución espectral teniendo en cuenta la
    cuantificación es la siguiente.

    Se substituye en la fórmula de Rayleigh-Jeans el
    valor de la energía media de un oscilador del campo
    calculado según la teoría del oscilador
    cuántico. Al hacerlo, se prescinde de la energía
    del cero del oscilador , eligiéndola como origen de la
    misma.

    Entonces

    Sustituyendo la energía mediaen la fórmula de
    Rayleigh-Jeans, se encuentra la siguiente expresión de la
    energía media del campo electromagnético en el
    vacío por unidad de volumen y para una frecuencia ente
    v y dv:

    Ésta fórmula se llama fórmula de
    Planck. Ésta fue hallada primero deducida de modo
    semiempírico, puesto que se desconocía la formula
    para la energía media para un oscilador cuántico.
    Por el contrario, la fórmula de la energía media y
    la constante de Planck h se hallaron
    experimentalmente.

    De hecho Planck hizo dos suposiciones radicales
    relativas a los osciladores atómicos. La primera que un
    oscilador no puede tener cualquier energía sino solo
    energías dadas por la fórmula: , que establece que la
    energía será cuantizada.

    La segunda, que los osciladores no irradian
    energía continuamente, sino sólo a saltos o
    cuantos. Esos cuantos de energía son emitidos cuando un
    oscilador cambia de estado de energía cuantizada a otro.
    Así pues, si n cambia en una unidad la
    ecuación para la energía hace ver que se irradia
    una cantidad de energía, . Todo el tiempo que un oscilador permanece en
    uno de sus estados cuantizados, o estacionarios, ni emite ni
    absorbe energía.

    En los dos casos límite, y , la fórmula de Planck se simplifica. En el
    primer caso,

    y la fórmula de Planck se reduce a la
    forma,

    es decir, pasa a ser la fórmula de Rayleigh-Jeans
    para la densidad de energía media de la radiación
    negra.

    Cuando

    de modo que,

    Ésta última formula se llama ley de
    Wien.

    Pasando de a la distribución espectral de la densidad de
    radiación respecto de la longitud de onda,, se puede escribir como
    sigue las fórmulas, de Planck, Rayleigh-Jeans y
    Wien.

    Fórmula de Planck

    Fórmula de Rayleigh-Jeans

    Fórmula de Wien

    Las curvas de la figura 5 corresponde a
    la fórmula de Planck. Para grandes valores de las
    longitudes de onda,disminuye al aumentar dicha longitud como , para longitudes de onda
    cortas, tiende a
    cero como . La
    funciónpresenta un máximo para una longitud de ondaque se puede determinar a
    partir de la condición:

    o bien,

    se hace u igual a la magnitud , y se puede escribir la
    ecuación como:

    La resolución de la ecuación trascendente
    da,

    Ésta fórmula prueba que la posición
    del máximo del la densidad de energía de la
    radiación negra se desplaza hacia las longitudes de onda
    pequeñas cuando crece la temperatura. Ésta es la
    llama ley de desplazamiento de Wien.

    1. CONCLUSIONES
    2. Se pudieron estudiar los modelos
      para la transferencia de calor propuestos para cada una de
      las tres formas de transferencia. Se estudió la ley de
      enfriamiento de Newton, la cual hallada de manera
      empírica completamente, permite hallar perdidas por
      calor entre un objeto caliente y el medio, cuando la
      diferencia en temperaturas es pequeña. El principal
      inconveniente de ésta ley proviene del hecho, en que
      involucra procesos de transferencia de calor por
      conducción, convección y
      radiación.

      El estudio de la ley de Fourier mostró ser
      bastante útil, teniendo en cuenta las propiedades
      térmicas de cada material, para modelar la
      transferencia de calor por conducción. También
      se mostró la conductividad térmica de los
      materiales y lo relacionado que están con las
      propiedades de éstos y su geometría, conociendo la dificultad que
      se puede presentar para determinar la conductividad
      térmica.

      Posteriormente se estudió la transferencia de
      calor por convección, la cual muestra la manera en
      como se calientan algunos fluidos, y como se establecen
      patrones de corrientes en el fluidos, sean compresibles o no.
      La transferencia de calor por convección tiene gran
      aplicabilidad en la teoría de fluidos, en aplicaciones
      industriales en la rama de la ingeniería mecánica.

      Se estudiaron varios modelos del cuerpo negro para
      la transferencia de calor por radiación
      electromagnética, los cuales mostraron ser
      polémicos en cuanto a las concepción y paradigmas, tanto de la física
      clásica como la física moderna. Partiendo de
      Kirchhoff y su definición para el cuerpo negro, de
      donde por medio del análisis termodinámico
      clásico convergieron tanto Wilhelm Wien como Lord
      Rayleigh y James Jeans. El sustento teórico para la
      radiancia de cavidad, o modelo de cuerpo negro, probó
      ser inconsistente para modelar los resultados experimentales,
      partiendo del supuesto que la energía irradiada por
      los osciladores atómico es continua. La ley de
      Stefan-Boltzmann, hallada de manera empírica por Josef
      Stefan y luego modelada teóricamente por las teorías clásicas de la
      termodinámica por Ludwig Boltzmann, no entra en
      disparidad con la física clásica, puesto que
      muestra la proporcionalidad que existe entre la potencia
      total emitida por radiación térmica y la
      temperatura del material, relacionándola con la
      emisividad (característica del material) y su
      geometría. Recordemos que la principal
      característica de la radiancia espectral (del cuerpo
      negro) es que no depende en ningún momento, ni de la
      geometría del cuerpo, ni de las propiedades
      absorbentes ni emisoras, de éste.

      Por último se mostraron las consideraciones
      que se tuvieron que hacer para modelar la radiancia del
      cuerpo negro, en términos generales, la
      cuantificación de la energía para los
      osciladores atómicos, propuesta por Max Planck. La
      suposiciones teóricas de Planck, que dieron inicio a
      la teoría cuántica, partieron de donde
      habían fallado en modelar las teorías
      anteriores y los problemas con las longitudes de onda
      cercanas al ultravioleta. Fue ahí donde Planck
      encontró la solución al problema para hallar la
      función de distribución espectral, dando paso a
      la conformación de lo que conocemos hoy como
      física moderna.

    3. BIBLIOGRAFÍA
    1. V. G. LEVICH, Curso de Física
      Teórica
      Vol. 1 y 2, 2ª Edición, Ed. Reverté, S.A.,
      España, 1976.
    2. D. HALLIDAY, R. RESNICK, Física Parte I
      y II, Ed. John Wiley & Sons, inc., 1966.
    3. R. SERWAY, R. BEICHNER. Física Vol 1 y 2. 5
      ° Edición McGRAW HILL. 2002.
    4. J. LIENHARD IV, J. LIENHARD V, A Heat Transfer
      Textbook
      3ª Edición, Phlogiston Press,
      Cambridge Massachusetts, 2004.
    5. MICROSOFT CORPORATION. Biblioteca
      de Consulta Encarta 2005.
    6. BEUCHE, F. Fundamentos de Física. Primera
      Edición. México D.F., México. Editorial
      McGraw Hill de México, S.A. 1970.

    7. http://encyclopedia.thefreedictionary.com/Rayleigh-Jeans%20law
    8. http://www.taftan.com/thermodynamics/RADIAT.HTM

    Andrés Guillermo Menco
    Haeckermann

    Estudiante de Ing. de Sistemas

    Andrés Guillermo Marrugo
    Hernández

    Estudiante de Ing. Mecatrónica

    Luis Miguel Celis Salgado

    Estudiante de Ing. Mecatrónica

    Jorge Luís Muñiz Olite

    Profesor

    UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE BOLIVAR

    FÍSICA ONDULATORIA 2004

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