Algunas cuestiones preliminares
Las ciencias
matemáticas, así como el ejercicio
de su enseñanza siempre han tenido, como
principal medio y fin, la resolución de problemas
matemáticos. P. Halmos expresó su convencimiento de
que "los problemas son el corazón de
la Matemática" (1980, p. 524). Desde esta
perspectiva, en vista de que el contenido determina el método,
esto nos conduce a afirmar que los problemas también son
el "corazón" de la Didáctica de la
Matemática.
Al respecto, M. Murillo y V. Brenes han aseverado que:
"[…] una clase de
Matemática debe estar siempre centrada en (resolver)
problemas y el papel del profesor debe
ser el de ‘buscador’ de situaciones
problémicas y significativas para el estudiante" (1994, p.
378). Este hecho, por su parte, supone la concepción del
maestro como un profesional de la educación
innovador y creativo.
La resolución y planteamiento de problemas hoy
día constituyen un punto de mira para disímiles
investigadores de todo el mundo. Mientras muchos se encargan del
abordaje de los procesos de
resolución, otros pocos se enfrentan a la
formulación de problemas.
A propósito de este último punto, G. Polya
afirmó que "[e]l arte de encontrar
un nuevo problema que sea a la vez interesante y accesible no es
fácil; se necesita experiencia, buen gusto y suerte"
(1952/1985, p. 171). Los calificativos "interesante" y
"accesible" transparentan la complejidad del asunto. No se trata
de elaborar problemas "a ciegas", sino que en el acto de
formulación se contemplen las posibles vías de
solución (Labarrere, 1988, p.
51).
Con relación a la "experiencia", el maestro debe
dominar una serie de recursos
(estrategias,
procedimientos, control de sus
actos metacognitivos); y en cuanto al logro de un "buen gusto"
(carácter lúdico de la
Matemática) debe desplegar a plenitud un pensamiento
divergente, con plena conciencia de sus
creencias sobre la naturaleza de
los objetos matemáticos a los que se refiere. De tal
forma, el maestro puede apelar menos a la "suerte", antes de
inventar problemas para introducir una nueva materia,
desarrollar ciertas habilidades, realizar trabajo
diferenciado, etcétera.
L. Campistrous y C. Rizo (1996) destacan cuatro acciones
básicas para enseñar a formular problemas: la
búsqueda (¿sobre qué voy a hacer el
problema?), el planteo de una situación inicial
(¿qué voy a considerar conocido?), la
formulación de preguntas (¿qué quiero saber
de lo conocido?), y la resolución del problema
(¿cómo llego de lo conocido a lo
desconocido?).
Estos mismos autores han señalado que durante
este proceso "el
alumno se siente un creador y esto, además de estimular
el
aprendizaje, forma motivos fuertes para el trabajo con
el problema, perdiendo el miedo que muchas veces se crea
alrededor de esta importante actividad matemática". Polya,
hizo un certero señalamiento al respecto: "La experiencia
de un alumno en matemáticas será incompleta
mientras no tenga ocasión de resolver problemas que
él mismo haya inventado. Enseñando a los
alumnos el modo de derivar un nuevo problema de un problema ya
resuelto, el profesor logrará suscitar la curiosidad de
sus alumnos" (op. cit., p. 173).
J. Kilpatrick enfatizó la importancia de formular
problemas matemáticos, no solo como medio sino
también como meta de la enseñanza. Él
señala: "la experiencia de descubrir y crear por sí
mismos problemas matemáticos siempre debería ser
parte de la educación de los
estudiantes" (1987, p. 123). A propósito, el NCTM
(National Council of Teachers of Mathematics, 1989) en sus
"Standards" declara como objetivo
común para todos los niveles educacionales "formular
problemas a partir de situaciones cotidianas y
matemáticas"; y en los niveles 9–12 declara que los
estudiantes deben tener "alguna experiencia en reconocer y
formular sus propios problemas, actividad que se encuentra en el
centro mismo de la actividad matemática".
Algo similar se plantea actualmente en las nuevas
transformaciones del enfoque metodológico de la
Matemática Educativa cubana. Así, de los cuatro
objetivos
generales de nuestra asignatura, el cuarto plantea: "Formular y
resolver, con los recursos de la matemática elemental,
problemas relacionados con el desarrollo
político, económico y social del país y el
mundo, así como con fenómenos y procesos
científico–ambientales que les conduzcan a actitudes
revolucionarias y responsables ante la vida" (MINED, 1999, p. 3).
Más adelante se especifica que en el octavo grado el
estudiante comenzará construyendo situaciones, para en el
curso siguiente pasar a la etapa de
formulación.
En Álvarez y Cruz (1999) hemos propuesto un
sistema de
estrategias para facilitarle al maestro la formulación de
nuevos problemas.
Desde nuestra perspectiva, hemos enfocado este complejo
proceso tomando en consideración el presupuesto
siguiente: Formular un problema plausible dentro del
ámbito escolar es un problema didáctico; por tanto,
cualquier modelación se aproximará mucho a lo que
unánimemente denominamos problemas abiertos. En lo que
sigue nos limitaremos a la implementación de un recurzo
sumamente eficaz, para el hallazgo de nuevos problemas: la
utilización de analogías.
Un ejemplo de
analogía en la formulación de un
problema
Según Polya, es fácil imaginar nuevos
problemas por poca que sea la experiencia que tengamos en los
principales medios para
transformarlos.
Entre estos recursos él enfatiza cinco,
principalmente: cambiar los papeles que juegan los datos y la
incógnita, considerar como variables
ciertos elementos del problema, generalizar, particularizar, y
emplear analogías.
Como operación lógica,
la analogía no es más que el razonamiento sobre la
pertenencia a cierto objeto de un determinado indicio (propiedad o
relación), tomando como base la homología de
indicios sustanciales con otro objeto. En el caso que nos ocupa
deberemos manejar el término "problema análogo"
cuando la similitud emerge del planteo, sin incluir en este
conjunto todo lo concerniente a la idea de
solución.
A título de ejemplo, nosotros tomaremos como
prototipo un conocido problema de la
Planimetría:
"Sea ABCD un cuadrado de lado 1. Sean P y Q dos
puntos interiores de los segmentos DA y AB respectivamente, y
tales que el ángulo QCP tiene una amplitud de 45º.
Calcular el perímetro del triángulo
PAQ".
Para resolver este ejercicio basta aplicar una
rotación de ángulo recto al triángulo CDP en
sentido antihorario, tomando por centro el punto C. Siendo M la
imagen de P
por esta rotación, entonces los puntos Q, B y M
estarán alineados.
Es evidente que el triángulo MCQ es congruente
con el triángulo QCP; por tanto,
QP = QM = QB + BM = QB + DP = (1 – AQ) + (1
– PA),
en fin,
AQ + QP + PA = 2.
Si ahora entre el conjunto de los cuadriláteros y
el conjunto de los triángulos consideramos como
análogos los elementos que son regulares, entonces podemos
tratar de construir un problema similar para el caso de los
triángulos equiláteros.
En efecto, sea ABC un triángulo regular y
tratemos de inscribir en él un ángulo de 45º,
de manera que su vértice coincida con el vértice B
del triángulo. No es difícil percatarse de que si
las semirrectas del ángulo cortan interiormente el lado AC
en los puntos P y Q, entonces no se formará el
triángulo esperado.
Para continuar razonando por analogía notemos
que, en el ejercicio anterior, el punto C del cuadrado no solo es
vértice, sino también un punto frontera. Si
movemos este punto hasta el centro R del cuadrado, manteniendo en
su lugar los vértices A, B y D, resultará un
ejercicio análogo, con la única dificultad de que
se forma un triángulo irregular (es
rectángulo).
En estas condiciones, en busca de analogías, es
factible hallar M y N que son imágenes
de B y D respectivamente, por una homotecia de centro R y una
razón tal que el triángulo AMN resulte
equilátero.
Como R es imagen de C ubiquemos el vértice del
ángulo PRQ tal y como aparece representado en la figura
siguiente. Ahora el problema consiste en calcular el
perímetro del triángulo AQP. En este caso el
triángulo AMN se toma con lado 1.
No es difícil demostrar que mientras se
rota el ángulo PRQ con centro en R, de manera que P y Q se
mantienen en el interior de los segmentos AN y AM
respectivamente, entonces el perímetro del
triángulo AQP varía de manera monótona.
Realmente se obtiene una función
que depende, digamos, del valor del
ángulo MRQ.
Esta situación no favorece el propósito
que nos planteamos inicialmente.
El autor del problema también tropezó con
esta dificultad, sin embargo decidió prescindir (en
términos de analogía) del valor del ángulo;
examinó otros valores
notables y finalmente decidió tomar como 60º la
amplitud del ángulo PRQ. En este caso, queda establecida
la semejenza entre dos triángulos, condición
sine qua non para que el ejercicio sea más sencillo
y elegante. De todos modos la solución no es un
número entero como en el problema original. Para subsanar
esa dificultad basta aplicar una semejanza de razón
dos.
En este caso, cambiando notaciones, el problema ya
está conformado:
"Sean ABC un triángulo regular de lado 2; R el
punto medio del lado BC; P y Q puntos interiores de los lados AC
y AB respectivamente, de tal manera que el ángulo QRP
tiene una amplitud de 60º. Calcular el perímetro del
triángulo AQP." (Propuesto por R. Ochoa en Siproma,
Vol. 2, No. 3, 1998, p. 22).
Para la solución, en la figura x, y, e z
designan, respectivamente, las longitudes de los lados AQ, AP y
QP.
Si Q®
A (x®
0) entonces Ð CPR ® 90° , luego CP ® ½CR = ½; por tanto,
. De igual manera
se deduce que 
,
así que:
x + y < 3 (1)
De la semejanza entre los triángulos QBR y
CPR resulta la relación:
o bien,
xy = 2(x + y) – 3. (2)
En virtud de la ley de los
cosenos tenemos que:
z² = x² + y²
– 2xy× cos60° = x² + y²
– xy,
o sea,
(x + y)² – 3xy = z². (3)
Sustituyendo (2) en (3) resulta (x + y)²
– 6(x + y) + 9 =
z², es decir, (x + y – 3)² = z². Luego, haciendo uso de la
relación (1), se verifica que z = ½ x + y – 3½ = – x –
y + 3. Finalmente, si denotamos por P el perímetro
buscado, resulta que P = x + y + z = 3.
Inconforme aún, el maestro debe tratar de obtener
otros problemas interesantes a partir del que acaba de idear.
Polya estableció un símil al respecto: "Hay ciertos
puntos en común entre los problemas interesantes y ciertas
familias de setas: vienen por grupos. Cuando
usted encuentre uno, mire a su alrededor, hay muchas
probabilidades de que haya otro en la vecindad". A
propósito, después de examinar retrospectivamente
el resultado anterior, podemos plantearnos múltiples
interrogantes. He aquí una de ellas: ¿Para
qué ángulos a el perímetro estudiado es siempre
constante? Se trata de un ejercicio bastante
complicado, pero muy interesante.
ÁLVAREZ, S. y CRUZ, M. (1999) Estrategias
metacognitivas en la formulación de problemas para la
enseñanza de la Matemática.
Publicación interna del ISP "José de
la Luz y Caballero", Holguín.
Campistrous, L. y Rizo, C. (1996) Aprende a
resolver problemas
aritméticos. Editorial Pueblo y
Educación, La Habana.
CRUZ, M. (1997) Estrategias para la
elaboración de ejercicios del Análisis Diofántico. Tesis de
maestría no publicada. ISP "José de la Luz y
Caballero", Holguín.
__________ (1999) Sobre el planteamiento de problemas
matemáticos. En: Memorias del III Taller sobre la
Enseñanza de la Matemática "Dulce María
Escalona" in memoriam. ISP "Enrique José Varona", La
Habana.
Halmos, P. (1980) The heart of the mathematics. In:
American Mathematical Monthly, 87, pp.
519–524.
Kilpatrick, J. (1987) Is teaching teachable? George
Polya’s views on the training of mathematics teacher. In:
Teaching and learning, a problem solving focus (pp.
85–97). Reston, VA: National Council of Teacher of
Mathematics.
Labarrere, A. (1988) Como enseñar a los
alumnos de primaria a resolver problemas. Editorial Pueblo
y Educación, La Habana.
MINED (1999) Programas de Matemática para
las Secundarias Seleccionadas. La Habana.
Murillo, M. y Brenes, V. (1994). Algunos objetos de
estudio del constructivismo. En: Memorias de la Octava
Reunión Centroamericana y del Caribe sobre
formación de profesores e investigación en Matemática
Educativa. Universidad
Estatal a Distancia (pp. 373–378). San José de
Costa
Rica.
NCTM (1989) Curriculum and evaluation standards for
school mathematics. Reston, VA: National Council of Teacher
of Mathematics.
Polya, G. (1952/1985) Como plantear y resolver
problemas. Editorial Trillas, México.
M. Sc. Miguel Cruz Ramírez
Lic. Adognis Aguilar Pérez
ISPH, Matemáticas, Holguín 81000,
CUBA