Deriva dipolar magnética en campos magnéticos homogéneos y no homogéneos

Enviado por marcoart_7

Sea

De modo que la Lagrangiana del sistema será:

donde es el momento dipolar magnético y es un campo magnético uniforme. En coordenadas cilíndricas.

Lasa ecuaciones de movimiento correspondientes son:

reemplazando el valor de L resulta:

Para y las soluciones son sencillas:

donde tanto a como b son las constantes de la ecuación paramétrica correspondiente se tiene:

ecuación diferencial de segundo orden cuya solución parametrica es:

y su polinomio característico es:

como se puede observar su solución es de la forma hiperbólica

en el caso en el que las constantes sean iguales a 1/2 se tiene:

Otro tipo de variación del campo que da lugar a la deriva del centro de guía de las partículas es la curvatura de las líneas de fuerza del campo magnético. Consideremos el campo bidimensional, en la que las líneas de fuerza están curvadas con un radio de curvatura local R grande frente al radio a, en el que la partícula gira alrededor de las líneas de campo.

De igual modo se puede hacer una deducción mas directa a partir de la fuerza de Lorentz.

Si tomamos coordenadas cilíndricas con origen en el centro de curvatura, la inducción magnética tiene solamente componente según. Entonces puede demostrarse fácilmente que la ecuación de la fuerza de las tres ecuaciones de movimiento:

En primera aproximación la trayectoria es una hélice de radio a, pequeño frente al radio de curvatura R, en el menor orden de aproximación tenemos. Así de la primera ecuación obtenemos un resultado aproximado para

Desarrollando esta expresión en coordenadas cilíndricas se tiene la ecuación

donde el gradiente del campo eléctrico en coordenadas cilíndricas es de la forma:

Para el caso particular de un campo eléctrico no homogéneo del tipo:

Sustituyendo los volares correspondientes, se obtiene. La ecuación

Finalmente puesto que la fuerza es el gradiente de la energía es:

Desarrollando en coordenadas cilíndricas se tiene:

Aplicando la Transformada de Laplace a la ecuación diferencial de segundo grado se tiene:

con las condiciones iniciales:

Sea

y aplicando la transformada Inversa de Laplace finalmente se obtiene:

Como se puede observar esta última ecuación permite establecer la trayectoria de la partícula en presencia de un campo eléctrico no homogéneo debido a su momento cuadrupolar. Si lugar a dudas similar técnica podría usarse para evaluar el comportamiento de cualquier partícula en la presencia de campos magnéticos y/o eléctricos considerando la contribución de los momentos multipolares significativas.

CHEN, FRANCIS F. (1974), INTRODUCTION TO PLASMA PHYSICS AND CONTROLLED FUSION, PLENUM PRESSS- NEW CORK, LONDON.

JACKSON, JHON DAVID (1966), ELECTRODINÁMICA CLÁSICA, EDIT. ALAMBRA- MADRID.

B. G. LEVICH (1971), TEORÍA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO. REVERTE- BARCELONA.

S. LEE, P.H. SAKANACA SMALL PLASMA PHISICS EXPERIMENTS WORLD SCENTIFIC PUBLISHING CO, 1988

ESTUDIOS REALIZADOS

LICENCIADO EN FISICO MATEMATICAS UNSAAC-CUSCO

TRABAJO REALIZADO EN EL 2002 CON EL APOYO DEL Dr. OSWALDO LUIZAR OBREGON