El presente trabajo
sitúa la resolución de problemas geométricos
como un elemento fundamental en el proceso de
enseñanza – aprendizaje de
las matemáticas en el bachillerato. Se realiza
una conceptualización de problema geométrico de
cálculo y se efectúa una clasificación de
los mismos tomando como puntos de partida el carácter del contenido, la
correlación de lo conocido y lo desconocido, el tipo de
actividad mental que tiene que desplegar el alumno para su
solución y la relación de la Geometría con otros contenidos de la
matemática
escolar. Se presentan algunos ejemplos que pueden ser de gran
utilidad tanto
para alumnos como para los docentes
encargados de impartir esta asignatura.
This article places geometrical problem solving as a
main element in the teaching learning process of Mathematics in
High School. Here a conceptualization of calculation geometrical
problem is made and their classification is defined taking as a
point of departure the character of the content, the correlation
of the known and the unknown, the kind of mental activity that
the students should carry out for their solution, and the
relationship between Geometry and other contents of the school
mathematics. Some examples are shown that can be of great help
either for the students or teachers in charge of teaching this
subject.
Constituye una preocupación de los docentes
encargados de la enseñanza de la Matemática, la
capacitación de los estudiantes para la
solución de problemas (punto muy discutido en el mundo),
pues se considera una actividad de gran importancia.
En este sentido se hace cada vez más evidente,
que no se trata de que los alumnos sean visto como recipientes,
sino de desarrollar sus capacidades para enfrentarlos a los
nuevos retos de este mundo, y en particular enseñarlos a
aprender.
Por esta razón, la habilidad resolución de
problemas se ha convertido en el centro de la enseñanza de
la Matemática en la época actual, por lo que se
hace necesario contar con una concepción de su
enseñanza que ponga en primer lugar la habilidad
resolución de problemas y el desarrollo del
pensamiento
lógico.
Existen tres tipos de problemas geométricos, a
saber: de demostración, de cálculo y de construcción. Hasta este momento, en la
múltiple y variada bibliografía revisada no se
ha encontrado una definición de los segundos; por lo que
se entendió pertinente elaborar una por los autores de
este trabajo.
Se define un problema geométrico de
cálculo: como aquella tarea docente que demanda la
realización de determinadas acciones
(prácticas o mentales) encaminadas a transformar ciertas
relaciones entre los elementos de un ente geométrico y se
pide determinar algún o algunos elementos del mismo para
lo cual tiene que recurrirse al cálculo como método o
procedimiento
fundamental; mientras que su vía de solución se
obtiene con ayuda de procedimientos
algorítmicos o
heurísticos.
Partiendo de la definición anterior puede elaborarse
una clasificación de los problemas geométricos de
cálculo si se toma como punto de partida el
carácter de la actividad mental que tiene que desplegar el
alumno para su solución, pero una clasificación de
tal tipo no sería muy útil desde el punto de vista
didáctico.
Los autores de este trabajo consideran que para elaborar una
clasificación de los problemas geométricos de
cálculo más útil desde el punto de vista
práctico, no basta con considerar el tipo de procedimiento
que tiene que emplear el alumno para su solución, sino
también, la forma en que se redacta la información contenida en el problema, la
correlación de lo conocido y lo desconocido, y su
relación con otros contenidos de la Matemática
(relación interdisciplinaria).
Atendiendo a estos puntos de vista es que se realizan las
siguientes clasificaciones de los problemas geométricos de
cálculo, las cuales se representan en los esquemas que se
muestran a continuación y que colateralmente se
ejemplifican.
Clasificación de los problemas geométricos de
cálculo según la forma en que se redacta la
información contenida en este, la correlación de lo
conocido y lo desconocido, así como, el tipo de actividad
mental que tiene que desplegar el alumno para su
solución.
Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior
Un problema geométrico de cálculo es
cerrado, cuando contiene toda la información necesaria
para su solución (datos detallados
y hechos determinados) que le permiten al resolutor encontrar con
relativa facilidad la vía de solución; asimismo se
indica con claridad el objetivo
(exigencias), lo desconocido (incógnita) se ve en el
propio problema, y es el procedimiento para resolverlo. En
correspondencia con esto, el alumno trata de solucionar el
problema dentro de la propia tarea, sin salirse de sus marcos,
mediante el análisis y explicación de los datos
(los hechos) o explicando el objetivo. La solución del
problema puede ser exitosa si el alumno logra establecer la
relación clara y comprensible entre los datos (los hechos)
y el objetivo.
Ejemplo # 1:
Dos depósitos de trigo
tienen forma semejante; uno contiene 270 y el otro 640
hectolitros. Si el depósito menor tiene 2.7 metros de
profundidad, ¿cuál es la profundidad del
mayor?
Un hecho es que los depósitos tienen forma
semejante, lo cual significa que para sus volúmenes se
cumple: 
, que es un dato que no
aparece explícitamente como los volúmenes de ambos
depósitos. La profundidad del mayor se obtiene por una
fórmula conocida 
Por su parte los problemas geométricos de
cálculo se consideran abiertos cuando la tarea contiene
fundamentalmente solo datos detallados, mientras que el objetivo
(exigencias) no se indica o no se establece con precisión;
o cuando se establece con precisión el objetivo pero los
datos no se expresan con claridad.
Ejemplo # 2:
En una probeta de 709
cm3 de volumen y que
contiene 601 cm3 de agua se
introduce una esfera de hierro de
3,0 cm de radio, de forma
tal que se sumerge completamente en el
agua.
En el mismo se le da con claridad los volúmenes
de cada uno de los cuerpos que se consideran, así como el
radio de la esfera, pero no se indica la exigencia, de manera que
el estudiante puede solucionarlo de acuerdo a la interpretación que realice del mismo, es
decir, puede determinar el volumen de agua que falta para
completar la capacidad de la probeta, calcular el volumen de la
esfera para determinar la cantidad de agua que se derrama, o
sencillamente calcular el volumen de la esfera.
Ejemplo # 3:
En el triángulo ABC, D y E
son puntos medios de
los lados AC y BC respectivamente, AB = 10 cm, O centro de la
semicircunferencia tangente al lado AB como se muestra en la
figura. Calcule el área sombreada.
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Se establece con precisión el objetivo
(exigencias), pero solo se da un dato con el cual, por sí
solo, no es posible llegar a la solución. Faltan datos
necesarios que el estudiante debe buscar, considerando los hechos
y los conocimientos que tiene al respecto.
Los problemas geométricos de cálculo se
consideran algorítmicos cuando requieren de la
aplicación de un algoritmo ya
preparado o de una fórmula ya preparada y
sólidamente asimilada por los alumnos, es decir, de
indicaciones exactas sobre la realización consecutiva de
determinadas operaciones, un
código
sui géneris de reglas para la solución de una serie
de tareas homogéneas, basadas en un método
único de solución. Por esa razón, el
término "problema geométrico de cálculo con
carácter algorítmico" tiene en cuenta el problema
para cuya solución se requiere la aplicación de
algoritmos ya
preparados, pero en condiciones nuevas, empleados en
relación con otros datos iniciales, en comparación
con las situaciones anteriores en que el alumno había
utilizado dichos algoritmos.
El problema algorítmico exige del alumno la
determinación y planificación de los pasos que conducen al
logro del objetivo.
La planificación del proceso de solución,
la programación de las etapas de
solución y la aplicación de algoritmos conocidos,
constituyen los rasgos fundamentales de un problema
algorítmico.
Los problemas geométricos de cálculo se
consideran heurísticos cuando los datos
(condiciones) y el objetivo (exigencias) no indican los
algoritmos para la solución, es decir, hay que hallar el
procedimiento de solución. Las búsquedas de los
procedimientos de solución se relacionan fundamentalmente,
con el pensamiento intuitivo (con el inside), pero puede haber
problemas heurísticos relacionados con la
aplicación de procedimientos y formas especiales de la
actividad heurística, los "eurekas". Los problemas
geométricos de cálculo con carácter
heurístico se solucionan con fórmulas ideadas por
los alumnos, a partir del análisis del objetivo, aunque en
el proceso de solución haya que recurrir a fórmulas
conocidas.
En ocasiones para la resolución de la tarea que
se le propone a los estudiantes, estos tienen que recurrir al
trazado de elementos que no aparecen en la figura o que para el
éxito
en la misma este resulta imprescindible; es en ese momento en que
se dice que el alumno ha empleado y por tanto desarrollado su
pensamiento lateral o divergente, y como consecuencia ha tenido
que ser creativo. Lo mismo ocurre cuando el profesor exige
o el alumno decide resolver la misma tarea por varias vías
de solución.
Ejemplo # 4:
En la figura A, B y C son puntos de
la circunferencia de centro O y radio r; 
, 
, 
es bisectriz del
y E es el punto
de intersección de y 
.
Calcula EO en función
del radio r.
Para calcular 
no existe ninguna fórmula conocida, ni tampoco
ningún algoritmo. El estudiante tiene que relacionar
con el resto de
los elementos de la figura y con los datos del problema,
incluyendo procedimientos heurísticos como realizar trazos
auxiliares, que le permitan relacionar con otros elementos con el
propósito de elaborar una fórmula que permita
obtener el objetivo planteado.
Otra clasificación de los problemas
geométricos de cálculo se puede hacer teniendo en
cuenta las relaciones interdisciplinarias, dentro de la propia
Matemática.
Clasificación de los problemas
geométricos de cálculo atendiendo a su
relación con otros contenidos de la Matemática
(relación intradisciplinaria)
Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior
Un problema geométrico de cálculo se
considera puro cuando en su solución hay que utilizar
conceptos, relaciones y procedimientos geométricos
(ejemplos 1 al 4).
Un problema geométrico se considera mixto cuando
en su solución hay que utilizar conceptos, relaciones y
procedimientos de Álgebra o de la Teoría
de Funciones.
Ejemplo # 5:
En la figura aparece un esbozo del
gráfico de la función 
y el rectángulo PQRS, cuyo lado
está
contenido en el eje x. Si los puntos P y S pertenecen al
gráfico de f y las rectas que contienen a los segmentos
y
son tangentes a la
curva, calcule el área del rectángulo
PQRS.
Ejemplo # 6:
De un trapecio de 49 
de área se conoce
que la base menor mide 4,0 cm y la base mayor excede en 3,0 cm
a la altura. Calcular el área que tendría el
trapecio si la base mayor fuese 2,0 cm más
corta.
En los ejemplos anteriores se pone de manifiesto las
condiciones de un problema geométrico de cálculo
mixto. En el primer caso (# 5) se necesita del conocimiento
de elementos del Álgebra y del Análisis en lo
referente a la teoría de funciones, para luego vincularlos
con las relaciones desde el punto de vista geométrico y
llegar a la solución exitosa del problema. En el segundo
caso (# 6) se utilizan conocimientos de la Geometría
(área del trapecio), pero la solución se alcanza
empleando conocimientos del Álgebra (resolución de
ecuaciones
cuadráticas).
A modo de conclusiones podemos afirmar que:
- Si bien es indispensable el dominio de
los distintos tipos de problemas geométricos de
cálculo por parte del docente, también resulta
importante, su concepción y
formulación. - Para que los problemas geométricos de
cálculo contribuyan plenamente al desarrollo del
pensamiento de los estudiantes, estos, siempre que sea
posible no deben darse como un paquete ya elaborado, sino que
sea el propio alumno quien los elabore a partir de datos del
entorno. - La elaboración, resolución y
discusión de las vías que resulten como
consecuencia del trabajo en pequeños grupos de
trabajo cooperativo, deben ser objeto de análisis en
el grupo
grande para decidir cuál fue el mejor redactado,
cuál el más complejo, el más
difícil, el más elegante.
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