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¿Problemas geométricos de cálculo?

Enviado por sol



  1. Resumen
  2. Desarrollo

RESUMEN

El presente trabajo sitúa la resolución de problemas geométricos como un elemento fundamental en el proceso de enseñanzaaprendizaje de las matemáticas en el bachillerato. Se realiza una conceptualización de problema geométrico de cálculo y se efectúa una clasificación de los mismos tomando como puntos de partida el carácter del contenido, la correlación de lo conocido y lo desconocido, el tipo de actividad mental que tiene que desplegar el alumno para su solución y la relación de la Geometría con otros contenidos de la matemática escolar. Se presentan algunos ejemplos que pueden ser de gran utilidad tanto para alumnos como para los docentes encargados de impartir esta asignatura.

This article places geometrical problem solving as a main element in the teaching learning process of Mathematics in High School. Here a conceptualization of calculation geometrical problem is made and their classification is defined taking as a point of departure the character of the content, the correlation of the known and the unknown, the kind of mental activity that the students should carry out for their solution, and the relationship between Geometry and other contents of the school mathematics. Some examples are shown that can be of great help either for the students or teachers in charge of teaching this subject.

Desarrollo

Constituye una preocupación de los docentes encargados de la enseñanza de la Matemática, la capacitación de los estudiantes para la solución de problemas (punto muy discutido en el mundo), pues se considera una actividad de gran importancia.

En este sentido se hace cada vez más evidente, que no se trata de que los alumnos sean visto como recipientes, sino de desarrollar sus capacidades para enfrentarlos a los nuevos retos de este mundo, y en particular enseñarlos a aprender.

Por esta razón, la habilidad resolución de problemas se ha convertido en el centro de la enseñanza de la Matemática en la época actual, por lo que se hace necesario contar con una concepción de su enseñanza que ponga en primer lugar la habilidad resolución de problemas y el desarrollo del pensamiento lógico.

Existen tres tipos de problemas geométricos, a saber: de demostración, de cálculo y de construcción. Hasta este momento, en la múltiple y variada bibliografía revisada no se ha encontrado una definición de los segundos; por lo que se entendió pertinente elaborar una por los autores de este trabajo.

Se define un problema geométrico de cálculo: como aquella tarea docente que demanda la realización de determinadas acciones (prácticas o mentales) encaminadas a transformar ciertas relaciones entre los elementos de un ente geométrico y se pide determinar algún o algunos elementos del mismo para lo cual tiene que recurrirse al cálculo como método o procedimiento fundamental; mientras que su vía de solución se obtiene con ayuda de procedimientos algorítmicos o heurísticos.

Partiendo de la definición anterior puede elaborarse una clasificación de los problemas geométricos de cálculo si se toma como punto de partida el carácter de la actividad mental que tiene que desplegar el alumno para su solución, pero una clasificación de tal tipo no sería muy útil desde el punto de vista didáctico.

Los autores de este trabajo consideran que para elaborar una clasificación de los problemas geométricos de cálculo más útil desde el punto de vista práctico, no basta con considerar el tipo de procedimiento que tiene que emplear el alumno para su solución, sino también, la forma en que se redacta la información contenida en el problema, la correlación de lo conocido y lo desconocido, y su relación con otros contenidos de la Matemática (relación interdisciplinaria).

Atendiendo a estos puntos de vista es que se realizan las siguientes clasificaciones de los problemas geométricos de cálculo, las cuales se representan en los esquemas que se muestran a continuación y que colateralmente se ejemplifican.

Clasificación de los problemas geométricos de cálculo según la forma en que se redacta la información contenida en este, la correlación de lo conocido y lo desconocido, así como, el tipo de actividad mental que tiene que desplegar el alumno para su solución.

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 Un problema geométrico de cálculo es cerrado, cuando contiene toda la información necesaria para su solución (datos detallados y hechos determinados) que le permiten al resolutor encontrar con relativa facilidad la vía de solución; asimismo se indica con claridad el objetivo (exigencias), lo desconocido (incógnita) se ve en el propio problema, y es el procedimiento para resolverlo. En correspondencia con esto, el alumno trata de solucionar el problema dentro de la propia tarea, sin salirse de sus marcos, mediante el análisis y explicación de los datos (los hechos) o explicando el objetivo. La solución del problema puede ser exitosa si el alumno logra establecer la relación clara y comprensible entre los datos (los hechos) y el objetivo.

Ejemplo # 1:

Dos depósitos de trigo tienen forma semejante; uno contiene 270 y el otro 640 hectolitros. Si el depósito menor tiene 2.7 metros de profundidad, ¿cuál es la profundidad del mayor?

Un hecho es que los depósitos tienen forma semejante, lo cual significa que para sus volúmenes se cumple: , que es un dato que no aparece explícitamente como los volúmenes de ambos depósitos. La profundidad del mayor se obtiene por una fórmula conocida

Por su parte los problemas geométricos de cálculo se consideran abiertos cuando la tarea contiene fundamentalmente solo datos detallados, mientras que el objetivo (exigencias) no se indica o no se establece con precisión; o cuando se establece con precisión el objetivo pero los datos no se expresan con claridad.

Ejemplo # 2:

En una probeta de 709 cm3 de volumen y que contiene 601 cm3 de agua se introduce una esfera de hierro de 3,0 cm de radio, de forma tal que se sumerge completamente en el agua.

En el mismo se le da con claridad los volúmenes de cada uno de los cuerpos que se consideran, así como el radio de la esfera, pero no se indica la exigencia, de manera que el estudiante puede solucionarlo de acuerdo a la interpretación que realice del mismo, es decir, puede determinar el volumen de agua que falta para completar la capacidad de la probeta, calcular el volumen de la esfera para determinar la cantidad de agua que se derrama, o sencillamente calcular el volumen de la esfera.

Ejemplo # 3:

En el triángulo ABC, D y E son puntos medios de los lados AC y BC respectivamente, AB = 10 cm, O centro de la semicircunferencia tangente al lado AB como se muestra en la figura. Calcule el área sombreada.

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Se establece con precisión el objetivo (exigencias), pero solo se da un dato con el cual, por sí solo, no es posible llegar a la solución. Faltan datos necesarios que el estudiante debe buscar, considerando los hechos y los conocimientos que tiene al respecto.

Los problemas geométricos de cálculo se consideran algorítmicos cuando requieren de la aplicación de un algoritmo ya preparado o de una fórmula ya preparada y sólidamente asimilada por los alumnos, es decir, de indicaciones exactas sobre la realización consecutiva de determinadas operaciones, un código sui géneris de reglas para la solución de una serie de tareas homogéneas, basadas en un método único de solución. Por esa razón, el término "problema geométrico de cálculo con carácter algorítmico" tiene en cuenta el problema para cuya solución se requiere la aplicación de algoritmos ya preparados, pero en condiciones nuevas, empleados en relación con otros datos iniciales, en comparación con las situaciones anteriores en que el alumno había utilizado dichos algoritmos.

El problema algorítmico exige del alumno la determinación y planificación de los pasos que conducen al logro del objetivo.

La planificación del proceso de solución, la programación de las etapas de solución y la aplicación de algoritmos conocidos, constituyen los rasgos fundamentales de un problema algorítmico.

Los problemas geométricos de cálculo se consideran heurísticos cuando los datos (condiciones) y el objetivo (exigencias) no indican los algoritmos para la solución, es decir, hay que hallar el procedimiento de solución. Las búsquedas de los procedimientos de solución se relacionan fundamentalmente, con el pensamiento intuitivo (con el inside), pero puede haber problemas heurísticos relacionados con la aplicación de procedimientos y formas especiales de la actividad heurística, los "eurekas". Los problemas geométricos de cálculo con carácter heurístico se solucionan con fórmulas ideadas por los alumnos, a partir del análisis del objetivo, aunque en el proceso de solución haya que recurrir a fórmulas conocidas.

En ocasiones para la resolución de la tarea que se le propone a los estudiantes, estos tienen que recurrir al trazado de elementos que no aparecen en la figura o que para el éxito en la misma este resulta imprescindible; es en ese momento en que se dice que el alumno ha empleado y por tanto desarrollado su pensamiento lateral o divergente, y como consecuencia ha tenido que ser creativo. Lo mismo ocurre cuando el profesor exige o el alumno decide resolver la misma tarea por varias vías de solución.

Ejemplo # 4:

En la figura A, B y C son puntos de la circunferencia de centro O y radio r; , , es bisectriz del y E es el punto de intersección de y .

Calcula EO en función del radio r.

Para calcular no existe ninguna fórmula conocida, ni tampoco ningún algoritmo. El estudiante tiene que relacionar con el resto de los elementos de la figura y con los datos del problema, incluyendo procedimientos heurísticos como realizar trazos auxiliares, que le permitan relacionar con otros elementos con el propósito de elaborar una fórmula que permita obtener el objetivo planteado.

Otra clasificación de los problemas geométricos de cálculo se puede hacer teniendo en cuenta las relaciones interdisciplinarias, dentro de la propia Matemática.

Clasificación de los problemas geométricos de cálculo atendiendo a su relación con otros contenidos de la Matemática (relación intradisciplinaria)

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 Un problema geométrico de cálculo se considera puro cuando en su solución hay que utilizar conceptos, relaciones y procedimientos geométricos (ejemplos 1 al 4).

Un problema geométrico se considera mixto cuando en su solución hay que utilizar conceptos, relaciones y procedimientos de Álgebra o de la Teoría de Funciones.

Ejemplo # 5:

En la figura aparece un esbozo del gráfico de la función y el rectángulo PQRS, cuyo lado está contenido en el eje x. Si los puntos P y S pertenecen al gráfico de f y las rectas que contienen a los segmentos y son tangentes a la curva, calcule el área del rectángulo PQRS.

Ejemplo # 6:

De un trapecio de 49 de área se conoce que la base menor mide 4,0 cm y la base mayor excede en 3,0 cm a la altura. Calcular el área que tendría el trapecio si la base mayor fuese 2,0 cm más corta.

En los ejemplos anteriores se pone de manifiesto las condiciones de un problema geométrico de cálculo mixto. En el primer caso (# 5) se necesita del conocimiento de elementos del Álgebra y del Análisis en lo referente a la teoría de funciones, para luego vincularlos con las relaciones desde el punto de vista geométrico y llegar a la solución exitosa del problema. En el segundo caso (# 6) se utilizan conocimientos de la Geometría (área del trapecio), pero la solución se alcanza empleando conocimientos del Álgebra (resolución de ecuaciones cuadráticas).

A modo de conclusiones podemos afirmar que:

  • Si bien es indispensable el dominio de los distintos tipos de problemas geométricos de cálculo por parte del docente, también resulta importante, su concepción y formulación.
  • Para que los problemas geométricos de cálculo contribuyan plenamente al desarrollo del pensamiento de los estudiantes, estos, siempre que sea posible no deben darse como un paquete ya elaborado, sino que sea el propio alumno quien los elabore a partir de datos del entorno.
  • La elaboración, resolución y discusión de las vías que resulten como consecuencia del trabajo en pequeños grupos de trabajo cooperativo, deben ser objeto de análisis en el grupo grande para decidir cuál fue el mejor redactado, cuál el más complejo, el más difícil, el más elegante.

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Ms. C. Jorge L. Del Sol Martínez

Dr. C. Eloy Arteaga Valdés

Profesores de la Universidad Pedagógica "Conrado Benítez García". Facultad de Enseñanza Media Superior. Departamento Ciencias Exactas. Cienfuegos. Cuba.


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