- Ventanas
- Enventandado de
señales - Enventanado
rectangular - Enventanado de
Hanning - Enventanado de
Hamming - Enventanado
Blackman
En la actualidad existen sistemas que
obtienen el espectro de una señal a través de
algoritmos que
son implementados en equipos de procesamiento de señales. Un equipo capaz de realizar esta
función
con algunas limitaciones (tales como la capacidad de
procesamiento, el número de muestras disponibles por
segundo, etc.) es un ordenador. Pero hasta que punto, el espectro
obtenido a través de un sistema digital
como el implementado en ordenador, es real? En el presente
documento intentaré esclarecer esta duda (de forma
teórica y con ayuda de algunas simulaciones), enfocando el
efecto que tiene utilizar diferentes tipos de ventanas para
realizar el muestreo.
Es importante analizar el efecto de cada una de las
ventanas, ya que si deseamos obtener el espectro de una
señal mediante la ayuda de una herramienta de
procesamiento digital, es necesario hacerlo de manera discreta.
De la elección de cada una de las ventanas variarán
los resultados. Primero vamos a definir las funciones de cada
una de ellas. Los tipos de ventanas mas conocidas son:
- Rectangular
- Hamming
- Hanning
- Blackman
Ventana Rectangular.
Una ventana rectangular es aquella que posee un
valor de 1
en todo el intervalo de la ventana, y de 0 para cualquier
otro valor.
En la figura 1(a) podemos observar que la ventana
rectangular continua, la misma que posee una amplitud
constante, por lo que al utilizar una ventana de este tipo la
señal no se verá afectada. En la figura 1(b)
encontramos el equivalente de esta señal para
señales muestreadas, es decir la ventana rectangular
discreta.
Ventana de Hanning
La ventana de hanning se define a través de
la función:
Para valores
fuera del rango 1 a n tenemos una amplitud de 0.
En la figura 1(c) podemos observar la Ventana de
Hanning continua, la misma que posee características
especiales con respecto a la ventana rectangular, ya que
atenúa la señal en los bordes de la misma. Este
efecto se tratará mas adelante en este documento. En
la figura 1(d) encontramos la ventana de hanning discreta, la
que ha sido muestreada a con una factor de 32
muestras.
Ventana de Hamming
La función para definir esta ventana
es:
De manera similar, si se tiene otros valores fuera
del rango 0a n-1, estos poseen valor de cero.
En la figura 1(e) observamos la grafica de la
ventana de Hamming continua. Podemos observar que es muy
similar a la de Hanning, pero su respuesta en frecuencia
variará, este tema se analizará con mayor
detalle en las siguientes secciones del documento. En la
figura 1(f) podemos observar la ventana de Hamming discreta,
la misma que se ha obtenido a partir de 32
muestras.
Ventana de Blackman.
La ventana de Blackman se define
mediante:
En al figura 1 (g) podemos observar la ventana de
blackman continua, mientras que en la figura 1(h) podemos
observar la ventana de blackman discreta
Figura 1. Diferentes tipos de ventana,
generalmente utilizadas
para realizar el muestreo de una
señal continua
La importancia de cada una de las ventanas, radica en
que las características de inicio y de
finalización de las ventanas, permite disminuir los
efectos de las discontinuidades al momento de realizar el
enventanado de una señal continua, infinita, no
periódica. Para realizar este análisis, vamos a tomar una señal
compuesta de 2 senoides así:
A1*(cos(w1) +A2*cos(w2);
Idealmente al tener una señal continua como la
anterior, el espectro resultante estaría dado por 2
pulsos, ubicados en w1 y w2, con amplitudes A1 y A2.
Desafortunadamente al realizar la fft con la ayuda de un
sistema digital, se puede obtener resultados erróneos,
como resultado del muestreo, del tipo de ventana utilizada,
etc.
Para realizar las pruebas
correspondientes, establezcamos los
parámetros:
A1= 1 amplitud del primer pulso
A2=2 amplitud del segundo pulso
w1=pi/10 frecuencia 1
w2=9pi/10 frecuencia 2
La forma de onda de la señal definida
anteriormente es:
Figura 2. Forma de onda de la
señal de prueba.
Los efectos del tipo de ventana a utilizar, se hace
presentes en este punto. Si lo hacemos con una ventana
rectangular tenemos una señal que en el dominio del
tiempo sin
cambios, esto se debe a la característica de la ventana,
ya definida con anterioridad.
En la figura 3(a) podemos observar la forma de onda de
la señal sin enventanar, y en 3(b) el espectro
correspondiente a dicha figura. Es importante hace notar que al
utilizar una ventana rectangular como la de la figura 3(c), la
señal no se ve afectada de mayor manera, por lo que al
obtener la señal enventanada en la figura 3(e), podemos
ver que es idéntica tanto en el dominio del tiempo como
en el dominio de la frecuencia.
Hay que hacer hincapié, en que las gráficas de la figura 3(a) y 3(b), no
corresponden a una señal continua en el tiempo, ya que
han sido muestreadas (referirse al Anexo A), y por lo tanto
inducen una determinada distorsión. No debe pensarse en
ningún caso que cualquier espectro obtenido en la figura
3 es el espectro real de la señal, debido a que estamos
aproximando el espectro de Fourier, al utilizar una
porción de la señal, y enventanarla,
además que estamos utilizando muestras de dicha
señal, y no su función para obtener el
espectro.
Figura 3. (a) forma de onda de la
señal original (b) espectro de la señal de prueba
(c) forma de onda de la ventana rectangular (d) espectro de la
ventana (e) señal enventanada (f) espectro de la
señal enventanada *los espectros tienen escala
logarítmica.
Al realizar un análisis similar, pero esta ves
cambiando el tipo de ventana rectangular por otro tipo de
ventana como la de hanning, podemos ver que el espectro de la
señal enventanada se asemeja, aunque no de gran manera
al ideal que es tener 2 pulsos ubicados en w1 y w2.
En la figura 4 podemos observar que ahora el efecto de
la ventana es evidente sobre la señal en el dominio del
tiempo y en el dominio de la frecuencia. En el dominio del
tiempo podemos observar que la ventana hace disminuir la
amplitud de la señal hacia los bordes de la ventana, lo
que ayuda a eliminar las discontinuidades. En el dominio de la
frecuencia podemos observar que tenemos una copia del espectro
de la ventana tanto en w1 como en w2. De ahí que el
espectro de la ventana tendrá gran influencia, ya que
serán quien defina la forma de representar los pulsos en
las frecuencias que se requieran.
La figura 4 (a) y 4(b) muestran la señal en el
dominio del tiempo, mientras que la figura 4(b) y 4(c) la forma
de onda de la ventana y su espectro, en la figura 4(e) y 4(f)
tenemos la señal enventanada, se nota claramente como la
ventana afecta a la señal original en el tiempo y en la
frecuencia.
Para ver el gráfico seleccione
la opción "Descargar" del menú
superior
Figura 4. (a) forma de onda de la
señal original (b) espectro de la señal de prueba
(c) forma de onda de la ventana de hanning (d) espectro de la
ventana (e) señal enventanada (f) espectro de la
señal enventanada *los espectros tienen escala
logarítmica.
Los resultados al utilizar una ventan tipo Hamming
podemos apreciarlos en la figura 5. El ancho de banda de el
pulso en w1 y w2 a aumentado como resultado del uso de este
tipo de ventana, pero en comparación con el resultado
obtenido con la ventana rectangular, vemos que la
distorsión producida por las discontinuidades a sido
atenuada, hasta con valores de -150dB.
Al fijarnos detenidamente en la figura 5 (c) podemos
observar que hay una pequeña discontinuidad alrededor
del punto 250, discontinuidades como esta son las que producen
que aparezcan distorsiones en el espectro, que hasta ahora solo
es una aproximación.
En la figura 5(a) y 5(b) podemos observar la
señal sin ventanear, y su espectro
(aproximación), en la figura 5(c) y 5(d) observamos la
señal y su espectro después de haber sido
ventaneada. El espectro posee menos distorsiones y la
relación de las amplitudes de los pulsos se mantiene.
Aun hay zonas en las que la distorsión es considerable y
solo se atenúa a -20 dB.
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Figura 5. (a) forma de onda de la
señal original (b) espectro de la señal de prueba
(c) forma de onda de la ventana de hamming (d) espectro de la
ventana (e) señal enventanada (f) espectro de la
señal enventanada *los espectros tienen escala
logarítmica.
Finalmente el último tipo de ventana a utilizar
es la ventana de Blackman, quizá por lo pronto los
beneficios de utilizar este tipo de ventana no sean evidentes,
pero es una ventana que se debe tener especial atención. A continuación se
analiza los efectos de usar esta ventana.
En el análisis en el dominio del tiempo, no
encontramos mayores diferencias con respecto a los tipos de
enventanado anteriores, ahora veamos el efecto que tiene el uso
de este tipo de ventana en el dominio de la frecuencia. La
figura 6(c) y 6(d) contiene la ventana de blackman, y su
espectro. Es notorio que la pequeña discontinuidad ha
desaparecido, lo que le da una ventaja a esta ventana al
momento de obtener el espectro discreto de Fourier.
La aparición de frecuencias parasitas, en este
caso es menor, pero en contraste, tenemos un ancho de banda
mayor en cada pulso de frecuencia. De igual forma las
amplitudes de las señales mantienen su
proporción. Ver figura 6(f).
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Figura 6. (a) forma de onda de la
señal original (b) espectro de la señal de prueba
(c) forma de onda de la ventana de blackman (d) espectro de la
ventana (e) señal enventanada (f) espectro de la
señal enventanada *los espectros tienen escala
logarítmica.
El efecto de usar escala logarítmica es que nos
permite apreciar de mejor manera las distorsiones del espectro.
Si utilizásemos una escala lineal, los efectos de la
distorsión no serían tan notorios como se muestra en las
figura 3, 4, 5 y 6.
A continuación una gráfica comparativa
entre ambos tipos de escalas:
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Figura7. espectro al utilizar una
(a-b)ventana rectangular (c-d) ventana de hanning
(e-f) ventana de hamming (g-h) ventana de
blackman
Este cuadro comparativo muestra de mejor manera la
eficiencia de
cada una de las ventanas. En primera instancia vemos que todas
las gráficas presentan errores en cuanto a la
relación de las amplitudes, ya que como recordamos, las
amplitudes tanto para el primer pulso como para el segundo eran
de 1 unidad. Aunque el error no es muy notorio, es un
parámetro que se debe tener en cuenta. También
podemos observar que las amplitudes alcanzan una magnitud
similar.
En cuanto a otros parámetros como el ancho de
banda del lóbulo principal, será mejor apreciar en
las gráficas que tienen escala logarítmica, de
ahí determinamos que las ventanas de hamming y rectangular
tienen un lóbulo principal muy definido, pero la
atenuación de las frecuencias parásitas no es tan
eficiente como con otras ventanas, en las ventanas de hamming
apenas sobrepasa los -100dB, mientras que con otras como la de
blackman y hanning, lo hace sobre los -200dB. Por lo que
obtenemos una importante conclusión es:
- Las ventanas de hamming y rectangular, a pesar de
poseer un lóbulo principal muy definido, producen
frecuencias parásitas (lóbulos secundarios), no
tan atenuadas como otras ventanas similares (hanning y
blackman).
Al comparar, las otras dos ventanas restantes; Hanning y
Blackman, vamos a encontrar que existen resultados similares en
cuanto a atenuación de frecuencias parásitas,
amplitud y ancho de banda del lóbulo principal, por lo que
para la elección de cada una de ellas se deberá
tener en cuenta la aplicación correspondiente.
Por:
Diego Alvarado
Universidad Técnica Particular de Loja