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Ecuaciones diferenciales. Aplicaciones a transitorios de circuitos

Enviado por cgarbarello



  1. Estudios de transitorios de circuitos
  2. Distintos tipos de excitación
  3. Excitación senoidal

1. Estudios de transitorios de circuitos.

a.- Circuito resistivo-inductivo serie.

La forma general de un circuito RL serie bajo excitación de tensión es la siguiente:

La respuesta a esta excitación de tensión será una corriente i que producirá sobre la resistencia y sobre la inductancia sendas caídas de tensión, las cuales vendrán dadas respectivamente por:

vr = i . R

vl = L . di

dt

Si aplicamos al circuito la segunda ley de Kirchoff, tendremos que el valor instantáneo de la tensión en función del tiempo será:

v = i . R + L . di

dt

En esta última expresión observamos:

1.- La respuesta a la transición depende de una ecuación diferencial lineal de primer orden y donde este viene dado por la cantidad de elementos reactivos del circuito.

2.- Debido a que hay una excitación v, la ecuación es no homogénea lo cual dificulta su resolución.

Analizaremos ahora el comportamiento de este circuito bajo diversos tipos de excitación.

2.- Circuito R L sin excitación con condiciones iniciales no nulas.

Este caso es denominado: Régimen natural

Partamos del siguiente circuito:

Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Luego de un tiempo prolongado de funcionamiento circulará una corriente Io como se indica en el circuito. En un determinado instante que designamos con t =0 se abre la llave l, de forma tal que en la bobina se cumplirá:

t = 0 entonces i = Io

Bajo estas condiciones estudiaremos como varía la corriente i en función del tiempo a través del circuito que contiene a la resistencia R.

El circuito, queda así librado a la única acción de la energía concentrada en el campo magnético de la bobina la cual retorna al circuito disipándose progresivamente en el resistor.

Del párrafo anterior sabemos que:

v = i . R + L . di

dt

Pero en este caso v = 0, por lo tanto:

0 = i . R + L . di

dt

Esta última ecuación diferencial es lineal de primer orden y homogénea, la cual puede resolverse separando diferenciales, o sea, se procede como sigue:

i . R = - L . di

dt

- R . dt = di

L dt

Para resolver esta ecuación integramos ambos miembros, con lo que obtenemos:

ln i = - R . t + K

L

El valor de la constante K de integración, lo obtenemos aplicando a la última expresión las condiciones iniciales, es decir:

t = 0 entonces i = Io por lo tanto

ln Io = K

valor este que remplazando en la expresión anterior, nos da:

ln i = - R . t + ln Io

L

operando en esta última expresión obtenemos:

ln i - ln Io = - R . t

L

de donde:

i / Io = e –(R/L) t

Es decir que el proceso tiene una variación exponencial , se inicia cuando la relación de intensidades es uno para t = 0 y tiende asintóticamente a cero tal cual se indica en el gráfico:

Hallemos ahora el valor de la subtangente, en el triángulo formado en la figura por los ejes y la recta tangente a la curva en t=0, observemos:

tg  = St / 1 de donde St = 1 . tg a)

por otro lado:

di / dIo = - R . e –(R/L) t = - R/L = tg (tg (b)

dt t=0 t=0

Relacionando las expresiones (a) y (b), llegamos a la conclusión:

St = L / R

donde la subtangente es el tiempo al cabo del cual el valor final de la corriente es nulo si el decrecimiento en lugar de ser exponencial se verifica en forma lineal con la misma pendiente del instante t = 0.

A dicho tiempo se lo llama constante de tiempo y su unidad es el segundo. Es posible demostrar que no solamente para t = 0 sino para cualquier otro instante, la subtangente continua tomando el mismo valor es decir, que la constante de tiempo es una característica de los parámetros del circuito, jamás del tipo de excitación.

Dijimos que si el proceso fuese lineal al cabo de t = segundos, la corriente sería nula, pero debido a la naturaleza exponencial del fenómeno el valor será:

i / Io = e –(R/L) t = e –(R/L) (L/R) = e-1 = 0,368



Es decir que al cabo de un tiempo la corriente se reduce en un 36,8 % del valor inicial, o también que existe una reducción del 63,2% del valor total.

En definitiva, la intensidad en función del tiempo, vendrá dada por:

i (t) = Io . e–(R/L) t

i (t) = Io . e– t /

Las caídas de tensión instantáneas en las resistencias y en la inductancia en función del tiempo, serán:

vr = i . R = Io . R . e– t /

vL = L . di/dt = L ( - Io . e– t / ) = - L . Io . e– t /

(L/R)

Grafiquemos estas tres expresiones en función del tiempo:

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3.- Circuito R L serie con excitación escalón y condiciones iniciales nulas.

La excitación escalón corresponde a la siguiente expresión matemática:

t entonces u (t) = 0

t > 0 entonces e (t) = V

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Partimos como siempre de la expresión:

V(t) = i . R + L di / dt

siendo nuestro circuito el siguiente:

Esta última expresión, es una expresión diferencial no homogénea, lineal de primer orden, la cual para resolverla requerirá una previa separación de variables tal cual se indica en las operaciones que haremos.

V - i . R = L . di / dt

I . R - v = - L . di / dt

I - v/R = - (l/R) . di / dt por tanto dt = - (L/R) . di /( i - v/R)

integrando ambos miembros:

t = - (L/R) . ln ( i – v/R ) + K (1)

Resta ahora aplicar las condiciones iniciales, es decir:

para t = 0 i = 0

y con esto determinar K:

0 = - (L/R) . ln (-v/R) + K por tanto K = (L/R) . ln (-v/R)

reemplazando el valor de K en ( 1 ):

t = - (L/R). ln ( i – v/R ) + (L/R) . ln (-v/R)

multiplicando por – l esta última expresión y operando llegamos a :

- (R/L) . t = ln [(i – v/R) / (-v/R)]

( i - v/R ) / (-v/R) = e– t /

i (t) = V - V . e– t /

R R

luego, la caída de tensión en la resistencia será:

vr = i . R = V - V . e– t /

y la caída de tensión en la bobina será:

vL = L . di / dt = v . e– t /

Representando estas tres expresiones gráficamente obtendremos:

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Cabe, ahora, hacer las siguientes consideraciones como conclusión:

1.-Tanto i como vr y vl tienen dos términos, el primero que no es función del tiempo (en el caso del vl vale cero) y describe el comportamiento final del circuito. Corresponde al régimen permanente también llamado estacionario o forzado. Por ejemplo la corriente forzada será igual a V/R y responde justamente a la ley de 0hm.

2.- El segundo término describe el régimen natural del circuito el que depende primero de las condiciones de excitación, de las condiciones iniciales y de los parámetros circuitales.

3.- La superposición de ambos regímenes da el comportamiento durante la transición.

4.- la corriente crece desde cero hasta V / R en forma exponencial. El régimen de crecimiento, está dado por la constante de tiempo  = L / R que depende exclusivamente de los parámetros circuitales.

5.- La tensión en la resistencia varía de cero a V siguiendo la misma ley.

6.- La tensión en la bobina disminuye de V a cero siguiendo la misma ley. Debido a que en el instante inicial, la tensión aplicada cae totalmente en la bobina y luego disminuye en forma exponencial.

7.- Se cumple la segunda ley de Kirchoff, es decir la suma de los valores instantáneos de vr y vl es constante e igual a V en el circuito.

4.- Circuito R L serie con excitación escalón y condiciones iniciales no nulas

Este es el caso para el cual:

en t = 0 entonces i = +/- Io

será menester para este caso determinar nuevamente la constante de integración.

El circuito a emplear será el siguiente:

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Para calcular la constante de integración nos basaremos en la expresión (1 ) del párrafo anterior, es decir:

t = - (L/R) . ln ( i – v/R ) + K

Aplicando a esta expresión las condiciones iniciales:

en t = 0 entonces i = +/- Io

0 = - (L/R) . ln (+/- Io - v/R) + K por tanto K = (L/R) . ln (+/-Io - v/R)

Remplazando esta última expresión en la expresión (1 ) tendremos:

t = - (L/R). ln ( i – v/R ) + (L/R) . ln (+/-Io - v/R)

- (R/L) . t = ln [( i - v/R ) / (+/-Io – v/R)]

i (t) = V/R + ( +/- Io - V/R ) . e– t /

Graficando esta última expresión en función del tiempo para distintos valores de Io, tendremos los siguientes diagramas:

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5.- Circuito R C serie

La forma general de este circuito bajo excitación de tensión será el siguiente:

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Aplicando la segunda ley de Kirchoff a este circuito, tendremos:

v (t) = vr + vC

Donde vC es la caída de tensión en el capacitor y vr =i . R es la caída de tensión en la resistencia. De la definición de corriente sabemos que:

i = dq / dt

y de la definición de capacidad:

C = dq / dv

llegamos a la siguiente expresión de la corriente:

i = C . dv / dt

que remplaza en la expresión de vr da:

vr = C . R . d vc / dt

y en definitiva:

v (t) = C . R . d vc / dt + vc

La cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden y no homogénea. Todas las conclusiones sacadas para el circuito R L son válidas para este circuito.

6.- Circuito R C sin excitación con condiciones iniciales no nulas.

Régimen natural.

Este circuito a estudiar queda librado a la acción de la carga:

Qo = C . Vo

que almacena el capacitor.

Su energía E = ½ C. Vo 2 se disipa en el resistor y el circuito de estudio será el siguiente:

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A partir de la ecuación diferencial del párrafo anterior trataremos de estudiar la ley de variación de la tensión en el capacitor y la de la corriente del circuito, para ello tendremos:

v (t) = C . R . d vc / dt + vc

Pero la excitación del circuito es nula, es decir, llegamos a la siguiente expresión, la cual es una ecuación diferencial, lineal de primer orden y homogénea, lo cual facilita su resolución por separación de variables:

d vc / vc = - dt / ( C . R )

integrando esta última expresión obtenemos:

ln vc = - t / (c . R) + K

donde K es la constante de integración la cual será determinada como siempre a partir de las condiciones iniciales; para nuestro caso:

para t = 0 es vc = Vo

es decir: K = ln Vo

Por lo tanto remplazando el valor de la constante K en la expresión respectiva, llegamos a :

ln vc = - t /(C. R) + ln Vo de donde ln vc - ln Vo = - t / ( C. R )

ln ( vc / Vo ) = - t / ( C . R )

vc = Vo . e– t /(C.R) = Vo . e– t /

Donde  = C. R es la constante de tiempo de un circuito R C serie, es decir es le tiempo en que la tensión del condensador en descarga se reduce a un 36,8% del valor inicial o en carga aumenta en un 63,2% del valor de la tensión final partiendo de cero.

La ley de variación de la intensidad vendrá dada por:

i (t) = C . d vc/dt = C . Vo . (- 1 /  . e– t / = - C . Vo . e– t /(R . C )

i (t) = - Vo . e– t /

R

Por otro lado la caída de tensión en la resistencia será: vr = i . R = - Vo . e– t /

Representando gráficamente estas expresiones obtenemos:

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7.- Circuito R C serie con excitación escalón y condiciones iniciales nulas.

Para este caso el circuito bajo excitación de tensión es el indicado en la figura:

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Donde como siempre se cumple la segunda ley de Kirchoff, es decir:

v (t) = i . R + vc

v (t) = C . R . d vc /dt + vc

Ecuación esta última diferencial, lineal, de primer orden, y no homogénea debido a la excitación de tensión, excitación esta, de tipo escalón, es decir:

v (t) = V

Para resolver esta ecuación diferencial tendremos que separar variables, es decir, operamos de la siguiente manera:

V - vc = C . R . d vc /dt de donde vc - V = - C . R . d vc /dt

- dt / (C . R ) = dvc /( vc -V )

integrando esta última expresión, llegamos a :

- t /(C . R) = ln (vc - V ) + K

Donde K es la constante de integración y la determinamos aplicando en la ecuación anterior las condiciones iniciales, es decir:

Para t = 0 es vc = 0

por lo tanto:

0 = ln (-V) + K por lo tanto K = - ln (-V)

Expresión esta última que remplazada en la anterior queda:

- t /(C . R) = ln (vc - V ) - ln (-V)

- t /(C . R) = ln [(vc - V ) / (-V)]

e– t / = (vc - V ) / (-V)

y en definitiva:

vc = V - V . e– t /

Expresión esta que nos indica la variación exponencial de la tensión en función del tiempo. Para t = 0, vc será cero y veremos que toda la tensión cae en la resistencia; luego vc irá aumentando y en definitiva para t tendiendo a infinito la tensión de la fuente caerá totalmente en el capacitor.

La expresión en función del tiempo que nos identifica la variación de la intensidad será:

i (t) = C . d vc / dt = C . ( V . e– t / ) = C . V . e– t /

C . R

o sea:

i (t) = V . e– t /

R

y la caída de tensión en la resistencia será:

vr = i . R

vr = V . e– t /

Funciones todas estas que graficadas, adoptan la siguiente configuración:

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8. Circuito R C serie excitación escalón y condiciones iniciales no nulas.

Para este caso el circuito será el que sigue:

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Para resolver este caso directamente habrá que variar la aplicación de las condiciones iniciales en el cálculo de la constante de integración. Las nuevas condiciones iniciales serán:

Para t = 0 será vc = +/- Vo

Es decir, aplicando a la siguiente ecuación estas condiciones tendremos:

-t / (C . R) = ln (vc - V ) + K

0 = ln (+/- Vo - V) + K

K = - ln ( +/-Vo - V)

es decir:

-t / (C . R) = ln (vc – V) - ln (+/- Vo – V)

-t / (C . R) = ln [(vc – V) / (+/- Vo – V)]

vc = V + ( +/- Vo - V) e– t / (1)

Donde el valor de la corriente en función del tiempo será:

i (t) = C . d vc / dt

i (t) = +/- Vo + V . e– t /

R

Por otro lado, la caída de tensión en la resistencia vendrá dada por:

vr = i . R

vr = +/- Vo + V . e– t /

Graficando la expresión (1 ) tendremos:

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9. Excitación senoidal.

Tomemos es siguiente circuito RL serie:

v(t)

y la fuente lo excita con una tensión senoidal :

donde es la separación que existe entre el origen de coordenadas y el valor máximo de v(t) y lo medimos desde el máximo de la función v(t) al origen, de esta forma pueden acontecer dos casos:

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Sabemos que en este circuito:

y a causa de la excitación senoidal:

(1)

Sabemos además, que la intensidad total en todo momento será igual a la suma de la componente natural y la componente forzada:

de donde, la componente natural es:

con  = L / R

La componente forzada será:

(2)

donde es el ángulo de fase de la carga RL del circuito.

Al cabo de un tiempo t>>5., la transición acaba, la corriente natural tenderá a cero y la corriente total tenderá a la forzada. Reemplazando (2) en (1) y operando:

(3)

Por trigonometría sabemos que:

si en (3) hacemos: tendremos:

En esta última expresión y a partir de la igualdad, tenemos:

donde:

luego, como enunciamos en hojas anteriores:

donde el valor de K lo determinamos a partir de las condiciones iniciales, es decir si para el instante inicial o sea t=0 tenemos que i=0 :

por lo tanto:

es decir:

El valor inicial de la componente forzada será:

y el de la componente natural:

Puede ocurrir que o o o ; en los siguientes gráficos en los que representamos las corrientes: natural, forzada y total observamos los dos primeros casos.

1.- 

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

A partir d estas intensidades de corriente podemos determinar las respectivas caídas de tensión que las mismas provocan en los elementos del circuito.

Este fue otro ejemplo en el que aplicamos un modelo matemático: el que proporcionan, en este caso, las ecuaciones diferenciales para resolver el problema de los efectos transitorios en los circuitos eléctricos.

Dejo para ustedes, futuros ingenieros, demostrar que la tensión aplicada a una lamparita en el preciso instante en que se la enciende es 2.Vmax

Que cosa los transitorios ..... ¿no? ................

Prof. Carlos A. Garbarello

Profesor de Laboratorio de Mediciones Eléctricas II en la Escuela Técnica Nº 9 "Ing. Luis A. Huergo" de la Secretaría de Educación del Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.

Categoría: Matemática e Ingeniería


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