Dinámica de la aproximación en el cálculo integral de una variable con Mathcad 11

3. Suma de
   Riemann
4. Administración de
   Factores de Tolerancia
5. Ecuaciones Diferenciales
   Ordinarias (EDOs)
6. Conclusiones
7. Bibliografía

Introducción

De la mano con la complejidad y formalidad que ha
representado el estudio del Cálculo Integral y el
compromiso académico que ello rige, abrimos paso a la
intención de un aprendizaje
significativo de la Integral Definida en situaciones donde el
integrando no tiene antiderivada elemental o cuando se desea
interpretar los efectos de razones de cambio
variables o
constantes en funciones de una
variable real con el uso de la herramienta gráfica y de
cálculo: Mathcad 11.

En esta oportunidad usaremos Mathcad 11 como asistente
para:

• Graficar funciones y familias de funciones que
  manualmente sería una ardua tarea.
• Facilitarnos el cálculo de
  sumatorias.
• Calcular Integrales
  definidas con alta precisión.
• Hacer cambios en los intervalos de integración y parámetros generales
  para estudiar el comportamiento de la Integral.
• Aportar soluciones
  numéricas y gráficas a Ecuaciones
  Diferenciales Ordinarias con condiciones
  iniciales.

Nuestra intención es reconocer lo que el aporte
académico y bibliográfico especializado nos ha
consolidado, y manipular esas contribuciones en un ambiente de
laboratorio de
matemáticas donde profesor y
alumno experimenten de manera interactiva, cooperativa y
agradable, ideas, conceptos y fundamentos del Cálculo
Integral.

Suma de
Riemann

En esta sección examinamos la idea fundamental
del Cálculo Integral, que es aproximar el área
debajo de una curva por medio rectángulos, y cuya
exactitud depende de qué tan delgados sean es decir,
cuando la norma de la partición tiende a cero () y ; .

 Escojamos una función
cuya principal característica es la de no poseer
antiderivada elemental, por ejemplo definida por , así que evaluemos su integral
definida con los siguientes parámetros:

• Límites inferior y superior de
  integración:
• Número de subintervalos:
• Índice de subintervalos:
• Ancho de los intervalos:
• Punto final de cada rectángulo:
• Índice de sumatoria:

Compare la aproximación con el valor de la
integral:

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

No debemos olvidar que en las aplicaciones de la
integral definida, el área debajo de la curva puede
representar distancias, saldos y consumos, entre otras
magnitudes.

A continuación presentamos las lecturas
correspondientes al consumo de
energía
eléctrica de una población en períodos acumulados de
un año desde el 1986 al 1995 en teravatios (un
billón de vatios).

 Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

De esta manera, se pueden conocer los efectos de cambio
que alinean el pronóstico de las necesidades
energéticas en un tiempo
determinado y planificar estrategias que
orienten un mejor servicio.

Administración de Factores de
Tolerancia

Veamos cómo afecta la tolerancia en la
exactitud del cálculo de una integral definida, citemos
una:

Evaluemos: con tres resultados numéricos.

Ilustraremos con un ejemplo la utilización del
comando TOL como herramienta para hallar el área entre dos
curvas.

Sean: , definidas por: y supóngase que queremos hallar el área
indicada en la
siguiente gráfica:

 Para hallar los puntos de intersección
entre y
, inserte las
funciones y el factor de tolerancia:

Iniciemos la búsqueda fijando una
aproximación a la derecha del punto de intersección
(sírvase del comando TRACE de la barra de tareas
GRAPH:

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gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

Finalmente:

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gráfico seleccione la opción "Descargar" del
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Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias (EDOs)

La Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias (EDOs) son igualdades que contienen
derivadas
ordinarias de una o más variables dependientes con
respecto a una variable independiente, por ejemplo:

; ;

En esta oportunidad usaremos el comando Odesolve
como sigue:

Usaremos la notación de Leibniz para editar una
EDO:

Y los siguientes parámetros:

• Valores iniciales:
• Intervalo de soluciones:
• Número de
  Puntos a evaluar:
• Holgura:

Rango de Soluciones:

Finalmente:

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gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
(SEDOs)

De manera análoga a la
solución de un SEDO, podemos manipular el comando
Odesolve y rkfixed (Algoritmo
Runge – Kutta), veamos:

Para ver el gráfico seleccione la
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Parámetros:

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Conclusiones

Hemos presentado la idea de un
tratamiento didáctico para una salida al rigor en la
noción de la Integral Definida en una variable usando
Mathcad 11, una sofisticada herramienta que nos ha permitido
analizar los efectos totales de cambio en funciones de una
variable esgrimiendo cálculos repetitivos, dando
así la oportunidad de cómodas y nutritivas
experiencias pedagógicas en alumnos que se enfrentan por
primera vez a tal complejidad, y más importante aun,
permitirle construir sus propias experiencias de aprendizaje a
partir del análisis e identificación del
proceso
numérico a seguir según las condiciones del
problema.

Bibliografía

Mathsoft Corporation. (2001). Instructor´s Guide
to Using Mathcad in Education. [On-line]. Disponible en: http://www.mathsoft.com.

Mathsoft Corporation. (2001). The Learning Site Model.
[On-line]. Disponible en:
http://learning.mathsoft.com/home/MathSoft Learning Site.html.

Nakamura, S. (1.992). Métodos
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Prentice Hall Hispanoamericana.

Prevost S (s.f). Interactive Calculus Laboratories Using
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Gainesville College, Gainesville, GA-USA.

Soto, M y Vicente J. (1996). Matemáticas con
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Steen, L. (2003). La Enseñanza agradable de las
Matemáticas. México: Editorial Limusa.

Wenzelburger E. (1994). Didáctica: Cálculo Integral.
México: Grupo
Editorial Iberoamericana.

Omar Cordero Pérez

Universidad Nacional Abierta – REPÚBLICA
BOLIVARIANA DE VENEZUELA

Área Temática: Recursos
instruccionales para la Enseñanza de la Matemática.

Nivel: Superior.