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Ecuaciones diferenciales ordinarias

Enviado por slowmusician



  1. Razón de cambio
  2. Ecuaciones diferenciales ordinarias
  3. Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales
  4. Ecuaciones diferenciales de primer orden
  5. Ecuaciones diferenciales homogéneas
  6. Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior
  7. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes
  8. Oscilador Armónico simple
  9. Formulario ecuaciones diferencial

Razón de cambio

La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la vida real. Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En probabilidad y estadística se obtiene razón de interés compuesto, en física el trabajo que se requiere en determinada condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos eléctricos, temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos anteriores están en función del tiempo "t"

La representación de estos cambios se denota usando el símbolo de incremento por lo tanto la razón de cambio "x" en el tiempo "t" se puede representa por

=

El numero de habitantes se duplica cada 5 anos, encontrar la razón de cambio y represente los resultados gráficamente (ver imagen 1.1) para ilustración

,

La fuerza para mover un objeto es directamente proporcional a su aceleración encontrar la razón de cambio

Las anteriores razones de cambio suponen un incremento o decremento constante, la representación grafica de tales funciones es una función de la forma y=mx+b

Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Problemas propuestos

El numero de habitantes se triplica cada ano, encontrar la razón de cambio y una función que prediga la población en un tiempo "t"

La temperatura en una habitación disminuye 3 grados centígrados cada 10 minutos, encuentre la razón de cambio

La masa de un elemento radioactivo decae en el tiempo, encuentre la razón de cambio

Para análisis y comprensión de la grafica siguiente encuentre la razón de cambio

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales (razones de cambio infinitesimales),

Encontramos integrando

Encontramos integrando

Las ecuaciones 1 y 2 son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la característica de estas funciones es posible despejar la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales son :

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, así llamado por el orden de la derivada. El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece

Ejercicio - Encuentra el grado "n" de las siguiente ecuaciones diferenciales

Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración

Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación así.

Es una solución general de la ecuación diferencial

Ejemplo 2

En el problema anterior "a" es una constante arbitraria de la misma manera se puede representar como c1 y c2 respectivamente dan una solución mas general al problema a esta constante arbitraria se la conoce como constante de integración

Ejemplo 3

Del problema anterior hallar una solución cuando y=2 dy/dx=-1 x=0

La solución general de la función es para y=2 e dy/dx=-1 cuando x=0 aplicando relación entre variables

Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro resultado

Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración

Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales

Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales, Mostraremos como se verifica una solución dada. En los tratados sobre ecuaciones diferenciales se demuestra que la solución general de una ecuación diferencial de orden "n", tiene "n" constantes arbitrarias

Demostrar que

Es una solución de la ecuación diferencial

Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la relación de variables satisface la ecuación

Demostrar que

Es una solución particular de la ecuación diferencial

Sustituyendo el valor y’ en la ecuación diferencial y reduciendo obtenemos

Problemas propuestos

Verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación de primer orden puede reducirse a al forma

Siendo M y N funciones de X e Y

Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 4 grupos

 Solución problemas implican Ecuaciones con variables separables.

  1. cambios de masa
  2. cambios temperatura
  3. cambio población en el tiempo

los anteriores ejemplos son posible solución que se puede encontrar por medio de ecuaciones de variables separables , para tal observación se be encontrar el incremento y la razón de cambio

La observación de los problemas afirma que y es directamente proporcional a x esto se representa por

Para encontrar la solución crear un igualdad necesitamos la razón de cambio representada por "k"

La solución de este tipo ecuaciones diferenciales se observa en el ejemplo anterior

Una masa "mo" decae a una masa "mf" en un tiempo "t" encontrar la ecuación diferencial que represente tal afirmación

la solución anterior se obtiene con la condición t=0 c=0

Problemas propuestos –

Una masa de 500 Kg. decae a una masa 100 Kg. en un tiempo de 3 min. Encontrar la ecuación diferencial que represente tal afirmación y la mase cuando el tiempo sea de 2 min.

La temperatura en un cuarto es de 3 grados centígrados al pasar 5 min. la temperatura es de 7 grados centígrados, encontrar la ecuación diferencial represente la razón cambio

El incremento poblacional es 3 veces la población inicial en 2 anos, si la población inicial es de 300 habitantes encontrar la ecuación que defina el crecimiento en el tiempo, el numero de habitantes cuando el tiempo sea de 10 anos

La presión atmosférica "P" en un lugar, en función de la altura "h" sobre el nivel del mar. Cambia según la ley del interés compuestos suponiendo que P=1000 gr/cm2 cuando h=0 y P= 670 gr/cm2 cuando h=3000 m hallar :

a)- la presión "p" cuando h=2000 m

b)- la presión "p" cuando h=5000 m

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una ecuación lineal homogénea tiene la forma donde "P" y "Q" son funciones

De "X"

La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo

Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto

Determinamos "u" integrando la ecuación

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que

Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos

Solución problemas implican Ecuaciones diferenciales Homogéneas

  1. Desleimiento continuo de una solución
  2. Cinemática , oposición al movimiento
  3. Circuitos eléctricos simples en serie

Un tanque contiene una solución con una densidad de "s" si se la vacía la misma solución con una densidad "s1" encontrar la ecuación diferencial que defina el comportamiento del problema

Supuesto que en la mezcla de volumen total "v" la cantidad de solución "s" en cualquier volumen esta dada por , supongamos que un volumen "" se vacía en el tanque. La cantidad de solución "s" esta dada por:

Podemos encontrar la razón de cambio

Por lo tanto –

En un circuito dado "E" y de intensidad "I" (amperios) el voltaje "E" se consume en vencer la 1.residencia en R (ohmios) del circuito

2. la inductancia

Ecuación 1 : la siguiente ecuación emplearse en el caso de un circuito en serie combinación resistencia e inductancia

Ecuación 2 : la siguiente ecuación representa un circuito acumulador y resistencia

Las anteriores formulas son en fundamento la ley conservación de la carga y energía (ley de kirchoff)

La intensidad o corriente se define como el cambio de carga en el tiempo

La energía electromotriz representado con la letra "E" o "V" voltaje es directamente proporcional a la corriente y resistencia del medio "R"

La capacitancía "C" (faradios) en un acumulador es directamente proporcional al voltaje "E" e inversamente proporcional a la carga "Q"

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Circuito en serie combinación resistencia "R" y un acumulador "C"

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Circuito en seria combinación resistencia "R", acumulador "C" y transformador "L"

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Circuito en serie, combinación resistencia "R" y transformador "L"

El movimiento de un proyectil puede ser afectado en gran proporción por la fricción (aire) Es posible usar la segunda ley de newton para dar una representación del problema

Usando la solución general ecuaciones homogéneas con "t"=0 y "v"=0

Problemas propuestos –

Un circuito en serie contiene una resistencia de 100 ohm y un transformador con L=2 henrios

Conectados a una fuente de 12 volts ¿Encuentre ecuación del circuito en función del tiempo?

Un circuito en serie contiene un acumulador con capacitan cía de 100 uf y una resistencia de 200 ohm conectados a una fuente de 120 voltios , ¿encuentre la ecuación del circuito en función del tiempo?

Un contenedor contiene un volumen de 10,000 litros contiene una solución "s" se añade agua limpia al contenedor ¿Cuánta agua debe hacerse correr para quitar al 50% de la solución "s""

Una pelota de béisbol con un peso de "1.4 N" deja el bat con una rapidez aproximada de 100 mi/hr con una inclinación de "60" grados respecto el eje horizontal "x" si el viento ejerce una fuerza en oposición a b=0.033 N

  1. encontrar la ecuación que defina su movimiento en el función del tiempo
  2. graficar los resultados
  3. graficar los resultados sin considerar la fricción del viento

Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior

Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma

En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar

El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá la solución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias

Ejemplo –

Las siguientes ecuaciones tiene la forma

Donde "Y" es una función de "y" únicamente

Lo anterior es valido por

El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables "x" e "y" quedan separadas. Y podemos integrar otra vez

Problemas propuestos –

Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes

Las ecuaciones tiene la forma

La solución de estas ecuaciones se obtiene al usar la sustitución

Por lo tanto derivando la sustitución obtenemos

Sustituyendo en la forma general obtenemos que

Donde y=es una solución de la ecuación y "r" son las raíces de la función y distintas

Cuando la raíz de la función es imaginaría y toma la forma la solución será:

Cuando las raíces de la función son iguales r1=r2 la solución del problema será

Resolver la ecuación con la condición s=4 t=0

Usando la sustitución y resolviendo para "r"

Sustituimos las condiciones iniciales en la solución

Encontrar la solución de la ecuación

Usando la sustitución encontramos

Resolviendo para "r" encontramos

Por lo tanto la solución general es:

Oscilador Armónico simple

Imagínese una masa "m" en una superficie sin fricción colgando de un resorte la observación del movimiento nos da la suposición que al aumenta la fuerza "F" de igual manera aumentara la longitud del resorte "X" lo anterior puede representarse como:

La fuerza es directamente proporcional a la longitud , para crear un igualdad podemos calcular la razón de cambio

Sustituyendo en la ecuación inicial obtenemos que

Lo anterior de define como la ley de hooke aplicada a un resorte, es pertinente notar que la ley de hooke solo es valida cuando el objeto puede recuperar su forma original . la razón de cambio nos indica que la función de fuerza en razón de la distancia F(x) tiene la forma y=mx+b una línea recta.

De lo anterior podemos definir una ecuación diferencial que resuelva la oscilación de un resorte

La segunda ley de newton, la sumatoria de las fuerzas es igual a la masa por aceleración por lo tanto

Aplicando la solución de las ecuaciones de segundo orden con coeficiente constantes encontramos:

Cuando las condiciones de la formula anterior es t=0 , v=0 y x= Amplitud del resorte "Y"

Siendo A = amplitud del resorte posición alargamiento después de equilibrio y B=0

Es posible también escribir la solución de un problema de la forma anterior sin tener las condiciones t=0 v=0 usando un Angulo de fase

=

La amplitud "X" puede definirse como

El Angulo de fase debe ser en radianes

Formulario ecuaciones diferencial

Solución

Para ver la tabla seleccione la opción "Descargar" del menú superior




Ver tambien: "Ecuaciones diferenciales ordinarias usando Matlab"




Bibliografia

  • Autor Granville, "Calculo diferencial e integral", editorial LIMUSA

ISBN 968-18-1178-X

  • Autores Berkley/Blanchard, "Calculos", Saunders College Publishing

OSCAR GUERRERO MIRAMONTES

PAIS – MEXICO

ESTUDIOS – ESTUDIANTE UNIVERSITARIO


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