- Razón de
cambio - Ecuaciones diferenciales
ordinarias - Verificación de las
soluciones de ecuaciones diferenciales - Ecuaciones
diferenciales de primer orden - Ecuaciones diferenciales
homogéneas - Dos tipos especiales de ecuaciones
diferenciales de orden superior - Ecuaciones
diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes
constantes - Oscilador Armónico
simple - Formulario ecuaciones
diferencial
La medición de razones y proporciones tiene
gran aplicación en varias áreas de la ingeniería, es necesario saber tal magnitud
para dar una aproximación a problemas de
la vida real. Es posible realizar calcular diferencias para
cualquier arreglo de datos. En
probabilidad y
estadística se obtiene razón de
interés
compuesto, en física el trabajo que
se requiere en determinada condición de tiempo y
espacio, crecimientos poblacionales, circuitos
eléctricos, temperatura
etc. Es prudente hacer la observación los eventos
anteriores están en función
del tiempo "t"
La representación de estos cambios se denota
usando el símbolo de incremento 
por lo tanto la razón de cambio "x" en
el tiempo "t" se puede representa por
=
El numero de habitantes se duplica cada 5 anos,
encontrar la razón de cambio y represente los resultados
gráficamente (ver imagen 1.1) para
ilustración
,
La fuerza para
mover un objeto es directamente proporcional a su
aceleración encontrar la razón de cambio
Las anteriores razones de cambio suponen un incremento o
decremento constante, la representación grafica de tales
funciones es
una función de la forma y=mx+b
Para obtener una mejor aproximación es necesario
usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se
puede obtener limitando los incremento a cero "0"
El numero de habitantes se triplica cada ano, encontrar
la razón de cambio y una función que prediga la
población en un tiempo "t"
La temperatura en una habitación disminuye 3
grados centígrados cada 10 minutos, encuentre la
razón de cambio
La masa de un elemento radioactivo decae en el tiempo,
encuentre la razón de cambio
Para análisis y comprensión de la grafica
siguiente encuentre la razón de cambio
Ecuaciones diferenciales
ordinarias
Para obtener una mejor aproximación es necesario
usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se
puede obtener limitando los incremento a cero "0"
Una ecuación diferencial es una ecuación
que contiene derivadas o
diferenciales (razones de cambio infinitesimales),
Encontramos integrando
Encontramos integrando
Las ecuaciones 1 y
2 son ejemplos de ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden, la
característica de estas funciones es posible despejar la
razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de
ecuaciones diferenciales son :
Esta es una ecuación diferencial de segundo
orden, así llamado por el orden de la derivada. El orden
de una ecuación diferencial es el mismo que el de la
derivada de mayor orden que en ella aparece
Ejercicio – Encuentra el grado "n" de las siguiente
ecuaciones diferenciales
Soluciones de una ecuación diferencial.
Constantes de integración
Una solución o integral de una ecuación
diferencial es una relación entre las variables, que
define a una de ellas como función de la otra, que
satisface a la ecuación así.
Es una solución general de la ecuación
diferencial
Ejemplo 2
En el problema anterior "a" es una constante arbitraria
de la misma manera se puede representar como c1 y c2
respectivamente dan una solución mas general al problema a
esta constante arbitraria se la conoce como constante de
integración
Ejemplo 3
Del problema anterior hallar una solución cuando
y=2 dy/dx=-1 x=0
La solución general de la función es
para y=2 e
dy/dx=-1 cuando x=0 aplicando relación entre
variables
Sustituyendo los valores
encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos
nuestro resultado
Una ecuación diferencial se considera resuelta
cuando se ha reducido a una expresión en términos
de integrales,
pueda o no efectuarse la integración
Verificación de las soluciones de
ecuaciones diferenciales
Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones
diferenciales, Mostraremos como se verifica una solución
dada. En los tratados sobre
ecuaciones diferenciales se demuestra que la solución
general de una ecuación diferencial de orden "n", tiene
"n" constantes arbitrarias
Demostrar que
Es una solución de la ecuación
diferencial
Sustituyendo los valores en la
ecuación diferencial original encontramos que la
relación de variables satisface la
ecuación
Demostrar que
Es una solución particular de la ecuación
diferencial
Sustituyendo el valor y’
en la ecuación diferencial y reduciendo
obtenemos
Verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones
diferenciales
Ecuaciones
diferenciales de primer orden
Una ecuación de primer orden puede reducirse a al
forma
Siendo M y N funciones de X e
Y
Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden
dividirse en 4 grupos
Solución problemas implican
Ecuaciones con variables separables.
- cambios de masa
- cambios temperatura
- cambio población en el tiempo
los anteriores ejemplos son posible solución que
se puede encontrar por medio de ecuaciones de variables
separables , para tal observación se be encontrar el
incremento y la razón de cambio
La observación de los problemas afirma que y es
directamente proporcional a x esto se representa por
Para encontrar la solución crear un igualdad
necesitamos la razón de cambio representada por
"k"
La solución de este tipo ecuaciones diferenciales
se observa en el ejemplo anterior
Una masa "mo" decae a una masa "mf" en un tiempo "t"
encontrar la ecuación diferencial que represente tal
afirmación
la solución anterior se obtiene con la
condición t=0 c=0
Una masa de 500 Kg. decae a una masa 100 Kg. en un
tiempo de 3 min. Encontrar la ecuación diferencial que
represente tal afirmación y la mase cuando el tiempo sea
de 2 min.
La temperatura en un cuarto es de 3 grados
centígrados al pasar 5 min. la temperatura es de 7 grados
centígrados, encontrar la ecuación diferencial
represente la razón cambio
El incremento poblacional es 3 veces la población
inicial en 2 anos, si la población inicial es de 300
habitantes encontrar la ecuación que defina el crecimiento
en el tiempo, el numero de habitantes cuando el tiempo sea de 10
anos
La presión
atmosférica "P" en un lugar, en función de la
altura "h" sobre el nivel del mar. Cambia según la
ley del
interés
compuestos suponiendo que P=1000 gr/cm2 cuando h=0 y
P= 670 gr/cm2 cuando h=3000 m hallar :
a)- la presión "p" cuando h=2000 m
b)- la presión "p" cuando h=5000 m
Ecuaciones
diferenciales homogéneas
Una ecuación lineal homogénea tiene la
forma 
donde "P"
y "Q" son funciones
De "X"
La solución de estas ecuaciones se obtiene
haciendo
Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo
tanto
Determinamos "u" integrando la
ecuación
Resolviendo la ecuación anterior
obtenemos que
Integrando y sustituyendo en los valores anteriores
obtenemos
Solución problemas
implican Ecuaciones diferenciales
Homogéneas
- Desleimiento continuo de una
solución - Cinemática , oposición al movimiento
- Circuitos eléctricos simples en
serie
Un tanque contiene una solución con una densidad de "s"
si se la vacía la misma solución con una densidad
"s1" encontrar la ecuación diferencial que defina el
comportamiento
del problema
Supuesto que en la mezcla de volumen total "v"
la cantidad de solución "s" en cualquier volumen esta dada
por 
, supongamos
que un volumen "
" se vacía en el tanque. La cantidad de
solución "s" esta dada por:
Podemos encontrar la razón de cambio
Por lo tanto –
En un circuito dado "E" y de intensidad "I" (amperios)
el voltaje "E" se consume en vencer la 1.residencia en R (ohmios)
del circuito
2. la inductancia
Ecuación 1 : la siguiente ecuación
emplearse en el caso de un circuito en serie combinación
resistencia e
inductancia
Ecuación 2 : la siguiente ecuación
representa un circuito acumulador y resistencia
Las anteriores formulas son en fundamento la ley
conservación de la carga y energía (ley de
kirchoff)
La intensidad o corriente se define como el cambio de
carga en el tiempo
La energía electromotriz representado con la
letra "E" o "V" voltaje es directamente proporcional a la
corriente y resistencia del medio "R"
La capacitancía "C" (faradios) en un acumulador
es directamente proporcional al voltaje "E" e inversamente
proporcional a la carga "Q"
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Circuito en serie combinación resistencia "R" y
un acumulador "C"
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Circuito en seria combinación resistencia "R",
acumulador "C" y transformador "L"
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú
superior
Circuito en serie, combinación resistencia "R" y
transformador "L"
El movimiento de un proyectil puede ser afectado en gran
proporción por la fricción (aire) Es posible
usar la segunda ley de newton para
dar una representación del problema
Usando la solución general ecuaciones
homogéneas con "t"=0 y "v"=0
Un circuito en serie contiene una resistencia de 100 ohm
y un transformador con L=2 henrios
Conectados a una fuente de 12 volts ¿Encuentre
ecuación del circuito en función del
tiempo?
Un circuito en serie contiene un acumulador con
capacitan cía de 100 uf y una resistencia de 200 ohm
conectados a una fuente de 120 voltios , ¿encuentre la
ecuación del circuito en función del
tiempo?
Un contenedor contiene un volumen de 10,000 litros
contiene una solución "s" se añade agua limpia al
contenedor ¿Cuánta agua debe hacerse correr para
quitar al 50% de la solución "s""
Una pelota de béisbol con un peso de "1.4 N" deja
el bat con una rapidez aproximada de 100 mi/hr con una
inclinación de "60" grados respecto el eje horizontal "x"
si el viento ejerce una fuerza en oposición a b=0.033
N
- encontrar la ecuación que defina su movimiento
en el función del tiempo - graficar los resultados
- graficar los resultados sin considerar la
fricción del viento
Dos
tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden
superior
Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la
forma
En donde "X" es una función de
"x" únicamente, o una constante para integrar
El proceso
anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se
obtendrá la solución general, que
contendrá "n" constantes arbitrarias
Ejemplo –
Las siguientes ecuaciones tiene la forma
Donde "Y" es una función de "y"
únicamente
Lo anterior es valido por 
El segundo miembro es una función de y.
Extrayendo la raíz cuadrada, las variables "x" e "y"
quedan separadas. Y podemos integrar otra vez
Hallar la solución de las siguientes ecuaciones
diferenciales
Ecuaciones
diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes
constantes
Las ecuaciones tiene la forma
La solución de estas ecuaciones se obtiene al
usar la sustitución
Por lo tanto derivando la sustitución
obtenemos
Sustituyendo en la forma general obtenemos
que
Donde y=
es una solución de la ecuación y "r" son las
raíces de la función y distintas
Cuando la raíz de la función es
imaginaría y toma la forma 
la solución
será:
Cuando las raíces de la
función son iguales r1=r2 la solución del
problema será
Resolver la ecuación con la
condición s=4 t=0
Usando la sustitución 
y resolviendo para "r"
Sustituimos las condiciones iniciales en la
solución
Encontrar la solución de la
ecuación
Usando la sustitución encontramos
Resolviendo para "r" encontramos
Por lo tanto la solución general es:
Imagínese una masa "m" en una superficie sin
fricción colgando de un resorte la observación
del movimiento nos da la suposición que al aumenta la
fuerza "F" de igual manera aumentara la longitud del resorte
"X" lo anterior puede representarse como:
La fuerza es directamente proporcional
a la longitud , para crear un igualdad podemos calcular la
razón de cambio
Sustituyendo en la ecuación
inicial obtenemos que
Lo anterior de define como la ley de
hooke aplicada a un resorte, es pertinente notar que la ley de
hooke solo es valida cuando el objeto puede recuperar su forma
original . la razón de cambio nos indica que la
función de fuerza en razón de la distancia F(x)
tiene la forma y=mx+b una línea recta.
De lo anterior podemos definir una ecuación
diferencial que resuelva la oscilación de un
resorte
La segunda ley de newton, la sumatoria de las fuerzas
es igual a la masa por aceleración por lo
tanto
Aplicando la solución de las ecuaciones de
segundo orden con coeficiente constantes
encontramos:
Cuando las condiciones de la formula anterior es t=0 ,
v=0 y x= Amplitud del resorte "Y"
Siendo A = amplitud del resorte posición
alargamiento después de equilibrio y
B=0
Es posible también escribir la
solución de un problema de la forma anterior sin tener
las condiciones t=0 v=0 usando un Angulo de fase
= 
La amplitud "X" puede definirse
como
El Angulo de fase debe ser en
radianes
Para ver la tabla
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior
Ver tambien:
"Ecuaciones diferenciales ordinarias usando
Matlab"
Bibliografia
- Autor Granville, "Calculo
diferencial e integral", editorial LIMUSA
ISBN 968-18-1178-X
- Autores Berkley/Blanchard, "Calculos", Saunders
College Publishing
OSCAR GUERRERO MIRAMONTES
PAIS – MEXICO
ESTUDIOS – ESTUDIANTE UNIVERSITARIO