"LA INVESTIGACIÓN MÁS PURA
NACE DE LOS ESFUERZOS DE RESOLVER PROBLEMAS
PRÁCTICOS Y LA MEJOR INVESTIGACIÓN
APLICADA
NACE DE LA CURIOSIDAD INTELECTUAL".
FISHER BLACK
Este artículo tiene como propósito hacer
una presentación, sin excesivos formalismos
matemáticos, pero con fidelidad histórica y
suficiente profundidad conceptual, de un modelo de
valoración de derivados financieros publicado en el
Journal of Political Economy de mayo/junio de 1973, conocido en
el ámbito financiero como el modelo de
Black-Scholes-Merton, y aceptado desde entonces, como uno de los
modelos
matemáticos más influyentes en grandes decisiones
financieras a nivel mundial. Se pretende también hacer una
divulgación de ese modelo, que acaba de cumplir 30
exitosos años de vida, como un homenaje a sus
autores.
Palabras clave:
Derivado Financiero, Proceso
estocástico, Proceso Wiener, Proceso Itô, Modelo de
Black Scholes Merton.
Un derivado financiero es un contrato, cuyo
valor es
función
-se deriva- del precio de otro
objeto financiero, que puede ser un activo, una tasa de
referencia o un índice, tales como una acción,
una divisa o un producto
físico. En todos los casos el activo del cual se deriva el
precio, es llamado activo subyacente.
Aunque actualmente se utiliza en el mundo una
amplísima gama de derivados financieros y múltiples
combinaciones entre ellos, los derivados básicos, y
más conocidos, siguen siendo las opciones, los forwards,
los futuros y los swaps. Por ejemplo, si se tiene una
opción sobre una acción, la opción es el
derivado financiero, y el activo subyacente es la
acción.
Los llamados productos
derivados financieros han sido utilizados con diversos objetivos,
pero, dependiendo de la intención que se tenga al
utilizarlos, los agentes u operadores que intervienen en su uso
siempre se pueden enmarcar dentro alguna de las siguientes
categorías: coberturistas, especuladores o
arbitrajistas.
El objetivo de un
coberturista (hedger) es cubrir el riesgo que
afronta ante potenciales movimientos en un mercado variable.
Los especuladores, utilizan los derivados para apostar acerca de
la dirección futura de los mercados y tratar
de obtener beneficio de esas tendencias "previstas". Los
arbitrajistas toman posiciones compensatorias sobre dos o
más activos o
derivados, asegurándose un beneficio sin riesgo, y
aprovechando situaciones coyunturales de los mercados.
Los orígenes de los modelos para la
valoración de derivados financieros se encuentran en la
ecuación de difusión, cuyo autor fue Joseph Fourier
(1768-1830). Fourier publicó la Théorie Analitique
de la Chaleur en 1822; pero desde 1807, aspirando al premio anual
de la Academia de Ciencias,
había presentado el primer trabajo
relativo al tema de la conducción del calor.
Ilustres matemáticos puros de la época, tales como
Laplace,
Lagrange y Legendre, que evaluaron la investigación, manifestaron sus reservas
sobre el rigor lógico de algunas de sus deducciones, ya
que por su condición de físico-matemático,
los procedimientos de
Fourier eran más empíricos que
lógico-deductivos. Pero lo animaron a continuar su
investigación, hasta que su persistencia y la relevancia
de su teoría
lo hicieron acreedor al Gran Premio de la Academia de Ciencias de
París en 1812.
En 1827 el botánico inglés
Robert Brown, analizó el movimiento de
partículas de polen en el agua, y lo
asoció a las teorías
vitalistas de la vida, argumentando que ese movimiento era propio
de la materia
viviente, y relacionado con los mecanismos de la reproducción. Sin embargo, en sus trabajos
finales, concluye que el movimiento errático observado era
de naturaleza
mecánica y no dependía del carácter orgánico ni
inorgánico de los objetos considerados.
En 1905, casi un siglo después, Albert
Einstein construyó un modelo matemático para
explicar ese fenómeno, y lo denomina "movimiento
Browniano" en honor a su descubridor.
Las hipótesis básicas de ese modelo de
Einstein eran que el desplazamiento de la partícula entre
dos instantes es independiente de las posiciones anteriores que
haya tenido, y que la ley de probabilidad que
rige el movimiento de la partícula sólo depende de
distancia temporal. Con estas hipótesis,
Einstein llegó a demostrar que la función de
distribución f de la posición
de la partícula tenía que verificar la siguiente
ecuación en derivadas
parciales:
, donde
x es la variable espacial, t la variable temporal y
D es una constante adecuada.
Esta ecuación, que ya era conocida como la
ecuación de difusión, se ha constituido
posteriormente en una de las vías a través de las
cuales, haciendo algunos cambios de variables, se
encuentran soluciones a
la Ecuación de Black-Scholes-Merton.
Por otro lado, el 29 de marzo de 1900, Louis Bachelier
defendió exitosamente en la Universidad de la
Sorbona su tesis "Theorie de la Spéculation" para optar al
Ph.D, bajo la
supervisión de Henri Poincaré. En
ella proponía un movimiento Browniano como modelo asociado
a los precios de las
acciones.
El objetivo del modelo de Bachelier era determinar el
valor de opciones accionarias, y aunque fue un buen principio
para esa valoración, la fórmula que dedujo estaba
basada en supuestos no realistas, ya que asumía la
inexistencia de tasas de
interés y utilizaba un proceso
estocástico(movimiento browniano) que permitía que
los precios de las acciones tomaran valores
negativos. Posiblemente ésta fue una razón para que
ese modelo fuera olvidado durante mucho tiempo.
Posteriormente, autores como Paul Samuelson y James
Boness, se ocuparon de superar algunas de los
inconvenientes del modelo de Bachelier, asumiendo la existencia
de tasas de interés y
una distribución de probabilidad más realista para
los precios de las acciones; además tuvieron en cuenta que
los inversores son adversos al riesgo, y que posiblemente
estén dispuestos a asumirlo, pero a cambio de
algún premio.
En particular, en 1960, el economista norteamericano
Samuelson(premio Nobel de economía en 1970)
propuso el movimiento browniano geométrico como modelo
para los precios que están sujetos a incertidumbre. En
1964, Boness sugirió una fórmula más cercana
a la de Black-Scholes, pero que todavía contaba con una
tasa de
interés desconocida, que Boness incluía como
compensación por el riesgo asociado con el valor de la
acción.
Para el modelo de Black-Scholes-Merton, el movimiento
Browniano geométrico es el modelo básico asociado a
los movimientos de los precios. Pero además estos autores
tuvieron en cuenta, y esto fue determinante, que el movimiento
Browniano está asociado con la teoría matemática
avanzada del cálculo
estocástico o cálculo de Ito, desarrollado por el
matemático japonés Kiyosi Ito desde 1940, que
considera aspectos análogos a los del cálculo
clásico de Newton y
Leibtniz, pero en condiciones aleatorias.
EL MODELO
BLACK-SCHOLES-MERTON
En esta sección vamos a deducir la
ecuación diferencial en derivadas parciales que desde su
descubrimiento en 1973 ha sido denominada como el modelo de Black
Scholes Merton.
Supongamos que el valor de una acción, que se
toma como activo subyacente, es S y satisface la siguiente
ecuación diferencial estocástica:
,
donde es la tasa promedio de
rendimiento, t es el tiempo, es la
volatilidad y dx es un proceso de Wiener, que satisface
una distribución normal N(0,
). La igualdad
planteada se conoce como movimiento browniano
geométrico. El valor de una opción sobre aquel
activo subyacente, lo denotaremos por V = V(S,t), y es una
función del valor de ese activo S, y del tiempo
t.
Usando el lema de Itô (que es una conocida
fórmula del cálculo estocástico) se tiene
que:
En este caso, igual que en el caso discreto, se puede
valorar el precio de la opción comparando con un
portafolio apropiado, que elimine la aleatoriedad del movimiento
browniano. Como S y V están correlacionados,
esto puede hacerse construyendo un portafolio que consiste de una
opción y un número 
de acciones. El valor de este portafolio
estará dado por:
Por lo tanto el cambio del valor del portafolio
será:
Que combinando con las expresiones dadas para dS
y dV se convierte en:
Además la ganancia de invertir a una
tasa sin riesgo r, durante un intervalo de tiempo
dt, sería rdt. Entonces
asumiendo que no existe oportunidad de arbitraje y que
no hay costos de
transacción, se tendría que,
Sustituyendo 
en la expresión anterior y dividiendo por
t se obtiene la
ecuación diferencial de
Black–Scholes:
El valor de cualquier derivado financiero debe
satisfacer esta ecuación básica.
Como la mayoría de las ecuaciones
diferenciales, la ecuación de B-S-M tiene muchas
soluciones, que dependen de las condiciones iniciales y de
frontera, y
que corresponden a la multitud de posibles instrumentos derivados
financieros. En muchos casos prácticos, los procedimientos
no permiten una solución analítica, y se hace
necesario recurrir a métodos
numéricos.
En el caso de una opción call Europea, con
precio de ejercicio E, y término de
expiración T, al final del período la
opción debe valer exactamente máx(S-E, 0)
cuando t= T. Para este derivado en particular y con
la condición dada, el valor de esa opción, generado
por el modelo está dado por:
Esta es la llamada fórmula de Black Scholes
Merton. En ella N(x) es el valor de la función de
probabilidad acumulada de una distribución normal
estándar, es decir:
y
De
acuerdo con la fórmula, el valor de la opción de
Call C puede ser explicada por la diferencia entre el
precio esperado de la acción -el primer término del
miembro derecho- y el costo esperado
-el segundo término del segundo miembro- si la
opción es ejercida.
El valor de la opción es mayor cuanto más
alto sea el precio presente de la acción S; cuanto
más alta sea la volatilidad del precio de la acción
-medida por la desviación estándar 
-; cuanto más alta
sea la tasa de interés libre de riesgo r; cuanto
más largo sea el tiempo hasta la madurez T, y
cuanto más bajo sea el precio de ejercicio E, ya
que entonces aumenta la probabilidad de que la opción sea
ejercida. Esta probabilidad es, bajo la hipótesis de
neutralidad del riesgo, evaluada por la función de
distribución normal estandarizada N, en el segundo
término del segundo miembro.
En la ecuación todos los parámetros son
observables, excepto la volatilidad. Ésta debe estimarse a
partir de datos
históricos del mercado. Alternativamente, si se sabe el
precio de la opción call, puede utilizarse para
calcular la volatilidad estimada por el mercado, también
llamada "volatilidad implícita".
Con frecuencia se confunden el modelo y la
fórmula. Es importante aclarar que el modelo B-S-M es la
ecuación diferencial en derivadas parciales; y la
fórmula de B-S-M, aunque es muy aplicada, sólo es
una solución particular, válida para condiciones
iniciales o de frontera muy específicas.
Fisher Black y Myron Scholes, quienes fueron los
creadores originales del modelo, lograron plasmarlo en un
artículo en octubre de 1970, que titularon "A Theoretical
Valuation Formula for Options, Warrants and Other
Securities".
Al tratar de publicarlo en el Journal of Political
Economy, de la Universidad de Chicago, el trabajo fue
rechazado por ser excesivamente especializado. Posteriormente
intentaron de nuevo publicarlo en Review of Economic and
Statistics, de Harvard, y volvieron a fracasar. Reescribieron el
artículo en enero de 1971, con nuevo título
-"Capital Market
Equilibrium and the Pricing of Corporate Liabilities"- pero, otra
vez tuvieron una respuesta negativa.
Pero insistieron, y triunfó su persistencia:
Lograron que la versión final, de mayo de 1972, titulada
"The Pricing of Options and Corporate Liabilities", apareciera en
el Journal of Political Economy de mayo/junio de 1973, un
año después de que, en un artículo del
Journal of Finance, Black y Scholes explicaran que su
fórmula había sido verificada
empíricamente.
El modelo toma su nombre de Black y Scholes porque
fueron ellos los primeros en deducirlo, basando sus estudios en
el Capital Asset Pricing Model (CAPM), por el cual Sharpe
ganó el premio Nobel de economía en
1990.
Pero mientras preparaban su trabajo de 1973, la
influencia de Robert C. Merton resultó decisiva. "Las
sugerencias de Merton, que también trabajaba en la
valuación de opciones -dice Black en un artículo de
1989-, mejoraron nuestro paper. En particular, Merton
señaló que si se asume un trading continuo
entre la opción y la acción, puede mantenerse entre
ellas una relación que esté, literalmente, libre de
riesgo. En la versión final del modelo, Black y Sholes,
tuvieron en cuenta los aportes de Merton.
Por lo tanto , fue Merton quien advirtió que el
equilibrio de
mercado no es un requisito para la valuación de la
opción; basta con que no exista oportunidad alguna de
arbitraje. El método
descrito en el caso particular mencionado se basa, precisamente,
en la ausencia de arbitraje y en el cálculo
estocástico. Esta idea puede ser generalizada para la
valuación de otros tipos de derivados.
En un trabajo de 1973, Merton publicó un
paper en el que incluyó la fórmula de
Black-Scholes, generalizada a otras cuestiones: por ejemplo,
dejó que la tasa de interés fuera
estocástica. Cuatro años más tarde,
también desarrolló un método más
general de derivar la fórmula, al basarse en la
posibilidad de crear opciones, sintéticamente, mediante el
trading de la acción subyacente y un bono libre de
riesgo. Estas son las razones por las cuales es usual mencionar a
los tres autores cuando se hace alguna referencia al modelo,
aunque Black y Scholes publicaron sus resultados tres meses antes
que Merton.
Merton y Scholes recibieron en 1997 el Premio Nobel de
Ciencias Económicas por su trabajo sobre la
valoración. El jurado que otorgó dicho
galardón también reconoció las aportaciones
de Black, que no pudo compartir el premio con sus colegas por
haber fallecido el 30 de agosto de 1995.
El modelo de valoración de opciones era la
solución a un problema de más de 70 años. Y
constituyó, por ende, un importante logro
científico. Sin embargo, la principal contribución
de Black, Merton y Scholes está vinculada a la importancia
teórica y práctica de su método de análisis, presente en la resolución
de muchos otros problemas económicos.
El método -que después se aplicaría
a otras áreas de la economía, tales como crecimiento
económico neoclásico en un contexto incierto,
empresa
competitiva con precio incierto, tasas estocásticas de
inflación y crecimiento en una economía abierta en
ambiente de
incertidumbre- produjo un impresionante auge de nuevos
instrumentos financieros y facilitó un manejo más
eficaz del riesgo, no solo entre los agentes económicos
que se sienten inclinados a tomarlo, sino también entre
aquellos que son adversos a él. La importancia
práctica del modelo radica en que ha hecho posible una
administración científica del riesgo, y
ésta a su vez, ha generado un rápido crecimiento,
en las tres últimas décadas, de los mercados de
derivados.
El modelo de Black-Scholes-Merton B-S-M, desde su
aparición, produjo un impresionante auge en el uso de
derivados para diseñar innovadoras estrategias de
negociación para protegerse contra los
riesgos
financieros o para especular con ellos en los mercados modernos,
y ha sido reconocido como la herramienta matemática capaz
de generar millones de dólares de rendimientos en
pequeños períodos de tiempo; pero también,
como culpable de pérdidas astronómicas en
cuestión de horas.
En este punto es necesario hacer una digresión
sobre la utilización de los modelos matemáticos en
todos los campos, y su "culpabilidad"
de resultados no esperados. Todo modelo es una
representación de un fenómeno real. En particular,
al modelar matemáticamente una situación real se
pretende facilitar su análisis y disponer de un soporte
que permita tomar decisiones racionales en torno a esa
situación. Por esta razón es ideal que el modelo
represente tan fielmente como sea posible el fenómeno
real. Pero la aproximación entre el modelo y la realidad
tiene un precio: Normalmente mientras más fidelidad se
pretenda en el modelo, éste será más
complejo. La complejidad del modelo implica aspectos como las
condiciones, hipótesis o supuestos, bajo las cuales
él es aplicable.
En muchas situaciones reales han ocurrido
"catástrofes" financieras al utilizar ciertos modelos
matemáticos, pero los especialistas están
absolutamente de acuerdo sobre la razón de esos fracasos:
Se utilizan modelos en situaciones en las cuales no se cumplen
los supuestos, se asignan todas las decisiones trascendentes a
una sola persona, el
modelo no se conoce suficientemente o se confía sin recelo
en algún modelo o software específico,
ignorando sus limitaciones. En algunos casos, seguramente la
ambición desmedida de poder
económico, haya sido la razón de estruendosos
fracasos financieros. Pero definitivamente no es la
matemática o los modelos los que fallan, sino el uso
indiscriminado de ellos.
Pero la importancia práctica de la labor
científica desarrollada por Black, Merton y Scholes se
refleja, también, en otros hechos. El Chicago Board
Options Exchange introdujo el negocio de opciones en abril de
1973, un mes antes de la publicación de la fórmula
de valuación de opciones. En 1975, los traders ya
habían comenzado a aplicarla para valuar y proteger sus
posiciones. Actualmente, miles de traders e inversores la usan a
diario en distintos mercados de todo el mundo. Tan rápida
y extendida aplicación de un resultado teórico fue
una novedad para la economía, fundamentalmente porque el
ambiente matemático en el que descansa la fórmula
no formaba parte de la instrucción práctica o
académica de los economistas de aquellos
tiempos.
Hoy en día, la habilidad para usar opciones y
otros derivados, con miras a manejar riesgos, es un activo muy
valioso. Las innovaciones financieras se orientan
fundamentalmente hacia una efectiva compra-venta de
volatilidad. Los portfolio managers, por ejemplo, compran
puts(otro tipo de opciones) con el fin de reducir el riesgo de
grandes bajas en los precios de los activos
financieros.
Las compañías usan opciones y otros
instrumentos derivados para reducir sus propios riesgos. Los
bancos y otras
instituciones
financieras apelan al método desarrollado por Black,
Merton y Scholes para desarrollar y determinar el valor de nuevos
productos, o vender soluciones financieras a la medida a sus
clientes. Pero
también lo aprovechan para reducir los riesgos que surgen
de su actuación en los mercados
financieros.
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Autor:
Luis Ceferino Franco Arbeláez
Matemático Universidad Nacional de Colombia.
Magíster en Matemáticas Aplicadas Universidad Eafit.
Especialista en Finanzas y
Mercado de Capitales Universidad de Medellín. Docente
Investigador de la Facultad de Ingeniería Financiera de la Universidad de
Medellín. Dirección electrónica: lfranco[arroba]udem.edu.co
Teléfono: 3 40 54 20