Extracto de "Pasos
filosóficos hacia la unificación de la física"
La naturaleza
de la constancia de la velocidad de la luz puede ser
explicada sencillamente a partir de los paravectores, si bien
esta es una pequeña introducción a un desarrollo
mucho más complejo. Basado en el diagrama
de Bertrand Russell, y realizando una abstracción, se
pueden lograr interesantes hipótesis.
En un interesante apartado de su libro de
divulgación, "El ABC de la Relatividad", Bertrand
Russell indicó un sistema
interesante e intuitivo para comprender las relaciones entre la
longitud observada por uno de los observadores, la de otro
observador y la recorrida por la luz en el mismo tiempo.
Indicando un segundo, se establece un interesante
gráfico que da una idea bastante clara de lo que
simboliza el concepto de
intervalo espacio-temporal.
En su descripción, indica:
"Supongamos que el cuerpo cuya
longitud queremos medir se mueve con relación a nosotros
y que en un segundo recorre la distancia OM. Tracemos ahora un
círculo alrededor de O, cuyo radio es la
distancia que recorre la luz en un segundo. Desde M tracemos
MP, perpendicular a MO, encontrando el círculo en P.
Así OP es la distancia que recorre la luz en un segundo.
La relación de OP a OM es la relación de la
velocidad de la luz a la velocidad del cuerpo. La
relación de OP a MP es la relación en que las
longitudes aparentes están alteradas por el movimiento.
Es decir, si el observador juzga que dos puntos de la
línea de movimiento del cuerpo que se mueve están
a una distancia mutua representada por MP, una persona que se
moviera con el cuerpo juzgaría que estaban en la
distancia representada (a la misma escala) por OP.
Las distancias del cuerpo que se mueven en los ángulos
rectos de la línea del movimiento no se ven afectadas
por el movimiento. Todo el conjunto es recíproco; es
decir, si un observador que se mueve con el cuerpo fuera a
medir la longitud del cuerpo del anterior observador,
quedaría alterado, precisamente en la misma
proporción. Cuando dos cuerpos se mueven en
relación mutua, sus longitudes aparecen más
cortas a un tercero que a ellos mismos. Tal es la
contracción de Fitzgerald, carda fundamentalmente para
determinar le resultado del experimento de Michelson-Morley.
Pero ahora se plantea naturalmente por el hecho de que dos
observadores no hacen el mismo juicio de
simultaneidad."
La representación gráfica de lo indicado
sería como sigue:
Pero evidentemente, esta representación hace
solo mención al caso de un observador, otro observador y
la constante de la velocidad de la luz en el
vacío.
Vamos a hacer una pequeña
generalización. Supongamos que el eje de las abcisas es
el eje de los números reales, y que el eje de las
ordenadas es el eje de los números imaginarios. Es
sencillo deducir que:
Si tuviéramos en cuenta que todas las
longitudes fueran correspondientes a un segundo desde el
origen, podríamos representar las longitudes como
velocidades y tendríamos que OM representaría la
velocidad real del observador y MP representaría el
valor
imaginario de la velocidad, siendo OP el valor de la velocidad
constante de la luz en el vacío. Permitámonos
esta licencia momentáneamente.
Con estos valores,
sería sencillo concluir que si sabemos el valor de la
velocidad constante de la luz y de la velocidad imaginaria,
podemos calcular la velocidad real del siguiente
modo:
De ahí podríamos obtener esta velocidad
real, que sería, definiendo el eje perpendicular como un
hipotético eje X:
Podemos hacer una generalización de los
números complejos, utilizando una velocidad
hipercompleja (con los números hipercomplejos de
Hamilton):
,
Que cumpliría las condiciones del álgebra
hipercompleja de Hamilton como son:
Normalizando dicha velocidad hipercompleja
tenemos:
Como se ha visto, se pueden establecer los
números reales (la velocidad real observada) en el eje
de las abcisas, y la velocidad imaginaria en el eje de las
ordenadas, como sigue:
Teniendo en cuenta que C es siempre constante, podemos
pasar el gráfico indicado por Bertrand Russell a un
círculo en números complejos, con lo cual se
tendrá que, como se ha indicado, si conocemos c y
Vx, tenemos que la velocidad en el eje de las
abcisas será:
à
Si en lugar de un círculo complejo con sus
proyecciones en el eje de los reales, tenemos una esfera
hipercompleja, podemos inducir que la velocidad real
será:
Lo cual es además cierto dada una esfera
4-Dimensional puesto que su valor sería:
Donde los componentes de la velocidad serían
partes de un paravector conjugado de la velocidad
hipercompleja, con el mismo orden de signos que
los indicados en los espacios de Minkowskypero expresado en
forma de multivector.
Dado que teníamos de A. Einstein
que:
Y tomando la expresión anterior, tenemos
que:
La cual, generalizándola a una esfera
hipercompleja y sus proyecciones sobre el eje real nos da
que:
Como la velocidad normalizada es
La velocidad será pues:
De tal modo que la velocidad será siempre
constante, pero atenuada por los cambios de dirección.
3.
Consideraciones interesantes.
Desde este punto de vista, se puede tener en cuenta
que la velocidad constante de la luz se mantiene cuando existen
cambios en la curvatura espacio-temporal, pero teniendo en
cuenta además que los cambios producidos en esos
precisos momentos pueden hacer que esta velocidad tenga una
componente normal y otra tangencial, lo cual contradice
supuestamente lo que indica la mecánica clásica.
Pero teniendo en cuenta su componente hipercompleja,
se puede inducir que la velocidad sufre cambios solo en su
modulo, derivado de su variación de dirección,
pero no realmente en su constancia.
© Rafael Aparicio
Sánchez
Feb 2005.