Anteproyecto. Estudio por medio de un modelo matemático de relaciones de velocidad entre ruedas
- Tipos de
sistemas - Objetivos
- Metodología y
desarrollo - Movimiento
circular - Códigos
fuente - Proyección y
conclusiones - Bibliografía
- Anexos
Para el estudio por medio de un modelo matemático
de relaciones de velocidad entre ruedas debemos tener presente
los tipos y características de cada una de ellas, puesto
que estas implican complejidad a la hora de la aplicación
y desarrollo,
para emplear el análisis por medio de algún modelo
matemático.
Entre esas posibilidades tenemos los grupos de
engranajes rectos, ruedas de fricción y poleas;
así, para cada sistema se
derivan formas, variaciones y subsistemas que ayudan a la
complejidad y dificultad del desarrollo en el ejercicio
propuesto, para ello podemos utilizar la forma más
básica, acompañada de ciertas limitaciones que
podrían ir dándose y adecuándose
según los problemas e
incógnitas que lo hagan necesario, ya que es factible para
la iniciativa de partida que facilita la comprensión del
sistema.
Valga la aclaración para los avances,
profundización y modificaciones del sistema para evitar
incurrir en errores y mal entendidos, podremos encaminarnos a la
elección del sistema, para el cual hemos decidido que es
conveniente el de ENGRANAJES RECTOS puesto que nos
puede brindar facilidades de comprensión y
desarrollo.
TIPOS DE SISTEMAS:
ENGRANAJES DE PIÑOES
RECTOS
Está formado por dos ruedas dentadas
cilíndricas rectas. Es un mecanismo de transmisión
robusto, pero que sólo transmite movimiento
entre árboles
próximos y, en general, paralelos.
En algunos casos puede ser un sistema ruidoso, pero que
es útil para transmitir potencias elevadas.
RUEDAS DE FRICCION
El movimiento de giro se transmite entre ejes paralelos
o que se cortan formando un ángulo arbitrario, entre
0º y 180º. Como en el caso de los engranajes, hay
ruedas de fricción rectas y
troncocónicas.
El mecanismo está formado por dos ruedas en
contacto directo, a una cierta presión.
POLEAS
El mecanismo está formado por dos ruedas simples
acanaladas, de manera que se pueden conectar mediante una cinta o
correa tensa.
El dispositivo permite transmitir el movimiento entre
árboles alejados, de manera poco ruidosa.
La correa, sin embargo, sufre un desgaste importante con
el uso y puede llegar a romperse
- Describir el funcionamiento y características
del sistema sugerido. - Especificar las aplicaciones o usos mas frecuentes en
la vida cotidiana. - Investigar y buscar un modelo matemático, que
satisfaga las necesidades para la solución del
problema. - Comprobar y dar ajuste al modelo matemático
para su optima aplicación. - Posible creación de un software para
la rápida solución de
incógnitas.
Dándonos vía libre para la
obtención de información
Cuando un objeto se mueve en una trayectoria circular
con velocidad constante decimos que su movimiento es circular
uniforme. La Luna, por ejemplo, sigue este tipo de movimiento al
girar alrededor de la Tierra.
Usted puede lograr este tipo de movimiento al hacer girar una
pelota de goma que está atada al extremo de una cuerda. En
este tipo de movimiento, la magnitud de la velocidad permanece
constante pero su dirección cambia continuamente. Puesto que
la velocidad es un vector que apunta en la dirección del
movimiento de partícula, o sea en la dirección
tangente a su trayectoria, y la dirección de la velocidad
cambia, en este movimiento hay aceleración, a pesar de que
la magnitud de la velocidad sea constante. Durante un intervalo
de tiempo Dt, una
partícula que se mueve con movimiento circular uniforme se
mueve del punto A al punto B, siguiendo la trayectoria descrita
por un arco de circunferencia que subtiende el ángulo Dq.
El cambio en la
vector velocidad en ese intervalo de tiempo es Dv que,
como puede verse en la figura, es un vector que apunta hacia el
centro de la circunferencia sobre la dirección de su
radio de la
misma. La dirección de la aceleración es la misma
que la del vector Dv y por ello la aceleración en
este movimiento se llama aceleración centrípeta. La
magnitud de la aceleración centrípeta está
dada por
ecu. 01
En la que v es la magnitud de la velocidad y r es el
radio de la circunferencia que describe la partícula en su
movimiento. Nótese que el vector velocidad y el vector
aceleración en este movimiento son perpendiculares uno al
otro. En muchas ocasiones es más sencillo describir el
movimiento circular uniforme en términos del número
de vueltas que da el objeto por unidad de tiempo. A esta cantidad
se le denomina velocidad angular y la denotaremos por w.
Llamaremos período, T, al tiempo que tarda el objeto en
dar una vuelta completa a la circunferencia. Dadas estas
definiciones, el período y la frecuencia están
relacionadas como
ecu. 02
y la velocidad lineal a la que viaja el objeto al dar
una vuelta completa sobre una circunferencia de radio r
es
ecu. 03
Puesto que la distancia que recorre el objeto es
justamente el perímetro de la circunferencia.
Una característica que distingue a este tipo de
movimientos es que el ángulo que recorre una
partícula por unidad de tiempo es constante, por lo que
decimos que su velocidad angular es constante. Los cuerpos
rígidos también pueden tener un movimiento de
rotación. Es el caso de las aspas de un ventilador o de
alguna pieza de maquinaria. Para especificar qué tanto ha
rotado un cuerpo basta dar el ángulo que ha girado sobre
su eje, es decir, el ángulo mide el desplazamiento
angular. En lugar de medir el ángulo en grados conviene
medirlo en radianes. Los radianes se definen mediante la
ecuación
ecu. 04
En la que S es el arco de circunferencia barrido por el
ángulo q
y r es el radio de la circunferencia, como se
muestra en la
figura 2.4, Con esta definición es fácil darse
cuenta de que el factor de conversión entre los grados y
los radianes está dado por 360º = 2p radianes.
A la razón media de cambio del desplazamiento
angular en el tiempo se le conoce como velocidad
angular:
ecu. 05
Y, aunque puede medirse utilizando grados o revoluciones
por segundo, la unidad más conveniente para la velocidad
angular es el radián por segundo, o rad/s. El movimiento
de rotación puede ser uniforme, con velocidad angular
constante, o puede ser acelerado en el caso en que la velocidad
varíe. En el caso del movimiento acelerado, es necesario
definir la aceleración angular media como la
variación de la velocidad angular con el tiempo;
así, tenemos que
ecu. 06
Una forma más conveniente de expresar la
aceleración angular es la ecuación:
ecu. 07
Si comparamos esta ecuación con la
ecuación para la aceleración en el movimiento
uniformemente acelerado, nos damos cuenta que estas relaciones
son muy similares: basta cambiar la aceleración y la
velocidad en la fórmula para el movimiento uniformemente
acelerado por la velocidad angular y la aceleración
angular en el movimiento de rotación con velocidad
variable y obtenemos el mismo resultado. Utilizando los mismos
procedimientos
que se usaron para obtener las relaciones entre las diferentes
variables que
necesitamos para estudiar el movimiento uniformemente acelerado,
podemos concluir que en el caso del movimiento circular
uniformemente variado, es decir, con aceleración angular
constante, las relaciones entre las variables que nos permiten
hacer un estudio del movimiento son, además de las
anteriores,
ecu 08
ecu. 09
ecu.
10
Es importante notar que al aplicar estas relaciones hay
que tener cuidado con las unidades y con la elección de la
dirección para usarlas en forma consistente.
Si definimos el eje de rotación de un cuerpo en
movimiento circular o de rotación como el centro de la
circunferencia que describe el objeto o las partículas que
componen al objeto en su movimiento, por experiencia sabemos que
entre más alejada esté una partícula del eje
de rotación su velocidad lineal será mayor. La
partícula que gira recorre un arco de circunferencia s en
un tiempo dado t. El arco de circunferencia está dado por
s =q
.r de manera que la velocidad
lineal estará dada por:.
ecu. 11
como la velocid|ad angular se define como w
=q /t,
sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior
encontramos que
ecu. 12
C++ BUILDER
//—————————————————————————
#include <vcl.h>
#pragma hdrstop
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<conio.h>
#include "Unit2.h"
#define N 30
//—————————————————————————
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
TForm1 *Form1;
//—————————————————————————
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent*
Owner)
: TForm(Owner)
{
}
float f(float x,float r1,float r2,float
w1);
//—————————————————————————
void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject
*Sender)
{Close();
}
//—————————————————————————
void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject
*Sender)
{ int i=0,j=0,k=0,l=0,m=0,g=0,cc=0;
float
a[N],b[N],p[N],c[N],d,r1,r2,w1,ea,x[N];
a[0]=StrToFloat(Edit4->Text);
b[0]=StrToFloat(Edit5->Text);
r1=StrToFloat(Edit1->Text);
r2=StrToFloat(Edit2->Text);
w1=StrToFloat(Edit3->Text);
d=f(a[0],r1,r2,w1)*f(b[0],r1,r2,w1);
x[0]=1;
if(d>0){Memo1->Lines->Add(" *** algun
valor de XL o
Xu No esta dentro del Rango*** ");g=0;}
else g=1;
if (g==1)
{Memo1->Lines->Add(" *** Estan dentro del
rango*** ");
p[i]=(a[j]+b[k])/2; x[cc]=p[i]; cc++;
Memo1->Lines->Add(" xl= "+String(a[j])+" xu=
"+String(b[k])+" xr= "+String(p[i])+" EA= 0 ");
c[i]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[i],r1,r2,w1);
Memo1->Lines->Add(" iteracion ->
"+String(i)+" f(XL) = "+String(f(p[i],r1,r2,w1))+" f(xu)*f(xl)=
"+String(c[i]));
for(i=0;i<N;i++){
if(c[i]<0)
{ j++;
a[j]=p[l];
l++;
p[l]=(a[j]+b[k])/2;x[cc]=a[j];cc++;
Memo1->Lines->Add(" xl= "+String(a[j])+" xu=
"+String(b[k])+" xr= "+String(p[i]));
m++;
c[m]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[l],r1,r2,w1);
Memo1->Lines->Add(" iteracion ->
"+String(i)+" f(XL) = "+String(f(p[i],r1,r2,w1))+" f(xu)*f(xl)=
"+String(c[i]));
}else if(c[i]>0)
{
k++;
b[k]=p[l];
l++;
p[l]=(a[j]+b[k])/2; x[cc]=b[k]; cc++;
Memo1->Lines->Add(" xl= "+String(a[j])+" xu=
"+String(b[k])+" xr= "+String(p[i]));
m++;
c[m]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[l],r1,r2,w1);
Memo1->Lines->Add(" iteracion ->
"+String(i)+" f(XL) = "+String(f(p[i],r1,r2,w1))+" f(xu)*f(xl)=
"+String(c[i]));
}else{
Memo1->Lines->Add("—-> la velocidad es =
"+String(p[l]));
i=N;
}ea=(x[cc-1]-x[cc-2])/x[cc-1]*100;
Memo1->Lines->Add(" EA =
"+String(ea));
} }
getch();
}
float f(float x,float r1,float r2,float
w1)
{
return (x*r2/r1-w1);
}
//—————————————————————————
void __fastcall TForm1::Button3Click(TObject
*Sender)
{SaveDialog1->Execute();
if(SaveDialog1->FileName != "")
Memo1->Lines->SaveToFile(SaveDialog1->FileName+".txt");
}
//—————————————————————————
CODIGO EN C++
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include<math.h>
#define N 30
float f(float x,float r1,float r2,float
w1);
main ()
{
int i=0,j=0,k=0,l=0,m=0;
float a[N],b[N],p[N],c[N],d;
float r1,r2,w1;
clrscr();
printf("tMETODO DE BISECCIONnn");
printf("tPOR:n RIGOBERTO HERNANDO
OLARTEn");
printf("t PAULO ANDRES ROJASn");
printf("t OSCAR JAVIER
BUSTAMANTEnn");
printf("t PRESENTADO A: nn");
printf("t LUIS CARLOS
O¥ATEnn");
printf("t USTA 2003n");
getch();
clrscr();
do{
printf("tMETODO DE BISECCIONn");
printf("Con la ecuaci¢n: w2*r1/r2-w1
");
printf("nintroduce la XL:
");scanf("%f",&a[0]);
printf("nintroduce la Xu:
");scanf("%f",&b[0]);
printf("nintroduce la R1:
");scanf("%f",&r1);
printf("nintroduce la R2:
");scanf("%f",&r2);
printf("nintroduce la W1:
");scanf("%f",&w1);
d=f(a[0],r1,r2,w1)*f(b[0],r1,r2,w1);
if(d>0)printf("n*** algun valor de XL o Xu No
esta dentro del Rango*** ");
}while(d>0) ;
printf("n*** Estan dentro del rango***
");
p[i]=(a[j]+b[k])/2;
printf("xl=%f; xu=%f;
xr=%f",a[j],b[k],p[i]);
c[i]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[i],r1,r2,w1);
printf("n*** iteracion[%d] f(xl)=%f
f(xu)*f(xl)=%f*** ",i,f(p[i],r1,r2,w1),c[i] );
for(i=0;i<N;i++){
if(c[i]<0)
{ j++;
a[j]=p[l];
l++;
p[l]=(a[j]+b[k])/2;
printf("n xl=%f; xu=%f;
xr=%f",a[j],b[k],p[i]);
m++;
c[m]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[l],r1,r2,w1);
printf("n*** iteracion[%d] f(xl)=%f
f(xu)*f(xl)=%f*** ",i,f(p[l],r1,r2,w1),c[i] );
}else if(c[i]>0)
{
k++;
b[k]=p[l];
l++;
p[l]=(a[j]+b[k])/2;
printf("n xl=%f; xu=%f;
xr=%f",a[j],b[k],p[i]);
m++;
c[m]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[l],r1,r2,w1);
printf("n*** iteracion[%d] f(xl)=%f
f(xu)*f(xl)=%f*** ",i,f(p[l],r1,r2,w1),c[i] );
}else{
printf("nttRaiz %f",p[l]);
i=N;
}}
getch();
return 0;
}
float f(float x,float r1,float r2,float
w1)
{
return (x*r2/r1-w1);
}
La realización de este proyecto pone en
practica los conocimientos que se han obtenidos a través
de la carrera.
Además de ello tener una forma clara y
práctica, para definir matemáticamente el comportamiento
de este sistema de transmisión de potencia.
CONCLUSIONES
-Se pudo comprobar que los métodos
numéricos son una herramienta muy versátil a la
hora de resolver distintos problemas
matemáticos.
-Se comprobó que para resolver los problemas con
métodos
numéricos se pueden utilizar otra herramienta aparte del
papel y el lápiz, tales herramientas
son los diferentes paquetes de programación como matlab, c++, c++ BUILDER,
C++ Visual Basic,
entre otros.
-Con el anterior trabajo se
reafirmaron todos los conceptos vistos durante el
semestre.
-Comprobamos que cuando se realizan proyectos en las
materias que son teóricas se entienden mucho mas y se
entiende la forma como deben sé aplicados los
conceptos.
-La realización de este proyecto pone en practica
los conocimientos que se han obtenido a través de la
carrera.
HAMILTON, Mabie. Mecanismos y Dinámica de materiales.
Instituto Tecnológico
de Virginia. Editorial Mc Graw hill. 151 p.
279p
SHIGLEY , Joseph Edward. Teoría
de maquinas y mecanismos. , editorial MC
Graw Hill Cap 7 Pgs 258. Ed1983
ERDMAN, ARTHUR. G, Diseño
de Mecanismos Editorial Prentice Hall. Ed 3ra
Pg 417 ed 1998.
CALERO PEREZ ROQUE, Fundamentos de mecanismos y Maquinas
de Ingeniería, Mc Graw Hill, Pg 153. ed
1999.
www.educaciontecnologica.com/engranaje.htm
www.metalmecanica.com/engranes
.htm
Las ruedas de fricción son muy necesarias, ya que
por intermedio de estas se pueden acoplar diferentes
transmisiones de potencia en el ámbito industrial,
teniendo en cuenta unas reglas básicas de diseño,
tomando como variables iniciales su velocidad angular.
Relaciones:
- La relación de velocidades angulares, se toma
como la velocidad angular de un elemento impulsado, dividida
por la del impulsor. Esta relación es:
Donde e es la relación entre los radios de las ruedas,
W2 es la velocidad angular de la rueda final y
W1 es la velocidad angular de la rueda inicial,
esto es valido sin importar cuantas ruedas halla en el
sistema. - También es valida esta ecuación si se
utilizan las Rpm de los engranes
se debe tener en cuenta para algunas proporciones las medidas
de los diámetro de paso de algunos engranes así
como su numero de dientes
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior - Donde nL representa las Rpm del engrane final y
nF las Rpm del engrane inicial.
N1 y N2 representan el # de dientes del engrane
d1 y d2 representan los diámetros de paso de los
engranes. - Para sistemas con mas de dos engranes en serie,
ó ruedas de fricción se toman todos como una
cadena de relaciones así:
engrane impulsor N1
engrane medio N3/N2
engrane final N4
- La ecuación que regiría este sistema de
engranes seria la siguientePara ver la fórmula
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior
Así de demuestra que las relaciones medias en un
tren de engranes no son del todo vitales a la hora de
diseñar un sistema, solo quedara a criterio del
diseñador los diámetros de los engranes y las
ruedas, siguiendo unos estándares para los
mismos.
Anexo de
Ecuaciones
ecu.
0.1
ecu.
0.2
ecu.
0.3
ecu.
0.4
ecu.
0.5
ecu.
0.6
ecu. 0.7
ecu. 0.8
ecu. 0.9
ecu. 10
ecu. 11
ecu.
12
Para ver las fórmulas seleccione
la opción "Descargar" del menú superior
Por:
OSCAR JAVIER BUSTAMANTE
PAULO ANDRES ROJAS
RIGOBERTO HERNANDO OLARTE
ING Mecatronico. BUCARAMANGA – SANTANDER –
COLOMBIA
UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
FACULTAD DE INGENIERIA MECATRONICA
METODOS NUMERICOS
BUCARAMANGA
2 de DICIEMBRE de 2003