Calcule lo siguiente:

a). p(s).q(s)

b). Los polos y ceros de:

c). p(-1)

2. Considere el sistema realimentado mostrado en la figura:

a). Calcule la función de transferencia de lazo cerrado.

b). Obtenga la respuesta al impulso y la respuesta al escalón del sistema.

Grafique dichas respuestas y halle el valor final en el caso de la respuesta al escalón.

3. Considere la ecuación diferencial:

Donde y u(t) es un escalón unitario. Determine la solución y(t) solucionando por transformada inversa de Laplace y por el comando step. Compare los resultados, dibujando simultáneamente las dos respuestas.

4. Un sistema de control de altitud de eje sencillo de una nave espacial puede ser representado por el diagrama de bloques de la siguiente figura.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Las variables k, a y b son parámetros del controlador, y J es el momento de inercia de la nave espacial. Suponga que el momento de inercia es J=10.8x108 (slug-ft2), y los parámetros de control son k=10.8x108, a=1, b=8.

a). Encuentre la función de transferencia de lazo cerrado

b). Encuentre la respuesta al escalón del sistema cuando la entrada corresponde a un escalón de 10º.

c). El momento de inercia exacto es generalmente desconocido y puede variar ligeramente con el tiempo. Compare el desempeño de la respuesta al escalón de la nave espacial cuando J se reduce en un 20% y un 50%. Utilice los mismos parámetros de control anteriores y la misma entrada escalón de 10º. Analice los resultados.

5. Considere el diagrama de bloques mostrado en la siguiente figura.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

a). Reduzca el diagrama de bloques y encuentre la función de transferencia de lazo cerrado.

b). Genere el diagrama de polos y ceros de la función de transferencia de lazo cerrado.

c). Determine explícitamente los polos y ceros de la función de transferencia de lazo cerrado utilizando "roots". Compare con los resultados obtenidos en el numeral anterior.

6. Un sistema tiene función de transferencia:

Dibuje la respuesta del sistema cuando r(t) equivale a un impulso unitario para el parámetro z = 3, 6, 9, 12.

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%EJERCICIO 1

%p(s).q(s)

a1=conv([1 2 1],[1 1]);

%Los polos y ceros de G(s)=q(s)/p(s)

g=tf([1 1],[1 2 1]);

b1=zpk(g);

p1=b1.p{:}; %Polos de G

z1=b1.z{:}; %Ceros de G

%p(-1)

c1=polyval([1 2 1],(-1));

%EJERCICIO 2

%Función de transferencia de lazo cerrado

a2=feedback((series((tf(1,[1 1])),(tf([1 2],[1 3])))),1,'+');

%Respuesta al impulso

b2i=impulse(a2,[1:11]);

figure

plot([1:11],b2i), title('Respuesta al impulso'), grid, pause;

b2e=step(a2,[9:15]);

figure

plot([9:15],b2e), title('Respuesta al escalón'), grid, pause;

%EJERCICIO 3

%Por transformada inversa de Laplace

syms ys s

ys=1/(s*(s+1)^2);

yt=ilaplace(ys);

pretty(ys)

pretty(yt), pause;

figure

ezplot(yt,[0:0.1:6]), grid, pause;

%Por el comando step

ys1=tf(1,[1 2 1]);

yt1=step(ys1,[0:0.1:6]);

figure

plot([0:0.1:6],yt1), title('Respuesta al escalón'), grid, pause;

%EJERCICIO 4

k=10.8e8; a=1; b=8; j=10.8e8;

a4=tf(feedback((series((k*zpk(-a,-b,1)),((1/j)*zpk([],[0 0],1)))),1,'+'))

disp('Función de transferencia de lazo cerrado'), pause;

%Respuesta al escalón de 10°

b4s=a4*10;

b4=step(b4s,[0:0.1:6]);

figure

plot([0:0.1:6],b4), title('Respuesta al escalón de 10°'), grid, pause;

%Cuando j se reduce en un 20%

a4j20=tf(feedback((series((k*zpk(-a,-b,1)),((1/(j*0.8))*zpk([],[0 0],1)))),1,'+'));

b4sj20=a4j20*10;

b4j20=step(b4sj20,[0:0.1:6]);

figure

plot([0:0.1:6],b4j20), title('Respuesta al escalón de 10° con 0.8j'), grid, pause;

a4j50=tf(feedback((series((k*zpk(-a,-b,1)),((1/(j*0.5))*zpk([],[0 0],1)))),1,'+'));

b4sj50=a4j50*10;

b4j50=step(b4sj50,[0:0.1:6]);

figure

plot([0:0.1:6],b4j50), title('Respuesta al escalón de 10° con 0.5j'), grid, pause;

%EJERCICIO 5

m5=tf(1,[1 0 0]);

a5=tf([1 0 2],[1 0 0 14]);

u5=tf([4 2],[1 2 1]);

r5=tf([1 0],[1 0 2]);

o5=tf(1,[1 1]);

t5=series(4,(feedback((series((feedback(series(o5,r5),u5,'+')),(feedback(m5,50)))),a5,'+')));

[num5,den5]=tfdata(t5,'v');

%Diagrama de polos y ceros

figure

zplane(num5,den5), title('Diagrama de polos y ceros'), grid, pause;

%Polos y ceros con el comando roots

z5=roots(num5) %Ceros de la función de transferencia

disp('Ceros de la función de transferencia'), pause;

p5=roots(den5) %Polos de la función de transferencia

disp('Polos de la función de transferencia'), pause;

%EJERCICIO 6

for y=3:3:12

t6=tf([(15/y),15],[1 3 15])

t6imp=impulse(t6,[0:0.1:6]);

figure

plot([0:0.1:6],t6imp), title('Respuesta al impulso unitario'), grid, pause;

end

Resultados obtenidos en MATLAB

1. a). Transfer function P(s).Q(s):

s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1

b).

Polos de G(s).

Ceros de G(s).

c). P (-1) = 0

2. a). Función de transferencia de lazo cerrado:

b). Respuesta al impulso:

Respuesta al escalón:

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y(t) = 1+(-t-1)*exp(-t)

Por transformada inversa de Laplace:

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Por el comando Step:

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b). Respuesta al escalón de 10°:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

c). Respuesta al escalón de 10° con 0.8J:

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Respuesta al escalón de 10° con 0.5J:

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b). Diagrama de polos y ceros:

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c). Polos de la función de transferencia:

Ceros de la función de transferencia:

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Respuesta del sistema cuando Z=6:

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Respuesta del sistema cuando Z=9:

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Respuesta del sistema cuando Z=12:

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Mauro Baquero

ING Mecatronico. BUCARAMANGA – SANTANDER – COLOMBIA

2005