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La teoría matemática de sistema

Enviado por milher1



  1. Concepto
  2. Investigación de Operaciones
  3. La teoría matemática de la información
  4. La teoria matemática del control
  5. Controlabilidad versus optimización
  6. Perspectivas de la toría matematica de sistema
  7. Bibliografia

CONCEPTO.-

Una teoría matemática es una representación, en términos matemáticos, de proposiciones que describen el comportamiento actual dentro de un sistema. Esto se da en un intento por describir el sistema real; claramente el intento está sujeto a examen y una teoría es aceptable o no de acuerdo con cuán bien sobrepasa el examen correspondiente.

Después de la segunda guerra mundial, a través de la teoría matemática se aplicó la investigación operacional, para la resolución de problemas grandes y complejos con muchas variables.

La teoría matemática de sistema se relaciona con los conceptos de información y entropía de la información, sistemas de comunicación, transmisión de datos, así como la teoría de la distorsión de la transferencia, criptografía, relaciones señal-ruido, control, compresión de datos y temas relacionados.

El estudio de las matemáticas como disciplina independiente ha permitido que ésta avance a una velocidad sin precendente, pero un desarrollo de esta índole plantea interrogantes inquietantes, por ejemplo: ¿cuál es la naturaleza de la matemática?, ¿cuál es su objetivo?, ¿cuáles son sus métodos?, etcétera.

Investigación de Operaciones.

Durante una época el cálculo convencional y métodos sencillos fueron suficientes para resolver los problemas que se presentaban. Pero cuando la industrialización trajo consigo la producción en masa y con ello el crecimiento en el tamaño y en la diversidad de los problemas a resolver, hubo que crear técnicas más sofisticadas. Fue durante la segunda guerra mundial (de ahí el nombre de Investigación de Operaciones militares) que dio inicio una revolución, la cual aún continua, en el desarrollo de las técnicas matemáticas de carácter algorítmico-numéricas, para la solución de este tipo de problemas. Con la invención y la evolución de la computadora, es ahora posible resolver complejos problemas de optimización, de logística, o simular múltiples escenarios para un proceso, en períodos de tiempo que hace sólo algunas décadas hubieran sido inconcebibles. Dentro de las técnicas más usadas en la investigación de operaciones se puede citar a la optimización clásica, la programación lineal y no lineal, la teoría de control óptimo, la simulación, las técnicas heurísticas y la teoría de redes entre otras.

Últimamente ha tomado auge una nueva especialidad. La Matemática Educativa, que ofrece un enfoque, desde el punto de vista de las teorías del conocimiento, para la aplicación de técnicas didácticas en la enseñanza de las matemáticas, facilitando así su comprensión.

Para comprender más el tema trataremos temas relacionados con:

  1. La teoría matemática de la información
  2. La teoria matemática del control

LA TEORÍA MATEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN

Es de aceptación general que la disciplina de la teoría de la información comenzó con la publicación del artículo de Claude E. Shannon "La Teoría Matemática de la Comunicación" (The Mathematical Theory of Communication).

Claude E. Shannon es conocido como el padre de la teoría de la información. Su teoría considera la transmisión de la información como un fenómeno estadístico y ofrece a los ingenieros en comunicaciones una forma de determinar la capacidad de un canal de comunicación en términos comunes de medida llamados bits.

La parte de la teoría que hace referencia a la transmisión no está relacionada con el contenido de información o el mensaje en sí mismo, aún cuando el lado complementario de la teoría de la información se preocupa con el contenido a través de la compresión con pérdida de los mensajes sujetos a un criterio de fidelidad. Estas dos ramas de la teoría de la información están unidas y justificadas mutuamente por los teoremas de transmisión de información, o los teoremas de separación de canal de origen que justifican el uso de bits como el formato universal de información en diversos contextos.

En la teoría de Shannon y Weaver la cantidad de información contenida en un mensaje se define en función de la frecuencia relativa de utilización de los diferentes símbolos que lo componen:

a.- Los mensajes son transmitidos desde la fuente al usuario por una vía de comunicación,

b.- para que el mensaje pueda recorrer esa vía debe ser codificado,

c.- y luego, descodificado para que lo comprenda convenientemente el destinatario.

El problema está en la transición de los símbolos del mensaje que entró a los del mensaje que salió. Esta posibilidad de imperfección se llama ruido. Sin ruido, la canti dad de información de un mensaje es la misma a la salida que a la entrada. Con ruido nacen la ambigüedad y los equívocos. Para evitarlos habrá que transmitir el mensaje con redundancia, aunque esto suponga una pérdida relativa de información. La principal objeción que desde el primer momento presentó su Teoría matemática de la Comunicación fue la de no considerar los aspectos relativos al significado de los mensajes, por lo que debemos considerar el cuerpo especulativo al que abrieron paso como una teoría de señales, no como una auténtica teoría de la información.

Aún manteniendo una postura de equilibrada duda al contemplar que las aplicaciones hechas con efectividad se habían limitado a fenómenos particulares, Jean-Bernard Mari -no analizó la posibilidad de nuevas aplicaciones de cada una de ellas, principalmente a través de las bases de datos accesibles. Distribuyó en tres bloques las aplicaciones de la teoría matemática:

1. Indización mediante tarjetas perforadas: en la década de 1950 Garfield indizó documentos biomédicos mediante tarjetas perforadas. Los codificó de tal manera que el número de perforaciones coincidía con la frecuencia de uso de los descriptores en el total del glosario. Los descriptores más utilizados recibían así la codificación más breve.

2. Evaluación de los resultados de un sistema documental : se trata de desligar el sistema de salida del sistema de entrada, transmitiendo por una vía con ruido. Los mensajes recibidos tenían una triple codificación y su probabilidad de ser recuperados dependía de una tabla de contingencias. Fue utilizado por Meetham, Belzer, Cawkel y Guazzo.

3. Indización por frases: Briner aplicó los conceptos de la teoría matemática a los components gramaticales de un texto escrito, deduciendo una capacidad de transmission del conocimiento por palabra análoga a la fórmula que cuantifica la capacidad de una vía. Para las palabras ambiguas Briner amplió el principio a indización de la frase entera que las contenía.

LA TEORIA MATEMÁTICA DEL CONTROL

En la Teoría Matemática del Control, comenzaremos con algunas consideraciones históricas generales sobre sus orígenes y evolución. Más adelante, describimos algunos elementos centrales de la Teoría y diversos avances recientesque se caracterizan tanto por su interées Matemático como por su transcendencia desde un punto de vista social, tecnológico e industrial. Por ´ultimo mencionamos algunos problemas abiertos y los retos que se plantean en esta disciplina para un futuro inmediato.

La esencia de la Teoría del Control está inspirada en algunas nociones que a todos nos resultan familiares. Una de ellas es la de "feedback". Este término se incorporó a lo que hoy conocemos como Teoría del Control en los años 20 por los ingenieros del "BellTelephone Laboratory".La traducción del término "feedback" al castellano produce palabras mucho más largas tales como "realimentación" o "retroalimentación".

La Naturaleza nos ofrece ejemplos difíciles de mejorar en este terreno. Basta simplemente observar el ritual del depredador que acecha a su presa. Hoy en día la noción de feedback es también común en Biología, Psicología, etc. El principio de causa-efecto ha dejado de entenderse como un fenómeno estático y se aborda ahora desde una perspectiva dinámica a causa de los mecanismos de "feedback". Estamos frente al principio causa-efecto-causa.

Otra de las nociones que subyace en todo lo que hoy puede considerarse parte del ámbito de la Teoría del Control es la de "optimización". La optimización es una técnica que tiene como objetivo aumentar o mejorar el valor de una variable que, en la práctica, puede tomar las formas más variadas: temperatura, flujo de aire, velocidad, rentabilidad, beneficio, información, capacidad de destrucción, etc.

Las técnicas de optimización son tan variadas que resulta imposible hacer una presentación global y unificada de todas ellas. Por otra parte, la tecnología informática y de la computación han jugado un papel crítico en las aplicaciones de las técnicas de optimización, tal y como ocurre en el control óptimo de cohetes y proyectiles. En efecto, en vista de la complejidad de los sistemas a los que la Teoría del Control ha de hacer en la actualidad, es imposible realizar una implementación eficiente los métodos de control, sin previamente realizar un riguroso trabajo de simulación numérica.

Dentro del amplio abanico de teorías, técnicas y problemas que podemos enmarcar en el contexto de la optimización cabe mencionar la teoría de juegos, la programación lineal y nolineal, la teoría del control, etc.

Hemos ya mencionado las dos grandes ideas que han servido de inspiración y de motor a la Teoría del Control: el mecanismo de feedback y la optimización.

Otro de los términos ligados a la Teoría matemática del Control y de la Optimización es el de "cibernética", propuesto por el físico francés A.M Ampére en el siglo XIX en su clasificación de las Ciencias para referirse a la aún no existente ciencia del control de los procesos. Este término fue rápidamente olvidado hasta que en 1948 el matemático americano Norbert Wiener lo adoptó como título de su libro. Wiener definió la cibernética como "la ciencia del control y de la comunicación en animales y máquinas". Esta definición relaciona la cibernética con la Teoría del Control y la Fisiología del sistema nervioso.

El "sueño" de Wiener estaba basado en la idea de que surgiría una creciente sinergia entre el ser humano y la máquina que abarcaría tanto la Matemática como la Psicología: La máquina al servicio del ser humano, imitando al ser humano. Hace unas décadas todo esto no dejaba de parecer un sueño ingenuo. Sin embargo, hoy la situación es completamente distinta pues los

desarrollos en la tecnología de la computación han hecho posible un sinfin de nuevas aplicaciones, en robótica, visión por ordenador, etc.

El control del caos teoría matemática que se ocupa de los sistemas que presentan un comportamiento impredecible y aparentemente aleatorio aunque sus componentes estén regidos por leyes estrictamente deterministas es un tema de gran actualidad. Los puntos de vista son a veces duales o incluso contrapuestos. La naturaleza caótica de un sistema puede ser un serio obstáculo para su control pero también puede convertirse en un aliado. Por ejemplo, las impresionantes piruetas a las que estamos acostumbrados en las trayectorias de aviones de combate, están basadas en el control a lo largo de trayectorias inestables. Es sin duda sumamente difícil controlar un vehículo de este tipo. Pero las posibilidades que se le presentan a un piloto experto son muy diversas e insospechadas. Precisamente en el campo de la aeronáutica, el control de la turbulencia juega un papel fundamental.

CONTROLABILIDAD VERSUS OPTIMIZACIÓN

(un modelo teórico matemático)

De manera general, podría decirse que el objetivo central de la Teoría del Control es proporcionarestrategias para conducir el proceso que nos ocupe a un objetivo deseado y/o prescrito. Tareas tales como la colocación de un satélite en la órbita adecuada, la reducción del ruido en los vehículos de transporte o la estabilización de estructuras, son problemas propios de la Teoría del Control.

Tanto si adoptamos un punto de vista frecuencial como si optamos por modelizar el fenómeno en cuestión a través de ecuaciones diferenciales, la cuestión acaba siendo por tanto conducir el estado, la variable que nos interesa, al objetivo prefijado mediante la elección de un mecanismo de control adecuado.

Existen sin embargo dos matices que pueden diferenciar en la práctica de un modo significativo los problemas que habremos de afrontar. En los problemas de controlabilidad nos interesa descifrar si el objetivo prescrito puede efectivamente alcanzarse de manera exacta y, si esta cuestión admite una respuesta afirmativa, cual es el tiempo mínimo en el que esto es posible, cual es el control menos costoso, etc.

Cuando abordamos el problema desde el punto de vista de la Optimización o Control Optimo la cuestión se plantea desde otra perspectiva: con independencia de que el problema de la controlabilidad admita una respuesta afirmativa o negativa, buscamos un buen control, que nos aproxime lo más posible al objetivo prescrito y, éso sí, manteniendo el control dentro de los márgenes de costo admisibles.

Se trata pues de un planteamiento aparentemente más modesto puesto que se renuncia a la "búsqueda de la perfección". Pero se trata de un punto de vista sumamente realista. En la práctica, este segundo planteamiento puede proporcionar resultados muy satisfactorios y ésto mediante técnicas matemáticas menos sofisticadas.

Pongamos un ejemplo sobre el que cualquier persona familiarizada con la resolución de sistemas lineales debería poder reflexionar.

En este ejemplo el estado es simplemente un vector x = (x1, x2, · · · , xn) de IRn y éste está gobernado por la ecuación de estado

[3.1] Ax = b

Donde A es una matriz cuadrada n × n. Para simplificar el problema supongamos que A es no singular o incluso simétrica, definida positiva, etc. El vector b que aparece en el Segundo miembro de la ecuación es el control del que disponemos. La ecuaci´on (3.1) es pues la ecuación de estado que describe el modo en que el control b actúa sobre el estado x. Obviamente, como

el sistema en cuestión es inversible, tenemos x = A−1b, pero no es este el punto de vista que nos interesa pues, en la práctica, la ecuación de estado no es f´acil de resolver y/o invertir.

Nos imponemos entonces como objetivo que la primera componente del estado x1 coincida con un valor prescrito x"1 . Es decir, imponemos la condición adicional

[3.2] x1 = x1*

El problema de control se reduce entonces a buscar b є IRn de modo que la solución de (3.1) satisfaga (3.2). Esto es evidentemente posible. Basta por ejemplo imponer que x = (x*1 , 0, · · · , 0) y tomar como b el vector resultante de la operación Ax. Pero este procedimiento, basado en el diseño directo del estado que realice el objetivo deseado sin necesidad de buscar previamente el control, en la práctica, es frecuentemente irrealizable. En efecto, en los problemas reales, hemos de elegir primero el control y entonces el estado viene dado como solución de la ecuación de estado o, si se quiere, como la respuesta del sistema al control introducido.

El problema de control propuesto es por tanto trivial. Disponemos de tantos controles (las n componentes de b) como de componentes del estado a controlar o incluso de más pues, en este caso, sólo pretendíamos controlar la primera componente x1.

¿Pero qué ocurre cuando vamos disminuyendo el margen de maniobra del control? ¿Qué ocurre por ejemplo si b1, · · · , bn−1 están fijos y sólo disponemos del parámetro bn para controlar el sistema?

Desde un punto de vista matemático la cuestión se formula del modo siguiente. En esta occasion

[3.3] Ax = c + b’

Donde c ε IRn es un vector fijo dado y b’ un vector columna de componentes (0, . . . , 0, bn), i.e. !b = bne, donde e es el vector unitario (0, . . . , 1). El problema de la controlabilidad consiste entonces en estudiar si existe una elección adecuada de bn que garantice que la solución x de (3.3) satisface (3.2)

La cuestión es ahora mucho menos obvia, pero en este caso tan simple no es difícil resolverla.

La solución x de (3.3) se puede descomponer de la siguiente forma

[3.4] x = y + z

donde

[3.5] y = A−1c

y z satisface

[3.6] Az = bne; i. e. z = bnz", con z" = A−1e.

Si adoptamos el punto de vista de la optimización o del control óptimo estas dificultades desaparecen. Supongamos por ejemplo que el valor k > 0 es una cota razonable del control bn que en la práctica podemos implementar. En este caso la mejor respuesta posible al problema de control se obtendría minimizando el funcional cuadrático.

[3.7] J(bn) =| x1 − x"1 |2

en el intervalo cerrado y acotado

[3.8] Ik = [−k, k].

Como J depende continuamente de bn, se deduce inmediatamente la existencia de un control óptimo bkn ε Ik que minimiza la distancia entre la primera componente de la solución x1 y el objetivo x1*.

Vemos por tanto que el problema de control óptimo se resuelve de manera mucho más simple.

Este punto de vista es sumamente natural y acorde al sentido común. Ya L. Euler decía:

"El universo es de lo más perfecto y está diseñado por el creador más sabio. Nada ocurriría sin que destaque, de alguna manera, la presencia de una regla máxima o mínima."

Pero analicemos con un poco más de detalle las relaciones que se presentan en estos dos planteamientos. Se pueden hacer las siguientes observaciones:

  • Si la propiedad de controlabilidad se cumple, para k suficientemente grande, la solución al problema de control óptimo producirá la solución exacta buscada para el problema de controlabilidad.
  • Cuando el objetivo x1* no es alcanzable, el problema de optimización nos proporciona, de todas maneras, la mejor solución posible.
  • La resolución del problema de optimización y el análisis de la evolución del mínimo del funcional J en el intervalo Ik a medida que k crece puede ser de hecho un test para la propiedad de la controlabilidad. Cuando este mínimo se estabiliza en torno a una constante positiva a medida que k aumenta podemos sospechar, de manera fundada, que estamos frente a un caso en que el objetivo x1* no es alcanzable.

PERSPECTIVAS DE LA TORÍA MATEMATICA DE SISTEMA

Son muchos los campos de la Ciencia y Tecnología donde se presentan retos para la TEORIA MATEMATICA DE SISTEMAl. En algunos casos se confía en ser capaces de resolverlos mediante avances tecnológicos que permitan la implementación de controles más eficientes. Es el caso por ejemplo del control

molecular mediante tecnología láser. Pero tanto en ésta como en otras muchas aplicaciones se necesita también de importantes avances teóricos. En esta sección mencionamos brevemente algunos de estos temas y los problemas que se plantean:

  • Grandes estructuras espaciales. Es frecuente escuchar que el despliegue de una antenna o telescopio en el espacio ha ocasionado algunos problemas técnicos, algunos de ellos sumamente costosos o incluso que han inutilizado completamente la estructura. Estas estructuras se caracterizan por contener componentes flexibles de gran tamaño, la interconexión de numerosas componentes y el acoplamiento de componentes rígidas y flexibles.
  • Robótica. La robótica es una de las áreas de la Tecnología que presenta los retos más estimulantes para los próximos años. A nadie se le escapa la importancia de desarrollar métodos eficientes de visión artificial, por ejemplo. Pero la Teoría del Control está también en el centro de gravedad en este campo. El desarrollo de la robótica depende de manera fundamental de la eficiencia y robustez de los algoritmos computacionales para el control de los robots. No resulta difícil imaginar la complejidad del proceso de control que hace que un robot camine y que lo haga de manera estable o sea capaz de coger con sus "manos" un objeto.
  • Sistemas energéticos y redes informáticas. Es ya evidente que el planeta presenta una tendencia irreversible a la globalización. Esto es válido en muchos ámbitos: el tráfico áereo, los sistemas de generación y distribución de energía, o las redes informáticas. Esto hace que muchas veces haya que tomar decisiones en ámbitos muy concretos (geográficamente hablando, por ejemplo), con poca información de lo que ocurre en otros, pero siendo conscientes de que éstos pueden influir. De ahí la necesidad de crear métodos y técnicas de control para grandes sistemas interconectados.
  • Control de la combustión. Se trata de un tema relevante en la industria aeronáutica y aeroespacial en las que se hace imprescindible controlar las inestabilidades en la combustion que, normalmente, viene acompañada de perturbaciones acústicas considerables. En el pasado se ha realizado el énfasis en los aspectos del diseño, modificando la geometría del sistema para interferir la interacción combustión-acústica o incorporando elementos disipativos. El control activo de la combustión mediante mecanismos térmicos o acústicos, es un tema en el que casi todo está por explorar.
  • Control de Fluidos. La interacción entre el Control y la dinámica de fluidos es en estos momentos muy intensa. Se trata de un problema relevante en aeronáutica puesto que la dinámica estructural del avión (en sus alas, por ejemplo) está acoplada con el flujo del aire en su entorno. Si bien es cierto que en los aviones convencionales se puede en gran medida ignorar este acoplamiento, es muy probable que los aviones del futuro tengan que incorporar mecanismos de control para evitar la aparición de turbulencias en torno a las alas. Desde un punto de vista matemático casi todo está por hacer, tanto en lo que respecta a la modelización, al control y a los aspectos computacionales.
  • Control de Plasma. La obtención de reacciones de fusión controladas es uno de los mayores retos para resolver los problemas energéticos del planeta. En la actualidad, una de las vías más prometedoras es el de los tokomaks: máquinas en las que se confina el plasma mediante mecanismos electromagnéticos. El problema fundamental es mantener el plasma, de muy alta densidad, a una temperatura muy alta en la configuración deseada durante intervalos de tiempo prolongados a pesar de sus inestabilidades. Esto se realiza a través de sensores mediante los cuales se obtiene la información necesaria para efectuar cambios rápidos y precisos de las corrientes que han de compensar las perturbaciones del plasma. Todavía hay mucho que hacer en este terreno desde el punto de vista matemático. Existen también problemas de identificación importantes en los tokomaks a causa de la dificultad para realizar las mediciones. Se trata pues de un campo que presenta grandes retos para la Teoría Matemática del control y de los problemas inversos.
  • Procesos de solidificación e industria del acero. El importante e imparable avance de las Ciencias de los Materiales ha producido estudios intensivos de los procesos de solidificación. La forma y la estabilidad de la interfase sólido-líquido es en este ámbito un tema crucial, puesto que una interfase irregular puede ser la causante de la obtención de un producto no deseado. Las fuentes de inestabilidad son diversas: convección, tension superficial,. . . Se han producido avances importantes en la comprensión matemática de las interfases en el campo denominado de los Problemas de Frontera Libre. Desde el punto de vista del Control se plantean dos problemas importantes. Uno, de carácter inverso, consistente en reconstruir la interfase a través de mediciones indirectas y, otro, el de su control a través de mecanismos de calentamiento, de aplicación de campos magnéticos o el éctricos o de rotaciones de la aleación en el horno. La teoría matemática correspondiente puede decirse que no existe. Con el objeto de obtener acero de gran calidad es preciso controlar de manera precisa la temperatura en la fase de enfriamiento. Pero la banda más caliente, sumamente fina, se mueve a una gran velocidad. El diseño de mecanismos de control que tengan en cuenta tanto la velocidad de la banda como del proceso de enfriamiento es otro gran reto.
  • Investigación biomédica. El diseño de terapias médicas adecuadas depende en gran medida de una comprensión adecuada de la dinámica fisiológica. Se trata de un campo sumamente activo en estos momentos donde casi todo está por hacer desde un punto de vista matemático. La Teoría del Control habrá de jugar también en este terreno un papel importante. Como ejemplo cabe mencionar el diseño de mecanismos de suministro de insulina equipados de "chips" de control.
  • Hidrología. El problema de la gestión de los recursos hídricos es sin duda sumamente relevante en nuestros días, unas veces porque estos son escasos, otras porque se encuentran contaminados o simplemente por la complejidad de la red de suministros y usuarios tanto domésticos como agrícolas e industriales. Los problemas de control que se plantean son muy diversos. Podemos mencionar al menos dos. Problemas de identificación de parámetros en los que se trata de determinar la ubicación de los sensores que proporcionan información suficiente para una eficiente extracción y suministro, por un lado, y, por otro, el diseño de estrategias de gestión eficientes.
  • Extracción de recursos naturales. Se están haciendo importantes esfuerzos de modelización y de índole matemática en el área de la simulación de las reservas subterráneas tanto hídricas como minerales o petrolíferas. El objeto es optimizar las estrategias de extracción. Nuevamente se plantean problemas inversos, de análisis y, por ejemplo, de control de la interfase entre el fluido inyectado y el extraído.
  • Economía. Las Matemáticas están jugando hoy en día un papel activo en el mundo de las finanzas. En efecto, la utilización de modelos matemáticos para predecir las fluctuaciones de los mercados financieros es algo común. Se trata frecuentemente de modelos estocásticos en los que la Teoría del Control ya existente puede ser de gran utilidad a la hora de diseñar estrategias óptimas de inversión y consumo.
  • Sistemas de manufacturación. Los grandes sistemas de manufacturación automatizada están diseñados como sistemas flexibles para permitir cambios en la planificación de la producción en atención a la demanda. Pero esta flexibilidad creciente se obtiene a base de sistemas cada vez más complejos. La Teoría Matemática del Control se encuentra en este terreno con retos importantes para el diseño de mecanismos de control computerizados eficientes.
  • Evaluación de la eficiencia en sistemas computerizados. Los paquetes de "software" que existen en la actualidad para evaluar la eficiencia de los sistemas de computación están basados en su representación a través de la Teoría de Redes. El desarrollo de los sistemas de computación en paralelo y sincronizados hace que estos modelos sean hoy insuficientes. Es necesario desarrollar nuevos modelos, cosa en la que la Teoría Estocástica del Control de sistemas discretos puede ser de gran utilidad.
  • Control de sistemas asistidos por ordenador. Tal y como mencionamos, los problemas de control a los que nos enfrentamos en la actualidad son de una gran complejidad. Es impensable la obtención de estrategias eficientes de control sin que en estos procesos se cuente con la asistencia de los ordenadores. Es por eso que es importante el diseño de sistemas de control que ya incorporen este aspecto. Se trata de un campo de investigación pluridisciplinar en el que intervienen en particular la Teoría del Control, las Ciencias de la Computación, el Análisis Numérico y la Optimización.

BIBLIOGRAFIA.-

  • Enrique ZUAZUA Departamento de Matemática Aplicada Universidad Complutense 28040 Madrid. Spain zuazua[arroba]eucmax.sim.ucm.es

MILTON LOPEZ

ESTUDIANTE DE INGENIERIA COMERCIAL ‘’U LOYOLA’’ BOLIVIA.

ESTE TRABAJO FUE INVESTIGADO POR ESTUDIANTES DE LA "UNIVERSIDAD LOYOLA DE BOLIVIA" (TERCER AÑO DE TGS)


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