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Problemas resueltos de Programación Lineal




Enviado por juanmoralesperu



    1. Problemas propuestos de
      programación lineal
    2. Problemas resueltos con
      Winqsb

    Un problema de programación
    lineal con dos variables
    tiene por finalidad optimizar (maximizar o minimizar) una
    función lineal:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    llamada función objetivo, sujeta a una
    serie de restricciones presentadas en forma de sistema de
    inecuaciones con dos incógnitas de la forma:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción ¨Descargar trabajo¨
    del menú superior

    Cada desigualdad del sistema de
    restricciones determina un semiplano. El conjunto
    intersección de todos esos semiplanos recibe el nombre
    de zona de soluciones factibles. El conjunto de los
    vértices del recinto se denomina conjunto de
    soluciones factibles básicas y el vértice
    donde se presenta la solución óptima se llama
    solución máxima (o mínima
    según el caso). El valor que
    toma la función objetivo en
    el vértice de solución óptima se llama
    valor del programa
    lineal.

    El procedimiento a
    seguir para resolver un problema de programación lineal
    en dos variables será, pues:

    1. Elegir las incógnitas.
    2. Escribir la función objetivo en función
      de los datos del
      problema.
    3. Escribir las restricciones en forma de sistema de
      inecuaciones.
    4. Averiguar el conjunto de soluciones
      factibles representando gráficamente las
      restricciones.
    5. Calcular las coordenadas de los vértices del
      recinto de soluciones factibles (si son pocos).
    6. Calcular el valor de la función objetivo en
      cada uno de los vértices para ver en cuál de
      ellos presenta el valor máximo o mínimo
      según nos pida el problema (hay que tener en cuenta
      aquí la posible no existencia de solución si el
      recinto no es acotado).

    PROBLEMA
    01

    Minimizar la función f(x, y)=2x+8y sometida a
    las restricciones:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Llamando, respectivamente r, s y t a las rectas
    expresadas en las tres últimas restricciones, la zona de
    soluciones factibles sería:

    Para ver el gráfico seleccione
    la opción "Descargar" del menú
    superior

    Siendo los vértices:

    A intersección de r y t:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    B intersección de s y t:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    C intersección de r y s:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Siendo los valores
    de la función objetivo en ellos:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Alcanzándose el mínimo en el punto
    C.

    PROBLEMA N°
    02

    Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs.
    de aluminio
    quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere
    vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolívares cada
    una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo
    empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de
    montaña 2 kgs. de ambos metales.
    ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña
    venderá?

    Sean las variables de decisión:

    x= n: de bicicletas de paseo vendidas.

    y= n: de bicicletas de montaña
    vendidas.

    Tabla de material empleado:

     

    Acero

    Aluminio

    Paseo

    1

    3

    Montaña

    2

    2

    Función objetivo:

    f(x, y)= 20.000x+15.000y     
    máxima.

    Restricciones:

    Para ver la fórmula y el
    gráfico seleccione la opción "Descargar" del
    menú superior

    Zona de soluciones factibles:

    Vértices del recinto (soluciones
    básicas):

    A(0, 40)

    B intersección de r y s:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    C(40,0)

    Valores de la función objetivo en los
    vértices:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de
    montaña para obtener un beneficio máximo de 850.000
    Bolívares.

    PROBLEMA N° 03 

    Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para
    fumadores al precio de
    10.000 Bolívares y a no fumadores al precio de 6.000
    Bolívares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso
    y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y
    admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de
    ser la oferta de
    plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros,
    con la finalidad de optimizara el beneficio?

    Sean las variables de decisión:

    x= n: de plazas de fumadores.

    y= n: de plazas de no fumadores.

    La Función objetivo:

    f(x, y)=10.000x+6.000y 
    máxima

    Restricciones:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Zona de soluciones factibles:

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Vértices:

    A(0, 60)

    B intersección de r y s:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    C(90, 0)

    Valores de la función objetivo:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no
    fumadores y así obtener un beneficio máximo de
    900.000 bolívares.

    PROBLEMA N° 04

    A una persona le tocan
    10 millones de bolívares en una lotería y le
    aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y
    B. Las de tipo A tienen más riesgo pero
    producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más
    seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de
    varias deliberaciones decide invertir como máximo 6
    millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en
    la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido
    en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B.
    ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que
    le beneficio anual sea máximo?

    Sean las variables de decisión:

    x= cantidad invertida en acciones A

    y= cantidad invertida en acciones B

    La función objetivo es:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Y las restricciones son:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    La zona de soluciones factibles es:

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Siendo los vértices del recinto:

    A intersección de u,t:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    B intersección de r,u:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    C intersección de r,s:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    D intersección de s,t:

    La función objetivo toma en ellos los valores:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Siendo la solución óptima invertir 6
    millones de bolívares en acciones tipo A y 4 millones en
    acciones tipo B

    PROBLEMA N° 05

    Un estudiante dedica parte de su tiempo al
    reparto de propaganda
    publicitaria. La empresa A le
    paga 5 Bs.. por cada impreso repartido y la empresa B, con
    folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El
    estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que
    caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha
    calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos
    como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es:
    ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada
    clase para que
    su beneficio diario sea máximo?

    Sean las variables de decisión:

    x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.

    y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.

    La función objetivo es:

    f(x, y)=5x+7y

    Las restricciones:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    La zona de soluciones factibles es:

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Vértices:

    A(0, 100)

    B intersección de s,t:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    C intersección de r,t:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    D (120, 0)

    Siendo los valores de la función
    objetivo:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una
    ganancia máxima diaria de 950 bolívares.

    PROBLEMA N° 06

    Un comerciante acude al mercado popular a
    comprar naranjas con 50.000 Bs. Le ofrecen dos tipos de naranjas:
    las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg.
    Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para
    transportar

    700 kg. de naranjas como máximo y que piensa
    vender el kg. de naranjas tipo A a 58 ptas. y el kg. de tipo B a
    90 ptas., contestar justificando las respuestas:

    1. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada
      tipo deberá comprar para obtener máximo
      beneficio?
    2. ¿Cuál será ese beneficio
      máximo?

    Sean las variables de
    decisión:

    x= kg. de naranjas tipo A comprados.

    y= kg. de naranjas tipo B comprados.

    La función objetivo que da el beneficio
    es:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Y las restricciones:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    La zona de soluciones factibles es:

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Y los vértices:

    A(0, 625)

    B intersección de r,s:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    C(700, 0)

    Y en ellos la función objetivo toma los
    valores:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Ha de comprar 200 kgs. de naranjas A y 500  kgs. de
    naranjas B para obtener un beneficio máximo de 6.600
    bolívares

    PROBLEMA N°
    07

    Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón
    y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1
    m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un
    vestido de mujer requiere 2
    m2 de cada una de las dos telas. Calcular el
    número de trajes y vestidos que debe confeccionar el
    sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se
    venden al mismo precio.

    1. x= número de  trajes.

      y= número de vestidos

      a= precio común del traje y el
      vestido.

      Función objetivo:

      Para ver la fórmula
      seleccione la opción "Descargar" del menú
      superior

      Restricciones:

      Para ver la fórmula
      seleccione la opción "Descargar" del menú
      superior

      Zona de soluciones factibles:

      Para ver el gráfico
      seleccione la opción "Descargar" del menú
      superior

      Vértices:

      A(0, 40)

      B intersección de r y s:

      Para ver la fórmula
      seleccione la opción "Descargar" del menú
      superior

      C(40, 0)

      Los valores de la función objetivo
      son:

      Para ver la fórmula
      seleccione la opción "Descargar" del menú
      superior

      El máximo beneficio lo obtendrá
      fabricando 20 trajes y 30 vestidos.

      PROBLEMA N° 08

      Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas
      A y B. Dispone de 600 millones de bolívares y el coste
      de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de
      tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al
      menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo
      menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada
      una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo
      debe construir para obtener el beneficio
      máximo? (*)

      PROBLEMA N° 09

      Cierta persona dispone de 10 millones como
      máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción
      A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere
      destinar a esa opción, como mínimo, tanta
      cantidad de dinero
      como a la B.

      1. ¿Qué cantidades debe invertir en
        cada una de las dos opciones? Plantear el problema y
        representar gráficamente el conjunto de
        soluciones.
      2. Sabiendo que el rendimiento de la
        inversión será del 9 % en la opción A
        y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe
        invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?
        ?A cuánto ascenderá (*)
    2. Sean las variables de
      decisión:

    PROBLEMA N° 10

    Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de
    petróleo
    crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y
    crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de
    crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de
    gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción
    (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que
    con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4
    barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha
    contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles
    de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo
    ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir
    sus necesidades al costo
    mínimo. (*)

    (*)Para ver la solución
    seleccione la opción "Descargar" del menú
    superior

    PROBLEMAS PROPUESTOS DE PROGRAMACION
    LINEAL

    PROBLEMA N°
    01  

    La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y
    sillas de madera. El
    precio de venta al
    público de una mesa es de 2.700 Bs. y el de una silla
    2.100Bs.  LA MUNDIAL S.A.  estima que fabricar una mesa
    supone un gasto de 1.000 Bs. de materias primas y de 1.400 Bs. de
    costos laborales.
    Fabricar una silla exige 900 Bs. de materias primas y 1.000 Bs de
    costos laborales. La construcción de ambos tipos de muebles
    requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final
    de acabado (pintura,
    revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.).
    Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y
    2 horas de proceso final de acabado. Una silla  necesita 1
    hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado.
    LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de
    abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar
    semanalmente con un máximo de 80 horas de
    carpintería y un máximo de 100 horas para los
    trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL
    S.A.  fabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No
    ocurre así con las sillas, para los que no hay
    ningún tipo de restricción en cuanto al
    número de unidades fabricadas.

    Determinar el número de mesas y de sillas que
    semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus
    beneficios.

    PROBLEMA N° 02  

      Una campaña para promocionar una
    marca de
    productos
    lácteos
    se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a
    limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000
    yogures. Cada yogurt de limón necesita para su
    elaboración 0,5 gr. de un producto de
    fermentación y cada yogurt de fresa
    necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de
    ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogurt de fresa es es
    doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos
    yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la
    campaña sea mínimo?

    PROBLEMA N° 03

    Una fábrica de carrocerías de
    automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para
    hacer la carrocería de un camión, se invierten 7
    días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2
    días-operario. En la nave B se invierten 3
    días-operario tanto en carrocerías de camión
    como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la
    nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270
    días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada
    camión son de 6 millones de Bs. .y de 3 millones por cada
    auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben
    producir para maximizar las ganancias?

    Sean las variables de decisión:

    x= número de camiones fabricados.

    y= número de autos
    fabricados.

    La función a maximizar es:

    f(x, y)=6x+3y

    La tabla de días-operario para cada nave
    es:

     

    Días-operario
    (camión)

    Días-operario (auto)

    Nave A

    7

    2

    Nave B

    3

    3

    Las restricciones:

    Para ver la fórmula seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    PROBLEMA N° 04

    Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y
    T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C.
    Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para
    fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs.
    de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta
    T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de
    C.

    1. Si se venden las tartas T1 a 1.000
      bolívares la unidad y las T2 a 2.300
      bolívares. ¿Qué cantidad debe fabricar de
      cada clase para maximizar sus ingresos?
    2. Si se fija el precio de una tarta del tipo
      T1 en 1.500 Bs. ¿Cuál será el
      precio de una tarta del tipo T2 si una
      solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo
      T1 y 15 del tipo T2?

    a) Sean las variables de
    decisión:

    x= número de tartas T1

    y= número de tartas T2

    La función objetivo es:

    f(x, y)=1000x+2300y

    La tabla de contingencia es:

     

    Ingrediente A

    Ingrediente B

    Ingrediente C

    Tarta T1

    1

    1

    2

    Tarta T2

    5

    2

    1

    Para
    ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del
    menú superior

    PROBLEMAS RESUELTOS CON
    WINQSB

    El Winqsb es un software informática muy utilizado para construir
    modelos
    matemáticos que permita tomar decisiones
    específicamente en el área de administración y economía entre mucha
    de sus utilidades tenemos un modulo de programación lineal
    otro de programación no lineal , árbol de
    decisiones, inventarios , el
    método de
    la ruta critica (CPM ) y el diagrama
    PERT entre otras
    aplicaciones.

    El presente manual se elaboro
    para ser utilizado por los alumnos de la Facultad de Administración y Turismo de la Universidad
    Enrique Guzmán y Valle el manual es breve y será
    detallado al culminar el curso

    Docente : Juan Morales
    Romero

    MANEJO DEL WINQSB

    PARA EL CURSO DE TEORIA DE
    DECISIONES

    TEMA: PROGRAMACION LINEAL

    INGRESAR AL MODULO DE PROGRAMACION LINEAL

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    1. El Primer paso es dar click en el botón
      inicio de Windows
      posteriormente seleccionar programas
      desplazarse hasta Winqsb encontrara módulos de
      :
    • Planificación.
    • Análisis de Decisión .
    • Programación Dinámica
    • Proyección y Líneas de
      Regresión
    • Teoría de inventarios
    • Gráficos PERT Y CPM
    • Programación Lineal y No Lineal

    2. Para ingresar al modulo de programación lineal
    deberá dar click en Inicio – Programas
    – Winqsb – Seleccionar (Linear and
    integer-Programing)
    es decir programación
    lineal

    VENTANA DE PRESENTACION DEL MODULO PROGRAMACION
    LINEAL

    COMO INGRESAR UN PROBLEMA NUEVO DE PROGRAMACION
    LINEAL

     Para ver el
    gráfico seleccione la opción "Descargar" del
    menú superior

     Primero en el Menú del modulo de
    programación lineal elegir File (Archivo)
    Luego elegir

    Sub menú New Problem ( Nuevo
    Problema)

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Aparecerá el cuadro de dialogo Problem
    Especificación ( Especificar detalles del problema ) como
    sabemos todo problema de programación lineal contiene una
    función objetivo a maximizar o minimizar , un conjunto de
    restricciones y condiciones de no negatividad

    Bien en la casilla

    Problem Title : Ingresamos nombre del problema
    nuestro primer caso será el ejemplo desarrollado en clase
    cuyo nombre es problema de la dieta .

    Numbre of variables : Se refiere al numero de
    variables del problema de programación lineal en este caso
    el nro. de variables es X1 Y X2 en este
    caso el numero de variables es 2 lo ingresamos a la
    casilla

    Objetive Criterion : Solicita si el problema se
    va a maximizar o minimizar en el caso del problema de la dieta se
    minimiza costos seleccionar botón de opción
    Minimization ( Minimizacion )

    Default Variable Type : Elegir Nonnegative
    continuous ( Condiciones de no negatividad )

    Number of Constrains : Se digita el numero de
    restricciones en el caso del problema presenta tres
    restricciones

    Dar click en el boton OK DE Problem Specification
    aparecerá la siguiente pantalla donde se ingresara el
    problema de programación lineal

    Minimizar

    C = 0.6X 1+ X2

    Sujeto a :

    En X 1 se ingresa los valores correspondientes a X1tanto
    de la función objetivo como de las restricciones 0.6 para
    la función objetivo 10,5,2 para las
    restricciones

    En X2 se ingresan los valores correspondientes a x2
    tanto de la función objetivo como de las restricciones 4,
    5 ,6 .

    Luego se ingresa las restricciones en la casilla RHS
    20,20,12

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    SOLUCIONAR EL PROBLEMA DE PROGRAMACION
    LINEAL

    Elegir menú Solve the Problem ( Solucionar
    el Problema )

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Dar Click y aparecer la solución del problema de
    la dieta con la solución optima para X1 = 3 Y X2 = 1 tal
    como se calculo algebraicamente en clase el resultado de la
    función objetivo a minimizar es 2.8 resulta de reemplazar
    los valores óptimos en la función
    objetivo

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    METODO GRAFICO

    El problema de Programación Lineal puede ser
    solucionado por el método gráfico para el calculo
    se elige :

    1. Menú Solve and Analize
    2. Elegir Sub- Menú Graphic Method
    3. Dar Click

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Entonces aparecerá la siguiente caja de
    dialogo

    Dar click en Ok de la caja de dialogo ( Select Variables
    for Graphic Method )

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Inmediatamente aparecerá la solución
    gráfica del problema de programación lineal de la
    dieta Observamos que los puntos óptimos son X1 =3 y X2= 1
    y el valor de la función objetivo es 2.8 es decir el costo
    es mínimo exactamente en 2.80 En el gráfico
    observamos la función Objetivo las ecuaciones de
    las restricciones y la región factible .

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción ¨Descargar trabajo¨ del menú
    superior

    AGRADECIMINETOS AL DR : Dr. Miguel Rolando Vizarraga
    Rodríguez

    A mis queridos alumnos quienes me apoyaron en la
    edición
    del presente manual:

    Soria Suarez Isabel

    Toques Chuquichaico Gina,

    Fernández Martinez Ricardo

    Taipe Vargas Carlos Jorge

    Espino Pongo Jafre

    Carlos Enrique Morales Romero

    Huaire Inga Pool

    Taipe Mauricio Joel

    Ruiz Campomanes Ricardo

    Fernandez Galvez Mercedes

    Cordova Huaman Vanesa

    Garcia Taype Monica

    Villanes Soto Shirley Juana

    Inca Serna Irene

    Valle Valverde Karina

    Leon Huamanzana William A

    Mendizábal Donayre Diana

    EDITORES

    M.A . Juan Ricardo Salinas Ascencio

    Mg . Ovidio Zubieta Bejar

    Doc . Juan Morales Romero

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