Un problema de programación
lineal con dos variables
tiene por finalidad optimizar (maximizar o minimizar) una
función lineal:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
llamada función objetivo, sujeta a una
serie de restricciones presentadas en forma de sistema de
inecuaciones con dos incógnitas de la forma:
Para ver la fórmula seleccione la
opción ¨Descargar trabajo¨
del menú superior
Cada desigualdad del sistema de
restricciones determina un semiplano. El conjunto
intersección de todos esos semiplanos recibe el nombre
de zona de soluciones factibles. El conjunto de los
vértices del recinto se denomina conjunto de
soluciones factibles básicas y el vértice
donde se presenta la solución óptima se llama
solución máxima (o mínima
según el caso). El valor que
toma la función objetivo en
el vértice de solución óptima se llama
valor del programa
lineal.
El procedimiento a
seguir para resolver un problema de programación lineal
en dos variables será, pues:
- Elegir las incógnitas.
- Escribir la función objetivo en función
de los datos del
problema. - Escribir las restricciones en forma de sistema de
inecuaciones. - Averiguar el conjunto de soluciones
factibles representando gráficamente las
restricciones. - Calcular las coordenadas de los vértices del
recinto de soluciones factibles (si son pocos). - Calcular el valor de la función objetivo en
cada uno de los vértices para ver en cuál de
ellos presenta el valor máximo o mínimo
según nos pida el problema (hay que tener en cuenta
aquí la posible no existencia de solución si el
recinto no es acotado).
PROBLEMA N°
01
Minimizar la función f(x, y)=2x+8y sometida a
las restricciones:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Llamando, respectivamente r, s y t a las rectas
expresadas en las tres últimas restricciones, la zona de
soluciones factibles sería:
Para ver el gráfico seleccione
la opción "Descargar" del menú
superior
Siendo los vértices:
A intersección de r y t:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
B intersección de s y t:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
C intersección de r y s:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Siendo los valores
de la función objetivo en ellos:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Alcanzándose el mínimo en el punto
C.
PROBLEMA N°
02
Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs.
de aluminio
quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere
vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolívares cada
una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo
empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de
montaña 2 kgs. de ambos metales.
¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña
venderá?
Sean las variables de decisión:
x= n: de bicicletas de paseo vendidas.
y= n: de bicicletas de montaña
vendidas.
Tabla de material empleado:
| Acero | Aluminio |
Paseo | 1 | 3 |
Montaña | 2 | 2 |
Función objetivo:
f(x, y)= 20.000x+15.000y
máxima.
Restricciones:
Para ver la fórmula y el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior
Zona de soluciones factibles:
Vértices del recinto (soluciones
básicas):
A(0, 40)
B intersección de r y s:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
C(40,0)
Valores de la función objetivo en los
vértices:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de
montaña para obtener un beneficio máximo de 850.000
Bolívares.
PROBLEMA N° 03
Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para
fumadores al precio de
10.000 Bolívares y a no fumadores al precio de 6.000
Bolívares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso
y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y
admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de
ser la oferta de
plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros,
con la finalidad de optimizara el beneficio?
Sean las variables de decisión:
x= n: de plazas de fumadores.
y= n: de plazas de no fumadores.
La Función objetivo:
f(x, y)=10.000x+6.000y
máxima
Restricciones:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Zona de soluciones factibles:
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Vértices:
A(0, 60)
B intersección de r y s:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
C(90, 0)
Valores de la función objetivo:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no
fumadores y así obtener un beneficio máximo de
900.000 bolívares.
PROBLEMA N° 04
A una persona le tocan
10 millones de bolívares en una lotería y le
aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y
B. Las de tipo A tienen más riesgo pero
producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más
seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de
varias deliberaciones decide invertir como máximo 6
millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en
la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido
en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B.
¿Cómo deberá invertir 10 millones para que
le beneficio anual sea máximo?
Sean las variables de decisión:
x= cantidad invertida en acciones A
y= cantidad invertida en acciones B
La función objetivo es:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Y las restricciones son:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
La zona de soluciones factibles es:
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Siendo los vértices del recinto:
A intersección de u,t:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
B intersección de r,u:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
C intersección de r,s:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
D intersección de s,t:
La función objetivo toma en ellos los valores:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Siendo la solución óptima invertir 6
millones de bolívares en acciones tipo A y 4 millones en
acciones tipo B
PROBLEMA N° 05
Un estudiante dedica parte de su tiempo al
reparto de propaganda
publicitaria. La empresa A le
paga 5 Bs.. por cada impreso repartido y la empresa B, con
folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El
estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que
caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha
calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos
como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es:
¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada
clase para que
su beneficio diario sea máximo?
Sean las variables de decisión:
x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.
y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.
La función objetivo es:
f(x, y)=5x+7y
Las restricciones:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
La zona de soluciones factibles es:
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Vértices:
A(0, 100)
B intersección de s,t:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
C intersección de r,t:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
D (120, 0)
Siendo los valores de la función
objetivo:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una
ganancia máxima diaria de 950 bolívares.
PROBLEMA N° 06
Un comerciante acude al mercado popular a
comprar naranjas con 50.000 Bs. Le ofrecen dos tipos de naranjas:
las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg.
Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para
transportar
700 kg. de naranjas como máximo y que piensa
vender el kg. de naranjas tipo A a 58 ptas. y el kg. de tipo B a
90 ptas., contestar justificando las respuestas:
- ¿Cuántos kg. de naranjas de cada
tipo deberá comprar para obtener máximo
beneficio? - ¿Cuál será ese beneficio
máximo?
Sean las variables de
decisión:
x= kg. de naranjas tipo A comprados.
y= kg. de naranjas tipo B comprados.
La función objetivo que da el beneficio
es:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Y las restricciones:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
La zona de soluciones factibles es:
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Y los vértices:
A(0, 625)
B intersección de r,s:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
C(700, 0)
Y en ellos la función objetivo toma los
valores:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Ha de comprar 200 kgs. de naranjas A y 500 kgs. de
naranjas B para obtener un beneficio máximo de 6.600
bolívares
PROBLEMA N°
07
Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón
y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1
m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un
vestido de mujer requiere 2
m2 de cada una de las dos telas. Calcular el
número de trajes y vestidos que debe confeccionar el
sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se
venden al mismo precio.
x= número de trajes.
y= número de vestidos
a= precio común del traje y el
vestido.Función objetivo:
Para ver la fórmula
seleccione la opción "Descargar" del menú
superiorRestricciones:
Para ver la fórmula
seleccione la opción "Descargar" del menú
superiorZona de soluciones factibles:
Para ver el gráfico
seleccione la opción "Descargar" del menú
superiorVértices:
A(0, 40)
B intersección de r y s:
Para ver la fórmula
seleccione la opción "Descargar" del menú
superiorC(40, 0)
Los valores de la función objetivo
son:Para ver la fórmula
seleccione la opción "Descargar" del menú
superiorEl máximo beneficio lo obtendrá
fabricando 20 trajes y 30 vestidos.PROBLEMA N° 08
Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas
A y B. Dispone de 600 millones de bolívares y el coste
de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de
tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al
menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo
menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada
una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo
debe construir para obtener el beneficio
máximo? (*)PROBLEMA N° 09
Cierta persona dispone de 10 millones como
máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción
A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere
destinar a esa opción, como mínimo, tanta
cantidad de dinero
como a la B.- ¿Qué cantidades debe invertir en
cada una de las dos opciones? Plantear el problema y
representar gráficamente el conjunto de
soluciones. - Sabiendo que el rendimiento de la
inversión será del 9 % en la opción A
y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe
invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?
?A cuánto ascenderá (*)
- ¿Qué cantidades debe invertir en
- Sean las variables de
decisión:
PROBLEMA N° 10
Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de
petróleo
crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y
crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de
crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de
gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción
(C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que
con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4
barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha
contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles
de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo
ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir
sus necesidades al costo
mínimo. (*)
(*)Para ver la solución
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior
PROBLEMAS PROPUESTOS DE PROGRAMACION
LINEAL
PROBLEMA N°
01
La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y
sillas de madera. El
precio de venta al
público de una mesa es de 2.700 Bs. y el de una silla
2.100Bs. LA MUNDIAL S.A. estima que fabricar una mesa
supone un gasto de 1.000 Bs. de materias primas y de 1.400 Bs. de
costos laborales.
Fabricar una silla exige 900 Bs. de materias primas y 1.000 Bs de
costos laborales. La construcción de ambos tipos de muebles
requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final
de acabado (pintura,
revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.).
Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y
2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1
hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado.
LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de
abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar
semanalmente con un máximo de 80 horas de
carpintería y un máximo de 100 horas para los
trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL
S.A. fabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No
ocurre así con las sillas, para los que no hay
ningún tipo de restricción en cuanto al
número de unidades fabricadas.
Determinar el número de mesas y de sillas que
semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus
beneficios.
PROBLEMA N° 02
Una campaña para promocionar una
marca de
productos
lácteos
se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a
limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000
yogures. Cada yogurt de limón necesita para su
elaboración 0,5 gr. de un producto de
fermentación y cada yogurt de fresa
necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de
ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogurt de fresa es es
doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos
yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la
campaña sea mínimo?
PROBLEMA N° 03
Una fábrica de carrocerías de
automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para
hacer la carrocería de un camión, se invierten 7
días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2
días-operario. En la nave B se invierten 3
días-operario tanto en carrocerías de camión
como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la
nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270
días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada
camión son de 6 millones de Bs. .y de 3 millones por cada
auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben
producir para maximizar las ganancias?
Sean las variables de decisión:
x= número de camiones fabricados.
y= número de autos
fabricados.
La función a maximizar es:
f(x, y)=6x+3y
La tabla de días-operario para cada nave
es:
| Días-operario | Días-operario (auto) |
Nave A | 7 | 2 |
Nave B | 3 | 3 |
Las restricciones:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
PROBLEMA N° 04
Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y
T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C.
Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para
fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs.
de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta
T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de
C.
- Si se venden las tartas T1 a 1.000
bolívares la unidad y las T2 a 2.300
bolívares. ¿Qué cantidad debe fabricar de
cada clase para maximizar sus ingresos? - Si se fija el precio de una tarta del tipo
T1 en 1.500 Bs. ¿Cuál será el
precio de una tarta del tipo T2 si una
solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo
T1 y 15 del tipo T2?
a) Sean las variables de
decisión:
x= número de tartas T1
y= número de tartas T2
La función objetivo es:
f(x, y)=1000x+2300y
La tabla de contingencia es:
| Ingrediente A | Ingrediente B | Ingrediente C |
Tarta T1 | 1 | 1 | 2 |
Tarta T2 | 5 | 2 | 1 |
Para
ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del
menú superior
PROBLEMAS RESUELTOS CON
WINQSB
El Winqsb es un software informática muy utilizado para construir
modelos
matemáticos que permita tomar decisiones
específicamente en el área de administración y economía entre mucha
de sus utilidades tenemos un modulo de programación lineal
otro de programación no lineal , árbol de
decisiones, inventarios , el
método de
la ruta critica (CPM ) y el diagrama
PERT entre otras
aplicaciones.
El presente manual se elaboro
para ser utilizado por los alumnos de la Facultad de Administración y Turismo de la Universidad
Enrique Guzmán y Valle el manual es breve y será
detallado al culminar el curso
Docente : Juan Morales
Romero
MANEJO DEL WINQSB
PARA EL CURSO DE TEORIA DE
DECISIONES
TEMA: PROGRAMACION LINEAL
INGRESAR AL MODULO DE PROGRAMACION LINEAL
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
- El Primer paso es dar click en el botón
inicio de Windows
posteriormente seleccionar programas
desplazarse hasta Winqsb encontrara módulos de
:
- Planificación.
- Análisis de Decisión .
- Programación Dinámica
- Proyección y Líneas de
Regresión - Teoría de inventarios
- Gráficos PERT Y CPM
- Programación Lineal y No Lineal
2. Para ingresar al modulo de programación lineal
deberá dar click en Inicio – Programas
– Winqsb – Seleccionar (Linear and
integer-Programing) es decir programación
lineal
VENTANA DE PRESENTACION DEL MODULO PROGRAMACION
LINEAL
COMO INGRESAR UN PROBLEMA NUEVO DE PROGRAMACION
LINEAL
Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior
Primero en el Menú del modulo de
programación lineal elegir File (Archivo)
Luego elegir
Sub menú New Problem ( Nuevo
Problema)
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Aparecerá el cuadro de dialogo Problem
Especificación ( Especificar detalles del problema ) como
sabemos todo problema de programación lineal contiene una
función objetivo a maximizar o minimizar , un conjunto de
restricciones y condiciones de no negatividad
Bien en la casilla
Problem Title : Ingresamos nombre del problema
nuestro primer caso será el ejemplo desarrollado en clase
cuyo nombre es problema de la dieta .
Numbre of variables : Se refiere al numero de
variables del problema de programación lineal en este caso
el nro. de variables es X1 Y X2 en este
caso el numero de variables es 2 lo ingresamos a la
casilla
Objetive Criterion : Solicita si el problema se
va a maximizar o minimizar en el caso del problema de la dieta se
minimiza costos seleccionar botón de opción
Minimization ( Minimizacion )
Default Variable Type : Elegir Nonnegative
continuous ( Condiciones de no negatividad )
Number of Constrains : Se digita el numero de
restricciones en el caso del problema presenta tres
restricciones
Dar click en el boton OK DE Problem Specification
aparecerá la siguiente pantalla donde se ingresara el
problema de programación lineal
Minimizar
C = 0.6X 1+ X2
Sujeto a :
En X 1 se ingresa los valores correspondientes a X1tanto
de la función objetivo como de las restricciones 0.6 para
la función objetivo 10,5,2 para las
restricciones
En X2 se ingresan los valores correspondientes a x2
tanto de la función objetivo como de las restricciones 4,
5 ,6 .
Luego se ingresa las restricciones en la casilla RHS
20,20,12
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
SOLUCIONAR EL PROBLEMA DE PROGRAMACION
LINEAL
Elegir menú Solve the Problem ( Solucionar
el Problema )
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Dar Click y aparecer la solución del problema de
la dieta con la solución optima para X1 = 3 Y X2 = 1 tal
como se calculo algebraicamente en clase el resultado de la
función objetivo a minimizar es 2.8 resulta de reemplazar
los valores óptimos en la función
objetivo
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
METODO GRAFICO
El problema de Programación Lineal puede ser
solucionado por el método gráfico para el calculo
se elige :
- Menú Solve and Analize
- Elegir Sub- Menú Graphic Method
- Dar Click
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Entonces aparecerá la siguiente caja de
dialogo
Dar click en Ok de la caja de dialogo ( Select Variables
for Graphic Method )
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Inmediatamente aparecerá la solución
gráfica del problema de programación lineal de la
dieta Observamos que los puntos óptimos son X1 =3 y X2= 1
y el valor de la función objetivo es 2.8 es decir el costo
es mínimo exactamente en 2.80 En el gráfico
observamos la función Objetivo las ecuaciones de
las restricciones y la región factible .
Para ver el gráfico seleccione la
opción ¨Descargar trabajo¨ del menú
superior
AGRADECIMINETOS AL DR : Dr. Miguel Rolando Vizarraga
Rodríguez
A mis queridos alumnos quienes me apoyaron en la
edición
del presente manual:
Soria Suarez Isabel
Toques Chuquichaico Gina,
Fernández Martinez Ricardo
Taipe Vargas Carlos Jorge
Espino Pongo Jafre
Carlos Enrique Morales Romero
Huaire Inga Pool
Taipe Mauricio Joel
Ruiz Campomanes Ricardo
Fernandez Galvez Mercedes
Cordova Huaman Vanesa
Garcia Taype Monica
Villanes Soto Shirley Juana
Inca Serna Irene
Valle Valverde Karina
Leon Huamanzana William A
Mendizábal Donayre Diana
EDITORES
M.A . Juan Ricardo Salinas Ascencio
Mg . Ovidio Zubieta Bejar
Doc . Juan Morales Romero