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Uso de algoritmos genéticos y el concepto de Testor para la Selección de Variables
- Introducción
- Conceptos Preliminares.
- FS-testores
- Algoritmo Genético
En la actualidad uno de principales valores con los que cuenta una organización es la información que genera derivada de su actividad. El desarrollo de tecnología para el manejo y tratamiento de la información, ha dado lugar a que ésta se produzca en mayor cantidad y con mejor calidad, haciendo que la toma de decisiones críticas esté fuertemente relacionada a su tratamiento y análisis.
En nuestra actividad cotidiana existen situaciones con las que podemos ejemplificar esta última afirmación: Encontrar cuál es el tipo de información más solicitada por determinado usuario de Internet; cuáles son los principales productos que consume un cliente; buscar información de acuerdo a cierto contexto; encontrar las causas que determinen la presencia o no de cierto comportamiento, como pudiese ser, encontrar el porqué un grupo de alumnos en cierta escuela son exitosos, etc.
Para abordar estos tipos de problemas, existe una rama de las ciencias que conjunta varias disciplinas conocida como Reconocimiento de Patrones (RP).
En los problemas de Reconocimiento de Patrones, principalmente se desea clasificar ejemplos de determinados objetos en una o varias categorías o clases preestablecidas.
Para tratar estos problemas, debemos decidir la manera en la que representaremos la información con la que vamos a caracterizar a nuestros objetos de estudio.
Así, los objetos o patrones, se describen mediante un conjunto de atributos o variables (también conocidos como rasgos o características), las que se combinan en una n-ada de características. Los valores de éstas se pueden obtener por diferentes medios, y su naturaleza puede ser numérica y no numérica. La tarea de clasificación de patrones consiste entonces en encontrar, la clase o clases que le corresponde a cualquier objeto de entrada representado con las mismas variables que aquellos que son conocidos.
Sin embargo, lo anterior se puede realizar de diferente manera, lo que ha dado lugar al desarrollo de diferentes enfoques para abordar la gran variedad de problemas que caen dentro de esta área de estudio. Los más utilizados son: Enfoque sintáctico estructural, el enfoque Estadístico y el enfoque Lógico Combinatorio.
El espectro tan amplio de problemas ha motivado la clasificación de los problemas que aborda el RP, en: Selección de Variables, Clasificación Supervisada, Clasificación no Supervisada y Clasificación Parcialmente Supervisada.
Dentro del marco de trabajo del Reconocimiento de Patrones en el enfoque Lógico Combinatorio [1,2,3], el problema de selección de variables o rasgos se ha tratado utilizando el concepto de Testor [4]. Inicialmente, el concepto de testor fue definido como el subconjunto de rasgos que permite hacer la diferenciación completa de objetos de clases diferentes. Como resultado de esta primera definición (conectada a la solución de problemas de circuitos eléctricos), se han introducido varias extensiones del concepto de testor. Las nuevas extensiones del concepto, permiten resolver problemas para los que los anteriores conceptos no son adecuados. Algunas extensiones del concepto de testor son: testores de Goldman’s, e -testores, k-testores, y el que se define en [1], el FS-testor.
La selección de rasgos utilizando el concepto de FS-testor, se aplica en problemas de clasificación supervisada [4], en donde la descripción de los objetos se da en términos de valores cuantitativos (reales y enteros), cualitativos o simbólicos y la pertenencia de un objeto a una clase se da en términos duros, es decir, pertenece o no a una clase, así, a cada objeto se le puede asociar un l-uplo de pertenencia a las clases, en términos de 0’s y 1’s, es decir booleano, indicando con cero no pertenece y 1 si pertenece.
La complejidad computacional para calcular FS-testores depende exponencialmente de la cantidad de rasgos usados para describir a los objetos. Aún en problemas donde la cantidad de rasgos no es muy grande, el tiempo requerido para calcularlos es considerable ya que el único algoritmo disponible consiste en verificar la definición de todos los posibles subconjuntos de rasgos. Esta situación hace muchas veces inaplicable el concepto de FS-testor en problemas prácticos de selección de rasgos. El presente trabajo plantea el uso de algoritmos genéticos para el cálculo de FS-testores difusos como una alternativa que calcula sólo un subconjunto del espacio total de soluciones.
Palabras clave: - Algoritmos Genéticos, FS-Testores, Selección de Variables.
Con el objetivo de presentar el concepto de FS-testor, daremos algunas definiciones necesarias.
Sea 
un universo
de objetos estructurados en 
clases
. Los objetos están descritos
en términos del conjunto de rasgos 
,
para cada elemento 
su descripción
la podemos considerar como el n-uplo 
.
Sea 
el conjunto de valores admisibles
del rasgo 
, 
es
decir, 
. Para cada objeto 
de
hay una -upla
(-upla de pertenencia)
, en donde 
,
en donde 1 indica que el objeto pertenece a la clase 
.
Para efectos del cálculo, esta información se almacena en una
matriz llamada matriz de aprendizaje MA. La figura 1 muestra la estructura
de la matriz de aprendizaje.
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Figura 1. Matriz de Aprendizaje MA
Definición 2.1.
Un criterio de comparación para el rasgo 
es
una función 
, en donde
es un conjunto totalmente ordenado,
esta función da el grado de similitud entre un par de valores admisibles
para 
.
Definición 2.2. Sea 
un
conjunto difuso de 
. Una subdescripción
o descripción parcial de 
en
términos de los rasgos de 
es
la s-tupla
.
Definición 2.3.
Sea 
para cualquier 
Í
, siendo 
el
conjunto de rasgos en términos de los que son descritos los objetos,
definimos una función 
,
donde 
es un conjunto totalmente
ordenado y 
es una función
de semejanza (parcial) con denominaciones análogas a 
en
dependencia de , la cual cumple
, siendo 
el
conjunto de una muestra de objetos del universo. Cuando 
,
es decir, 
, diremos que 
es
una función de semejanza total.
En la mayoría de los casos esta función de semejanza se define usando los criterios de comparación de cada atributo.
Con el propósito de simplificar la notación,
usaremos 
o simplemente 
para
denotar al objeto y a su descripción.
También, consideraremos la imagen de la función
en 
,
MA como se definió en la Figura 1, y la función 
para
comparar -uplos de pertenencia:
.
El concepto de FS-testor, se basa en la idea de que las descripciones de objetos que pertenecen a una clase deben ser más semejantes-su valor de semejanza deberá ser más grande- que aquellas descripciones de objetos que no pertenecen a la misma clase, y a su vez un par de objetos de clases diferentes su semejanza deberá ser muy pequeña.
Para definir el concepto de FS-testor consideremos las siguientes definiciones:
Sea una matriz de aprendizaje MA semejante a la de
la Figura 1 y el conjunto de
atributos de referencia, por el cual se describen los objetos. Para MA
se ha definido una función de
comparación de 
-uplos de
pertenencia a las clases:
y 
es el subconjunto
de 
donde dos -uplos
de pertenencia se consideran semejantes. Sea 
una
función de semejanza.
Definición 3.1 (Propiedad diferenciante)
(
subconjunto
difuso de ) es un conjunto
FS-diferenciante de rasgos con respecto a ,
y 
de
MA si:
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la cual puede interpretarse como: 
es
un conjunto FS-diferenciante de rasgos con respecto a
, ,
y de
MA, si es capaz de diferenciar
a todo par de objetos con -uplos
de pertenencia diferentes al menos igual que ,
es decir, el valor de la semejanza de cualquier par de objetos con -uplos
de pertenencia diferentes al considerar los rasgos de es
menor o igual (en el orden definido en 
)
que el valor considerando los rasgos de .
La definición de conjunto FS-diferenciante conserva la esencia de la definición de testor clásico de Zhuravliov, es decir, es un subconjunto de rasgos que mantiene o mejora la capacidad diferenciante de un conjunto de referencia dado. En el caso de los testores clásicos la función de semejanza que utiliza (el de igualdad simple) tiene la peculiaridad de que a medida que disminuye la cantidad de rasgos la semejanza suele mantenerse o aumentar pero nunca disminuir.
Si analizamos las propiedades informativas de un subconjunto de rasgos, es conveniente no sólo tener en cuenta su capacidad de diferenciar objetos de clases diferentes, sino también de mantener un buen parecido entre los objetos de una misma clase.
Definición 3.2 (Propiedad caracterizante)
es
un conjunto FS- caracterizante de rasgos con respecto a ,
y de
MA si y sólo si
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La siguiente definición de testor es más restrictiva con respecto alas otras extensiones del concepto de testor. Para que un subconjunto de rasgos la pueda cumplir tanto su capacidad diferenciante como caracterizante no deben ser peores que la del conjunto de referencia.
Definición 3.3 (FS-testor)
es
un FS-testor con respecto a ,
y de
MA si y sólo si es a la vez un conjunto FS-diferenciante
y FS-caracterizante de MA con respecto a los mismos parámetros.
El Conjunto Difuso de los FS-testores
Dado 
, podemos
determinar si el primero es FS-testor o no lo es con respecto al segundo
y a los parámetros ,
y de
MA, es decir, el subconjunto cumple la propiedad establecida
en la definición 3.3 o no la cumple. Como resultado de la aplicación
del criterio anterior obtenemos una familia de FS-testores clásica
o "dura". La definición 3.3 en un subconjunto de
es más restrictiva que
las definiciones anteriores de testor por lo que en muchos casos resulta difícil
de cumplir (puede darse el caso en que para un problema particular no encontremos
tal subconjunto de , lo que significaría
resolver el problema considerando todo el espacio de representación
con sus correspondientes costos computacionales). Es en estos casos cuando
se podría experimentar aunque sea con un subconjunto de que
se acerque más al cumplimiento de la definición 3.3. Esto da
lugar a definir el concepto de la familia difusa de los FS-testores
de la siguiente manera: todos los subconjuntos que cumplan la definición
3.3 pertenecen con grado 1, el resto de los subconjuntos pertenecen con un
grado en el intervalo abierto [0,1). El grado de pertenencia de un subconjunto
será mayor en la medida en que se acerque más al cumplimiento
de la propiedad expresada en la definición 3.3.
Para definir la familia de FS-testores, consideremos lo siguiente:
sea 
y los conjuntos:
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el conjunto de pares de objetos con -uplos
de pertenencia diferentes y 
el
complemento del conjunto 
es decir,
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el conjunto de pares de objetos con 
-uplos
de pertenencia semejantes.
Sean 
y 
los
siguientes conjuntos:
,
es decir, los pares de objetos con -ulos
de pertenencia diferentes y que no cumplen la propiedad diferenciante.
Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
es decir, los pares de objetos con -uplos
de pertenencia semejantes y que no cumplen la propiedad caracterizante.
Definición 3.4
Denominaremos familia difusa de los FS-testores de
MA con respecto , ,
y ,
al conjunto difuso
donde
.
El grado de pertenencia de un subconjunto a la familia difusa de los FS-testores de una matriz de aprendizaje, evalúa la medida en que este subconjunto cumple la definición 3.3 desde un punto de vista, por llamarlo de algún modo, "cuantitativo", es decir, mide la proporción de cuantos pares de objetos incumplen cualquiera de las dos propiedades, ya sea los que están en clases semejantes o no. Sin embargo esta magnitud no tiene en cuenta un aspecto "cualitativo" importante, en qué medida se diferencian los valores de semejanza de un par de objetos en el subconjunto analizado y el conjunto de referencia, es decir, pueden haber pares de objetos que incumplan algunas de las propiedades pero ya sea que estando en clases semejantes, la semejanza con relación al subconjunto analizado es mucho menor con relación al conjunto de referencia, o en su caso, para un par de objetos que estando en clases no semejantes, la semejanza con respecto al subconjunto sea mucho mayor a la que se tiene considerando el conjunto de referencia, es decir, no tan sólo incumplen las propiedades si no que son más críticas las diferencias.
A continuación definiremos el grado de pertenencia de manera que se tengan en cuenta los dos aspectos abordados anteriormente para los casos en que la función de semejanza tenga imagen en el intervalo [0,1] de los números reales:
donde
y d 1, d 2 y d 3 son coeficientes de ponderación tales que 0 £ d i £ 1, i = 1,2,3 y d 1 + d 2 + d 3 = 1
El concepto de FS-testor es útil en la medida que
sea posible determinar cuándo dos -uplos
de pertenencia son semejantes y cuándo no.
El valor 
nos
dice en que medida un subconjunto de rasgos 
es
un FS-testor, es decir, que tan buenas son las descripciones de los
objetos en términos de estos rasgos para diferenciar entre objetos
de clases con -uplos de pertenencia
no semejantes, y por otro lado, hacer más semejantes a los objetos
que están en la misma clase.
La determinación de los subconjuntos de rasgos que sean buenos para potenciar la similitud entre objetos de la misma clase y la disimilitud entre objetos de clase diferentes, se vuelve más compleja en tanto la descripción de los objetos es en términos de más variables. En problemas de selección de variables, el objetivo es que a partir del conjunto original de 
variables o rasgos se obtenga una combinación de 
variables que optimizan una función criterio que puede ser alguna expresión que logre expresar el hecho de que las descripciones en términos de las 
variables diferencian a los objetos de clase diferentes y caracterizan a los de la misma clase.
Una herramienta que en la actualidad a apoyado a los problemas de optimización son los llamados algoritmos genéticos, mismos que han sido desarrollados tomando como base la manera en que en la naturaleza se ha dado también la selección natural de las especies. En estos algoritmos se toman como principio que la evolución de una especie depende de su capacidad de adaptarse a su entorno cambiante. . Para ello estos cuentan con algunas habilidades innatas que se encuentran en su material genético (nivel de los genes), mismos que son transmitidos a sus descendientes, cuando se da el proceso de la reproducción sexual.
Los algoritmos genéticos establecen una analogía entre el conjunto de soluciones de un problema, llamado fenotipo, y el conjunto de individuos de una población natural, codificando la información de cada solución en una cadena, generalmente binaria, llamada cromosoma. Los símbolos que forman la cadena son llamados los genes. Cuando la representación de los cromosomas se hace con cadenas de dígitos binarios se le conoce como genotipo.
Los cromosomas evolucionan a través de iteraciones, llamadas generaciones. En cada generación, los cromosomas son evaluados usando alguna medida de aptitud. Las siguientes generaciones (nuevos cromosomas), llamada descendencia, se forman utilizando dos operadores:
- Combinando dos cromosomas de la generación actual usando un operador de cruza.
- Modificando un cromosoma usando un operador de mutación.
El funcionamiento de un algoritmo genético básico es el siguiente:
Primero, se genera aleatoriamente la población inicial, que está constituida por un conjunto de cromosomas, que representan las posibles soluciones del problema. En caso de no hacerlo aleatoriamente, es importante garantizar que dentro de la población inicial, se tenga la diversidad estructural de estas soluciones para tener una representación de la mayor parte de la población posible o al menos evitar la convergencia prematura.
A cada uno de los cromosomas de esta población se aplicará la función de aptitud para saber qué tan "buena" es la solución que se está codificando.
Después de saber la aptitud de cada cromosoma se procede a elegir los cromosomas que serán cruzados en la siguiente generación.
Los cromosomas con mejor aptitud tienen mayor probabilidad de ser seleccionados. Existen dos métodos más comunes de selección: El de la ruleta, y el Torneo.
El cruzamiento es el principal operador genético, representa la reproducción sexual, opera sobre dos cromosomas a la vez para generar dos descendientes donde se combinan las características de ambos cromosomas padres.
Los operadores de cruzamiento más utilizados en la representación binaria de los cromosomas son: De punto, de Dos Puntos y Uniforme.
El desempeño de un algoritmo genético depende, pues, de estos dos operadores.
El AG se deberá detener cuando se alcance la solución óptima, pero ésta generalmente se desconoce, por lo que se deben utilizar otros criterios de detención. Normalmente se usan dos criterios: correr el AG un número máximo de iteraciones (generaciones) o detenerlo cuando no haya cambios en la población.
Como se mencionó, el problema de selección de variables se puede ver como un problema de optimización, ya que queremos encontrar, bajo alguna heurística, el subconjunto de variables que potencialicen la diferenciación y las semejanzas de objetos de clases diferentes y de la misma clase respectivamente.
Dentro del enfoque Lógico Combinatorio se ha utilizado básicamente el concepto de Testor y Testor Típico para la selección de variables. Se tienen algunas propuestas que utilizan a los algoritmos genéticos para la búsqueda de los Testores y Testores Típicos: Algoritmo Genético para Calcular Testores Típicos de Costo Mínimo [5], Algoritmo Genético para Calcular FS-Testores Difusos [6], Algoritmo Genético para el Cálculo de 
-testores Difusos [7]. El algoritmo que a continuación presentamos es una propuesta aparece en [8], y que toma como base el trabajo de [6]. El algoritmo es una alternativa nueva para el cálculo de los FS-testores difusos.
El algoritmo propuesto, retoma los conceptos de FS-testor difuso expuesto en [AlE97], donde para que un subconjunto de atributos 
se considere un FS-testor de MA con respecto a 
y , debe cumplir las propiedades diferenciante y caracterizante, así como también los conceptos relacionados a la familia difusa de FS-testores y el grado de pertenencia a la misma.
Cabe mencionar que el algoritmo para el cálculo de los FS-testores propuestos, incorpora el análisis de las capacidades informativas de los subconjuntos de rasgos que pertenecen a la familia de los FS-testores, ya que se cuantifica cuán cerca o no está un subconjunto de cumplir la definición de FS-testor.
El algoritmo genético, trabaja directamente con la matriz de aprendizaje y la función de semejanza que un problema imponga.
El subconjunto de rasgos o atributos con los que se pueden describir a los objetos de MA, se consideran como un individuo, mismo que tiene una representación en forma de un -uplo binario, y en los que el valor cero representa la ausencia del rasgo, y un 1 su presencia, corresponde a la longitud de la cadena y no es más que el número de rasgos con los que se describen a los objetos de MA.
Los parámetros con los que trabaja el algoritmo son: tamaño de la población inicial (m), misma que es generada aleatoriamente, número de iteraciones, y el número de FS-testores difusos que se desea calcular (w).
La función de aptitud y los operadores utilizados se describen a continuación:
Función de Aptitud. La expresión de la función de aptitud cuantifica la cantidad de pares de objetos que no cumplen las propiedades diferenciante y caracterizante, y por otro lado la medida en que se incumplen estas propiedades. Nótese que esta magnitud tiende a 1 cuando se tienen "pocos" pares de objetos que incumplen las propiedades caracterizante y diferenciante, y al mismo tiempo la magnitud en que se incumplen éstas propiedades es pequeña. En otras palabras como función de aptitud se toma 
Cruza. El operador de cruza aplicado en este algoritmo es de un punto, para esto se elige el gen que ocupa la posición correspondiente al punto medio de la longitud de la cadena binaria n, llamemos a este punto p, cuando el valor de n es un entero impar, se toma al gen que se encuentra en una posición posterior al punto medio.
Para aplicar el operador de cruza, la población es evaluada y ordenada de manera descendente de acuerdo con la función de aptitud. A continuación se toma a dos individuos de la población, al más apto y al menos apto, como padres para generar dos descendientes, mismos que se forman de la siguiente manera: el primer descendiente toma sus primeros p genes de los genes del primer padre que se encuentren hasta el punto p y los siguientes n-p genes del descendiente los toma de los n-p genes que están a la derecha del punto p del segundo padre. Para el segundo descendiente se realiza un proceso equivalente, sólo que los primeros p genes del descendiente corresponden a los primeros p genes del segundo padre y los siguientes n-p genes del descendiente se toman de los n-p genes que se encuentran a la derecha del punto p del primer padre.
El proceso se repite de la misma forma con el resto de la población, tomando al individuo más apto y al menos apto que sigan a los tomados en el paso anterior. Si el tamaño de la población es impar, el individuo menos apto no es considerado para la cruza, tomando así para la primera cruza al que le sigue ascendentemente.
Mutación. El operador de mutación utilizado es de un bit, es decir, se toma un gen del individuo aleatoriamente para invertir su valor. Por ejemplo, sea X1=101010 un individuo, y supongamos que el bit de mutación es el bit 4 (numerando los bits de izquierda a derecha y empezando por 1), el descendiente será Y1=101110, ya que como el bit 4 de X1 tenía valor 0, se cambia su valor por 1.
Selección. Los mejores individuos, aquellos que obtuvieron la aptitud más alta, es decir, aquellos en los que se incumplió menos las propiedades caracterizante y diferenciante y cuyas medidas de incumplimiento son pequeñas, son los que pasan a la siguiente generación.
El algoritmo procede de la siguiente manera, se genera la población original con m individuos, aquellos individuos o genotipos repetidos o en los que los todos los genes tienen valor cero son eliminados, la población así obtenida podría tener un número de individuos m’(m’
m), la población será evaluada y ordenada de manera descendente de acuerdo con la función de aptitud. A continuación, se aplica la operación de cruzamiento, e inmediatamente después se realiza la operación de mutación, cada uno de estos operadores es aplicado a la población de m’ individuos. Los individuos de la población original, y los individuos que son generados por efecto de los operadores de cruza y mutación, generan una nueva población con a lo más 3m individuos. Nuevamente los individuos repetidos y los que tiene todos sus genes con valor cero son eliminados de esta nueva población, el número de individuos será m" (m" 3m). La nueva población es evaluada y ordenada de manera descendente de acuerdo con la función de aptitud. La población para la siguiente iteración serán aquellos m mejores individuos que se obtuvieron. Este proceso es repetido hasta alcanzar el número de iteraciones predeterminado.
En cada iteración, incluso en la última puede presentarse alguno de los siguientes casos:
m’’
w, en cuyo caso se seleccionan de la población a los w mejores individuos, es decir, los que tienen el valor de aptitud más alto y los que en ese momento se consideran los mejores.
m"<w, entonces los m" individuos que en ese momento existan como población se agregan a los w mejores. Esto genera un conjunto de m"+w individuos, mismos que son ordenados de acuerdo con su valor de aptitud. De este conjunto ordenado se selecciona a los primeros w individuos que tienen los valores de aptitud más altos para formar el conjunto de los mejores.
El pseudocódigo que expresa el algoritmo se muestra a continuación:
Algoritmo genético para calcular FS-testores difusos (agfst).
ENTRADA: Matriz de aprendizaje (MA), número de individuos de la población original (tamPob), número de iteraciones (numIter), número de mejores individuos a obtener(w).
SALIDA: El conjunto W con los w individuos que son FS-testores difusos, o que se acercan más a serlo.
1. Lee(MA,tamPob,numIter, w)
Wß 
2. generaPoblación(tamPob)
3. quitaRepetidosCeros(poblaciónActual,tamPob)
4. evaluaPoblación(poblaciónActual)
5. ordenaPoblación(poblaciónActual)
6. Para i=1 a i=numIter
- cruza(poblaciónActual)
- muta(poblaciónActual)
- quitaRepetidosCeros(nuevaPoblación,tamPobN)
- evaluaPoblación(nuevaPoblación)
- ordenaPoblación(nuevaPoblación)
- obtenFSt(nuevaPoblación, w)
- actualizaPoblación(nuevaPoblación)
7. Escribe (W)
Fin.
La función que obtiene los w mejores individuos y la que actualiza la población, toma en cuenta las consideraciones con respecto al tamaño de m" expuestas anteriormente.
La función que evalúa a la población, solamente calcula una vez la semejanza total entre todos los pares de objetos de MA y para cada subconjunto de rasgos se calcula la semejanza parcial.
- Conclusiones
- Referencias.
El uso del concepto de testor que se ha desarrollado dentro del Reconocimiento de Patrones en el enfoque Lógico Combinatorio, ha permitido ajustarlo a las condiciones de problemas reales a partir de la modelación matemática del mismo. El algoritmo genético para el cálculo de los FS-testores difusos proporciona una alternativa al problema del cálculo de FS-testores difusos y así la utilización de este concepto en la solución a problemas de selección de variables
El desarrollo del algoritmo genético para el cálculo de los FS-testores difusos responde a la necesidad de contar con herramientas computacionales que apoyen al proceso de clasificación y en forma general al análisis de datos de forma efectiva y eficiente.
En trabajos posteriores presentaremos resultados de las pruebas realizadas al algoritmo considerando bases de datos públicas que son muy utilizadas dentro del área para reportar pruebas.
Como posibles trabajos posteriores se tienen las pruebas de desempeño del algoritmo utilizando otros criterios de comparación y otras funciones de semejanza, así como probar el algoritmo con otros operadores de cruza y mutación y algún otro criterio de selección, todo esto con la intención de que el algoritmo encuentre la solución óptima en un número pequeño de iteraciones. Las pruebas se pueden extender también con problemas que tengan descripciones de objetos con un número grande de variables, así como a un gran número de objetos en la población.
[1] E. Alba. Nuevas extensiones del concepto de testor para diferentes tipos de funciones de semejanza. Tesis Doctoral ICIMAF, Cuba 1997.
[2] J. Ruiz Shulcloper, A. Guzmán Arenas, J. F. Martínez Trinidad, Enfoque Lógico Combinatorio al reconocimiento de Patrones. Selección de Variables y Clasificación Supervisada. IPN, México 1999.
[3] J. F. Martínez-Trinidad, A. Guzmán-Arenas, The logical combinatorial approach to pattern recognition an overview through selected works, Pattern Recognition 34(4), 2001, pp 741-751 .
[4] M. Lazo-Cortes, J. Ruiz-Shulcloper, E. Alba-Cabrera, An overview of the evolution of the concept of testor, Pattern Recognition, 34(4), 2001, pp 753-762.
[5] Sánchez, G.,Lazo, M., Fuentes, O.,"Algoritmo Genético para calcular testores de costo mínimo"SIARP’99, La Habana, Cuba,Marzo 1999,pp. 207-213.
[6] Martínez,F., Sánchez, G., Rugeiro, B., "GeneticAlgorithm to Compute FS-Testors", WESEAS Transaction on Systems, Issue 2, Vol. 1, April 2002, pp.267-272.
[7] Santos, G., José, A., "Algoritmo Genético
para el cálculo de los 
-Testores
Difusos", Tesis para obtener el grado de Maestro en Ciencias Computacionales,
Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica,
2003.
[8] Guevara, M. Esther, "Algoritmo Genético para la selección de variables y cálculo de su importancia informacional, usando el concepto de FS-Testore Difuso", Tesis para obtener el grado de Maestro en Ciencias de la Computación, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, 2004.
María Esther Guevara Cruz
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