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Didáctica de la matemática. Concepto de número, los sistemas de numeración




Enviado por Javier Alliaume



     

    1. Introducción
    2. Concepto de número
    3. Los sistemas de numeración
    4. Los problemas en la enseñanza
      y el aprendizaje
    5. Hacia una propuesta didáctica
    6. Evaluación
    7. Bibliografía consultada

     

    La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio
    ni del pensamiento racional, ni de la lógica, ni de ninguna verdad intelectual,
    pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz.

    Guy Brousseau

     

    1        
    Introducción

     

    1.1      
    Introduciéndonos a la didáctica de las matemáticas

     

    Sin querer
    entrar en la discusión acerca del carácter de la didáctica y de la existencia o
    no de las didácticas específicas, la concebimos como una disciplina en tanto
    conjunto de saberes organizados, cuyo objeto de estudio es la relación entre
    los saberes y su enseñanza. Queremos explicitar algunos supuestos.

    Para ello
    proponemos utilizar el “triángulo didáctico”, en tanto herramienta de análisis.
    Constituido por 3 vértices: el saber, el docente y el alumno. El lugar que cada
    uno de ellos ha ocupado en la enseñanza, define 3 tipos generales de
    concepciones didácticas que han dado lugar a diversos métodos de enseñanza.

    Aplicando
    esta idea a la didáctica específica que nos preocupa, Guy Brousseau realiza la
    siguiente caracterización: “a) la
    didáctica como técnica
    : en tanto conjunto de técnicas y métodos que sirven
    para lograr mejores resultados; b) la
    didáctica empírico–científica
    : en tanto estudio de la enseñanza como
    disciplina científica que planifica situaciones y las analiza junto a sus
    resultados en forma estadística y c) la
    didáctica sistémica
    : en tanto ciencia que teoriza la producción y la
    comunicación del saber matemático en su autonomía de otras ciencias”  (Villella, J. 1996).

    Vamos a
    partir de esta tercera concepción de la didáctica de la matemática como ciencia
    autónoma, originada en Francia con la denominada “escuela francesa de la
    didáctica de la matemática” del IREM, en los años ’70, cuyos precursores son:
    Guy Brousseau, Yves Vergnaud y D. Chevallard entre otros.

    La definen
    como ciencia autónoma desde 2 postulados: i- la identificación e interpretación
    del objeto de interés supone el desarrollo de un cuerpo teórico y ii- este
    cuerpo debe ser específico del saber matemático y no provenir de la aplicación
    de teorías desarrolladas en otros dominios (como ser la psicología, la pedagogía
    u otros).

    Explicitado
    el punto de partida, justificaremos la enseñanza de este cuerpo de conocimientos.
    Centrándonos en el número y los sistemas de numeración –tema que nos convoca–.

     

    1.2      
    ¿Por qué enseñar matemática?

     

    En un breve
    recorrido histórico podemos ver distintas motivaciones para su enseñanza:
    Villella (1996) recuerda que en Egipto y Mesopotamia se enseñaba con un fin
    meramente utilitario: dividir cosechas, repartir campos, etc.; en Grecia su
    carácter era formativo, cultivador del razonamiento, complementándose con el
    fin instrumental en tanto desarrollo de la inteligencia y camino de búsqueda de
    la verdad.

    Hoy podemos
    hablar de 3 fines: formativo, 
    instrumental y social[2].
    Teniendo en cuenta algunos contextos: de producción, de apropiación, de
    utilización del saber matemático. Ya nadie discute acerca del carácter
    democratizador y emancipador del conocimiento y dominio de esta ciencia.

     

    1.2.1       
    ¿Y del número qué?

     

    Dentro de los
    conocimientos matemáticos, el número fue el primero en desarrollarse en tanto
    representación directa (o casi) de la realidad material (natural). Por ello
    parece razonable comenzar por él.

    Además
    fundamentamos la necesidad de la enseñanza del número en tanto concepto
    estructurante de la propia disciplina y del proceso de apropiación de saberes
    matemáticos en el niño.

    Queremos
    recalcar que en tanto producto cultural, de uso social extendido, desde muy
    temprano los niños y niñas se ven inmersos en ellos, ya sea escuchando
    cantidades, precios, etc., por lo cual se hace imprescindible comenzar con su
    enseñanza desde los niveles iniciales (preescolares) proyectándola a lo largo
    de toda la escolarización. Esta noción se corresponde con la visión sistémica y
    procesual que postula la escuela francesa y nosotros planteamos como una
    imperiosa necesidad[3].

    Por lo tanto
    proyectar la enseñanza comenzando por el campo de los naturales, ya que es el
    de más fácil conceptualización, requiere no desconocer ni ocultar la existencia
    de otros campos numéricos dado que las niñas y niños “conocen” números no
    naturales, evitando así la instalación de obstáculos epistemológicos derivados
    de tal parcialización.

    Desde esta
    lógica comenzamos a introducirnos en la conceptualización del número por los
    naturales, avanzando hacia los otros campos numéricos.

     

    2        

    Concepto de número

     

    2.1      
    Hacia una definición de número

     

    Es preciso
    aclarar que no existe una definición única ni acabada. Si buscamos por ejemplo
    en un diccionario veremos que se hayan diferentes acepciones que a su vez se
    refieren a distintos atributos y aspectos. Igualmente intentaremos construir el
    concepto. Partiremos de la historia, de la construcción humana del número,
    luego definiremos diferentes contextos en que el número adquiere significado,

     

    2.1.1       
    El número en la historia

     

    Siguiendo a
    Engels, puede considerarse al desarrollo del conocimiento como un proceso de
    apropiación de la naturaleza[4].
    La realidad natural se transforma en una realidad humanizada en función de las
    distintas necesidades del Hombre y en esa transformación se genera
    conocimiento. Es preciso que exista un primer “reconocimiento” del objeto
    natural para luego insertarlo en la lógica de la actividad humana. Su
    consecuencia es una divergencia cada vez mayor entre el procesamiento del
    conocimiento cotidiano y las sucesivas elaboraciones conceptuales que se
    traduce en abstracciones cada vez más complejas. Estos procesos no suelen
    producirse en secuencia lineal porque están fuertemente condicionados por
    inevitables dinámicas históricas y sociales propias de cada pueblo, de cada
    sociedad.

    Existen
    distintas teorías acerca de cómo el Hombre generó y utilizó el número. Describiremos
    este proceso a través de etapas: 1- distinción de uno y muchos; 2- necesidad de
    recuento de pertenencias, que implica establecer una correspondencia uno a uno,
    entre éstas y un conjunto de igual cantidad de elementos, cuyo representante es
    el número cardinal correspondiente; 3- la necesidad de registro, creándose así
    rótulos y etiquetas que posibilitan organizar las muestras de acuerdo al número
    de elementos, apareciendo así el aspecto ordinal; 4- surgimiento de los
    sistemas de numeración como herramienta para organizar aquellos rótulos que
    permitieran otros usos del número y 5- acción del conteo, uso de la secuencia
    ordenada de palabras número en correspondencia uno a uno de los elementos,
    donde el último de los elementos nombra la clase a la cual pertenece (Villella,
    J., 1996).

     

    2.1.2       
    Contextos de significación

     

    Nos basamos en
    la distinción de diversas funciones del número como un elemento para
    conceptualizarlo.

    Existen varias
    clasificaciones que no difieren en lo esencial, Brissiaud distingue dos
    funciones principales: representar
    (para comunicar cantidades o retenerlas en la memoria); y calcular (establecer una cierta relación entre cantidades).

     

    2.1.2.1       Cuantificar y representar
    (comunicar cantidades y retenerlas en la memoria)

     

    Diferenciamos
    dos formas de representar cantidades, las colecciones de muestra y las representaciones
    numéricas.

    Si bien ambas
    utilizan el criterio de correspondencia uno a uno, esta relación se establece
    de diferente manera.

    La primera se
    refiere a  la construcción de una
    colección de muestra para establecer dicha correspondencia que represente la
    cantidad de elementos. Por ejemplo para representar los platos puestos en una
    mesa se utilizan tantas piedritas como platos.

    La segunda
    representa la cantidad con el último elemento puesto en correspondencia uno a
    uno. (Nótese que la diferencia radica en que con las colecciones, la cantidad
    se representa con todos los elementos, mientras en la segunda sólo con el
    último).

    El segundo
    tipo de correspondencia puede realizarse a través de “palabras–número”
    (enunciación oral de la cantidad) o cifras (signo gráfico) (Brissiaud, 1993)[5],
    requiriéndose para ello un sistema arbitrario de signos convencional y socialmente
    establecido (histórico).

    Aquí aparece
    una primera dificultad en el proceso de conceptualización del número, distinguir
    palabras–número y cifras, del número en sí en tanto representación arbitraria y
    social de una cantidad. Por ejemplo, el número 18 está formado por dos cifras
    (‘1’ y ‘8’) y se enuncia con dos palabras–número pero se trata de un solo
    número.

     

    Antes escribíamos
    sobre las formas de representación de las cantidades, ahora nos referiremos al proceso de cuantificación.

    Si bien
    vulgarmente se utilizan indistintamente los términos contar y cuantificar, debemos
    hacer una distinción. Cuantificar es asignarle una medida (cantidad) a una
    magnitud (extensión), o sea, atribuirle valor a la extensión de una colección,
    determinar la cantidad de elementos que tiene.

    Se puede
    cuantificar de manera directa o indirecta. Es decir, existen dos formas de
    cuantificar.

    Directamente
    mediante percepción global (captación
    directa y exacta de la cantidad, se realiza por lo general frente a cantidades
    pequeñas), conteo (es un
    procedimiento largo y exacto) o evaluación
    global
    (se aplica a grandes cantidades y es aproximativo).

    Indirectamente en ausencia del objeto o con
    cantidades muy grandes, mediante el cálculo.

    Obsérvese que
    el conteo es uno de los procedimientos que permiten cuantificar. A continuación
    caracterizaremos estos procedimientos.

     

    2.1.2.2          
    Contar y calcular

     

    Para comenzar
    aclaramos que contar y calcular son maneras distintas de establecer relaciones
    entre cantidades. Donde una de ellas se opone a la otra, en el sentido de que
    al contar se establece una relación
    entre elementos de una colección y palabras–número; mientras que al calcular se establece una relación
    directa entre cantidades, sin pasar por la construcción de colecciones cuyos
    elementos se cuentan.

     

    Hay que tener
    en cuenta que no se cuenta con un solo propósito, sino que se hace con varios
    sentidos. Algunos de ellos son: comparar, ordenar, igualar, sumar y comunicar.

    El proceso de
    contar es complejo ya que requiere: i- conocer la serie numérica o parte de
    ella, ii- establecer la relación biunívoca uno a uno entre los elementos a
    contar y las palabras–número que se recitan iii- e identificar el último
    término enunciado como representante de la cantidad.

    Brissiaud
    distingue la acción de contar–numerar
    de la de enumerar de la siguiente
    manera. Al contar–numerar simplemente se asigna a cada elemento del conjunto
    una palabra–número que lo identifica. En tanto al enumerar, luego de
    contar–numerar cada uno de los elementos, la última palabra–número representa
    la cantidad de elementos de la colección, expresando así su cardinalidad.

     

    Por otra
    parte, establecer relaciones entre cantidades a través del cálculo requiere mayores
    niveles de abstracción: separarse del apoyo concreto utilizando formas
    numéricas con cierto grado de simbolización (cifras, configuraciones estándar
    como los puntos de los dados, etc.).

    Se entiende
    que existen diversas formas de calcular que permiten arribar a resultados. Si
    bien no todas ellas son exactas, tienen valor en tanto resuelven distintas
    situaciones. Por ejemplo el cálculo pensado, que no utiliza algoritmos, el
    cálculo sistemático o algorítmico, probabilístico, etc.

    El cálculo no
    es el tema central de este trabajo, igualmente hacemos algunas referencias a él
    en tanto interviene en el proceso de conceptualización del número.

     

    2.1.3       
    Contexto ordinal y cardinal

     

    Otra
    distinción de contextos que le dan sentido al número, según la función que éste
    cumpla es la de contexto ordinal y contexto cardinal.

    Cuando se
    pretende ordenar o seriar concentrándose en la posición de un elemento respecto
    de otro nos referimos al contexto ordinal, y cuando la intención es representar
    una colección de objetos por el valor de su extensión al contexto cardinal.

    Al respecto es interesante el planteo de Brissiaud
    al respecto, que destaca dificultades y confusiones que puede ocasionar el uso
    de estos términos para designar procedimientos. Por ej. cuando se cuenta las
    monedas que se tiene en el bolsillo el objetivo es definir la cantidad
    –cardinal– y cuando se cuenta el número de oficinas en un corredor su objetivo
    puede ser determinar en qué orden está la deseada –ordinal–. Por esta razón es
    que se determina el contexto según se de protagonismo al número como cuantificador o como indicador de posición.

     

    2.1.4       
    Campos numéricos

     

    Hasta ahora
    hemos tomado como referencia a los números naturales, mas existen otros campos numéricos: enteros, racionales,
    irracionales, reales (la unión de racionales e irracionales) e imaginarios.

    Cada uno de
    ellos tiene un lugar en el desarrollo histórico del concepto de número íntimamente
    ligado a problemas que fue necesario resolver. Así la mayoría de los
    historiadores sostienen que los naturales fueron los primeros en aparecer, por
    su aspecto cardinal (aunque algunos plantean que en realidad fue por el aspecto
    ordinal).

    Incluso la
    extensión del campo ha seguido un proceso de expansión histórico, a medida que
    fue necesario contar cantidades mayores (o menores). Así el cero recién aparece
    en ciertas culturas más avanzadas[6].

    Por ejemplo
    frente a situaciones tales como restas en las cuales el sustraendo es mayor que
    el minuendo (ej. 2-5), la operación no puede ser resuelta en el campo de los
    naturales. Por lo que hubo que crear un nuevo campo, con nuevas propiedades.

    Es importante
    tener en cuenta que las operaciones que se encuentran definidas en más de un
    campo, mantienen el nombre, pero no se definen de la misma manera. En el caso
    de la división, en los naturales (llamada división natural) se define de N×N en
    N×N, es decir, el resultado es un par ordenado (cociente y resto), 5/2=(2,1) y
    no 2. En los reales se define de R×R en R, entonces 5/2=2,5.

    Finalmente
    siguiendo lo expuesto, tenemos que ante las limitaciones de cada campo para
    resolver nuevos problemas a los que se vieron enfrentadas las distintas
    culturas se hizo necesaria la conceptualización de nuevos campos (ej. para
    resolver √-1, se creó el campo de los imaginarios (√-1=i), etc.).

     

    3        
    Los sistemas de numeración

     

    Existen
    diferencias entre las propiedades universales de los números y las leyes que
    rigen los distintos sistemas de numeración. Entendidos estos como diferentes
    conjuntos de representaciones y relaciones entre los elementos representados.
    Son resultado de largos procesos históricos, derivando en representaciones
    arbitrarias y socialmente aceptadas.

     

    3.1      
    El sistema decimal

     

    Este es el
    sistema más popular, utilizado convencionalmente y objeto de estudio predominante
    de la educación básica. Se trata de un sistema posicional y polinómico.

    Una primera
    consideración es que existe una gran diferencia que se constituye como problema
    a la hora de apropiarse del sistema, que refiere a la numeración oral y la
    escrita. La primera de ellas tiene una estructura aditiva (pensemos en los dieci, los veinti, etc.)[7],
    en tanto la segunda es polinómica (y posicional)[8],
    es decir el valor que representa cada cifra se obtiene multiplicando esa cifra
    por cierta potencia de 10 (735=7×102+3×101+5×100=700+30+5).

    Basándose en
    la naturaleza polinómica del sistema, que se describió anteriormente, los niños
    elaboran estrategias tanto para escribir los números, como para operar con
    ellos.

    De la
    propiedad polinómica se desprenden algunas regularidades. Lerner y Sadovsky
    (1997) detectaron su importancia en el proceso de aprendizaje, demostrando que
    aparecen tempranamente y proponen algunas pautas de trabajo: “Cobran especial
    importancia –además de los criterios para ordenar números– «leyes» como «los ‘dieces’
    van con dos, los ‘cienes’ van con tres»; «después de nueve viene cero y el otro
    número pasa al siguiente»; «hay diez números (de dos cifras) que empiezan con
    uno, diez que empiezan con dos…»” (pág. 159).

    A su vez, el
    manejo de esta última regularidad por parte de los niños nos muestra la
    importancia de trabajar con los llamados nudos
    (potencias de 10 multiplicadas por determinado coeficiente, 10, 20, 100,
    1000…).

    Conocer el
    sistema de numeración decimal implica entonces el manejo de un conjunto de
    unidades de diversos tamaños, particularmente el 10, el 5 –éstos son las
    cantidades de dedos una mano, configuraciones primarias– y los nudos exactos.

    En los
    sistemas posicionales el cero cumple una función esencial ya que cuando forma
    parte de un número de dos o más cifras plantea, al mismo tiempo la ausencia de
    elementos y la presencia de una posición (en 104, la potencia 102 se
    multiplica por cero, pero a su vez marca que el 1 debe multiplicarse por 103).
    Por ello constituye a su vez un problema y un elemento a trabajar (Lerner, D.,
    1992).

    Otro
    importante elemento a tener en cuenta para el planteo didáctico es el que describen
    Brissiaud, Lerner y Sadovsky entre otros, como resultado de observaciones
    sistemáticas que les permitieron abstraer ciertas estrategias comunes que
    aplican y desarrollan los niños cuando no se les circunscribe al cálculo
    algorítmico.

    Se trata de
    las estrategias de descomposiciones y
    recomposiciones
    derivadas de las propiedades del sistema mismo. Para
    facilitar el “cálculo pensado”, se
    ponen en acción estas estrategias, estrechamente vinculadas a la
    conceptualización del sistema de numeración en una relación de
    retroalimentación que tiene por eje al concepto de número. A continuación
    detallaremos algunas de ellas.

    Estrategia de igualación. Permite asociar una cantidad
    a una adición de dos cantidades conociendo una de ellas. “Igualar con hueco”,
    ej. el juego de “­7=3+   u 8=  +4”.
    O ­  =2+7”. De esta manera generan
    esquemas que luego aplican en distintas situaciones, a su vez esto le permite
    al docente trabajar distintos sentidos de una misma operación.

    El niño desde
    muy temprano maneja con cierta facilidad los “números dobles” (4+4, 3+3, x+x), así como las relaciones numéricas del 5 y el 10 con otro número (5+x, 10+x), esquemas que agilizan el cálculo mental, evitándoles el
    reconteo (o sobreconteo).

    El manejo de
    algunas cantidades como unidades (como se mencionó con anterioridad), les
    permite desarrollar estrategias para descomponer al momento de operar, tales
    como la “vuelta al 5” y “vuelta al 10”. De esta manera utilizan “formas conocidas”. Un ejemplo: al
    resolver 8+2 (mediante la “vuelta al 5”) descomponen el 8 en 5+3, para luego
    sumar 2. Esto mismo se ve con el 10. También se aplica con otros nudos mayores,
    lo que se describe como suma natural,
    p.ej. 23+42 = 20+40+3+2.

    De manera
    análoga, en el “paso a la decena”, se
    compone la decena a partir de la descomposición previa tomando como base el
    número mayor y “formas conocidas”. Ej. 8+4 = 8+2+2, donde se descompuso el 4 en
    2+2, de manera de aplicar la forma conocida 8+2=10.

    Otra
    estrategia que encontraron es el uso de operaciones
    prefijadas
    , a las que otros autores denominan “tablas de sumar” (Brissiaud) u “operaciones
    simples”
    (Kamii). Esta estrategia se constituye en una herramienta poderosa
    como complemento de otras estrategias como descomponer y recomponer (si la
    conocida es 8+2, entonces el niño puede calcular 8+4, como 8+2+2).

    Reiteramos que
    todas estas estrategias son poderosas en tanto no sean impuestas o enseñadas en
    el sentido estricto. Sino detectadas, explicitadas, razonadas, colectivizadas y
    puestas en aplicación.

     

    3.2      
    El proceso de apropiación de la numeración

     

    En toda acción
    de planificación es importante conocer los procesos de aprendizaje que permiten
    a los niños apropiarse y desarrollar conocimientos.

    Siguiendo la
    lógica de Emilia Ferreiro[9],
    Delia Lerner dirigió una investigación (cuyo informe ya ha sido citado) acerca
    de cómo los niños abstraen propiedades a partir de su contacto cotidiano con
    los números.

    Lerner y su
    equipo constataron que construyen y manejan hipótesis principalmente para
    comparar y ordenar, así como para pasar de la numeración hablada a la escrita.
    Ellas se hacen visibles en expresiones como, “este es más grande, ¿no ves que
    tiene más números?”, “el primero es el que manda”. La primera refiere a la
    cantidad de cifras y su relación con la magnitud del número, ligada a la
    naturaleza polinómica; la segunda a la posición de las cifras como criterio de
    comparación.

    Asimismo
    destacan que la apropiación de la escritura convencional no sigue el orden de
    la serie numérica. Los niños manejan primero los nudos y luego “rellenan” entre
    ellos. No sin problemas dado que la numeración hablada es aditiva y no
    polinómica (así transcriben treinta y cinco como 305).

    En lo que sigue
    describiremos otros obstáculos que se presentan en los procesos de aprendizaje
    y de enseñanza, y la problematización como recurso.

     

    4        
    Los problemas en la enseñanza y el aprendizaje

     

    4.1      
    Obstáculos

     

    Un primer
    problema es de orden formal, el currículo para Escuelas Primarias, en tanto
    parcializa el abordaje tanto de los números naturales, como de los distintos
    campos numéricos (incluso dejando de lado los imaginarios) y establece un orden
    cronológico que además no sigue el orden de inclusión de los campos según sus
    propiedades[10]. También la
    falta de conocimientos profundos por parte de los docentes.

    Esto favorece
    la instalación de ciertos obstáculos ontológicos,
    epistemológicos y didácticos
    .

    Los ontológicos refieren a los procesos de
    maduración y de las estructuras de conocimiento que posea y pueda desarrollar.

    Los
    epistemológicos refieren a errores que derivan del objeto mismo, por ejemplo el
    trasvasado de propiedades de un campo a otro en el que no se cumplen (es
    clásico el tratar a los racionales como dos naturales y mantener la idea de que
    entre dos racionales no existe otro u otros, propiedad de densidad de los
    racionales)[11].

    Y los
    didácticos son aquellos que introducen los maestros que no derivan de propiedades
    del objeto de estudio. Tales como: que el resultado de una división natural es
    atómico; que dividir achica o es sólo una resta abreviada; que multiplicar
    agranda o es sólo una suma abreviada; no presentar a las fracciones y los
    decimales como dos maneras de representar a un subconjunto de los racionales (ej.
    0,5=1/2); no introducir el error al realizar mediciones o al trabajar
    probabilidades; etc.

     

    4.2      
    De los desafíos a la hora de pensar la propuesta didáctica

     

    En este
    apartado haremos una brevísima referencia a diferentes planteos que deberían
    ser tenidos en cuenta a la hora de proyectar la propuesta didáctica.

     

     Cualquier pretensión de enseñarle a un niño,
    no debe desconocer la distancia que existe entre el saber o conocimiento
    erudito (académico) y las posibilidades que tiene el sujeto de
    conceptualizarlo. El proceso mediante el cual el saber académico se transforma
    a efectos de ser enseñado se denomina “transposición
    didáctica”
    y fue elaborado por Chevallard.

    Este proceso
    que implica simplificaciones, recortes, etc., expone al conocimiento a deformaciones
    que pueden vaciarlo de contenido, poniendo en riesgo su significado. Cobra significado
    aquí el concepto de “vigilancia epistemológica”[12] [AM1] .

    La propuesta
    analítica de criterios de adquisición de los conceptos de Vergnaud complementa
    la de Chevallard en tanto la primera se ocupa del enseñar en cuanto al saber
    que se enseña y ésta en definir qué es necesario para que un concepto pueda ser
    aprendido.

    Un concepto se
    adquiere si: a) es operativo, es decir, si permite enfrentar una situación
    nueva y resolverla con dicho concepto (el pensamiento es conceptual y obedece
    simultáneamente a criterios prácticos y teóricos); b) se construye a lo largo
    del tiempo, el concepto se aplica en distintos contextos y problemas,
    permitiendo descubrir distintas propiedades del mismo; c) se distingue
    significado de significante (concepto de su representación).

    Explicitadas
    estas consideraciones sobre la enseñanza y el aprendizaje, nos ocuparemos de
    una estrategia didáctica profundamente fundamentada. La misma es esencia de la
    didáctica de la matemática.

     

    4.2.1       
    La problematización como estrategia didáctica globalizadora

     

    Para dar
    respuesta al análisis anterior, proponemos una posible metodología. El abordaje
    de los diversos contenidos a enseñar a través del planteo y la resolución de
    problemas. Charnay (1988) profundiza a este respecto revisando el lugar que
    toma el problema en los tres modelos didácticos (desde las relaciones del
    “triángulo didáctico”): el problema como
    criterio del aprendizaje
    (modelo normativo), el problema como móvil (modelo incitativo) y el problema como recurso (modelo apropiativo).

    Sostenemos que
    el problema debe ser utilizado como elemento gestor del aprendizaje, sin
    desmedro de los otros usos que se le pueden dar a dicho recurso (p.ej.
    evaluación, utilización de conocimientos ya adquiridos en otros campos). Quizás
    lo más importante sea tener en cuenta que el problema debe tener un fuerte
    componente de obstáculo, siempre que el alumno se vea enfrentado a una
    situación que no pueda resolver mediante la simple aplicación de un esquema
    conocido (lo cual constituiría un ejercicio), estaremos frente a un “problema”.

    El problema
    por ser una herramienta didáctica que permite no sólo la reproducción de
    conocimientos sino también la producción de los mismos, ejerce una acción
    liberadora, por lo cual es una buena opción teleológica.

     

    Al momento de
    planificar una propuesta problematizadora existen al menos dos teorías que
    permiten vehiculizarla. La teoría de las “situaciones
    didácticas”
    de Brousseau y el planteo de Brissiaud.

    Si bien  hemos presentado a diversos autores de la
    “escuela francesa”, es preciso mencionar que Brissiaud critica a las
    “situaciones didácticas” en tanto estas se centran en el postulado piagetiano
    acerca del modo en que se aprende. Proceso individual en que de la interacción
    entre el sujeto y el objeto se logran adaptaciones sucesivas mediante los
    conflictos cognitivos (cuando una estructura de conocimiento no alcanza para
    comprender cierto fenómeno).

    Éste en cambio
    formula su propuesta didáctica a partir del “método
    instrumental”
    de Vygotsky, planteando la necesidad de analizar los
    distintos sistemas simbólicos y sus propiedades a partir de los cuales se
    piensa la enseñanza. En tanto éstos constituyen herramientas de pensamiento
    social e históricamente construidas (aquí se sigue a Vygotsky), no es natural
    que el niño reconstruya individual o colectivamente el proceso que sus
    predecesores siguieron para construir el conocimiento que se pretende aprenda.

    Ante una
    situación problema, no es necesario que el niño la resuelva primero utilizando
    estrategias de “nivel inferior”, p.ej. contar todos los elementos de una
    colección, para lograr progresivamente procedimientos de “nivel superior”. Como
    en el caso de los hechos numéricos. Así es que se puede proveer directamente al
    niño, mediante la intervención docente de ciertas herramientas sin obligarlo a
    esperar a que las reconstruya.

    Describiremos
    sucintamente los diferentes tipos de situaciones didácticas que postula
    Brousseau. Se trata de un tipo de organización del trabajo didáctico en el que
    se realiza una intervención (“situación didáctica”) al planificar e instalar un
    problema y luego se atraviesan tres “situaciones
    a–didácticas”
    y una última “situación didáctica”.

    Las características de las siutaciones a–didácticas
    son: i- la no intervención por parte del docente en la relación entre el sujeto
    de aprendizaje y el objeto de aprendizaje; 
    ii- la instalación de la necesidad de aprender en el niño (para superar
    el obstáculo) y iii- la “sanción” como método de evaluación de los propios
    aprendizajes.

    Las fases
    a–didácticas son: a) situaciones de acción, el alumno actúa sobre un medio
    material o simbólico, poniendo en juego los conocimientos para resolver el
    problema; b) situaciones de formulación, el o los alumnos deben representar
    para poder comunicar la información que han obtenido/elaborado (cabe destacar
    que para ello muchas veces deben modificar y/o ampliar su lenguaje),
    permitiendo que los receptores puedan utilizar esa información y c) situaciones
    de validación, en que deben debatir y convencer al resto de que sus afirmaciones
    son verdaderas, y los receptores deben “sancionar” el grado de veracidad, aquí
    entran en juego recursos como preguntas, pruebas empíricas, etc.

    Por último
    atendiendo a la necesidad social de validar el aprendizaje (conocimiento
    construido) y que el niño reciba dicha validación, y asuma la significación
    social del mismo, se instala una situación de institucionalización. En ella se
    pretende relacionar el conocimiento producido con el culturalmente aceptado.

    Durante las
    fases a–didácticas el docente no interviene entre el sujeto y el objeto, sino
    que lo hace para pautar y sostener el marco en que dicha relación se mantiene.

     

    5        
    Hacia una propuesta didáctica

     

    Siguiendo la
    fundamentación de Vergnaud, en tanto concebimos el concepto como un ente
    multifacético, proponemos se planifique de manera secuenciada atendiendo en
    cada propuesta una propiedad o faceta del concepto que se desea enseñar.
    Realizaremos algunas propuestas que ilustran qué conceptos consideramos indispensable
    trabajar en los tres niveles para acceder al concepto de número y los sistemas
    de numeración.

     

    La evaluación
    de conocimientos al comenzar el nivel es la primera tarea a emprender. Se debe
    evaluar no solo los conocimientos alcanzados por los niños sino también las
    estrategias que son capaces de desarrollar y las posibilidades de resolver
    problemas.

    Para ello el juego es un elemento de valor
    didáctico. Al respecto existen varias posturas. Sostenemos que no se debe
    quitar al juego su carácter lúdico y espontáneo. Es interesante que para poder
    jugar satisfactoriamente el niño deba superar obstáculos, tal como cuando se
    plantea un problema. Ahora bien el juego se transforma en recurso didáctico
    cuando el docente lo propone sabiendo que para poder jugar el niño deberá poner
    en acción ciertos conocimientos.

     

    En cuanto al
    abordaje por niveles, en el primero el niño debe aprender que el número tiene
    dos contextos de significación, cardinal y ordinal, y sirve para contar y
    calcular. Además debe manejar las decenas en tanto agrupación de unidades (en 1o)
    y de centenas como agrupación de 10 decenas y 100 unidades (en 2o)[13].

    Esto implica
    proponer actividades en las que deba cuantificar y ordenar. Para trabajar
    dentro del contexto cardinal el niño debe agrupar, comparar, aparear,
    clasificar; manipulando objetos, utilizando el cuerpo, etc., permitiéndole
    relacionar lo experimentado con representaciones de un mayor orden simbólico.

    En relación a
    los recursos didácticos presentamos la importancia de las colecciones de
    muestra, el uso de los dedos, de constelaciones como elementos que facilitan la
    comparación y la cuantificación.

    Se puede
    trabajar con: canciones en las que se recite parte de la serie numérica; juegos
    y juegos cancionados en los que se represente parte de la serie numérica con
    los dedos; cacerías de números (“buscar cosas que tengan…”); trabajar con el
    número de la fecha representándolo con los dedos (¿cómo resolverlo luego del 10
    de cada mes?); juegos de agregar; de quitar; ya sea de a uno o más elementos;
    trabajar con los números de la clase (cuántos son, cuántos faltaron, cuántas
    sillas necesitamos, cuántas mesas); utilizar el calendario; trabajo con dados,
    tetraedros (numerados o con constelaciones), ruletas numéricas (con
    constelaciones numéricas o signos arábigos).

    En varios de
    estas actividades se pueden plantear problemas, introduciendo “trampas
    didácticas”, distractores.

    Algunos de
    estos recursos sirven también para trabajar en el contexto ordinal. Incluimos
    algunos específicos: trabajar en coordinación con la construcción de la noción
    de tiempo; seriar acciones; figuras; identificar una cantidad entre otras en
    una serie numérica oral o escrita; ordenar una serie de números (que en un
    segundo momento puede ser no correlativa).

    Para descubrir
    las funciones de contar y calcular, proponemos actividades y estrategias que
    deben guiar la práctica a: descubrir regularidades, producir escrituras y otras
    representaciones, así como interpretarlas, componer y descomponer números.
    Descubrir “leyes” del sistema numérico, promover el cálculo mental tal como se
    describió anteriormente.

    A este
    respecto, reiteramos que es importante el uso de los dedos, de constelaciones
    (configuraciones estándar).

     

    En segundo
    nivel el currículo introduce los números racionales[14].
    En sus expresiones fraccional y decimal.

    Es necesario
    recordar cómo y por qué surge este campo de manera de poder problematizar y
    secuenciar su enseñanza.

    En primer
    lugar no debemos olvidar que cada número racional tiene infinitas representaciones
    fraccionales (ej. 2/5=8/20=2n/5n),
    no todos ellos son decimales (es decir, no todas admiten ser representadas “con
    coma”, con un número finito de cifras, p.ej. 2/3)[15],
    a su vez no confundir las fracciones con los números decimales[16].
    Cuando trabajamos con escalas, porcentajes, divisiones de número decimales (que
    son un sub–conjunto de los racionales), estamos trabajando con fracciones
    equivalentes (ej. “8 dividido 4” es equivalente a 2/1, 1/3=33%)[17].

    Previa y
    simultáneamente se debe trabajar con proporciones (desde 2o año, el
    doble de…, la mitad de…), razones, equivalencias, porcentajes, escalas, la
    fracción como relación parte–parte y relación parte–todo.

     

    En el tercer
    nivel se trabaja explícitamente el concepto de razón, proporción, se introducen
    algunos números irracionales (aquellos que no admiten una representación
    decimal, p.ej. ¶ –Pi–, √ y exponenciación). Por lo que es fundamental
    relacionar la definición de estos conceptos con los anteriores. Por ejemplo, al
    trabajar las razones, es importante hacer visible el hecho de que ya conocen
    razones (una de las facetas de las fracciones).

    Además es el
    momento apropiado para analizar diversos sistemas de numeración (binario,
    sexagecimal, etc.), dado que ya manejan suficientes elementos como para
    realizar comparaciones y conversiones. Dicho contenido permite profundizar en
    la construcción del concepto de número.

     

    Cerrando este
    apartado queremos plantear la necesidad de permitir la experimentación, incluso
    más allá de los conceptos prescriptos para el nivel y grado. Esto, como ya
    dijimos, permite abstraer propiedades y generalizar las experiencias de la vida
    cotidiana.

     

    6        
    Evaluación

     

    En la
    bibliografía actual sobre el tema se diferencia la evaluación inicial (o
    diagnóstica), formativa y sumativa. Dado que no es el centro de este eje, nos
    referiremos someramente a cómo se debería evaluar.

    Coherentemente
    con el planteo que venimos realizando, visualizamos la evaluación como un
    proceso que permite situarnos en los procesos de enseñanza y de aprendizaje
    tanto al momento de comenzar una secuencia, como durante su desarrollo y a
    término. Su función es pues, la de detectar los conocimientos sobre determinado
    concepto, su distancia con el concepto a enseñar y así diseñar los caminos
    posibles y las correcciones sobre la marcha.

    Se debe dar en
    dos dimensiones: la evaluación del docente y la autoevaluación por parte de los
    niños.

    Nuevamente se
    introduce el problema como recurso, dado que el planteo de situaciones en las
    cuales los niños deben poner en juego sus saberes para resolverlas, va más allá
    que la mera repetición de los mismos.

     

    Para cerrar
    queremos dejar claro que la intención de este artículo no va más allá del
    presentar algunas de las reflexiones en torno al eje propuesto, articulando e
    integrando diversos aportes. Por lo mismo no debe ser tomado sino como un
    posible organizador para preparar el eje.

     

    Bibliografía consultada

    ·       
    AA.VV. en revista QueHacer Educativo, números 28, 51,
    53, 57, 58, 62, 63, Fondo Editorial QuEduca, FUM–TEP, Montevideo.

    ·       
    Bourdieu,
    P., Chamboredon, J-C y Passeron, J. C. (1999). “El Oficio de Sociólogo”,
    Siglo Veintiuno, Madrid.

    ·       
    Brissiaud, R. (1993). “El aprendizaje del cálculo. Más
    allá de Piaget y de la teoría de conjuntos”, Visor, Madrid.

    ·       
    Brousseau, G. (1986). “Fundamentos y métodos de la
    didáctica de la matemática”, trad. de su tesis de graduación, Facultad de
    Matemática, Universidad de Córdoba.

    ·       
    Charnay, R. (orig. fr., 1988) “Aprender (por medio de )
    la resolución de problemas”, en Parra y Saiz (1992).

    ·       
    Chevallard, D. (1991). “La transposición didáctica: del
    saber sabio al saber enseñado”, Aique, Bs. As.

    ·       
    Gadino, A. (1990). “6 años ya es tarde”, Aula,
    Montevideo.

    ·       
    Hack, I. (2002). “Aportes para la comprensión del
    fenómenos de los números en la escuela”, mímeo, Montevideo.

    ·       
    Kamii, C. (1986). “El niño reinventa la aritmética”,
    Visor Libros, España.

    ·       
    Kamii, C. (1992). “Reinventando la aritmética II”,
    Visor Distribuciones, España.

    ·       
    Lerner, D. (1992). “La matemática en la escuela aquí y
    ahora.”, Aique, Bs. As.

    ·       
    Lerner, D. y Sadovsky, P. (1997). “El sistema de
    numeración: un problema didáctico.”, en Parra, C. y Saiz, I. (1997).

    ·       
    Panizza, M. (2003). “Conceptos básicos de la teoría de
    situaciones didácticas”, en Panizza, M. (comp.) (2003).

    ·       
    Parra, C. y Saiz, I. (1992). “Los niños, los maestros y
    los números”, Secretaría de Educación, MCBA, Bs. As.

    ·       
    Parra, C. y Saiz, I. (comps.) (1997). “Didáctica de
    matemáticas. Aportes y reflexiones”, Piados Educador, Bs. As.

    ·       
    Pena, M. (2002). “¿Qué hago este año con las
    matemáticas?”, en Revista de la Educación del Pueblo Nº 85, marzo–abril 2002, Aula,
    Montevideo.

    ·       
    Ponce, H. (1999). “Enseñar y aprender matemática.
    Propuestas para el segundo ciclo”, Ediciones Novedades Educativas, Bs. As.

    ·       
    Sadovsky, P. (1996). “Pensar la matemática en la
    escuela.”, en Poggi, M. (comp.) colección “Triángulos Pedagógicos «Apuntes y
    arpotes para la gestión curricular»”, Kapelutz, Bs. As.

    ·       
    Vergnaud, Y. (1993). “El niño, las matemáticas y la
    realidad. Problemas de la enseñanza de la matemática.”, Trillas, México.

    ·       
    Villella, J. (1996). “Sugerencias para la clase de
    matemática”, Aique, Bs. As.

     

    Bibliografía recomendada

     

    ·       
    Chemello, G. (1997). “La Matemática y su didáctica.
    Nuevos y antiguos debates”, en Iaies, G. “Didácticas especiales. Estado del
    debate.”, Aique, Bs. As.

    ·       
    D’Amore, B. (1997). “Problemas. Pedagogía y psicología
    de las matemáticas en la actividad de la resolución de problemas.”, Síntesis,
    Madrid.

    ·       
    Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O.  (1991). “El aprendizaje de las matemáticas”,
    Edit. Labor – M.E.C., España.

    ·       
    Iaies, G. (comp.) (1998). “Los CBC y la enseñanza de la
    matemática”, A.Z., Bs. As.

    ·       
    Ifrah, G. (1994). “Las cifras. Historia de la primera
    gran invención” , Alianza, Madrid.

    ·       
    Nunes, T. y Bryant, P. (1997). “Las matemáticas y su
    aplicación. La perspectiva del niño”, Siglo XXI Editores, México.

    ·       
    Panizza, M. (comp.) (2003). “Enseñar Matemática en el
    Nivel Inicial y Primer Ciclo de EGB, Análisis y propuestas”, Paidós, Bs. As.

    [1] Mtra.
    Cecilia de la Peña y Mtro. Javier Alliaume Molfino

    [2] Ver
    Sadovsky, 1991 y Salvador, Guzmán y Cólera “Matemática”, Anaya, Madrid, 1991.

    [3] Esto se
    encuentra ya en gran parte de la bibliografía de referencia. Queremos destacar
    que el maestro Alfredo Gadino planteó este tema en el debate nacional con su
    libro “6 años ya es tarde”.

    [4] Engels, F.,
    “Dialéctica de la naturaleza”.

    [5] Haciendo una
    analogía con el planteo de Saussure, en el ámbito de la lingüística, podemos
    decir que la colección de  muestra se
    asemeja al símbolo en tanto su referente guarda una correspondencia con el
    significado, y el número se asemeja al signo ya que el vínculo con el referente
    es arbitrario. Tan arbitrario como las cifras y las palabras número.

    [6] Sobre esto
    es preciso tener en cuenta que tanto los Egipcios, los Mayas, entre otras
    culturas, utilizaban el cero, aunque culturas anteriores no.

    [7] Sobre este
    problema se puede profundizar en el informe de la investigación de Lerner y
    Sadovsky (1997), y en Villella (1996).

    [8] Un número de
    n–cifras: anan-1…a1a0= an×10n+
    an-1×10n-1+…+ a1×101+ a0×100.
    Es decir, la posición de cada cifra determina la potencia a la que se eleva la
    base, que se va acumulando.

    [9] Cuando
    investigó acerca de la reconstrucción de uno de los sistemas de representación,
    la escritura, desde una perspectiva psicogenética (recordemos que fue alumna de
    Piaget).

    [10] Sobre este
    tema existe un trabajo realizado por la Prof. Ingrid Hack, titulado “Aportes
    para la comprensión del fenómenos de los números en la escuela”.

    [11] Brousseau
    se refiere a los obstáculos epistemológicos como “conocimientos adaptados”

    [12] Bourdieu, P., Chamboredon, J-C y
    Passeron, J. C. (1999). “El Oficio de Sociólogo”. Siglo Veintiuno,
    Madrid, pp. 19, 27 y 14.

    [13] Lo que no
    implica desconocer la existencia de números mayores y trabajar con ellos.

    [14] Sobre el
    abordaje de los racionales, se puede ver Héctor Ponce, “Enseñar y aprender
    matemática. Propuestas para el segundo ciclo”, Ediciones Novedades Educativas,
    Bs. As., 1999

    [15] Una
    fracción decimal es aquella cuyo denominador es un múltiplo de 10

    [16] Todo número
    decimal es pasible de ser representado mediante una familia de fracciones
    decimales.

    [17] Es interesante
    el planteo que hace Liliana Pazos, en “La Razón de las Fracciones”, Revista
    QueHacer Educativo Nº 57, febrero 2003.

     [AM1] Deberíamos ser más
    precisos en la definición que hace Chevallard, ven cuanto a cómo se relacionan
    los conceptos, o ¿por qué es tan importante hablar de esto?

       

       

      Autor:

      Mtra. Cecilia de la Pe?a

      Mtro. Javier Alliaume Molfino

      Montevideo, Uruguay

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