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Distribución de probabilidad discretas

Enviado por ositapanda22



  1. Problema
  2. Distribución binomial
  3. Distribución de Poisson

PROBLEMA

En los servicios de salud, una de las interrogantes mas comunes son:

¿Cuantos pacientes vendrán hoy a una hora determinada?

¿Cuál es la probabilidad de atender partos múltiples en un mes dado?

¿Cuál es la probabilidad de que un medicamento sea eficaz en un tratamiento dado?

Todas estas interrogantes pueden ser contestadas en su mayoría, haciendo uso de las distribuciones de probabilidades. En este caso de las discretas (Binomial y Poisson)

INTRODUCCION

Cuando se habla de los tipos de probabilidad, decimos que esta se clasifica en tres:

  1. Probabilidad clásica.
  2. Probabilidad distribución de frecuencias.
  3. Probabilidad subjetiva.

La distribución de probabilidades esta muy relacionado con el tipo de variables. Nosotros conocemos dos tipos de variables:

  1. Variable discreta, y
  2. Variable continúa.

En este trabajo, estudiaremos las principales distribuciones de variables discretas. Una distribución de probabilidades para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria tal que una probabilidad específica de ocurrencia se asocia con cada resultado.

El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.

P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X

La varianza de una variable aleatoria discreta (s 2) se define como el promedio ponderado de los cuadros de las diferencias entre cada resultado posible y su media (los pesos son las probabilidades de los resultados posibles).

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.

P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X

Las distribuciones de probabilidades discretas más importantes son:

  1. Distribución Binomial, y
  2. Distribución de Poisson

Hablaremos de cada tipo de distribución y como lo resolveremos aplicando el Excel.

DISTRIBUCION BINOMIAL

La distribución binomial es una distribución de probabilidades que surge al cumplirse cinco condiciones:

  1. Existe una serie de N ensayos,
  2. En cada ensayo hay sólo dos posibles resultados,
  3. En cada ensayo, los dos resultados posibles son mutuamente excluyentes,
  4. Los resultados de cada ensayo son independientes entre si, y
  5. La probabilidad de cada resultado posible en cualquier ensayo es la misma de un ensayo a otro.

Cuando se cumple estas condiciones, la distribución binomial proporciona cada resultado posible de los N ensayos y la probabilidad de obtener cada uno de estos resultados.

Para este tipo de distribución de probabilidad, la función matemática es la siguiente:

Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dados los parámetros n y p

n = tamaño de la muestra

p = probabilidad de éxito

1 – p = probabilidad de fracaso

X = numero de éxitos en la muestra ( X = 0, 1, 2, …….. n)

El término indica la probabilidad de obtener X éxitos de n observaciones en una secuencia específica. En término indica cuantas combinaciones de los X éxitos entre n observaciones son posibles.

Entonces dado el número de observaciones n y la probabilidad de éxito p, la probabilidad de X éxitos es:

P(X) = (numero de de secuencia posibles) x (probabilidad de un secuencia especifica)

Por eso que llegamos a la función matemática que representa esta distribución.

Veamos un ejemplo:

Supóngase que en cierta población el 52 por ciento de todos los nacimientos que se registraron son varones. Si aleatoriamente se escogen cinco registros de nacimientos dentro de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellos pertenezcan a varones?

Tenemos los siguientes datos:

N = 5 X = 3 p = 0.52

Este problema los solucionamos con el Excel.

Vamos a insertar función:

Escogemos en Seleccionar una categoría, a las Estadísticas. Y dentro de las estadísticas, escogemos a la DISTR.BINOM.

Ingresamos la información del problema y listo. P(X=3) = 0.3239

DISTRIBUCION DE POISSON

Se dice que existe un proceso de Poisson si podemos observar eventos discretos en un área de oportunidad – un intervalo continuo (de tiempo, longitud, superficie, etc.) – de tal manera que si se reduce lo suficiente el área de oportunidad o el intervalo,

  1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es constante.
  2. La probabilidad de obtener más de un éxito en el intervalo es 0.
  3. La probabilidad de observar un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de la de cualquier otro intervalo.

Esta distribución se aplica en situaciones como:

  • El numero de pacientes que llegan al servicio de emergencia de un hospital en un intervalo de tiempo.
  • El numero de radiaciones radiactivas que se recibe en un lapso de tiempo,
  • El numero de glóbulos blancos que se cuentan en una muestra dada.
  • El numero de partos triples por año

Su utilidad en el área de la salud es muy amplia.

La expresión matemática para la distribución de Poisson para obtener X éxitos, dado que se esperan l éxitos es:

Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dado el valor de l

l = esperanza del número de éxitos.

e = constante matemática, con valor aproximado 2.711828

X = número de éxitos por unidad

La distribución de Poisson se considera una buena aproximación a la distribución binomial, en el caso que np < 5 y p < 0.1 ó n > 100 y p < 0.05 y en ese caso l = np. El interes por sustituir la distribución Binomial por una distribución de Poisson se debe a que esta ultima depende unicamente de un solo parámetro, l , y la binomial de dos, n y p.

Veamos un ejemplo:

Si en promedio, llegan tres pacientes por minuto al servicio de emergencia del hospital del Niño durante la hora del almuerzo. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado, lleguen exactamente dos pacientes? Y ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de dos pacientes en un minuto dado?

Datos: l = 3 pacientes por minuto

P(X=2) = ¿?

Para resolver esto utilizamos al Excel. De las funciones estadísticas, seleccionamos la función POISSON.

Ingresamos la información que tenemos: y listo, tenemos el resultado:

P(X=2) = 0.2240

Para resolver la segunda parte del problema P(X>2) = ¿?

Con el Excel encontraremos P(X ≤ 2) y hacemos el siguiente cálculo:

P(X > 2 ) = 1 - P(X ≤ 2)

Utilizando nuevamente el Excel:

Entonces:

P(X>2) = 1 – 0.4232 = 0.5768

 

 

Autor:

Enma Irma Alvarez Cordero

Alumna de la Maestría Salud Publica con mención en Salud Reproductiva de la Universidad Federico Villarreal

en el curso de Estadística dictado por el Dr. Jorge Córdova Egochea.


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