En los servicios de
salud, una de las
interrogantes mas comunes son:
¿Cuantos pacientes vendrán hoy a una hora
determinada?
¿Cuál es la probabilidad de atender partos
múltiples en un mes dado?
¿Cuál es la probabilidad de que un
medicamento sea eficaz en un tratamiento dado?
Todas estas interrogantes pueden ser contestadas en su
mayoría, haciendo uso de las distribuciones de
probabilidades. En este caso de las discretas (Binomial y
Poisson)
Cuando se habla de los tipos de probabilidad, decimos
que esta se clasifica en tres:
- Probabilidad clásica.
- Probabilidad distribución de frecuencias.
- Probabilidad subjetiva.
La distribución de probabilidades esta muy
relacionado con el tipo de variables.
Nosotros conocemos dos tipos de variables:
- Variable discreta, y
- Variable continúa.
En este trabajo,
estudiaremos las principales distribuciones de variables
discretas. Una distribución de probabilidades para una
variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente
de todos los resultados numéricos posibles para esa
variable aleatoria tal que una probabilidad específica de
ocurrencia se asocia con cada resultado.
El valor esperado
de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de
todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las
probabilidades asociadas con cada uno de los
resultados.
Donde: Xi = i-ésimo
resultado de X, la variable discreta de interés.
P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo
resultado de X
La varianza de una variable aleatoria discreta
(s 2)
se define como el promedio ponderado de los cuadros de las
diferencias entre cada resultado posible y su media (los pesos
son las probabilidades de los resultados posibles).
Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable
discreta de interés.
P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo
resultado de X
Las distribuciones de probabilidades
discretas más importantes son:
- Distribución Binomial, y
- Distribución de Poisson
Hablaremos de cada tipo de distribución y como lo
resolveremos aplicando el Excel.
La distribución binomial es una
distribución de probabilidades que surge al cumplirse
cinco condiciones:
- Existe una serie de N ensayos,
- En cada ensayo hay
sólo dos posibles resultados, - En cada ensayo, los dos resultados posibles son
mutuamente excluyentes, - Los resultados de cada ensayo son independientes
entre si, y - La probabilidad de cada resultado posible en
cualquier ensayo es la misma de un ensayo a
otro.
Cuando se cumple estas condiciones, la
distribución binomial proporciona cada resultado posible
de los N ensayos y la probabilidad de obtener cada uno de estos
resultados.
Para este tipo de distribución de probabilidad,
la función
matemática
es la siguiente:
Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dados los
parámetros n y p
n = tamaño de la muestra
p = probabilidad de éxito
1 – p = probabilidad de fracaso
X = numero de éxitos en la muestra ( X = 0,
1, 2, …….. n)
El término indica la probabilidad de obtener X éxitos de
n observaciones en una secuencia específica. En
término indica cuantas combinaciones de los X éxitos entre n
observaciones son posibles.
Entonces dado el número de observaciones n y la
probabilidad de éxito
p, la probabilidad de X éxitos es:
P(X) = (numero de de secuencia posibles) x (probabilidad
de un secuencia especifica)
Por eso que llegamos a la función
matemática que representa esta
distribución.
Veamos un ejemplo:
Supóngase que en cierta población el 52 por ciento de todos los
nacimientos que se registraron son varones. Si aleatoriamente se
escogen cinco registros de
nacimientos dentro de esa población, ¿cuál
es la probabilidad de que exactamente tres de ellos pertenezcan a
varones?
Tenemos los siguientes datos:
N = 5 X = 3 p = 0.52
Este problema los solucionamos con el Excel.
Vamos a insertar función:
Escogemos en Seleccionar una categoría, a
las Estadísticas. Y dentro de las estadísticas, escogemos a la
DISTR.BINOM.
Ingresamos la información del problema y listo. P(X=3) =
0.3239
Se dice que existe un proceso de
Poisson si podemos observar eventos discretos
en un área de oportunidad – un intervalo continuo
(de tiempo,
longitud, superficie, etc.) – de tal manera que si se
reduce lo suficiente el área de oportunidad o el
intervalo,
- La probabilidad de observar exactamente un
éxito en el intervalo es constante. - La probabilidad de obtener más de un
éxito en el intervalo es 0. - La probabilidad de observar un éxito en
cualquier intervalo es estadísticamente independiente de
la de cualquier otro intervalo.
Esta distribución se aplica en situaciones
como:
- El numero de pacientes que llegan al servicio de
emergencia de un hospital en un intervalo de
tiempo. - El numero de radiaciones radiactivas que se recibe en
un lapso de tiempo, - El numero de glóbulos blancos que se cuentan
en una muestra dada. - El numero de partos triples por
año
Su utilidad en el
área de la salud es muy amplia.
La expresión matemática para la
distribución de Poisson para obtener X
éxitos, dado que se esperan l éxitos es:
Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dado el
valor de l
l = esperanza del número de
éxitos.
e = constante matemática, con valor aproximado
2.711828
X = número de éxitos por unidad
La distribución de Poisson se considera una buena
aproximación a la distribución binomial, en el caso
que np < 5 y p < 0.1 ó n > 100 y p < 0.05 y en
ese caso l = np.
El interes por sustituir la distribución Binomial por una
distribución de Poisson se debe a que esta ultima depende
unicamente de un solo parámetro, l , y la binomial de dos, n y
p.
Veamos un ejemplo:
Si en promedio, llegan tres pacientes por minuto al
servicio de emergencia del hospital del Niño durante la
hora del almuerzo. ¿Cuál es la probabilidad de que
en un minuto dado, lleguen exactamente dos pacientes? Y
¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más
de dos pacientes en un minuto dado?
Datos: l
= 3 pacientes por minuto
P(X=2) = ¿?
Para resolver esto utilizamos al Excel. De las funciones
estadísticas, seleccionamos la función
POISSON.
Ingresamos la información que tenemos: y listo,
tenemos el resultado:
P(X=2) = 0.2240
Para resolver la segunda parte del problema P(X>2) =
¿?
Con el Excel encontraremos P(X ≤ 2) y hacemos el
siguiente cálculo:
P(X > 2 ) = 1 – P(X ≤ 2)
Utilizando nuevamente el Excel:
Entonces:
P(X>2) = 1 – 0.4232 = 0.5768
Autor:
Enma Irma Alvarez Cordero
Alumna de la Maestría Salud Publica
con mención en Salud Reproductiva de la Universidad
Federico Villarreal
en el curso de Estadística dictado por el Dr. Jorge
Córdova Egochea.