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Distribución de probabilidad discretas




Enviado por ositapanda22



    1. Problema
    2. Distribución
      binomial
    3. Distribución de
      Poisson

    PROBLEMA

    En los servicios de
    salud, una de las
    interrogantes mas comunes son:

    ¿Cuantos pacientes vendrán hoy a una hora
    determinada?

    ¿Cuál es la probabilidad de atender partos
    múltiples en un mes dado?

    ¿Cuál es la probabilidad de que un
    medicamento sea eficaz en un tratamiento dado?

    Todas estas interrogantes pueden ser contestadas en su
    mayoría, haciendo uso de las distribuciones de
    probabilidades. En este caso de las discretas (Binomial y
    Poisson)

    INTRODUCCION

    Cuando se habla de los tipos de probabilidad, decimos
    que esta se clasifica en tres:

    1. Probabilidad clásica.
    2. Probabilidad distribución de frecuencias.
    3. Probabilidad subjetiva.

    La distribución de probabilidades esta muy
    relacionado con el tipo de variables.
    Nosotros conocemos dos tipos de variables:

    1. Variable discreta, y
    2. Variable continúa.

    En este trabajo,
    estudiaremos las principales distribuciones de variables
    discretas. Una distribución de probabilidades para una
    variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente
    de todos los resultados numéricos posibles para esa
    variable aleatoria tal que una probabilidad específica de
    ocurrencia se asocia con cada resultado.

    El valor esperado
    de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de
    todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las
    probabilidades asociadas con cada uno de los
    resultados.

    Donde: Xi = i-ésimo
    resultado de X, la variable discreta de interés.

    P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo
    resultado de X

    La varianza de una variable aleatoria discreta
    (s 2)
    se define como el promedio ponderado de los cuadros de las
    diferencias entre cada resultado posible y su media (los pesos
    son las probabilidades de los resultados posibles).

    Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable
    discreta de interés.

    P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo
    resultado de X

    Las distribuciones de probabilidades
    discretas más importantes son:

    1. Distribución Binomial, y
    2. Distribución de Poisson

    Hablaremos de cada tipo de distribución y como lo
    resolveremos aplicando el Excel.

    DISTRIBUCION BINOMIAL

    La distribución binomial es una
    distribución de probabilidades que surge al cumplirse
    cinco condiciones:

    1. Existe una serie de N ensayos,
    2. En cada ensayo hay
      sólo dos posibles resultados,
    3. En cada ensayo, los dos resultados posibles son
      mutuamente excluyentes,
    4. Los resultados de cada ensayo son independientes
      entre si, y
    5. La probabilidad de cada resultado posible en
      cualquier ensayo es la misma de un ensayo a
      otro.

    Cuando se cumple estas condiciones, la
    distribución binomial proporciona cada resultado posible
    de los N ensayos y la probabilidad de obtener cada uno de estos
    resultados.

    Para este tipo de distribución de probabilidad,
    la función
    matemática
    es la siguiente:

    Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dados los
    parámetros n y p

    n = tamaño de la muestra

    p = probabilidad de éxito

    1 – p = probabilidad de fracaso

    X = numero de éxitos en la muestra ( X = 0,
    1, 2, …….. n)

    El término indica la probabilidad de obtener X éxitos de
    n observaciones en una secuencia específica. En
    término indica cuantas combinaciones de los X éxitos entre n
    observaciones son posibles.

    Entonces dado el número de observaciones n y la
    probabilidad de éxito
    p, la probabilidad de X éxitos es:

    P(X) = (numero de de secuencia posibles) x (probabilidad
    de un secuencia especifica)

    Por eso que llegamos a la función
    matemática que representa esta
    distribución.

    Veamos un ejemplo:

    Supóngase que en cierta población el 52 por ciento de todos los
    nacimientos que se registraron son varones. Si aleatoriamente se
    escogen cinco registros de
    nacimientos dentro de esa población, ¿cuál
    es la probabilidad de que exactamente tres de ellos pertenezcan a
    varones?

    Tenemos los siguientes datos:

    N = 5 X = 3 p = 0.52

    Este problema los solucionamos con el Excel.

    Vamos a insertar función:

    Escogemos en Seleccionar una categoría, a
    las Estadísticas. Y dentro de las estadísticas, escogemos a la
    DISTR.BINOM.

    Ingresamos la información del problema y listo. P(X=3) =
    0.3239

    DISTRIBUCION DE POISSON

    Se dice que existe un proceso de
    Poisson si podemos observar eventos discretos
    en un área de oportunidad – un intervalo continuo
    (de tiempo,
    longitud, superficie, etc.) – de tal manera que si se
    reduce lo suficiente el área de oportunidad o el
    intervalo,

    1. La probabilidad de observar exactamente un
      éxito en el intervalo es constante.
    2. La probabilidad de obtener más de un
      éxito en el intervalo es 0.
    3. La probabilidad de observar un éxito en
      cualquier intervalo es estadísticamente independiente de
      la de cualquier otro intervalo.

    Esta distribución se aplica en situaciones
    como:

    • El numero de pacientes que llegan al servicio de
      emergencia de un hospital en un intervalo de
      tiempo.
    • El numero de radiaciones radiactivas que se recibe en
      un lapso de tiempo,
    • El numero de glóbulos blancos que se cuentan
      en una muestra dada.
    • El numero de partos triples por
      año

    Su utilidad en el
    área de la salud es muy amplia.

    La expresión matemática para la
    distribución de Poisson para obtener X
    éxitos, dado que se esperan l éxitos es:

    Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dado el
    valor de l

    l = esperanza del número de
    éxitos.

    e = constante matemática, con valor aproximado
    2.711828

    X = número de éxitos por unidad

    La distribución de Poisson se considera una buena
    aproximación a la distribución binomial, en el caso
    que np < 5 y p < 0.1 ó n > 100 y p < 0.05 y en
    ese caso l = np.
    El interes por sustituir la distribución Binomial por una
    distribución de Poisson se debe a que esta ultima depende
    unicamente de un solo parámetro, l , y la binomial de dos, n y
    p.

    Veamos un ejemplo:

    Si en promedio, llegan tres pacientes por minuto al
    servicio de emergencia del hospital del Niño durante la
    hora del almuerzo. ¿Cuál es la probabilidad de que
    en un minuto dado, lleguen exactamente dos pacientes? Y
    ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más
    de dos pacientes en un minuto dado?

    Datos: l
    = 3 pacientes por minuto

    P(X=2) = ¿?

    Para resolver esto utilizamos al Excel. De las funciones
    estadísticas, seleccionamos la función
    POISSON.

    Ingresamos la información que tenemos: y listo,
    tenemos el resultado:

    P(X=2) = 0.2240

    Para resolver la segunda parte del problema P(X>2) =
    ¿?

    Con el Excel encontraremos P(X ≤ 2) y hacemos el
    siguiente cálculo:

    P(X > 2 ) = 1 – P(X ≤ 2)

    Utilizando nuevamente el Excel:

    Entonces:

    P(X>2) = 1 – 0.4232 = 0.5768

     

     

    Autor:

    Enma Irma Alvarez Cordero

    Alumna de la Maestría Salud Publica
    con mención en Salud Reproductiva de la Universidad
    Federico Villarreal

    en el curso de Estadística dictado por el Dr. Jorge
    Córdova Egochea.

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