Electrodinámica clásica usando formas diferenciales

1. Características del
   trabajo
2. Objetivos
4. Resumen
5. Introducción
6. Formas diferenciales y el campo
   electromagnético
7. Conclusiones
8. Referencias

Características del
trabajo

En este trabajo
estudiamos la formulación diferencial de las ecuaciones de
Maxwell en principio, en su forma integral y luego en su forma
puntual, para ello usamos como herramienta matemática
el álgebra de
las Formas Diferenciales. Mostramos que usando el lenguaje de
las formas diferenciales nos permite interpretar y entender
fácilmente las ecuaciones del campo
electromagnético. Por otro lado, también mostramos
que las formas diferenciales permiten simplificar las diferentes
identidades vectoriales a simples relaciones algebraicas que son
más adecuadas de usar.

Objetivos

• Formular las leyes de
  Maxwell haciendo uso de las formas diferenciales y encontrar
  las interpretaciones geométricas para dichas
  leyes.
• Desarrollar las funciones de
  Green usando las formas diferenciales y aplicarlo en un caso
  particular.
• Usar las formas diferenciales para encontrar
  representaciones de las condiciones de contorno
  electromagnético.

Problemática.

Cartan y otros matemáticos de su época
desarrollaron el cálculo de
las formas diferenciales, en los inicios de siglo 20. Una forma
diferencial es una cantidad que puede ser integrada o
simplemente, se puede definir, como un tensor completamente
antisimétrico y covariante.

Por otro lado, las leyes de la electrodinámica
clásica expresado por las ecuaciones de Maxwell a mediados
de 1800 estaban expresadas por una docena de ecuaciones
escalares. Luego, con el uso del cálculo vectorial, esta
cantidad fue reducida a solo 4 ecuaciones. Luego, con el uso del
análisis tensorial las ecuaciones son
más concisas y generales, pero, existe un problema, es
demasiado abstracto para permitir al estudiante un entendimiento
conceptual de estas leyes. Sin embargo, cuando se aplica las
formas diferenciales a la electrodinámica, existe una
combinación entre la generalidad de los tensores y la
simplicidad de los vectores.

El tratamiento general de las formas diferenciales a la
electrodinámica están incluidos en muchas
publicaciones y en algunos textos, por ejemplo,
"electrodinámica clásica" de Ingarden y
Jamiolkowski, en este texto, los
autores usan una combinación entre los vectores y las
formas diferenciales. Parrot emplea las formas
diferenciales para desarrollar una electrodinámica
avanzada. El texto de Gravitación de Misner,
Thorne y Wheeler trata en sus diferentes capítulos
sobre la teoría
electromagnética y las formas diferenciales, enfatizando
en la representación gráfica de las formas
diferenciales (las p-formas).

Resumen.

Primero presentamos el álgebra de las formas
diferenciales y sus diferentes propiedades. Asociando dichos
entes matemáticos con las magnitudes físicas usadas
en la teoría electromagnética, detallamos la
formulación puntual de las ecuaciones de Maxwell. Luego
desarrollamos una nueva representación para las
condiciones de borde del campo electromagnético, para
esto, introducimos el operador de proyección de borde. A
continuación, usando la formas diferenciales,
desarrollamos las funciones de Green escalar y Dyadic de la
teoría electromagnética. La función de
Green Dyadic es una forma doble, la cual es una forma diferencial
en un espacio con coeficientes que son formas diferenciales en
otro espacio.

1.-
INTRODUCCION

El uso del cálculo de las formas diferenciales es
usado en muchos artículos de investigación y en algunos textos
importantes, tales como el de Misner, Thorne, y wheeler
[1], Deschamps [2], Burke [3]. En estos trabajos se
hacen notar algunas ventajas del uso de las formas diferenciales
en la teoría electromagnética (EM), por ejemplo, en
Misner et al. Y Burke muestran la representación
gráfica de las formas diferenciales y se introduce algunos
operadores las cuales actúan sobre el espacio de p-formas,
también tratan otros aspectos de la aplicación de
p-formas en el electromagnetismo. También se sabe que
Deschamps fue el primero en defender el uso de formas
diferenciales en la enseñanza de la ingeniería
electromagnética.

En el presente trabajo presentamos un tópico al
nivel de pre-grado y enfatizaremos los beneficios de las formas
diferenciales en el aprendizaje de un
curso introductorio de electromagnetismo, especialmente la
representación gráfica de las formas diferenciales
y la utilidad de los
operadores que actúan sobre estas. El cálculo de
las formas diferenciales y los principios de la
teoría EM serán introducidos en paralelo.
Presentaremos un diagrama
visual de las diferentes variables
dinámicas del campo, de las leyes de Maxwell y de las
condiciones de borde. El objetivo de
este trabajo es demostrar que las formas diferenciales son una
herramienta atractiva y más viable que el cálculo
vectorial para el aprendizaje de
la teoría EM.

El cálculo de las formas diferenciales fue
desarrollado por Cartan y otros autores a comienzos del
siglo XX. Definiendo una forma diferencial como una cantidad que
puede ser integrado, es decir, que esta compuesto de integrales. Se
puede apreciar también que una forma diferencial es un
tensor completamente antisimétrico. Desde los tiempos de
Cartan, el uso de las formas diferenciales fue extendido a muchos
otros campos de la matemática pura y aplicada, desde la
topología diferencial hasta la
teoría de ecuaciones
diferenciales. Las formas diferenciales son usadas en la
teoría de la relatividad [1], teoría de campos
cuánticos [4], termodinámica [5], mecánica [6], así como en
electromagnetismo. Una sección dedicado a las formas
diferenciales es divulgada en textos de física
matemática [7], [8].

Las leyes de la teoría del campo EM como fueron
expresados por James Clerk Maxwell a mediados del siglo XIX en un
principio requerían de una docena de ecuaciones para ser
expresado. Sin embargo, con la introducción del análisis vectorial
como una herramienta para expresar dichas leyes, el número
de ecuaciones fue simplificado de 12 a 4, lo cual facilita
el trabajo
operacional en la teoría EM. Como consecuencia del
desarrollo de
las ecuaciones de Maxwell, con la unificación de la
electricidad,
el magnetismo y la
óptica,
y con la aparición de la relatividad especial, estas
ecuaciones tuvieron que ser reformuladas mediante el uso del
calculo tensorial, el cual se torno más
conciso y general, sin embargo, era demasiado abstracto para dar
al estudiante un entendimiento conceptual de la teoría EM.
Weyl y Poíncare fueron los primeros en expresar las leyes
de Maxwell usando las formas diferenciales. Las formas
diferenciales combina la generalidad de los tensores con la
simplicidad de los vectores.

El tratamiento general de las formas diferenciales y la
teoría EM se incluye en los artículos [2], [10],
[11], [12], [13], y [14]. Ingarden y Jamiolkowksi [15] es
un texto de electrodinámica en el cual se usa una
combinación de vectores y las formas diferenciales.
Parrott [16] emplea las formas diferenciales para tratar
una electrodinámica avanzada. Thirring [17] es un
texto de teoría de campos clásico que incluye
ciertas aplicaciones a tópicos tales como guías de
ondas. Bamberg
y Sternberg [5] desarrollaron tópicos en
física-matemática, incluyendo la teoría EM
vía una discusión de las formas discretas y la
teoría de circuitos.
Burke [3] estudia tópicos de física usando
las formas diferenciales, se muestra como es
la representación gráfica de las formas, y discute
sobre las formas diferenciales de twisted, el texto de
relatividad general de Misner, Thorne y Wheeler [1] dedica
varios capítulos a la teoría EM y las formas
diferenciales, enfatizando sus representaciones gráficas. Flanders [6] estudia el
cálculo de las formas y varias aplicaciones son
presentadas, mencionando brevemente el
electromagnetismo.

En este trabajo usaremos únicamente la
representación (3+1), debido a que esta
representación del espacio-tiempo es
tratada en muchas referencias. Existen otros formalismos para la
teoría EM que también son beneficioso, incluyendo
los bivectores, quaterniones, espinores, y el álgebra de
Clifford. Sin embargo, ninguno de ellos ofrece la
combinación de la representación gráfica de
las formas diferenciales y el método
vectorial tradicional. Por esto, para un estudio del
electromagnetismo la herramienta más conveniente que debe
ser usado es el cálculo de las formas diferenciales.
Algunos autores estuvieron desarrollando una
representación conveniente de las condiciones de borde
electromagnético [18]. En la referencia [17]
Thirring trata diferentes aplicaciones de la teoría
electromagnética usando las formas diferenciales, en la
referencia [19] se trata la función de Green dyadic usando
las formas diferenciales. Algunos trabajos usaron las formas de
Green para medios
anisotrópicos [20], [21].

Como un lenguaje para
enseñar la teoría electromagnética, las
formas diferenciales ofrecen importantes ventajas sobre el
análisis vectorial. El análisis vectorial solo
permite reconocer dos tipos de cantidades: los campos escalares y
los campos vectoriales (ignorando la propiedad de
inversión). En un espacio tridimensional,
existen las formas diferenciales de cuatro tipos. Esto permite
tener diferentes expresiones matemáticas y gráficas para la
densidad de
flujo e intensidad de campo, de este modo, el estudiante puede
visualizar diagramas que
clarifican las diferentes propiedades de cada tipo de
cantidad.

La interpretación física de un campo
vectorial esta implícitamente contenida en la
elección del operador o integral que actúa sobre
este. Con las formas diferenciales, estas propiedades son
directamente evidentes del tipo de formas usadas para representar
la cantidad.

2.- FORMAS
DIFERENCIALES Y EL CAMPO ELECTROMAGNETICO

Comenzaremos definiendo las formas diferenciales y sus
diferentes grados y luego vamos a identificar estas formas con la
intensidad del campo, densidad de flujo del campo, densidad de
corriente, densidad de carga y potencial escalar.

Una forma diferencial se define como una cantidad que se
puede integrar. El tipo de integral llamado para integrar una
forma diferencial determina su grado. Por ejemplo, la forma 5xdx
es integrada por una integral simple sobre una trayectoria dada y
así este será conocido como una 1-forma, la forma
x2ydxdy es integrada por una integral doble sobre una
superficie, entonces esta será una 2-forma. De esta
manera, las 0-formas son funciones, "integrada" por la evaluación
en un punto. Podemos resumir esto mediante el siguiente
cuadro.

TABLA I (Formas diferenciales de cualquier
grado)

2.1.- Representación del campo
electromagnético con las formas
diferenciales

Usando las leyes de Maxwell en su forma integral,
podemos determinar rápidamente el grado de las formas
diferenciales que representan las diferentes cantidades del campo
electromagnético. Para esto, de las ecuaciones de
Maxwell:

(1)

Observamos, que la intensidad del campo
eléctrico esta integrada sobre una trayectoria, en
consecuencia será una 1-forma. De la misma manera, observe
que la intensidad del campo
magnético esta integrada sobre una trayectoria,
entonces también será una 1-forma. La densidad de
flujo magnético y flujo eléctrico son ambas
integrada sobre una superficie, así son 2-formas. Las
fuentes que
son la densidad de corriente
eléctrica, la cual también es una 2-forma,
debido a que se encuentra bajo una integral de superficie, y la
otra fuente es la densidad de carga volumétrica, la cual
es una 3-forma, debido a que esta integrado sobre un volumen.
Todo esto se puede resumir mediante la siguiente
tabla:

TABLA II (Las formas diferenciales que representan
campos y fuentes)

2.2.- 1-formas; intensidad de campo

Las formas diferenciales conducen a la
representación de la intensidad de campo como niveles
energéticos. Una 1-forma es entonces representada
gráficamente como un espacio de superficies [1], [3]. Para
un campo conservativo, las superficies de las 1-forma asociadas
son equipotenciales. Por ejemplo, la diferencial dx produce
superficies perpendiculares al eje x, como se muestra en
la Fig. 1a. De la misma manera, dy tiene una superficie
perpendicular al eje y y las superficies de dz son
perpendiculares al eje z. Una combinación lineal de
estas superficies, serán superficies que están
incrustado por los ejes coordenados. Los coeficientes de una
1-forma determina el espaciamiento de las superficies por unidad
de longitud. A mayor magnitud de los coeficientes, las
superficies son mas pegadas unas a otras, es decir, habrá
mayor espaciamiento por unidad de longitud. La 1-forma 2dz,
mostrada en la Fig. 1b, tiene superficies mas pegadas que las de
dx en Fig.1a.

En general, las superficies de una 1-forma pueden ser
curvos, terminar (finito), o cortarse entre sí,
dependiendo del comportamiento
de los coeficientes de la forma diferencial asociada a estas. Si
las superficies de una 1-forma no se cortan ni terminan, entonces
el campo representado por la forma es conservativo. Por ejemplo,
el campo correspondiente a la 1-forma de la Fig. 1a es
conservativo; y el campo en la Fig. 1c no es
conservativo.

La orientación de una forma es especificada por
una de las direcciones normales a la superficie de la forma. Las
superficies de 3dx están orientadas en la dirección +x, y aquellos de –3dx en
la dirección –x. la orientación de una forma
es usualmente aclarado en el contexto y así este es
omitido de las figuras. La integral de una 1-forma a lo largo de
una trayectoria es igual al número de superficies
incrustadas por la trayectoria. La una 1-forma E1dx
+ E2dy + E3dz es llamada Dual al campo
vectorial. La
una 1-formas intensidad del campo E y H son duales
a los vectores E y H.

2.3.- 2-formas; densidad de flujo y densidad de
corriente

La densidad de flujo de campo puede ser considerada como
unos tubos que conectan sus fuentes. Esta es la
representación gráfica natural de una 2-forma, la
cual es dibujada como un conjunto de superficies que se
interceptan para formas tubos. La forma diferencial dxdy es
representada por la superposición de las superficies
asociadas a dx y dy. Las superficies de dx son perpendiculares al
eje x y los de dy perpendicular al eje y al interceptarse
formaran tubos en la dirección de z, como es ilustrado por
la Fig.2a. Los coeficientes de una 2-forma da el espaciamiento de
los tubos. A mayor coeficiente, los tubos son más densos.
Una 2-forma arbitraria puede representarse por tubos que pueden
ser curvos o pueden convergir en un punto.

La dirección del flujo a lo largo de los tubos de
una 2-formas es dada por la regla de la mano derecha que es
aplicado a las orientaciones de las superficies que forman la
pared del tubo. La orientación de dx es la
dirección +x, y el de dy es la dirección +y,
así que el flujo debido a dxdy es la dirección +z.
La integral de una 2-forma sobre una superficie es igual al
número de tubos que interceptan dicha superficie, donde
cualquier tubo es considerado positivo si su orientaron esta en
la dirección de la orientación de la superficie, y
negativa si su orientación es inversa. Esto es ilustrado
en la Fig. 1b. Una 2-forma arbitraria D1 dydz +
D2 dzdx + D3 dxdy es dual al campo
vectorial,
así que las 2-formas densidades de flujo del campo D y B
son duales a las usuales densidades de flujo del campo vectorial
D y B.

2.4.- 3-formas; densidad de carga y 0-formas;
potencial escalar

Algunas cantidades físicas que son consideradas
escalares son las densidades, y estas pueden ser integradas sobre
un volumen. Sin embargo, otras cantidades escalares, tal como el
potencial eléctrico, integrada sobre un volumen no tiene
sentido, esto quiere decir, que existen dos tipos de cantidades
escalares. El cálculo de las formas distingue entre estos
dos tipos de cantidades, representando las densidades como
3-formas y las que no son densidades por 0-formas. Una 3-forma es
representada gráficamente por la interceptación de
tres conjuntos de
superficies que forman cajas. La densidad de las cajas es
proporcional a los coeficientes de la 3-forma; cuando el
coeficiente es mayor, las cajas serán más
pequeñas pero en una unidad de volumen habrá
más cajas. Una carga puntual es representada por una caja
infinitesimal localizada en el punto de la carga. Como un
ejemplo, tenemos la 3-forma dxdydz y es representado por la
unión de tres familias de planos perpendiculares a los
ejes cartesianos como se muestra en la Fig. 3. La
orientación de una 3-forma es dada por la
especificación del signo de su caja.

En cambo las 0-formas son funciones. El potencial
escalar, por
ejemplo, es una 0-forma. Entonces cualquier cantidad escalar que
no es una densidad de volumen es representada por una
0-forma.

10.-
CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

Las principales ventajas que se consigue al usar las
formas diferenciales como herramienta son, primero, el uso de las
formas diferenciales nos permiten expresar distintas
representaciones matemáticas y gráficas para la
intensidad del campo y para la densidad de flujo de campo,
segundo, las formas diferenciales hacen más intuitiva la
representación gráfica de las leyes de Maxwell,
tercero, el uso de las p-formas nos permite representar mediante
una diagrama muy simple las condiciones de borde
electromagnético, cuarto, las funciones de Green dyadic
pueden ser reemplazados por una forma doble.

Las derivaciones presentadas aquí son más
directas que sus contrapartes vectoriales-Dyadic, por ejemplo, la
regla del producto para
la derivada exterior y el teorema de Stokes generalizado
reemplazan muchas identidades vectoriales. Las formas
diferenciales suministran un modelo visual
que puede ayudar a los estudiantes a recordar y aplicar los
principios de electromagnetismo. Las formas diferenciales
simplifican los cálculos, por ejemplo: las derivadas son
fáciles de aplicar en coordenadas curvilíneas, la
integración viene a ser más directa y
también, una familia de
identidades vectoriales son reemplazadas simplemente por reglas
algebraicas. Estas ventajas sobre los métodos
tradicionales hacen del cálculo de las formas
diferenciales un lenguaje ideal para aprender la teoría
del campo electromagnético.

También encontramos que debido a la simple
correspondencia entre vectores y las formas, realizar la
transición a partir del cálculo vectorial a formas
diferenciales es completamente fácil para un
estudiante.

Las formas diferenciales son usadas en muchas
líneas de investigación de la física, por
ejemplo, en la física teórica y computacional, por
ello en un trabajo de tesis de
licenciatura que vamos a encaminar en el futuro usaremos el
lenguaje de las formas diferenciales conjuntamente con el
álgebra topológica para desarrollar una
teoría electromagnética clásica finito
(discreto). Obviamente, la elección del uso de las formas
diferenciales es debido a que las estas permiten una
discretización directa de las ecuaciones
cinemáticas y de las ecuaciones de balance del campo
electromagnético.

REFERENCIAS

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[5] P. Bamberg y S. Sternberg, A course in
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[11] N. Scheifer, "differential Forms as a Basis for
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[12] D. B. Nguyen, "Relativistic Constitutive
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[13] D. Baldomir y P. Hammond, "Global Geometry of
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[15] R. S. Ingarden y A. Jamiolkowksi, Classical
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[16] S. Parrot, Relativistic Electrodynamics and
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[17] Walter Thirring, Classical Field Theory,
vol. II, Springer-Verlag, New York, 2 edition, 1978.

[18] K. F. Warnick, R. H. Selfridge, y D. V. Arnold,
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[19] K. F. Warnick y D. V. Arnold, "Electromagnetic
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[20] K. F. Warnick y D. V. Arnold, "Differential forms
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[21] K. F. Warnick y D. V. Arnold, "Green forms for
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[22] J. A. Schouten, Pfaff’s problem and its
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[23] William L. Burke, "Manifestly parity invariant
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[24] G. de Rham, Differentiable Manifolds, New
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[25] Q.-K. Lu, "Green forms to intrinsic metric of a
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[26] J. A. Kong, Electromagnetic Wave Theory,
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[27] H. Federer, Geometric Measure Theory, New
York: Springer-Verlag, 1969.

Agradecimientos:

Agradezco al Doctor Jorge A. Espichan, por la
amabilidad de corregir y orientar mi trabajo de
investigación y al profesor
Renato Tovar, por facilitarme algunas informaciones y a mis
compañeros Miguel Saldaña y Jasón Atoche por
sus sabios consejos.

Autor:

César Juan Alarcón
LLacctarímay

Bachiller en física pura

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA