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Electrodinámica clásica usando formas diferenciales

Enviado por cesaralarconll



  1. Características del trabajo
  2. Objetivos
  3. Resumen
  4. Introducción
  5. Formas diferenciales y el campo electromagnético
  6. Conclusiones
  7. Referencias

Características del trabajo

En este trabajo estudiamos la formulación diferencial de las ecuaciones de Maxwell en principio, en su forma integral y luego en su forma puntual, para ello usamos como herramienta matemática el álgebra de las Formas Diferenciales. Mostramos que usando el lenguaje de las formas diferenciales nos permite interpretar y entender fácilmente las ecuaciones del campo electromagnético. Por otro lado, también mostramos que las formas diferenciales permiten simplificar las diferentes identidades vectoriales a simples relaciones algebraicas que son más adecuadas de usar.

Objetivos

  • Formular las leyes de Maxwell haciendo uso de las formas diferenciales y encontrar las interpretaciones geométricas para dichas leyes.
  • Desarrollar las funciones de Green usando las formas diferenciales y aplicarlo en un caso particular.
  • Usar las formas diferenciales para encontrar representaciones de las condiciones de contorno electromagnético.

Problemática.

Cartan y otros matemáticos de su época desarrollaron el cálculo de las formas diferenciales, en los inicios de siglo 20. Una forma diferencial es una cantidad que puede ser integrada o simplemente, se puede definir, como un tensor completamente antisimétrico y covariante.

Por otro lado, las leyes de la electrodinámica clásica expresado por las ecuaciones de Maxwell a mediados de 1800 estaban expresadas por una docena de ecuaciones escalares. Luego, con el uso del cálculo vectorial, esta cantidad fue reducida a solo 4 ecuaciones. Luego, con el uso del análisis tensorial las ecuaciones son más concisas y generales, pero, existe un problema, es demasiado abstracto para permitir al estudiante un entendimiento conceptual de estas leyes. Sin embargo, cuando se aplica las formas diferenciales a la electrodinámica, existe una combinación entre la generalidad de los tensores y la simplicidad de los vectores.

El tratamiento general de las formas diferenciales a la electrodinámica están incluidos en muchas publicaciones y en algunos textos, por ejemplo, "electrodinámica clásica" de Ingarden y Jamiolkowski, en este texto, los autores usan una combinación entre los vectores y las formas diferenciales. Parrot emplea las formas diferenciales para desarrollar una electrodinámica avanzada. El texto de Gravitación de Misner, Thorne y Wheeler trata en sus diferentes capítulos sobre la teoría electromagnética y las formas diferenciales, enfatizando en la representación gráfica de las formas diferenciales (las p-formas).

Resumen.

Primero presentamos el álgebra de las formas diferenciales y sus diferentes propiedades. Asociando dichos entes matemáticos con las magnitudes físicas usadas en la teoría electromagnética, detallamos la formulación puntual de las ecuaciones de Maxwell. Luego desarrollamos una nueva representación para las condiciones de borde del campo electromagnético, para esto, introducimos el operador de proyección de borde. A continuación, usando la formas diferenciales, desarrollamos las funciones de Green escalar y Dyadic de la teoría electromagnética. La función de Green Dyadic es una forma doble, la cual es una forma diferencial en un espacio con coeficientes que son formas diferenciales en otro espacio.

1.- INTRODUCCION

El uso del cálculo de las formas diferenciales es usado en muchos artículos de investigación y en algunos textos importantes, tales como el de Misner, Thorne, y wheeler [1], Deschamps [2], Burke [3]. En estos trabajos se hacen notar algunas ventajas del uso de las formas diferenciales en la teoría electromagnética (EM), por ejemplo, en Misner et al. Y Burke muestran la representación gráfica de las formas diferenciales y se introduce algunos operadores las cuales actúan sobre el espacio de p-formas, también tratan otros aspectos de la aplicación de p-formas en el electromagnetismo. También se sabe que Deschamps fue el primero en defender el uso de formas diferenciales en la enseñanza de la ingeniería electromagnética.

En el presente trabajo presentamos un tópico al nivel de pre-grado y enfatizaremos los beneficios de las formas diferenciales en el aprendizaje de un curso introductorio de electromagnetismo, especialmente la representación gráfica de las formas diferenciales y la utilidad de los operadores que actúan sobre estas. El cálculo de las formas diferenciales y los principios de la teoría EM serán introducidos en paralelo. Presentaremos un diagrama visual de las diferentes variables dinámicas del campo, de las leyes de Maxwell y de las condiciones de borde. El objetivo de este trabajo es demostrar que las formas diferenciales son una herramienta atractiva y más viable que el cálculo vectorial para el aprendizaje de la teoría EM.

El cálculo de las formas diferenciales fue desarrollado por Cartan y otros autores a comienzos del siglo XX. Definiendo una forma diferencial como una cantidad que puede ser integrado, es decir, que esta compuesto de integrales. Se puede apreciar también que una forma diferencial es un tensor completamente antisimétrico. Desde los tiempos de Cartan, el uso de las formas diferenciales fue extendido a muchos otros campos de la matemática pura y aplicada, desde la topología diferencial hasta la teoría de ecuaciones diferenciales. Las formas diferenciales son usadas en la teoría de la relatividad [1], teoría de campos cuánticos [4], termodinámica [5], mecánica [6], así como en electromagnetismo. Una sección dedicado a las formas diferenciales es divulgada en textos de física matemática [7], [8].

Las leyes de la teoría del campo EM como fueron expresados por James Clerk Maxwell a mediados del siglo XIX en un principio requerían de una docena de ecuaciones para ser expresado. Sin embargo, con la introducción del análisis vectorial como una herramienta para expresar dichas leyes, el número de ecuaciones fue simplificado de 12 a 4, lo cual facilita el trabajo operacional en la teoría EM. Como consecuencia del desarrollo de las ecuaciones de Maxwell, con la unificación de la electricidad, el magnetismo y la óptica, y con la aparición de la relatividad especial, estas ecuaciones tuvieron que ser reformuladas mediante el uso del calculo tensorial, el cual se torno más conciso y general, sin embargo, era demasiado abstracto para dar al estudiante un entendimiento conceptual de la teoría EM. Weyl y Poíncare fueron los primeros en expresar las leyes de Maxwell usando las formas diferenciales. Las formas diferenciales combina la generalidad de los tensores con la simplicidad de los vectores.

El tratamiento general de las formas diferenciales y la teoría EM se incluye en los artículos [2], [10], [11], [12], [13], y [14]. Ingarden y Jamiolkowksi [15] es un texto de electrodinámica en el cual se usa una combinación de vectores y las formas diferenciales. Parrott [16] emplea las formas diferenciales para tratar una electrodinámica avanzada. Thirring [17] es un texto de teoría de campos clásico que incluye ciertas aplicaciones a tópicos tales como guías de ondas. Bamberg y Sternberg [5] desarrollaron tópicos en física-matemática, incluyendo la teoría EM vía una discusión de las formas discretas y la teoría de circuitos. Burke [3] estudia tópicos de física usando las formas diferenciales, se muestra como es la representación gráfica de las formas, y discute sobre las formas diferenciales de twisted, el texto de relatividad general de Misner, Thorne y Wheeler [1] dedica varios capítulos a la teoría EM y las formas diferenciales, enfatizando sus representaciones gráficas. Flanders [6] estudia el cálculo de las formas y varias aplicaciones son presentadas, mencionando brevemente el electromagnetismo.

En este trabajo usaremos únicamente la representación (3+1), debido a que esta representación del espacio-tiempo es tratada en muchas referencias. Existen otros formalismos para la teoría EM que también son beneficioso, incluyendo los bivectores, quaterniones, espinores, y el álgebra de Clifford. Sin embargo, ninguno de ellos ofrece la combinación de la representación gráfica de las formas diferenciales y el método vectorial tradicional. Por esto, para un estudio del electromagnetismo la herramienta más conveniente que debe ser usado es el cálculo de las formas diferenciales. Algunos autores estuvieron desarrollando una representación conveniente de las condiciones de borde electromagnético [18]. En la referencia [17] Thirring trata diferentes aplicaciones de la teoría electromagnética usando las formas diferenciales, en la referencia [19] se trata la función de Green dyadic usando las formas diferenciales. Algunos trabajos usaron las formas de Green para medios anisotrópicos [20], [21].

Como un lenguaje para enseñar la teoría electromagnética, las formas diferenciales ofrecen importantes ventajas sobre el análisis vectorial. El análisis vectorial solo permite reconocer dos tipos de cantidades: los campos escalares y los campos vectoriales (ignorando la propiedad de inversión). En un espacio tridimensional, existen las formas diferenciales de cuatro tipos. Esto permite tener diferentes expresiones matemáticas y gráficas para la densidad de flujo e intensidad de campo, de este modo, el estudiante puede visualizar diagramas que clarifican las diferentes propiedades de cada tipo de cantidad.

La interpretación física de un campo vectorial esta implícitamente contenida en la elección del operador o integral que actúa sobre este. Con las formas diferenciales, estas propiedades son directamente evidentes del tipo de formas usadas para representar la cantidad.

2.- FORMAS DIFERENCIALES Y EL CAMPO ELECTROMAGNETICO

Comenzaremos definiendo las formas diferenciales y sus diferentes grados y luego vamos a identificar estas formas con la intensidad del campo, densidad de flujo del campo, densidad de corriente, densidad de carga y potencial escalar.

Una forma diferencial se define como una cantidad que se puede integrar. El tipo de integral llamado para integrar una forma diferencial determina su grado. Por ejemplo, la forma 5xdx es integrada por una integral simple sobre una trayectoria dada y así este será conocido como una 1-forma, la forma x2ydxdy es integrada por una integral doble sobre una superficie, entonces esta será una 2-forma. De esta manera, las 0-formas son funciones, "integrada" por la evaluación en un punto. Podemos resumir esto mediante el siguiente cuadro.

TABLA I (Formas diferenciales de cualquier grado)

Grado Región de integración Ejemplo Forma general

0-Forma Punto 3x f(x,y,z)

1-Forma Curva ydx+zdy f1dx+f2dy +f3dz

2-Forma Superficie sin(y)dydz+cos(x)dzdx g1dydz+g2dzdx+g3dxdy

3-Forma Volumen (x+y)dxdydz hdxdydz

2.1.- Representación del campo electromagnético con las formas diferenciales

Usando las leyes de Maxwell en su forma integral, podemos determinar rápidamente el grado de las formas diferenciales que representan las diferentes cantidades del campo electromagnético. Para esto, de las ecuaciones de Maxwell:

(1)

Observamos, que la intensidad del campo eléctrico esta integrada sobre una trayectoria, en consecuencia será una 1-forma. De la misma manera, observe que la intensidad del campo magnético esta integrada sobre una trayectoria, entonces también será una 1-forma. La densidad de flujo magnético y flujo eléctrico son ambas integrada sobre una superficie, así son 2-formas. Las fuentes que son la densidad de corriente eléctrica, la cual también es una 2-forma, debido a que se encuentra bajo una integral de superficie, y la otra fuente es la densidad de carga volumétrica, la cual es una 3-forma, debido a que esta integrado sobre un volumen. Todo esto se puede resumir mediante la siguiente tabla:

TABLA II (Las formas diferenciales que representan campos y fuentes)

Cantidad Forma Grado Unidades Vector/escalar

Intensidad del campo eléctrico E 1-forma V E

Intensidad de campo magnético H 1-forma A H

Densidad de flujo eléctrico D 2-forma C D

Densidad de flujo magnético B 2-forma Wb B

Densidad de corriente eléctrica J 2-forma A J

Densidad de carga eléctrica 3-forma C q

2.2.- 1-formas; intensidad de campo

Las formas diferenciales conducen a la representación de la intensidad de campo como niveles energéticos. Una 1-forma es entonces representada gráficamente como un espacio de superficies [1], [3]. Para un campo conservativo, las superficies de las 1-forma asociadas son equipotenciales. Por ejemplo, la diferencial dx produce superficies perpendiculares al eje x, como se muestra en la Fig. 1a. De la misma manera, dy tiene una superficie perpendicular al eje y y las superficies de dz son perpendiculares al eje z. Una combinación lineal de estas superficies, serán superficies que están incrustado por los ejes coordenados. Los coeficientes de una 1-forma determina el espaciamiento de las superficies por unidad de longitud. A mayor magnitud de los coeficientes, las superficies son mas pegadas unas a otras, es decir, habrá mayor espaciamiento por unidad de longitud. La 1-forma 2dz, mostrada en la Fig. 1b, tiene superficies mas pegadas que las de dx en Fig.1a.

En general, las superficies de una 1-forma pueden ser curvos, terminar (finito), o cortarse entre sí, dependiendo del comportamiento de los coeficientes de la forma diferencial asociada a estas. Si las superficies de una 1-forma no se cortan ni terminan, entonces el campo representado por la forma es conservativo. Por ejemplo, el campo correspondiente a la 1-forma de la Fig. 1a es conservativo; y el campo en la Fig. 1c no es conservativo.

La orientación de una forma es especificada por una de las direcciones normales a la superficie de la forma. Las superficies de 3dx están orientadas en la dirección +x, y aquellos de –3dx en la dirección –x. la orientación de una forma es usualmente aclarado en el contexto y así este es omitido de las figuras. La integral de una 1-forma a lo largo de una trayectoria es igual al número de superficies incrustadas por la trayectoria. La una 1-forma E1dx + E2dy + E3dz es llamada Dual al campo vectorial. La una 1-formas intensidad del campo E y H son duales a los vectores E y H.

2.3.- 2-formas; densidad de flujo y densidad de corriente

La densidad de flujo de campo puede ser considerada como unos tubos que conectan sus fuentes. Esta es la representación gráfica natural de una 2-forma, la cual es dibujada como un conjunto de superficies que se interceptan para formas tubos. La forma diferencial dxdy es representada por la superposición de las superficies asociadas a dx y dy. Las superficies de dx son perpendiculares al eje x y los de dy perpendicular al eje y al interceptarse formaran tubos en la dirección de z, como es ilustrado por la Fig.2a. Los coeficientes de una 2-forma da el espaciamiento de los tubos. A mayor coeficiente, los tubos son más densos. Una 2-forma arbitraria puede representarse por tubos que pueden ser curvos o pueden convergir en un punto.

La dirección del flujo a lo largo de los tubos de una 2-formas es dada por la regla de la mano derecha que es aplicado a las orientaciones de las superficies que forman la pared del tubo. La orientación de dx es la dirección +x, y el de dy es la dirección +y, así que el flujo debido a dxdy es la dirección +z. La integral de una 2-forma sobre una superficie es igual al número de tubos que interceptan dicha superficie, donde cualquier tubo es considerado positivo si su orientaron esta en la dirección de la orientación de la superficie, y negativa si su orientación es inversa. Esto es ilustrado en la Fig. 1b. Una 2-forma arbitraria D1 dydz + D2 dzdx + D3 dxdy es dual al campo vectorial, así que las 2-formas densidades de flujo del campo D y B son duales a las usuales densidades de flujo del campo vectorial D y B.

2.4.- 3-formas; densidad de carga y 0-formas; potencial escalar

Algunas cantidades físicas que son consideradas escalares son las densidades, y estas pueden ser integradas sobre un volumen. Sin embargo, otras cantidades escalares, tal como el potencial eléctrico, integrada sobre un volumen no tiene sentido, esto quiere decir, que existen dos tipos de cantidades escalares. El cálculo de las formas distingue entre estos dos tipos de cantidades, representando las densidades como 3-formas y las que no son densidades por 0-formas. Una 3-forma es representada gráficamente por la interceptación de tres conjuntos de superficies que forman cajas. La densidad de las cajas es proporcional a los coeficientes de la 3-forma; cuando el coeficiente es mayor, las cajas serán más pequeñas pero en una unidad de volumen habrá más cajas. Una carga puntual es representada por una caja infinitesimal localizada en el punto de la carga. Como un ejemplo, tenemos la 3-forma dxdydz y es representado por la unión de tres familias de planos perpendiculares a los ejes cartesianos como se muestra en la Fig. 3. La orientación de una 3-forma es dada por la especificación del signo de su caja.

En cambo las 0-formas son funciones. El potencial escalar, por ejemplo, es una 0-forma. Entonces cualquier cantidad escalar que no es una densidad de volumen es representada por una 0-forma.

10.- CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

Las principales ventajas que se consigue al usar las formas diferenciales como herramienta son, primero, el uso de las formas diferenciales nos permiten expresar distintas representaciones matemáticas y gráficas para la intensidad del campo y para la densidad de flujo de campo, segundo, las formas diferenciales hacen más intuitiva la representación gráfica de las leyes de Maxwell, tercero, el uso de las p-formas nos permite representar mediante una diagrama muy simple las condiciones de borde electromagnético, cuarto, las funciones de Green dyadic pueden ser reemplazados por una forma doble.

Las derivaciones presentadas aquí son más directas que sus contrapartes vectoriales-Dyadic, por ejemplo, la regla del producto para la derivada exterior y el teorema de Stokes generalizado reemplazan muchas identidades vectoriales. Las formas diferenciales suministran un modelo visual que puede ayudar a los estudiantes a recordar y aplicar los principios de electromagnetismo. Las formas diferenciales simplifican los cálculos, por ejemplo: las derivadas son fáciles de aplicar en coordenadas curvilíneas, la integración viene a ser más directa y también, una familia de identidades vectoriales son reemplazadas simplemente por reglas algebraicas. Estas ventajas sobre los métodos tradicionales hacen del cálculo de las formas diferenciales un lenguaje ideal para aprender la teoría del campo electromagnético.

También encontramos que debido a la simple correspondencia entre vectores y las formas, realizar la transición a partir del cálculo vectorial a formas diferenciales es completamente fácil para un estudiante.

Las formas diferenciales son usadas en muchas líneas de investigación de la física, por ejemplo, en la física teórica y computacional, por ello en un trabajo de tesis de licenciatura que vamos a encaminar en el futuro usaremos el lenguaje de las formas diferenciales conjuntamente con el álgebra topológica para desarrollar una teoría electromagnética clásica finito (discreto). Obviamente, la elección del uso de las formas diferenciales es debido a que las estas permiten una discretización directa de las ecuaciones cinemáticas y de las ecuaciones de balance del campo electromagnético.

REFERENCIAS

[1] C. Mister, K. Thorne, y J. A. Wheeler, Gravitation. Freeman, San Francisco, 1973.

[2] G. A. Deschamps, "Electromagnetics and differential forms," IEEE Proc., Vol. 69, no. 6, pp. 676-696, June 1981.

[3] William L. Burke, Applied differential Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.

[4] C. Nash y S. Sen, Topology and geometry for physicists, Academic press, San Diego, California, 1983.

[5] P. Bamberg y S. Sternberg, A course in Mathematics for Students of Physics, Vol. II, Cambridge university press, Cambridge, 1988.

[6] H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Dover, New York, New York, 1963.

[7] Y. Choquet-Bruhat y C. DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds and Physics, North-Holland, Amsterdam, rev. edition, 1982.

[8] S. Hassani, Foundations of Mathematical Physics, Allyn y Bacon, Boston, 1991.

[9] Robert Hermann, Topics in the geometric theory of linear Systems, Math Sci Press, Brookline, MA, 1984.

[10] D. Baldomir, "differential Forms and Electromagnetism in 3-dimensional Euclidean space R3," IEE Proc., vol. 133, no. 3, pp. 139-143, May 1986.

[11] N. Scheifer, "differential Forms as a Basis for vector analysis-with applications to electrodynamics," Am. J. Phys., vol. 51, no, 12, pp. 1139-1145, Dec. 1983.

[12] D. B. Nguyen, "Relativistic Constitutive relations, differential forms, and the p-compound," Am. J. phys., vol. 60, no. 12, pp. 1137-1147, Dec. 1992.

[13] D. Baldomir y P. Hammond, "Global Geometry of electromagnetic systems," IEE Proc., vol. 140, no. 2, pp. 142-150, Mar. 1992.

[14] P. Hammond y D. Baldomir, "Dual energy methods in electromagnetics using tubes and slices," IEE Proc., vol. 135, no. 3A, pp. 167-172, Mar. 1988.

[15] R. S. Ingarden y A. Jamiolkowksi, Classical electrodynamics, Elsevier, Amsterdam, the Netherlands, 1985.

[16] S. Parrot, Relativistic Electrodynamics and differential Geometry, Springer-Verlag, New York, 1987.

[17] Walter Thirring, Classical Field Theory, vol. II, Springer-Verlag, New York, 2 edition, 1978.

[18] K. F. Warnick, R. H. Selfridge, y D. V. Arnold, "Electromagnetic boundary conditions using differential forms," IEE Proc., vol. 142, no. 4, pp. 326-332, 1995.

[19] K. F. Warnick y D. V. Arnold, "Electromagnetic Green Functions using differential forms," J. Elect. Waves Appl., vol. 10, no. 3, pp. 427-438, 1996.

[20] K. F. Warnick y D. V. Arnold, "Differential forms in electromagnetic field theory," Antennas and propagation symposium proceedings, Baltimore, MD, 1996.

[21] K. F. Warnick y D. V. Arnold, "Green forms for anisotropic, inhomogeneous media," J. Elect. Waves Appl., in press, 1997.

[22] J. A. Schouten, Pfaff’s problem and its Generalizations, Chelsea, New York, 1969.

[23] William L. Burke, "Manifestly parity invariant electromagnetic theory and twisted tensors, "J. Math. Phys., vol. 24, no. 1, pp. 65-69, Jan. 1983.

[24] G. de Rham, Differentiable Manifolds, New York: Springer-Verlag, 1984.

[25] Q.-K. Lu, "Green forms to intrinsic metric of a ball," Sci. in China Ser. A, vol.32, pp.129-141, Feb.1989.

[26] J. A. Kong, Electromagnetic Wave Theory, New York: John Wiley & Sons, 2 ed., 1990.

[27] H. Federer, Geometric Measure Theory, New York: Springer-Verlag, 1969.

Agradecimientos:

Agradezco al Doctor Jorge A. Espichan, por la amabilidad de corregir y orientar mi trabajo de investigación y al profesor Renato Tovar, por facilitarme algunas informaciones y a mis compañeros Miguel Saldaña y Jasón Atoche por sus sabios consejos.

 

 

Autor:

César Juan Alarcón LLacctarímay

Bachiller en física pura

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA


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