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Sistemas de numeración

Enviado por jaimemontoya



  1. Numeración decimal y binaria
  2. Sistema numérico binario
  3. Transformación de decimal a binario
  4. Transformación de binario a decimal
  5. Suma de números binarios

Los sistemas de numeración son las distintas formas de representar la información numérica. Se nombran haciendo referencia a la base, que representa el número de dígitos diferentes para representar todos los números.

El sistema habitual de numeración para las personas es el Decimal, cuya base es diez y corresponde a los distintos dedos de la mano, mientras que el método habitualmente utilizado por los sistemas electrónicos digitales es el Binario, que utiliza únicamente dos cifras para representar la información: el 0 y el 1.

Otros sistemas como el Octal (base 8) y el Hexadecimal (base 16) son utilizados en las computadoras.

NUMERACIÓN DECIMAL Y BINARIA

Cuando en una numeración se usan diez símbolos diversos, a ésta se la denomina numeración decimal o en base 10. El valor de cada cifra es el producto de la misma por una potencia a 10 (la base), cuyo exponente es igual a la posición 0, las decenas la 1 y así sucesivamente.

Por ejemplo, 327 se puede descomponer en:

3 . 10² + 2 . 10¹ + 7 . 10º = 300 + 20 + 7 = 327

Siguiendo con el mismo razonamiento, podemos definir una numeración binaria o en base 2, donde los símbolos 0 y 1 vistos anteriormente asumen el valor numérico 0 y 1. Así, el número 10110 escrito en base 2 o binaria equivale al siguiente número en base 10 o decimal:

1 . 24 + 0 . 2³ + 1 . 2² + 1 . 2¹ + 0 . 2º = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = (22)10

En el sistema binario:

- Con 1 bit el valor más alto que se puede expresar es el 1.

- Con 2 bits el valor más alto que se puede expresar es el 3.

- Con n bits el valor más alto que se puede expresar es el 2 – 1.

Cada bit, según la posición que ocupa dentro del conjunto de un número binario, tiene un peso o un valor determinado en el sistema decimal.

Como vemos, el sistema binario emplea muchas cifras para representar una información. Para poder trabajar con más comodidad, los programadores emplean los sistemas octal y hexadecimal, que permiten operar con muchas menos cifras.

SISTEMA NUMÉRICO BINARIO

Los circuitos digitales internos que componen las computadoras utilizan el sistema de numeración Binario para la interpretación de la información y codificación de la misma.

El sistema decimal de numeración que usamos en la vida diaria es de difícil empleo en las computadoras, ya que para representar los números y trabajar con ellos son necesarios diez símbolos:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Los circuitos de una computadora que trabajara con el sistema decimal deberían ser capaces de distinguir entre diez valores o posiciones de funcionamiento distintas. Esto exigiría una precisión difícil de conseguir, por lo que se ha elegido un sistema de numeración que simplifica mucho el diseño de los circuitos, porque exige sólo dos estados o posiciones de funcionamiento.

El sistema binario utiliza sólo dos signos:

0 1

Estos son mucho más fáciles de representar en el interior de una computadora, donde estas dos cifras se pueden asociar perfectamente a los dos posibles estados que pueden adoptar los circuitos o componentes electrónicos: apagado y encendido. La presencia de una corriente eléctrica = 1 (encendido) y la ausencia = 0 (apagado). Cuando la corriente eléctrica pasa a través de la computadora, ésta lee un 1 cuando percibe la corriente eléctrica y un 0 cuando no hay corriente eléctrica.

A las cifras o símbolos binarios les denominaremos, por convención, bits.

bit cero = 0

bit uno = 1

La palabra «bit» es una contracción de las palabras inglesas binary digit, dígito binario.

El bit es la unidad más pequeña de información. Aislado, nos permite distinguir sólo entre dos posibilidades: sí-no, blanco-negro, abierto-cerrado, positivo-negativo. Permite sólo dar dos respuestas a una pregunta, sin matices.

La combinación de estos dos símbolos un determinado número de veces permite la codificación de toda la información posible. Si codificamos una serie de bits dándole a cada uno un significado según nuestro deseo, el cojunto de bits representa un conjunto de información.

Por consiguiente, si sustituimos el valor dado a cada bit por otro, tendremos que una misma combinación de bits queda modificada en cuanto al significado:

- Con un solo bit, se representan dos informaciones o estados (2¹).

- Con dos bits (2²), obtenemos cuatro combinaciones de información.

- Con tres bits (2³), ocho combinaciones de información.

- Con cuatro bits (24), dieciséis combinaciones de información.

- Con n bits, (2n) combinaciones de información.

Si deseamos representar cada letra del alfabeto mediante una combinación de bits, necesitamos que cada letra esté representada por lo menos por 5 bits (25 = 32). Si, además, deseamos abarcar todos los signos gráficos y las letras, tanto minúsculas como mayúsculas, necesitaremos una combinación de 7 bits (27 = 128).

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A BINARIO

Para cambiar un número decimal a número binario, se divide el número entre dos. Se escribe el cociente y el residuo. Si el cociente es mayor que uno, se divide el cociente entre dos. Se vuelve a escribir el cociente y el residuo. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea uno. Cuando el cociente es uno, se escribe el cociente y el residuo. Para obtener el número binario, una vez llegados al 1 indivisible, se cuentan el último cociente, es decir el uno final (todo número binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A continuación analizaremos dos ejemplos de números decimales transformados al sistema binario:

NÚMERO DECIMAL 26 TRANSFORMADO AL SISTEMA BINARIO

NÚMERO DECIMAL 8 TRANSFORMADO AL SISTEMA BINARIO

Recordemos que se comienza a contar desde el cociente 1 hasta el primer residuo que nos resultó. Sin embargo, existe otra manera de hacerlo y es dividir el cociente 1 entre 2, escribimos 0 como cociente, posteriormente multiplicamos 2 por 0 (que es cero) y ese resultado se lo restamos al último residuo que teníamos (que será 1) y tendremos como residuo 1. De esta forma comenzaremos la cuenta para obtener el valor binario desde el último residuo obtenido (que es siempre 1, excepto en el caso del número 0) hasta el primero. Podemos utilizar cualquiera de los dos métodos y ambos son correctos y presentan el último resultado, tal como veremos en los ejemplos a continuación.

Ahora veremos tres nuevos ejemplos de transformación de un número del sistema decimal al sistema binario:

TRANSFORMACIÓN DE BINARIO A DECIMAL

Para cambiar un número binario a número decimal se multiplica cada dígito binario por la potencia y se suman. Para conseguir el valor de la potencia, usamos , donde es la base y es el exponente. Como estamos cambiando de binario a decimal, usamos la base 2. El exponente nos indica la posición del dígito. A continuación se transformará el número binario 11010 a decimal:

Para la transformación de binarios a decimales estaremos siempre utilizando potencias a las cuales será elevado el número 2. El siguiente listado nos presenta progresivamente las primeras 20 potencias con base 2:

LISTA DE POTENCIACIÓN DEL 1 AL 20 CON BASE 2

Veamos tres nuevos ejemplos de transformación de un número del sistema decimal al sistema binario:

NÚMEROS DECIMALES DEL 0 AL 10 Y SUS EQUIVALENTES EN BINARIO

SUMA DE NÚMEROS BINARIOS

Es similar a la suma decimal excepto que se manejan sólo dos dígitos (0 y 1).

Las sumas básicas son:

Por ejemplo, sumemos 100110101 + 11010101:

Operamos como en decimal: comenzamos a sumar desde la izquierda. En el ejemplo 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 y "llevamos" 1. Se suma este 1 a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en decimal).

Ahora presentamos 3 nuevos ejemplos de suma de números binarios en los cuales podremos apreciar al lado de dichas operaciones, el equivalente de esa suma en el sistema decimal para facilitar la comprensión:

CUATRO EJERCICIOS DE SUMA DE NÚMEROS BINARIOS

1. Dados los números 30, 35 y 22 en sistema decimal, efectuar la suma y expresar el resultado en el sistema de numeración binaria.

a) Conversión de 30 a binario.

División Cociente Residuo

30 / 2 = 15 0

15 / 2 = 7 1

7 / 2 = 3 1

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 30 en el sistema decimal equivale a 11110 en el sistema binario.

b) Conversión de 35 a binario.

División Cociente Residuo

35 / 2 = 15 0

17 / 2 = 8 1

8 / 2 = 3 1

4 / 2 = 1 1

2 / 2 = 0 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 35 en el sistema decimal equivale a 100011 en el sistema binario.

c) Conversión de 22 a binario.

División Cociente Residuo

22 / 2 = 11 0

11 / 2 = 5 1

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 22 en el sistema decimal equivale a 10110 en el sistema binario.

d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

30+ 11110+

35 100011

22= 10110=

87 1010111

2. Sumar los números decimales 100 y 51, expresando la operación y el resultado en números binarios.

a) Conversión de 100 a binario.

División Cociente Residuo

100 / 2 = 50 0

50 / 2 = 25 0

25 / 2 = 12 1

12 / 2 = 6 0

6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 100 en el sistema decimal equivale a 1100100 en el sistema binario.

b) Conversión de 51 a binario.

División Cociente Residuo

51 / 2 = 25 1

25 / 2 = 12 1

12 / 2 = 6 0

6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 51 en el sistema decimal equivale a 110011 en el sistema binario.

c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

100+ 1100100+

51= 110011=

151 10010111

3. Teniendo los valores 42, 6 y 8 en sistema decimal, transformarlos y expresarlos en números binarios.

a) Conversión de 42 a binario.

División Cociente Residuo

42 / 2 = 21 0

21 / 2 = 10 1

10 / 2 = 5 0

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 42 en el sistema decimal equivale a 101010 en el sistema binario.

b) Conversión de 6 a binario.

División Cociente Residuo

6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 6 en el sistema decimal equivale a 110 en el sistema binario.

c) Conversión de 8 a binario.

División Cociente Residuo

8 / 2 = 4 0

4 / 2 = 2 0

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.

d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

42+ 101010+

6 110

8= 1000=

56 111000

4. Sumar los números decimales 8, 17, 60, 40 y 30, convirtiéndolos y expresando la operación y resultado de la suma en números binarios.

a) Conversión de 8 a binario.

División Cociente Residuo

8 / 2 = 4 0

4 / 2 = 2 0

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.

b) Conversión de 17 a binario.

División Cociente Residuo

17 / 2 = 8 1

8 / 2 = 3 1

4 / 2 = 1 1

2 / 2 = 0 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 17 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.

c) Conversión de 60 a binario.

División Cociente Residuo

60 / 2 = 30 0

30 / 2 = 15 0

15 / 2 = 7 1

7 / 2 = 3 1

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 60 en el sistema decimal equivale a 111100 en el sistema binario.

d) Conversión de 40 a binario.

División Cociente Residuo

40 / 2 = 20 0

20 / 2 = 10 0

10 / 2 = 5 0

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101000 en el sistema binario.

e) Conversión de 30 a binario.

División Cociente Residuo

30 / 2 = 15 0

15 / 2 = 7 1

7 / 2 = 3 1

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 1 1

Entonces 30 en el sistema decimal equivale a 11110 en el sistema binario.

f) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

8+ 1000+

17 10001

60 111100

40 101000

30= 11110=

155 10011011

GUÍA DE DIEZ EJERCICIOS DE SUMA DE NÚMEROS BINARIOS

INDICACIÓN: Dados los siguientes valores del sistema numérico decimal, convertir cada uno de ellos a números binarios y luego sumarlos, expresando la respuesta en el sistema numérico binario.

1. Sumar 4 + 5 +10.

2. Sumar 40 + 91.

3. Sumar 1203 + 101.

4. Sumar 59 + 21.

5. Sumar 5 + 2 + 6.

6. Sumar 25 + 31.

7. Sumar 40 + 31 + 20 + 49.

8. Sumar 8 + 9 + 98 + 45 + 11 + 3.

9. Sumar 7 + 16 + 1.

10. Sumar 27 + 8 + 31.

SOLUCIÓN DE LA GUÍA DE EJERCICIOS

1. Sumar 4 + 5 + 10.

a) Conversión de 4 a binario.

División Cociente Residuo

4 / 2 = 2 0

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 4 en el sistema decimal equivale a 100 en el sistema binario.

b) Conversión de 5 a binario.

División Cociente Residuo

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 5 en el sistema decimal equivale a 101 en el sistema binario.

c) Conversión de 10 a binario.

División Cociente Residuo

10 / 2 = 5 0

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 10 en el sistema decimal equivale a 1010 en el sistema binario.

d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

4+ 100+

5 101

10= 1010=

19 10011

2. Sumar 40 + 91.

a) Conversión de 40 a binario.

División Cociente Residuo

40 / 2 = 20 0

20 / 2 = 10 0

10 / 2 = 5 0

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101000 en el sistema binario.

b) Conversión de 91 a binario.

División Cociente Residuo

91 / 2 = 45 1

45 / 2 = 22 1

22 / 2 = 11 0

11 / 2 = 5 1

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 91 en el sistema decimal equivale a 1011011 en el sistema binario.

c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

40+ 101000+

91= 1011011=

131 10000011

3. Sumar 1203 + 101.

a) Conversión de 1203 a binario.

División Cociente Residuo

1203 / 2 = 601 1

601 / 2 = 300 1

300 / 2 = 150 0

150 / 2 = 75 0

75 / 2 = 37 1

37 / 2 = 18 1

18 / 2 = 9 0

9 / 2 = 4 1

4 / 2 = 2 0

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 1203 en el sistema decimal equivale a 10010110011 en el sistema binario.

b) Conversión de 101 a binario.

División Cociente Residuo

101 / 2 = 50 1

50 / 2 = 25 0

25 / 2 = 12 1

12 / 2 = 6 0

6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 101 en el sistema decimal equivale a 1100101 en el sistema binario.

c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

1203+ 10010110011+

101= 1100101=

1304 10100011000

4. Sumar 59 + 21.

a) Conversión de 59 a binario.

División Cociente Residuo

59 / 2 = 29 1

29 / 2 = 14 1

14 / 2 = 7 0

7 / 2 = 3 1

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 59 en el sistema decimal equivale a 111011 en el sistema binario.

b) Conversión de 21 a binario.

División Cociente Residuo

21 / 2 = 10 1

10 / 2 = 5 0

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 21 en el sistema decimal equivale a 10101 en el sistema binario.

c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

59+ 111011+

21= 10101=

80 1010000

5. Sumar 5 + 2 + 6.

a) Conversión de 5 a binario.

División Cociente Residuo

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 5 en el sistema decimal equivale a 101 en el sistema binario.

b) Conversión de 2 a binario.

División Cociente Residuo

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 2 en el sistema decimal equivale a 10 en el sistema binario.

c) Conversión de 6 a binario.

División Cociente Residuo

6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 6 en el sistema decimal equivale a 110 en el sistema binario.

d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

5+ 100+

2 101

6= 1010=

13 1101

6. Sumar 25 + 31.

a) Conversión de 25 a binario.

División Cociente Residuo

25 / 2 = 12 1

12 / 2 = 6 0

6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 25 en el sistema decimal equivale a 11001 en el sistema binario.

b) Conversión de 31 a binario.

División Cociente Residuo

31 / 2 = 15 1

15 / 2 = 7 1

7 / 2 = 3 1

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 21 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.

c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

25+ 11001+

31= 11111=

56 111000

7. Sumar 40 + 31 + 20 + 49.

a) Conversión de 40 a binario.

División Cociente Residuo

40 / 2 = 20 0

20 / 2 = 10 1

10 / 2 = 5 0

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101010 en el sistema binario.

b) Conversión de 31 a binario.

División Cociente Residuo

31 / 2 = 15 1

15 / 2 = 7 1

7 / 2 = 3 1

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 31 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.

c) Conversión de 20 a binario.

División Cociente Residuo

20 / 2 = 10 0

10 / 2 = 5 0

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 20 en el sistema decimal equivale a 10100 en el sistema binario.

d) Conversión de 49 a binario.

División Cociente Residuo

49 / 2 = 24 1

24 / 2 = 12 0

12 / 2 = 6 0

6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1

Entonces 49 en el sistema decimal equivale a 10001 en el sistema binario.

e) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

40+ 101000+

31 11111

20 10100

49= 110001=

140 10001100

8. Sumar 8 + 9 + 98 + 45 + 11 + 3.

a) Conversión de 8 a binario.

División Cociente Residuo

8 / 2 = 4 0

4 / 2 = 2 0

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.

b) Conversión de 8 a binario.

División Cociente Residuo

9 / 2 = 4 1

4 / 2 = 2 0

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 9 en el sistema decimal equivale a 1001 en el sistema binario.

c) Conversión de 98 a binario.

División Cociente Residuo

98 / 2 = 49 0

49 / 2 = 24 1

24 / 2 = 12 0

12 / 2 = 6 0

6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 98 en el sistema decimal equivale a 1100010 en el sistema binario.

d) Conversión de 45 a binario.

División Cociente Residuo

45 / 2 = 22 1

22 / 2 = 11 0

11 / 2 = 5 1

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 45 en el sistema decimal equivale a 101101 en el sistema binario.

e) Conversión de 11 a binario.

División Cociente Residuo

11 / 2 = 5 1

5 / 2 = 2 1

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 11 en el sistema decimal equivale a 1011 en el sistema binario.

f) Conversión de 33 a binario.

División Cociente Residuo

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 1 1

Entonces 3 en el sistema decimal equivale a 11 en el sistema binario.

g) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

8+ 1000+

9 1001

98 1100010

45 101101

11 1011

3= 11=

174 10101110

9. Sumar 7 + 16 + 1.

a) Conversión de 7 a binario.

División Cociente Residuo

7 / 2 = 3 1

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 7 en el sistema decimal equivale a 111 en el sistema binario.

b) Conversión de 16 a binario.

División Cociente Residuo

16 / 2 = 8 0

8 / 2 = 4 0

4 / 2 = 2 0

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 16 en el sistema decimal equivale a 10000 en el sistema binario.

c) Conversión de 1 a binario.

División Cociente Residuo

1 / 2 = 0 1

Entonces 1 en el sistema decimal equivale a 1 en el sistema binario.

e) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

7+ 101000+

16 11111

1= 110001=

24 11000

10. Sumar 27 + 8 + 31.

a) Conversión de 27 a binario.

División Cociente Residuo

27 / 2 = 13 1

13 / 2 = 6 1

6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 27 en el sistema decimal equivale a 11011 en el sistema binario.

b) Conversión de 8 a binario.

División Cociente Residuo

8 / 2 = 4 0

4 / 2 = 2 0

2 / 2 = 1 0

1 / 2 = 0 1

Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.

c) Conversión de 31 a binario.

División Cociente Residuo

31 / 2 = 15 1

15 / 2 = 7 1

7 / 2 = 3 1

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

Entonces 31 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.

e) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.

Decimal Binario

27+ 11011+

8 1000

31= 1000111=

66 1000010

BIBLIOGRAFÍA

- MENTOR INTERACTIVO. Enciclopedia Temática Estudiantil. Páginas 184-186. Barcelona, España. Grupo Editorial OCEANO.

- MONOGRAFÍAS.COM

http://www.monografias.com/trabajos16/representacion-informacion/representacion-informacion.shtml

- WIKIPEDIA.ORG

http://es.wikipedia.org/wiki/Binario

- 100CIA.COM

http://100cia.com/enciclopedia/sistema_binario1.htm

Jaime Oswaldo Montoya Guzmán

Nivel educativo: Estudiante de segundo ciclo de la carrera Ingeniería en Sistemas Informáticos.

Centro de estudios: Universidad Católica de Occidente.

Santa Ana.

El Salvador


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