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Temas de Análisis Matemático I




Enviado por oerp01



    1. Funciones
      trigonométricas
    2. Funciones
      Hiperbólicas
    3. La
      circunferencia
    4. Raíces
      irracionales
    5. Aplicaciones de la derivada y
      algunos usos en la electrónica

    A)
    FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

    Una función
    es PERIODICA con período P  0, si su dominio
    contiene al número (x + P) siempre que contenga a x y si
    además:

    f(x + P) = f(x) para todo xD(f).

    El mínimo número positivo P con esta
    propiedad se
    denomina: periodo primitivo de f. Son ejemplos de funciones
    periódicas las funciones
    trigonométricas: seno, coseno, secante y cosecante,
    tienen periodo P = 2, mientras que las funciones
    tangente y cotangente tienen periodo P =  .

    En efecto,

    Si f(x) = Sen x, entonces, f(x + 2) = Sen (x
    + 2) = Sen x = f(x).

    Si g(x) = Cos x, entonces, g(x + 2) = Cos (x
    + 2) = Cos x = g(x).

    Si h(x) = Tan x, entonces, h(x + ) = Tan (x
    + ) = Tan x = h(x).

    1. EL SENO Y LA COSECANTE:

    a. El Seno

    f(x) = y = sen x:
    Función seno: función real de variable real

    Dominio: Dom(sen(x))=R
    Rango: [-1,1]
    Paridad: sen x = – sen(-x) [función impar]

    Periodo:
    2mínimo)

    b. La cosecante

    f(x) = y = cosec x = 1/sen x
    Función cosecante: Función real de variable real:

    Dominio: Dom(cosec(x))= R-{x/x = k, k
    Z}
    Rango: R – <-1, 1>
    Paridad: cosec x = -cosec(-x) [función impar]

    Período:
    2(mínimo)

    2. EL COSENO Y LA SECANTE:

    a. El coseno

    f(x) = y = cos x
    Función coseno: función real de variable real

    Dominio: Dom(cos(x))=R
    Rango: [-1,1]
    Paridad: cos x = cos(-x) [función par]
    Periodo: 2(mínimo)

    b. La secante

    f(x)= y = sec x = 1/cos x
    Función secante: Función real de variable real:

    Dominio: Dom(sec(x))=R-{x/x = (2k+1)/2, k
    Z}
    Rango: R – <-1, 1>
    Paridad: sec x = sec(-x) [función par]

    Periodo:
    2(mínimo)

    3. LA TANGENTE Y LA COTANGENTE

    a. Tangente

    F(x) = y = tg x:
    Función tangente: función real de variable real

    Dominio: Dom(tg(x))=R – {x/x = (2k+1)/2, k
    Z}
    Rango: R
    Paridad: tg x = – tg(-x) [función impar]

    Periodo:
    (mínimo)

    b.- La cotangente:

    f(x) = y = ctg x = 1/tg x
    Función cotangente: Función real de variable
    real:
    Dominio: Dom(ctg(x))= R -{x/x = k, k
    Z}
    Rango: R
    Paridad: ctg x = – ctg(-x) [función impar]

    Periodo:  (mínimo)

    B)
    Funciones hiperbólicas

    1.- Introducción

    Al construir una circunferencia trigonométrica
    (radio 1), como
    en la figura 1, se pueden obtener las funciones circulares,
    siendo un caso especial las funciones trigonométricas.
    La ecuación de una circunferencia de radio 1 (y centro
    en el origen) es x2 + y2 = 1 y la
    ecuación de una hipérbola equilátera de
    radio 1 (y centro el origen) es x2 – y2 =
    1. Como se puede observar, ambas son muy parecidas, por lo que
    se definieron las funciones hiperbólicas:

    • Seno hiperbólico: Sh(x) =
      BC/OA
    • Coseno hiperbólico: Ch(x) =
      OB/OA
    • Tangente hiperbólica: Th(x) =
      BC/OB

    De la misma manera que en el caso de las funciones
    trigonométricas habituales, el área sombreada de
    la hipérbola que se corresponde con un ángulo
    2  tomando OA como la unidad,
    es    . Llamemos x al
    área del sector de ángulo 2  (que hemos visto es igual a
      ).

    Entonces el sh   =
    sh x = BC, ch   = ch x = OB,
    th   = th x = AD

    También se puede establecer la noción de
    estas funciones hiperbólicas en la gráfica de una
    parábola, a partir de las coordenadas que posee,
    asignándole a las abscisas el valor del
    coseno hiperbólico y a las ordenadas el valor del seno
    hiperbólico, lo cual se aprecia a
    continuación:

    2.- Definición y
    gráficas

    En ciertas ocasiones las combinaciones de
    ex, e-x aparecen frecuentemente. En tales
    ecuaciones,
    se acostumbra escribir el modelo
    matemático que le corresponde utilizando las funciones
    hiperbólicas definidas como sigue:

    1. Seno hiperbólico (senh)
    2. Coseno hiperbólico (cosh)

    3. Tangente hiperbólica (tanh)

    4. Cotangente hiperbólica (coth)
    5. Cosecante hiperbólica (csch)

    Algunas observaciones de las gráficas:

    1. senh(x) = 0, si x = 0
    2. Son funciones impares, [f(-x) = – f(x)] y por tanto
      sus gráficas son simétricas respecto al origen,
      las funciones: f(x) = senh x ; f(x) = tgh x; f(x) = cotgh x;
      f(x) = cosch x
    3. Son funciones pares, [f(-x) = f(x)] y por tanto sus
      gráficas son simétricas respecto al eje y, las
      funciones:

    f(x) = cosh x; f(x) = sech x

    3.- Propiedades de las funciones
    hiperbólicas:

    1. cosh²x – senh²x = 1
    2. sech²x + tgh²x = 1
    3. cotgh²x – cosch²x = 1
    4. senh (x ± y) = senh x cosh y ± cosh x
      senh y
    5. cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x
      senh y
    6. senh (2x) = 2 senh x cosh x
    7. cosh (2x) = cosh²h + senh²x
    8. senh a + senh b = 2 senh
    9. cosh a + cosh b = 2 cosh
    10. 2senh² = cosh x – 1
    11. 2cosh² = cosh x + 1
    12. (senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh
      (nx) , (Fórmula de Moivre)

    4.- Funciones hiperbólicas
    inversas:

    arcsenh(z) = ln( z + (z
    2 + 1) )

    arccosh(z) = ln( z (z 2 – 1) )

    arctanh(z) = 1/2 ln( (1+z)/(1-z) )

    arccsch(z) = ln( (1+(1+z 2) )/z )

    arcsech(z) = ln( (1(1-z 2) )/z )

    arccoth(z) = 1/2 ln( (z+1)/(z-1) )

    5.- Relaciones con las Funciones
    Trigonometricas

    senh(z) = -i sen(iz)

    csch(z) = i csc(iz)

    cosh(z) = cos(iz)

    sech(z) = sec(iz)

    tanh(z) = -i tan(iz)

    coth(z) = i cot(iz)

    6.- Derivadas de F,
    hiperbólicas

    Las fórmulas de derivación para las
    funciones hiperbólciicas se deducen fácilmente
    aplicando las reglas de derivación de la función
    exponencial ex.

    Proposición 1: Las funciones
    hiperbólicas son derivables en sus correspondientes
    dominios y se tiene:

    1. Si f(x) = senh x, entonces, f'(x) = cosh
      x
    2. Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = senh
      x
    3. Si f (x) = tgh x, entonces, f'(x)
      sech²x
    4. Si f(x) = cotgh x, entonces, f' (x) = –
      cosch²x
    5. Si f(x) = sech x, entonces, f'(x) = – sech x tgh
      x
    6. Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = – cosch x cotgh
      x

    En virtud de esta proposición y de la regla de
    la cadena, si u = u(x) es función diferenciable
    (respecto a la variable x) se obtiene el siguiente
    corolario:

    Corolario 1: Si u = u(x) es diferenciable,
    entonces:

    1. Dx (senh u) = cosh u.
      Dx(u)
    2. Dx (cosh u) = senh u.
      Dx(u)
    3. Dx (tgh u) = sech² u.
      Dx(u)

    C)
    Circunferencia

    1.- DEFINICIÓN

    (Del latín circunferentia) Se llama
    circunferencia al lugar geométrico de los puntos del
    plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio
    de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de
    dicha circunferencia al centro

    2.- ECUACIONES DE LA
    CIRCUNFERENCIA

    2.1 Ecuación ordinaria

    Sea P(x, y) un punto sobre la circunferencia, "r" el
    radio y C(h, k) el centro. Entonces partiendo de su
    definición podemos afirmar que

    Ejemplo: Si una circunferencia tiene por centro al
    punto C(2,4) y su radio es cinco, entonces su
    ecuación ordinaria es: (x – 2)2 + (y –
    4)2 = 25.

    2.2 Ecuación canónica

    Es un caso particular de la ecuación
    ordinaria, cuando el centro es el eje coordenado, es decir,
    es (0,0):

    x2 + y2 =
    r2

    2.3 Ecuación general

    Para hallar la ecuación general, hay que
    desarrollar la ecuación ordinaria:

    x2-2xh+h2+y2-2yk+k2-r2=0

    x2+y2-2xh-2yk+h2+k2-r2=0

    Haciendo: -2xh=D; -2yk=E;
    h2+k2-r2=F, se obtiene la
    ecuación general de la circunferencia:

    x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0
    ; ( D 2 + E 2 – 4 F > 0
    )

    Centro:

    Radio:

    Ejemplo 1:

    Ecuación ordinaria de la circunferencia: (
    x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 =
    25

    Ecuación general de la circunferencia: x
    2 + y 2 – 2 x – 4 y
    – 20 = 0

    Casos particulares

    1 ) D 2 + E 2 – 4 F = 0
    Þ punto

    2 ) D 2 + E 2 – 4 F < 0
    Þ ningún lugar
    geométrico

    3.- ECUACION DE LA TANGENTE

    1 ) Dado el punto de contacto P ( x 0 , y
    0 ) :

    a ) Dada la ecuación ordinaria de la
    circunferencia, la ecuación de la tangente en el punto P
    ( x 0 , y 0 ) de la circunferencia, es
    :

    ( x 0 – h ) ( x – h ) + ( y
    0 – k ) ( y – k ) = r
    2

    b ) Dada la ecuación general de la
    circunferencia, la ecuación general de la tangente en el
    punto P ( x 0 , y 0 ) de la
    circunferencia, es :

    2 ) Dada la pendiente m de la tangente:

    a ) Dada la ecuación ordinaria de la
    circunferencia, las ecuaciones principales de las tangentes
    de pendiente m son:

    y = m ( x – h ) + k + r

    y = m ( x – h ) + k – r

    Ejemplo 2: Del ejemplo 1, ecuación de la
    tangente en el punto P ( 5 , – 1 ) : 4 x – 3 y
    – 23 = 0

    Ejemplo 3: Del ejemplo 1, ecuaciones de las tangentes
    de m = 0,75: y = 0,75 x + 7,5; y = 0,75 x – 5

    4.- LONGITUD DEL SEGMENTO DETERMINADO POR LA
    TANGENTE TRAZADA DESDE UN PUNTO EXTERIOR

    a ) Dada la ecuación ordinaria de la
    circunferencia, la longitud (d) del segmento que determina la
    tangente a la circunferencia, trazada desde el punto P ( x
    1 , y 1 ) exterior a esta, es:

    b ) Dada la ecuación general de la
    circunferencia la longitud (d) del segmento que determina la
    tangente a la circunferencia, trazada desde el punto P ( x
    1 , y 1 ) exterior a esta, es:

    5.- EJE RADICAL

    El eje radical de dos circunferencias coplanares y no
    concéntricas, es el lugar geométrico de todos los
    puntos de ese plano, desde los cuales las tangentes a ellas,
    determinan segmentos de igual longitud.

    Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias no
    concéntricas:

    x 2 + y 2 + D 1 x + E
    1 y + F 1 = 0 ; (D 1 ¹ D 2 Ú E 1 ¹ E 2)

    x 2 + y 2 + D 2 x + E
    2 y + F 2 = 0

    la ecuación general de su eje radical
    es:

    ( D 1 – D
    2 ) x + ( E 1 –
    E 2 ) y + F 1 –
    F 2 = 0

    Ejemplo 4:

    – Ecuación general de la primera
    circunferencia: x 2+y 2 – 2 x- 4
    y- 20 = 0

    – Ecuación general de la segunda
    circunferencia: x 2+y 2- 24 x+2 y+129 = 0

    Ecuación del eje radical: 22 x – 6 y
    – 149 = 0

    Las distancias del punto P a los puntos de tangencia son

    6.- FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

    Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias
    secantes:

    x 2 + y 2 + D 1 x +
    E 1 y + F 1 = 0

    x 2 + y 2 + D 2 x +
    E 2 y + F 2 = 0

    La ecuación de la familia
    de circunferencias que pasan por los puntos de
    intersección de esas dos circunferencias secantes
    es:

    x 2 + y 2 + D 1 x + E
    1 y + F 1 + K( x 2 + y
    2 + D 2 x + E 2 y + F
    2) = 0 ; (K ¹
    – 1)

    Si K= – 1, se tiene la ecuación de la
    recta que contiene a la cuerda común:

    (D 1 – D
    2) x + (E 1 –
    E 2) y + F 1 –
    F 2 = 0

    Ejemplo 5:

    Sean las ecuaciones de las circunferencias
    secantes:

    x 2 + y 2 – 6 x –
    4 y – 12 = 0; x 2 + y 2 – 4
    y – 24 = 0, la ecuación de la familia de
    circunferencias que pasan por los puntos de
    intersección de las circunferencias anteriormente
    citadas:

    x 2 + y 2 – 6 x – 4 y
    – 12 + K( x 2 + y 2 – 4 y
    – 24 ) = 0 ( K ¹ – 1
    )

    Ecuación de la recta que contiene a la cuerda
    común: x = 2

    D)
    RAICES IRRACIONALES

    Si una ecuación entera posee raíces
    irracionales, éstas pueden determinarse por diversos
    métodos.
    Dada una ecuación entera con coeficientes racionales,
    primeramente aplicaremos el procedimiento
    dado para obtener las raíces racionales. Es decir,
    separaremos todas las raíces nulas y (o) racionales, y
    cualquier raíz irracional existente la obtendremos de la
    ecuación reducida. Si la ecuación reducida es
    cuadrática las raíces se obtienen fácilmente
    por medio de la fórmula correspondiente. Por tanto, en el
    siguiente estudio supondremos que el grado de la ecuación
    reducida es igualo mayor que 3.

    1.- Método de
    aproximación.-

    En este caso las raíces irracionales
    vendrán dadas en forma decimal, y el grado de
    precisión depende del número de cifras decimales
    obtenidas. Este proceso es,
    pues, esencialmente, un método de
    aproximación.

    El método de aproximación se llama
    interpolación lineal. Está fundado en la hipótesis de que un arco pequeño de
    una curva continua puede sustituirse por un segmento
    rectilíneo sin introducir un error apreciable.
    Naturalmente esto es sólo una aproximación, pero
    tiene la ventaja de que es posible mejorarla disminuyendo la
    longitud del arco considerado.

    Para explicar el método de interpolación
    lineal vamos a considerar la gráfica de una función
    polinomial f (x) con coeficientes reales. Sean a y b dos
    números positivos muy próximos y tales que b >
    a. Supongamos que f(a) = h > O, para x = a y que f(b) = -k
    < O para x = b. Entonces f(x) tiene un cero entre a y b. Esto
    se representa gráficamente en la figura, en donde P(a,h) y
    Q(b,-k) son dos puntos próximos de la curva. Los puntos A
    y B son respectivamente los pies de las perpendiculares bajadas
    de P y Q al eje X. Sea R el punto de intersección de la
    prolongación de P A con la recta que pasa por Q paralela
    al eje X. Supongamos ahora que el arco de la curva de la
    gráfica de f(x) que une P y Q se sustituye por una
    línea recta, y sea C, entre A y B el punto en que AB corta
    al eje X. Entonces la abscisa x1 del punto C es un
    valor aproximado del cero de f(x) situado entre a y b. Este valor
    de x1 puede calcularse fácilmente. En efecto:
    de los triángulos semejantes PAC y
    PRQ, obtenemos la relación

    y como RQ = AB = ba, AP =
    h, Y RP = h + k, obtenemos

    Ya que a, b, h Y k son cantidades
    conocidas, AC puede calcularse. Añadiendo este
    valor a a, obtenemos el valor buscado de x1 o
    sea la primera aproximación de la raíz.
    Partiendo de esta primera aproximación, podemos repetir el
    proceso para obtener una segunda aproximación más
    precisa. El proceso puede repetirse tantas veces como sea
    necesario hasta obtener el grado de precisión
    deseado.

    Ejemplo. Demostrar que la ecuación

    f(x) = x8-5×2 + 2x + 6 =
    O

    tiene una raíz entre 1 y 2, Y calcularla con una
    cifra decimal.

    SOLUCION. Por división sintética
    encontramos f ( 1) = 4 Y f (2) = -2, lo que
    comprueba que la ecuación (2) tiene una raíz entre
    1 y 2. En seguida trazamos la gráfica correspondiente como
    se muestra en la
    figura 40(a), en la cual se han utilizado las mismas literales
    que en la figura anterior. Entonces, de la primera
    relación tenemos

    Nuestra primera aproximaci6n es, por tanto,
    x1 = 1 + 0.6 = 1.6.

    Para asegurar la precisión de la raíz
    buscada con una cifra decimal, repetimos el proceso para obtener
    una segunda decimal. Así encontramos

    f(1.6) = 0.496 Y f(1.7) = -0.137, de modo
    que la ecuación tiene una raíz entre 1.6 y 1.7. La
    gráfica correspondiente aparece en la figura 4O(b), en la
    cual se han utilizado de nuevo las mismas literales. Aquí
    RQ = 0.1, AP = 0.496 Y RP = 0.137 + 0.496 =
    0.633. Por tanto, por la relación tenemos

    Nuestra segunda aproximación es, pues,
    x2 = 1.6 + 0.07 = 1.67. Por tanto, la raíz
    buscada; correcta con una cifra decimal, es 1.7.

    NOTAS.

    1. Debe probarse cuidadosamente cada
    aproximación para asegurarse de que la raíz cae
    entre dos valores
    consecutivos. Esto es especialmente importante en la primera
    aproximación, ya que allí es donde se considera
    el arco de mayor longitud y donde, por tanto, se obtiene menor
    precisión. Así, por ejemplo, en un caso
    particular, la primera aproximación puede indicar que
    hay una raíz entre 1.6 y 1.7, pero la sustitución
    directa puede mostrar que la raíz verdadera está
    comprendida, por ejemplo, entre 1.2 y 1.3.

    2. Aunque el método de interpolación
    lineal nos da cada vez más precisión al tomar
    aproximaciones sucesivas, es cierto que las operaciones
    aritméticas necesarias también aumentan
    considerablemente.

    Sin embargo, este método tiene la ventaja muy
    apreciable de que puede utilizarse también para
    aproximar las raíces irracionales de ecuaciones no
    algebraicas, es decir, de ecuaciones trascendentes, tales como
    las ecuaciones trigonométricas y logarítmicas.
    El trabajo
    aritmético puede reducirse en cierta medida utilizando
    tablas de funciones y máquinas
    calculadoras.

    2.- METODO DE HORNER.-

    Ahora vamos a calcular las raíces irracionales
    por medio de un proceso conocido con el nombre de
    método de aproximación de Horner. Este
    m
    étodo sólo es aplicable a las ecuaciones
    enteras, pero tiene la ventaja de que los cálculos
    necesarios son más sencillos que los usados en el
    método de la interpolación lineal. La facilidad de
    cálculo
    es debida a que cada cifra de la raíz se determina
    individualmente.

    El razonamiento fundamental del método de Horner
    es muy sencillo. Supongamos que una ecuación entera dada
    f(x) = 0 tiene una raíz irracional que, correcta con 3
    cifras decimales, es 2.124. Para determinar esta raíz
    primeramente veremos que la ecuación dada tiene una
    raíz entera. Después disminuiremos las
    raíces de f(x) = 0 en 2 unidades, obteniendo la nueva
    ecuación f1(x1)= 0 que tiene la
    raíz 0.124. Entonces hacemos ver que
    f1{Xl} = 0 tiene una raíz
    entre 0.1 y 0.2 y disminuimos sus raíces en 0.1,
    obteniendo una nueva ecuación f2(x2)
    = 0 que tiene la raíz 0.024. Repitiendo el paso anterior,
    mostramos que f2(X2) = O tiene una
    raíz entre 0.02 y 0.03 y disminuimos sus raíces en
    0.02, obteniendo una nueva ecuación
    f3(x3) = O que tiene la raíz 0.004.
    Continuando este proceso, es posible obtener la raíz con
    el número de cifras decimales correctas que se desee. Los
    detalles del método los vamos a explicar en el ejemplo que
    sigue.

    Ejemplo. Demostrar que la ecuación

    (1) f(x) = x3 +
    5×2-x-9 = 0

    tiene una raíz entre 1 y 2, Y calcularla con 3
    cifras decimales por medio del método de
    Horner.

    SOLUCION: Por división sintética
    encontramos f(l) = -4 Y f(2) = 17 lo que significa
    que la ecuación (1) tiene una raíz entre 1 y 2.
    Ahora disminuimos las raíces de la ecuación (1) en
    1.

    La ecuación transformada

    (2) f(x) = x13 +
    8×12 + 12×1 – 4= 0

    tiene una raíz entre O y 1 que procederemos a
    determinar entre dos décimas sucesivas. Ya que la
    raíz de (2) es pequeña, su cubo y cuadrado son
    aún más pequeños, por lo que, para una
    primera aproximación, podemos despreciar los
    términos en X13 y
    X12, obteniendo así la
    ecuación modificada 12×1- 4 = O que tiene la
    solución X1 = 0.3+. Ya que esto es
    sólo una aproximación, debemos probarla en la
    ecuación (2). Por división sintética
    encontramos f1(0.3) = 0.347 Y f1(0.2) = -1.272. Por
    tanto, la ecuación (2) tiene una raíz entre 0.2 y
    0.3. A continuación disminuimos las raíces de la
    ecuación (2) en 0.2. Al efectuar esta operación
    conviene dejar espacio suficiente para las decimales necesarias,
    como se indica:

    La ecuación transformada: (3)
    f2(X2) =
    X23 +
    8.6×22 + 15.32×2
    1.272 = O, tiene una raíz entre O y 0.1 que procederemos a
    localizar entre dos centésimas sucesivas. De los
    últimos dos términos de (3), obtenemos la ecua
    ción modificada 15.32×2 – 1.272 = 0 que tiene
    la solución x2 =0.08+. Por división
    sintética encontramos f2(0.08) =
    0.009152, f2(0.07) =

    -0.157117. Por tanto, la ecuación (3) tiene una
    raíz entre 0.07 y 0.08. Ahora disminuimos las
    raíces de (3) en 0.07:

    La ecuación transformada es

    (4) f3(x3) =
    x33 +
    8.81x32 +
    16.5387x3 -0.157117= 0

    tiene una raíz entre 0 y 0.01 la cual debemos
    localizar entre dos milésimas sucesivas. De los
    últimos dos términos de (4), tenemos la
    ecuación modificada 16.5387 X3 –
    0.157117 = 0, con la, solución X3 =
    0.009+. Por división sintética encontramos
    f3(0.009) = -10.007554361 y
    f3(0.01) = 0.009152. Por tanto, la
    ecuación (4) tiene una raíz entre 0.009 y
    0.011

    Ahora disminuimos las raíces de la
    ecuación (4) en 0.009. Se deja como un ejercicio mostrar
    que la ecuación transformada es

    (5) f4(x4) =
    x43 +
    8.837x
    42 +
    16.697523x4 – 0.007554361 = 0.

    De la ecuación modificada
    16.697523x4. – 0.007554361 = O,
    obtenemos la solución x4. =
    0.0004+. En este punto, ya que la raíz de (5) es muy
    pequeña, la solución de la ecuación
    modificada es suficientemente precisa. Por: tanto, la raíz
    buscada es

    x = 1 + 0.2 + 0.07 + 0.009 + 0.0004 =
    1.2794

    y, con precisión de 3 decimales, es
    1.279.

    NOTAS.

    1. Por motivos de exposición, la resolución del
    ejemplo anterior se ha descrito en forma más extensa de
    lo necesario. En la práctica se puede hallar la
    solución en forma más breve, mostrando solamente
    las operaciones de disminución de las raíces y
    omitiendo las ecuaciones transformadas de cuyos coeficientes ya
    se dispone.

    2. Es muy importante probar cada cifra sucesiva de la
    raíz buscada para asegurarse de que la raíz de
    cada ecuación transformada está entre dos valores
    sucesivos.

    3. Conforme se avanza en la determinación de
    aproximaciones por el método de Horner, las
    raíces de las ecuaciones transformadas se hacen
    más y más pequeñas por lo que las
    ecuaciones modificadas se hacen más y más
    precisas y a menudo pueden usarse para obtener cifras decimales
    adicionales.

    4. Para hallar una raíz negativa de f(x)
    = O por el método de Horner, se calcula la raíz
    positiva correspondiente de f (-x) = O Y se le cambia el
    signo.

    E)
    APLICACIONES DE LA DERIVADA

    1.- Funciones crecientes y
    decrecientes

    Cuando se tiene la gráfica de una función
    continua resulta bastante fácil señalar en
    qué intervalo la función es creciente, decreciente
    o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en
    qué intervalo la función es creciente, decreciente
    o constante sin la gráfica de la función.  El
    uso de la derivada de una función puede ayudar a
    determinar si una función es creciente, decreciente o
    constante en un intervalo dado.  

    1.1.Teorema: Sea f una función derivable
    en el intervalo (a,b). Luego,

    i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo
    abierto (a,b), f es creciente en (a,b).

    ii) Si f’(x)<0 para todo x en el intervalo
    abierto (a,b), f es decreciente en (a,b).

    iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo
    abierto (a,b), f es constante en (a,b).

    1.1.Definición: Si un número
    c está en el dominio de una función f,
    c se conoce como un número crítico (valor
    crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no
    existe.

    Para construir la gráfica de una función
    usando la derivada se recomienda: Hallar f’(x) (la
    derivada de f), hallar los números críticos,
    igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir
    también todos los valores
    de x donde la derivada no existe (es decir, no está
    definida); evaluar cada número crítico c
    en la función f para obtener los puntos críticos;
    localizar los puntos hallados en el paso anterior en el plano
    cartesiano, determinar en qué intervalo la
    función es creciente, decreciente o constante, usando el
    signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema), dibujar la
    gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo
    donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo
    donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo
    donde la derivada es igual a cero.

    2.- Valores Extremos (Máximos y
    Mínimos Absolutos)

    • Valor máximo (o máximo absoluto) de f:
      si f es una función continua en el intervalo [a,b],
      entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal
      que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. Si
      f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que
      f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto
      (c,f(c)) es el punto más alto de la
      gráfica.
    • Valor mínimo o mínimo absoluto de f: si
      existe un número c en el intervalo [a,b] tal que
      f(c)<f(x) para todo x en el intervalo [a,b], entonces f(c)
      es un valor mínimo (o mínimo absoluto) de f.
       Si f(c) es el mínimo de f en el intervalo [a,b] se
      dice que f alcanza su mínimo en c, y en ese caso, el
      punto (c,f(c)) es el punto más bajo de la
      gráfica.

    A los valores máximos y mínimos de una
    función en un intervalo cerrado se les conoce como valores
    extremos o extremos de la función en el
    intervalo.

    1) Una función puede alcanzar un máximo
    y mínimo absoluto más de una vez.

    2) Si f es una función constante, entonces f(c)
    es a la vez un máximo y un mínimo absoluto que f
    alcanza en todo número real c.

    2.2. Teorema: Si f es continua en el intervalo [a,b], f
    toma valores máximos y mínimos en [a,b].

    Para hallar los valores extremos de una función
    continua en el intervalo [a,b] se recomienda: Hallar los
    números críticos de f, igualando f’(x) a
    cero; evaluar cada c en la función para obtener los puntos
    críticos; hallar f(a) y f(b); Determinar los
    valores máximos y mínimos de en [a,b] observando
    los valores mayores y menores de la función f en los pasos
    2 y 3.

    3. Criterio de la Primera
    Derivada

    3.1 Definición: Sea f una función en
    c:

    i) f(c) es un máximo relativo de f si existe un
    intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o
    igual a f(c) para todo x en (a,b).

    ii) f(c) es un mínimo relativo de f si existe
    un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es
    mayor o igual f(c) para todo x en (a,b).

    3.2 Teorema: Si f tiene un máximo relativo o un
    mínimo relativo cuando x = c, entonces:

    i) f’(c) = 0, ó

    ii) f’(c) no está definida

    Esto es, c es un número crítico
    (valor crítico) de f.

    Notas: 1)  El teorema anterior afirma que si una
    función f tiene un máximo o mínimo
    relativo enx = c, c tiene que ser un número
    crítico (valor crítico) de f. 2)  Los puntos
    críticos son los únicos en los que pueden
    aparecer los extremos relativos (máximos y
    mínimos relativos). Esto significa, que no todo punto
    crítico va a ser un máximo o mínimo
    relativo.

    3.3 Criterio de la primera derivada para los extremos
    relativos (o extremos locales):

    1) Si el signo de la derivada es positivo a la
    izquierda del punto crítico y negativo a la derecha,
    entonces el punto crítico es un máximo
    relativo.

    2) Si el signo de la derivada es negativo a la
    izquierda del punto crítico y positivo a la derecha,
    entonces el punto crítico es un mínimo
    relativo.

    3) Si el signo de la derivada es el mismo a la
    izquierda y derecha del punto crítico, entonces el punto
    crítico no es ni máximo ni mínimo
    relativo.

    4. Criterio de la Segunda
    Derivada

    4.1.Concavidad

    La concavidad de la gráfica de una
    función se refiere a dónde se curva la
    gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia
    abajo.

    Definición: Si f es una función
    derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la
    gráfica de f es:

    i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’
    es creciente en (a,b)

    ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’
    es decreciente en (a,b) 

    Teorema: Si f es una función cuya segunda
    derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:

    i) si f"(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b),
    la gráfica de f es cóncava hacia arriba en
    (a,b).

    ii) si f"(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b),
    la gráfica de f es cóncava hacia abajo en
    (a,b).

    Ejemplos:

    1. Observar que la función f(x) = x2
      es cóncava hacia arriba y su derivada f’(x) = 2x
      es creciente en el intervalo (-5,5). En la Figura 2, tenemos
      que para f(x) = x2 la segunda derivada es positiva,
      esto es, f"(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es
      cóncava hacia arriba

    2) Observar que la función f(x) =
    -x2 es cóncava hacia abajo y su derivada
    f’(x) = -2x es decreciente en el intervalo (-5,5). En la
    Figura 3, tenemos que para f(x) = -x2 la segunda
    derivada es negativa, esto es, f"(x) = -2. Por tanto, la
    gráfica de f es cóncava hacia abajo.

    4.2. Punto de inflexión

    Definición: El punto de inflexión de una
    gráfica f es el punto donde la concavidad cambia de
    hacia arriba a hacia abajo (o viceversa).

    Nota: Como el punto de inflexión se presenta
    donde cambia la concavidad de la gráfica, también
    es cierto que el signo de la segunda derivada (f") cambia es
    estos puntos. De manera que, para localizar los puntos de
    inflexión, calculamos los valores de x para los que
    f"(x) = 0 ó para los que f"(x) no existe.

    4.3. Mínimos y máximos
    relativos

    Teorema: Suponga que f" existe en algún
    intervalo (a,b) que contiene a c y que f’(c) = 0,
    entonces:

    i) si f"(c)>0, f(c) es un mínimo
    relativo

    ii) si f"(c)<0, f(c) es un máximo
    relativo

    Nota: Si f"(c) = 0, entonces el criterio de la segunda
    derivada no aplica y no provee información. De manera que, se usa
    entonces el criterio de la primera derivada para determinar los
    máximo y mínimos relativos.

    Resumen: Para usar el criterio de la segunda
    derivada, si f es una función continua en el intervalo (a,
    b): primero se hallan los puntos críticos, luego
    si:

    i) si f"(c)>0 entonces x = c es un mínimo
    relativo y la gráfica de f es cóncava hacia
    arriba.

    ii) si f"(c)<0 entonces x = c es un máximo
    relativo y la gráfica de f es cóncava hacia
    abajo.

    iii) si f"(c) = 0 entonces el criterio de la segunda
    derivada no aplica, por tanto, se debe utilizar el criterio de
    la primera derivada.

     5.- ALGUNOS USOS EN LA
    ELECTRÓNICA

    5.1.Corriente inducida

    Cuando la intensidad de la corriente i cambia
    con el tiempo, se
    induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que
    se opone a los cambios de flujo, es decir de
    intensidad.

    La fem autoinducida VL siempre
    actúa en el sentido que se opone a la variación
    de corriente.

    5.2 Energía del campo
    magnético

    Para mantener una corriente en un circuito es
    necesario suministrar energía. La energía
    suministrada por la batería en la unidad de tiempo es
    V0· i. Esta energía se disipa,
    en la resistencia por
    efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma
    de energía magnética. Se tiene:

    El término R·i2 es la
    energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia.
    El primer término V0·i es la
    energía suministrada por la batería. El
    último término, es la energía por unidad
    de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la
    autoinducción o su campo
    magnético asociado.

    Esta es la energía acumulada en forma de campo
    magnético, cuando circula por la bobina una corriente de
    intensidad i.

    5.3.La inducción electromagnética. Ley de
    Faraday

    La inducción electromagnética fue
    descubierta casi simultáneamente y de forma
    independiente por Michael Faraday y Joseph Henry en 1830. La
    inducción electromagnética es el principio sobre
    el que se basa el funcionamiento del
    generador eléctrico
    , el

    transformador
    y muchos otros
    dispositivos.

    Supongamos que se coloca un conductor eléctrico
    en forma de circuito en una región en la que hay un
    campo magnético. Si el flujo  a través
    del circuito varía con el tiempo, se puede observar una
    corriente en el circuito (mientras el flujo está
    variando). Midiendo la fem inducida se encuentra que depende de
    la rapidez de variación del flujo del campo
    magnético con el tiempo.

    El significado del signo menos, es decir, el sentido
    de la corriente inducida (ley de Lenz) se muestra en la figura
    mediante una flecha de color azul.

    5.3.Campo magnético

    El campo magnético cuya dirección es perpendicular al plano de la
    espira, varía con el tiempo de la forma

    B=B0 sen(  t)

    El flujo   del campo
    magnético a través de las N espiras
    iguales es, el producto del
    flujo a través de una espira por el número
    N de espiras

    La fem inducida en las espiras
    es

    5.4.Condensador plano

    Fuerza entre las placas de un condensador plano. Se
    distinguen dos casos, aunque es claro que la fuerza es la
    misma en ambos.

    i) Carga constante. La energía se puede
    expresar en función de la carga, como

    entonces la derivada es fácil de realizar, y
    vale

    en que hemos supuesto que la carga del condensador
    es .

    5.5.Carga puntual y plano
    conductor

    Una carga puntual q, a una distancia h
    frente a un plano conductor infinito, a potencial cero (' a
    tierra'). El
    campo
    eléctrico para esta configuración ya ha sido
    resuelto po medio del mtodo de las imágenes, ahora queremos calcular la
    fuerza que el plano ejerce sobre la carga q. Para
    calcular esto podemos proceder de dos maneras.

    En primer lugar, usando la idea de dicho
    método, la fuerza buscada debe corresponder a la fuerza
    entre la carga q y su imágen, que obtendremos a
    partir de la energía potencial de las dos cargas,
    separadas por la distancia r,

    Naturalmente, una vez reconocido el hecho que la
    fuerza es aquella entre dos cargas puntuales, el resultado
    anterior es evidente.

    5.6. Corriente
    Eléctrica

    Una corriente
    electrica es, simplemente, el movimiento
    de cargas electricas. Definimos la corriente electrica
    I, como la carga eléctrica dQ que pasa a
    traves de una sección de área A de
    conductor, por unidad de tiempo dt,

    La corriente electrica I se mide entonces en
    coulomb por segundo (ampere) ( 1 A=
    Cb/seg). Notemos que, de acuerdo a nuestra
    definición, tanto los portadores de carga positiva como
    negativa contribuyen a la corriente en el mismo sentido (del
    mismo signo).

    5.7. Inductancia como elemento de circuito

    Conectemos una bobina (solenoide) a una fuente de fem
    continua (ver figura):

    Toda bobina real posee resistencia (R) e
    inductancia propia (L). Es fácil verificar que una
    inductancia fisica puede ser representada como la combinacion de
    una resistencia y una inductancia, ambas ideales. Si por el
    circuito de la figura fluye una corriente I(t),
    entonces la fem total es

    de donde se tiene la representacion descrita. Notemos
    que, si el circuito se encontraba abierto ( I=0 en
    t=0), al cerrar el circuito habra un periodo 'transiente'
    y, finalmente se llegara a la corriente

    La última relacion nos dice que el comportamiento
    de la corriente es gobernado por el valor de L, en
    particular, si L es muy pequeño, la corriente
    demora un tiempo muy breve en pasar de I=0 a su valor
    final, el cual es independiente de L.

    Bibliografía

     

     

    Autor:

    Oscar Efraín Ramos Ponce

    Alumno de Ingeniería Electrónica

    Universidad Católica de Santa María
    – Arequipa – Perú

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