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Medidas de posición para datos agrupados y no agrupados: cuartiles, deciles y percentiles



    1. Cuantiles
    2. Cuartiles
    3. Deciles
    4. Centiles o
      percentiles
    5. Ejemplo
    6. Bibliografía

    1. Las Medidas de Posición, también
      conocidas como Otras Medidas de Dispersión, son otras
      medidas o métodos que resultan ser más
      prácticos para precisar ciertas situaciones en las que
      se busca describir la variación o dispersión en
      un conjunto de datos.

    2. INTRODUCCIÓN
    3. CUANTILES

    Los cuantiles son medidas de posición que se
    determinan mediante un método que
    determina la ubicación de los valores
    que dividen un conjunto de observaciones en partes
    iguales.

    Los cuantiles son los valores de la
    distribución que la dividen en partes
    iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo
    número de valores. Cuando la distribución contiene
    un número alto de intervalos o de marcas y se
    requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede
    dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien
    partes.

    Los más usados son los cuartiles, cuando dividen
    la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando
    dividen la distribución en diez partes y los centiles o
    percentiles, cuando dividen la distribución en cien
    partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en
    cierta forma una extensión de la mediana.

    Para algunos valores u , se dan nombres
    particulares a los cuantiles, Q (u):

    u

    Q(u)

    0.5

    Mediana

    0.25, 0.75

    Cuartiles

    0.1, … , 0.99

    Deciles

    0.01, …, 0.99

    Centiles


    CUARTILES

    Los cuartiles son los tres valores que dividen al
    conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente
    iguales.

    Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El
    segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es
    el valor en el
    cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los
    valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es
    el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas
    partes (75%) de los datos.

    Datos Agrupados

    Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando
    contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que
    en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla
    de frecuencia. La fórmula para el cálculo de
    los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la
    siguiente:

    k= 1,2,3

    Donde:

    Lk = Límite real inferior de la clase del
    cuartil k

    n = Número de datos

    Fk = Frecuencia acumulada de la clase que
    antecede a la clase del cuartil k.

    fk = Frecuencia de la clase del cuartil
    k

    c = Longitud del intervalo de la clase del
    cuartil k

    Si se desea calcular cada cuartil individualmente,
    mediante otra fórmula se tiene lo siguiente:

    • El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor
      que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la
      variable que supera 25% de las observaciones y es superado por
      el 75% de las observaciones.

    Fórmula de Q1, para series de Datos
    agrupados:

    Donde:

    L1 = limite inferior de la clase que lo
    contiene

    P = valor que representa la posición de
    la medida

    f1 = la frecuencia de la clase que contiene la
    medida solicitada.

    Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que
    contiene la medida solicitada.

    Ic = intervalo de clase

    • El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico
      o similar a la mediana, Q2 = Md), es el menor valor que es
      mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las
      observaciones son mayores que la mediana y el 50% son
      menores.

    Fórmula de Q2, para series de Datos
    agrupados:

    Donde:

    L1 = limite inferior de la clase que lo
    contiene

    P = valor que representa la posición de
    la medida

    f1 = la frecuencia de la clase que contiene la
    medida solicitada.

    Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que
    contiene la medida solicitada.

    Ic = intervalo de clase

    • El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor
      que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de
      la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las
      observaciones.

    Fórmula de Q3, para series de Datos
    agrupados:

    Donde:

    L1 = limite inferior de la clase que lo
    contiene

    P = valor que representa la posición de
    la medida

    f1 = la frecuencia de la clase que contiene la
    medida solicitada.

    Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que
    contiene la medida solicitada.

    Ic = intervalo de clase.

    Otra manera de verlo es partir de que todas las
    medidas no son sino casos particulares del percentil, ya que el
    primer cuartil es el 25% percentil y el tercer cuartil 75%
    percentil.

    Para Datos No Agrupados

    Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se
    localiza mediante las siguientes fórmulas:

    – El primer cuartil:

    Cuando n es par:

    Cuando n es impar:

    • Para el tercer cuartil

    Cuando n es par:

    Cuando n es impar:


    DECILES

    Los deciles son ciertos números que dividen la
    sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente
    iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de datos
    ordenados en diez partes iguales, son también un caso
    particular de los percentiles. Los deciles se denotan D1, D2,…,
    D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc.

    Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente
    utilizados para fijar el aprovechamiento
    académico.

    Datos Agrupados

    Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la
    fórmula.

    k= 1,2,3,… 9

    Donde:

    Lk = Límite real inferior de la clase del
    decil k

    n = Número de datos

    Fk = Frecuencia acumulada de la clase que
    antecede a la clase del decil k.

    fk = Frecuencia de la clase del decil
    k

    c = Longitud del intervalo de la clase del decil
    k

    Otra fórmula para calcular los
    deciles:

    • El cuarto decil, es aquel valor de la variable que
      supera al 40%, de las observaciones y es superado por el 60% de
      las observaciones.

    • El quinto decil corresponde a la mediana.

    • El noveno decil supera al 90% y es superado por el
      10% restante.

    Donde (para todos):

    L1 = limite inferior de la clase que lo
    contiene

    P = valor que representa la posición de la
    medida

    f1 = la frecuencia de la clase que contiene la
    medida solicitada.

    Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que
    contiene la medida solicitada.

    Ic = intervalo de clase.

    Fórmulas Datos No Agrupados

    Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se
    localiza mediante las siguientes fórmulas:

    Cuando
    n es par:

    Cuando
    n es impar:

    Siendo A el número del decil.

    CENTILES O
    PERCENTILES

    Los percentiles son, tal vez, las medidas más
    utilizadas para propósitos de ubicación o
    clasificación de las personas cuando atienden
    características tales como peso, estatura, etc.

    Los percentiles son ciertos números que dividen
    la sucesión de datos ordenados en cien partes
    porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en
    cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los
    percentiles (P1, P2,… P99), leídos primer percentil,…,
    percentil 99.

    Datos Agrupados

    Cuando los datos están agrupados en una tabla de
    frecuencias, se calculan mediante la fórmula:

    k= 1,2,3,… 99

    Donde:

    Lk = Límite real inferior de la clase del
    decil k

    n = Número de datos

    Fk = Frecuencia acumulada de la clase que
    antecede a la clase del decil k.

    fk = Frecuencia de la clase del decil
    k

    c = Longitud del intervalo de la clase del decil
    k

    Otra forma para calcular los percentiles es:

    • Primer percentil, que supera al uno por ciento de los
      valores y es superado por el noventa y nueve por ciento
      restante.

    • El 60 percentil, es aquel valor de la variable que
      supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de
      las observaciones.

    • El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado
      a su vez por el 1% restante.

    Fórmulas Datos No Agrupados

    Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se
    localiza mediante las siguientes fórmulas:

    Para los percentiles, cuando n es par:

    Cuando
    n es impar:

    Siendo A, el número del percentil.

    Es fácil ver que el primer cuartil coincide con
    el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el
    tercer cuartil con el percentil 75.

    3.
    EJEMPLO

    Determinación del primer cuartil, el
    séptimo decil y el 30 percentil, de la siguiente
    tabla:

    Salarios

    No. De

    fa

    (I. De Clases)

    Empleados (f1)

    200-299

    85

    85

    300-299

    90

    175

    400-499

    120

    295

    500-599

    70

    365

    600-699

    62

    427

    700-800

    36

    463

    Como son datos agrupados, se utiliza la
    fórmula

    Siendo,

    La
    posición del primer cuartil.

    La posición del 7 decil.

    La posición del percentil 30.

    Entonces,

    El
    primer cuartil:

    115.5 – 85 = 30.75

    Li = 300, Ic = 100 , fi =
    90

    El 7 decil:

    Posición:

    324.1 – 295 = 29.1

    Li = 500, fi = 70

    El percentil 30

    Posición:

    138.9 – 85 = 53.9

    fi = 90

    Estos resultados nos indican que el 25% de los empleados
    ganan salarios por
    debajo de $ 334; que bajo 541.57 gana el 57%de los empleados y
    sobre $359.88, gana el 70% de los empleados.

    BIBLIOGRAFÍA

    PRESENTADO POR:

    ANA MILENA GARCIA PORTO

    ESTUDIANTE DE FINANZAS Y
    NEGOCIOS
    INTERNACIONALES

    CATEGORÍA: ESTADISTICA

    UNIVERSIDAD TECNOLÒGICA DE
    BOLÌVAR

    CARTAGENA, COLOMBIA

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