Distribución de probabilidades discretas

Enviado por mrdm20

Problema
Variable
aleatoria
Valor
esperado
Distribución de
probabilidades discretas
Distribución
binomial
Distribución
Poisson

PROBLEMA

Hay una campaña en un centro medico del poblado
de Ucayali, sobre paternidad responsable a un grupo de
mujeres. Una vez finalizada la charla se les entrega un papelito
con una única pregunta:

¿Desearía usted ser
esterilizada?

1. Si

2. No

Usted alumna de la maestría en Salud Publica
con mención en Salud Reproductiva,
está interesada en investigar si las charlas tienen un
efecto favorable en el sentido de que las mujeres se decidan a
ser sometidas a la esterilización.

Ante este tipo de situaciones en la cual uno se
encuentra todos los días, tenemos que acudir a las
Distribuciones de Probabilidades. En nuestro ejemplo, la variable
Deseo ser esterilizada, es una variable cualitativa, discreta.
Por lo tanto se requieren de las Distribuciones de Probabilidades
Discretas. Que es la que estudiaremos en este trabajo.

VARIABLE
ALEATORIA

Una variable se dice que es aleatoria, si los posibles
valores que
puede tomar son determinados por el azar. En otras palabras se
sabe qué valores puede tomar la variable pero no se tiene
certeza de su ocurrencia, sólo se sabe que puede ocurrir
con una cierta probabilidad. Por
ejemplo, en una epidemia de cólera,
se sabe que una persona
cualesquiera puede enfermar o no (eventos), pero no
se sabe cuál de los dos eventos va a ocurrir. Solamente se
puede decir que existe una probabilidad de que la persona
enferme.

Las variables
aleatorias se clasifican:

Discretas: aquellas que resultan de contar el
número de casos en los que el evento de interés
ocurre, por ejemplo: numero de hijos de una familia,
número de veces que llega una paciente al servicio de
emergencia, etc.
Continuas: aquellas que resultan producto de
una medición, por ejemplo: el peso, el nivel
de hemoglobina, etc.

VALOR
ESPERADO

Se llama también esperanza
matemática. Se trata de un operador matemático
que al ser aplicado a la función
probabilidad permite el cálculo de
ese valor en el
caso discreto, mientras que en el caso continuo se lo aplica a la
función frecuencia:

DISTRIBUCION DE
PROBABILIDADES DISCRETAS

Sigamos con nuestro ejemplo del centro medico de
departamento de Ucayali. Nuestra variable de interés
seria:

Deseo ser esterilizada.

Supongamos que a la charla asistieron tres mujeres,
entonces definimos como variable aleatoria a:

X : Número de mujeres que desearían
ser esterilizadas.

Antes de hacerles la pregunta sobre su deseo de ser
esterilizadas, puede considerar las posibles
respuestas:

X = 0 à Ninguna
desearía ser esterilizada

X = 1 à Sólo
una de las mujeres desearía

X = 2 à Dos mujeres
desearían

X = 3 à Las tres
mujeres desearían

Antes de verificar las respuestas de las 3 mujeres
seleccionada; no sabe cuántas estarán de acuerdo en
ser esterilizadas, pero si conociera las probabilidades de
ocurrencia de cada uno de los posibles valores de la variable
podría predecir su ocurrencia con una cierta probabilidad.
El conjunto de las probabilidades de ocurrencia de los posibles
valores de la variable aleatoria se denomina distribución de probabilidades.

En nuestro ejemplo:

A esto se le llama distribución
de probabilidades discreta. Discreta porque la variable X deseo
ser esterilizada es discreta.

Nosotros estudiaremos dos tipos de distribuciones de
probabilidades discretas: la Binomial y la de Poisson, para su
solución, utilizaremos las matemáticas y también el Excel.

DISTRIBUCION
BINOMIAL

Esta distribución se basa en el proceso de
Bernoulli. Se
denominan procesos de
tipo Bernoulli, a todo experimento consistente en una serie de
pruebas
repetidas, caracterizadas por tener resultados que se pueden
clasificar en si verifican o no cierta propiedad o
atributo, siendo aleatorios e independientes.

Para identificar un proceso Bernoulli en una serie de
pruebas repetidas, se deben verificar tres
condiciones:

Resultados dicotómicos: Los resultados
de cada prueba se pueden clasificar en "éxito" si verifican cierta
condición, o "fracaso" en el caso contrario.
Independencia de las pruebas: El resultado de
una prueba cualquiera es independiente del resultado obtenido
en la prueba anterior, y no incide en el resultado de la prueba
siguiente.
Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p
de obtener un resultado considerado como un éxito se
mantiene constante a lo largo de toda la serie de
pruebas.

Cuando en un proceso del tipo
Bernoulli se desea saber la probabilidad de obtener exactamente
r éxitos, en una serie de n pruebas, con una
probabilidad de éxito p, se puede aplicar la
fórmula de la probabilidad binomial:

X = 0, 1, 2, ……, n.

La media o valor esperado es m = np

La varianza s 2 =
np(1-p)

Veamos el siguiente ejemplo:

Sea el caso de una droga X, con
una dosis mortal de 1g/100 ml para cobayos experimentales, en el
25% de los casos. Aplicando esta dosis a cien cobayos se desea
saber cuanto vale la probabilidad de que mueran veinte de
ellos.

Primero analizaremos si este caso cumple los supuestos
básicos de una distribución binomial:

Los cobayos mueren (éxito) o sobreviven
(fracaso).
Que un cobayo muera con la dosis, no significa que lo
hará el siguiente (independencia) pues no se trata de una
epidemia.
La probabilidad de que mueran se mantiene constante a
lo largo de la serie de pruebas (p = 0,25).

Entonces, como si cumple los supuestos básicos,
aplicamos la formula:

Mucha matemática. No se preocupen, tenemos al
Excel

Ingresamos la información y listo P(x=20) =
0.0493

Veamos otro ejemplo:

En una farmacia se ha calculado la probabilidad de
venderle a un cliente con obra
social es del 20%. Se eligen al azar 15 clientes de ese
tipo que ingresan al negocio y se desea calcular la probabilidad
de concretar menos de tres ventas.

Si se cumple los supuestos básicos de la
distribución binomial, entonces:

P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

Matemáticamente esto se resuelve
así:

Entonces: P(x<3) = 0.0352 + 0.1319 + 0.2309 =
0.398

Ahora los hacemos con el Excel.

Matemáticamente P(x<3) = P(x≤ 2) . El Excel
calcula siempre o igualdad o
menor igual. Cuando queremos menor igual, en la opcion de
acumulado ingresamos VERDADERO.

Entonces P(x<3) = 0.398

Gracias Excel, por facilitarme las cosas.

DISTRIBUCION
POISSON

Se denominan procesos de tipo Poisson, a todo
experimento consistente en una serie de pruebas repetidas dentro
de un continuo, caracterizadas por tener resultados que se pueden
clasificar en si verifican o no, cierta propiedad o atributo,
siendo aleatorios e independientes del lugar que ocurren dentro
del continuo.

Para identificar un proceso Poisson en una serie de
pruebas repetidas, se deben verificar tres
condiciones:

Sucesos puntuales: Los sucesos ocurren
dentro de un continuo (espacio o tiempo) y
ocupan una parte infinitesimal del mismo. Es decir, en el
espacio un suceso es puntual y en el tiempo es
instantáneo. En términos prácticos, los
sucesos no ocupan una parte apreciable del
continuo.
Sucesos independientes: La ocurrencia de un
suceso en un lugar del continuo no condiciona la ocurrencia del
anterior (o del siguiente) en otra parte del mismo.
Probabilidad constante: La probabilidad de
ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo es la misma en
todo punto del mismo.

Son ejemplos de este tipo de proceso:

la llegada de pacientes a una cola o línea de
espera,
los accidentes
en una ruta, etc.

Esta probabilidad se aproxima a la binomial
cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña, por
eso muchos la llaman: la "binomial de los sucesos
raros".

Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber
la probabilidad de obtener exactamente x éxitos en un
intervalo de tiempo, con un promedio de eventos esperados
l , se puede aplicar la fórmula
de la probabilidad de Poisson:

X = 0, 1, 2, …., n

e = 2.71828 (es una constante, la base de los logaritmos
naturales)

Veamos el siguiente ejemplo:

Supongamos que estamos investigando la seguridad de una
peligrosa intelección de calles, los registros
policíacos indican una media de 5 accidentes mensuales en
esta intersección.

El departamento de seguridad vial desea que calculemos
la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 3
accidentes.

Analizando el problema, este situación se ajusta
a un proceso de Poisson, hay una secuencia de llegada (por mas
que exista un choque múltiple, siempre hay uno que choca
primero). Tenemos la siguiente información:

l = 5 accidentes por
mes

x = 3 accidentes por mes

Aplicando la formula de la probabilidad de
Poisson: