A partir de los resultados obtenidos en el aprendizaje de las funciones en la asignatura Matemática Básica, es que se hizo necesario elaborar la propuesta minimal de ejercicios sobre funciones.
En el desarrollo, se analiza los referentes teóricos acerca de las funciones y el aprendizaje y además una valoración del contenido referente a funciones; seguidamente, se realiza la propuesta minimal de ejercicios.
La asignatura de Matemática en cualquier grado de enseñanza escolar (del primario al universitario, incluyendo la ocurrencia de postgrados, maestrías y doctorados que podrían tener cabida a continuación) habitualmente, y debido a su innegable complejidad, desarrollo, y elevado nivel de abstracción que exige de quienes la estudian, ha constituido una de las materias más fuerte a la hora de comprenderla.
A partir de esta certidumbre, se considera loable cualquier intención creativa que pudiera ayudar a la comprensión de algunos de los disímiles aspectos que con mayor asiduidad aparecen en ella.
Desde que en 1637 el matemático francés René Descartes usara por primera vez el término función para designar una potencia xn de la variable x, y las subsiguientes designaciones que le sucedieron, hasta llegar a entenderse de manera general como la relación entre dos magnitudes, de modo que a cada valor de una de ellas le corresponde determinado valor de la otra, el trabajo con expresiones matemáticas se expandió por sobre las funciones y se ha ganado un lugar dentro de la lista que conforman esos disímiles aspectos citados con anterioridad.
La metodología del estudio de las funciones, por su parte, ha demostrado que el apoyo gráfico ayuda considerablemente al entendimiento del comportamiento de algunas de las mismas.
De esta manera, paralelamente al impulso que se ganó el trabajo con las funciones matemáticas, se desarrolló la práctica de representarlas en un plano n-dimensional.
La necesidad real de crear una propuesta de ejercicios que auxiliara a los estudiantes de la Facultad de Preparatoria en la operación de graficar algunas funciones consideradas básicas dentro del contenido de su curso de Matemática, fue la causa y el punto de partida de este trabajo.
El concepto de función está implícito en las matemáticas desde las primeras civilizaciones; y ello puede inferirse del estudio de las tablillas de barro babilónicas de la colección Plimpton, que datan del año 1900 a.n.e. Se tiene la certeza de su origen práctico y su vinculación a las necesidades del hombre; pues tal como la numeración surge ante las necesidades creadas por el intercambio, los descubrimientos geométricos son impulsados por las construcciones y las divisiones de los terrenos, las funciones surgen a partir de la relación entre cantidades que varían, una en dependencia de otras.
Se puede encontrar una noción vaga de este concepto, bajo la forma de tablas de correspondencias que provienen de la observación de fenómenos naturales, ya que la idea de función está ligada históricamente a la percepción de correlaciones entre los fenómenos de la naturaleza, así la primera noción de función se encuentra en las tablillas astronómicas del período seleucida.
Sobre estas tablillas, existen relaciones aritméticas que provienen de la observación de fenómenos análogos, por ejemplo los períodos de visibilidad de un planeta y la distancia angular del mismo al Sol.
La aceptación intuitiva de la dependencia funcional como manifestación de una relación de causa y efecto en un fenómeno, en diferentes situaciones, ha sido natural desde los tiempos remotos. Una larga historia poseen los intentos de expresar esta dependencia funcional entre cantidades variables a través de la matemática.
El concepto dependencia funcional se manifiesta matemáticamente, por primera vez, en la expresión de la variación de los parámetros que determinaban un lugar geométrico, a través de una tabla numérica.
En los trabajos de constatación, para determinar las dificultades que presentan los estudiantes en el aprendizaje de las funciones en el nivel preparatorio, se ha podido precisar que estas dependen de múltiples factores, pero fundamentalmente de la creencia que tienen los profesores acerca de qué es la matemática, cómo enseñarla y para qué se aprenden estos contenidos en la
escuela. Los resultados obtenidos apuntan hacia las afirmaciones siguientes, que caracterizan el proceso de enseñanza-aprendizaje de estos contenidos en el preuniversitario.
Cabe preguntarse entonces si los contenidos que aparecen en el currículo son los que realmente necesitan los estudiantes para el desarrollo profesional o social, o si el problema radica en cómo se produce el proceso de aprendizaje. Esto ha motivado la investigación de nuevas dimensiones, es decir no sólo centrarse en lo que se debe estudiar, y cómo enseñarlo, sino en la forma en que se debe producir el aprendizaje.
A partir de todo lo dicho anteriormente es que se procede a la elaboración de la propuesta minimal de ejercicios sobre funciones.
Propuesta minimal de ejercicios sobre funciones.
Al finalizar el estudio de las funciones, en la asignatura de Matemática en la Facultad de Preparatoria se elaboró el siguiente conjunto de ejercicios que constituyen las exigencias mínimas que debe dominar un estudiante al finalizar estos contenidos.
a) (3;0) b) (0;3) c) (0;0) d) (2;8) e) (-3;5) f) (-1;-1) g) (4;-6) h) (1/2;-5)
i) (-0.4;3/2)
a) P(4;6) y P’ simétrico de P respecto al eje de las abcisas.
b) P(-2;3) y P’ simétrico de P respecto al eje de las ordenadas.
c) P(-1;-4) y P’ simétrico de P respecto al origen de coordenadas.
a) Determina f(o); f(1); f(2); f(4) y f(6).
b) Determina el valor de x si f(x) = 0;
f(x) = 1; f(x) = 2.
a) y = x – 2 b) y = 3x c) y = x2 d) y = 3/x + 1, x = 0 e) y = x3 + 5
f) y = x/5 g) y = h) 3x + y = 0 i) x + 2y = 8
a) P1(0;2) b) P2(1;11) c) P3(0;3) d) P4(-1;5)
6. Escribe las ecuaciones que se definen las funciones representadas en la figura.
7. Determina para qué valores de x la función:
a) y = 5x +8 toma el valor 4.
b) y = 12 - x toma el valor –2/5.
c) y = -2x -5 toma el valor 0.4.
d) y = - x toma el valor .
8. De una función lineal se sabe que su cero es –4 y que interseca al eje "y" en el punto de ordenada –21/2. Represéntala gráficamente.
9. Representa gráficamente las funciones lineales siguientes:
a) y = x b) y = - 1/2 x c) y = x + 2 d) y + x = 2
d) y = 8 - 3x
10. Determina la ecuación de la función lineal cuyo gráfico pasa por los
puntos:
a) A (0;0) y B (-1;3) b) M (-1;2) y N (0;-2) c) P(2;3) y Q (-5;4)
a) y = b) y = -x2 + 5 c)x = -y2+3y-1 d)
y = 2x2 + 3x
e) y = x2 + 0.5 f) y2+x2 =1 g) v = at2+ 3t
gráfico pasa por los puntos:
a) A (1;2) b) B(-3;-3) c) C(1; 4) d) D (2; -3)
14. Determina cuáles de las representaciones gráficas de la figura son funciones y de ellas cuáles son inyectivas. Considere conjuntos de pares de la forma (x;y) y (y;x).
16 Los gráficos de la figura corresponden a funciones del tipo f(x) =(x + b)3 + c.
Escribe la ecuación que le corresponde a cada caso.
a) (-b;2) y (1;-6) b) (0;0) y (-2;8) c) (0;-1) y (1;6)
d) (0; 123) y (-4;-1) e) (3;5) y(5;7) f) (-b;b) y (3;-1)
Y = 2x+3 y=x2 y = x2
3 (x >0)
f(x)= 5x g(x)= 5x – 1 h(x)= 5x + 3 p(x)= 5x +3 – 1
Determina: a) Dominio e imagen de estas funciones.
b) Ceros en caso de que existan.
f(x)= ;
g(x) – 4 = 0 ; h(x+6) =
?
21. Representa gráficamente las siguientes funciones si:
f(x)= log5 x – 1 ; g(x)= log5 (x + 0.5) ; m(x)= log5 (x – 5) + 1
-5/3, y 0 respectivamente.
Por último, y con el objetivo de que se tenga una idea más clara de los resultados obtenidos, se mostrarán las estrategias seguidas en el proyecto para que los alumnos pudieran transferir la definición de cero, que sobre funciones lineales ya poseen, a la función g con g(x)=senx.
Actividades.
1.1- ¿Cómo se puede hallar este valor?
La respuesta de los estudiantes debe ser mx+n=0 de
donde, x=. Con
esto se concluye que el procedimiento
es igualar la ecuación funcional a 0, pues los pares que
pertenecen a la función tienen la forma
(x;0).
2.- Se les pide a los alumnos que expliquen por qué las funciones lineales tienen a lo sumo, sólo un cero.
3.- Se propone a continuación el siguiente ejercicio con el objetivo de transferir el concepto de cero a cualquier gráfico.
"En el gráfico siguiente determine las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados.
Obsérvese que hay puntos cuya segunda componente en el par es 0, hay otros que no; pero hay también puntos para los cuales no existe información que permita determinar sus coordenadas. También que el eje vertical es "x", y el horizontal es "y". Este tipo de actividad permite desarrollar el pensamiento "flexible y divergente" de los estudiantes.
Lograr un aprendizaje efectivo en los estudiantes de la Preparatoria, es una aspiración a la que no se debe renunciar, por lo que se buscan vías y nuevos métodos para posibilitarlo, es por esto que proponemos la realización de este tipo de trabajo que a la vez propicia la formación científica pedagógica de los estudiantes, les muestra una forma de actuar que es transferible a otros contenidos dentro de la asignatura y fuera de esta.
La aplicación de la propuesta de ejercicios para la enseñanza de las funciones, posibilita la solidez de los conocimientos, y ha demostrado resultados alentadores en su aplicación práctica, para el desarrollo del proceso docente educativo en este nivel, luego esta experiencia en la asignatura de Matemática en la facultad de preparatoria de la UNAH abre una importante perspectiva en el campo de la innovación pedagógica.
Este trabajo puede resultar una fuente de información para los profesores de Preparatoria o de Preuniversitario incidiendo en el aumento de la calidad de las clases.
A partir del trabajo realizado se propone:
Autor:
Lic. Yasser Vázquez Alfonso
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