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Regresión lineal simple

Enviado por jazminet22



  1. Aspectos Teóricos
  2. Antecedentes del Problema
  3. Desarrollo
  4. Hipótesis
  5. Interpretación
  6. Conclusión

1. INTRODUCCIÓN

Si sabemos que existe una relación entre una variable denominada dependiente y otras denominadas independientes (como por ejemplo las existentes entre: la experiencia profesional de los trabajadores y sus respectivos sueldos, las estaturas y pesos de personas, la producción agraria y la cantidad de fertilizantes utilizados, etc.), puede darse el problema de que la dependiente asuma múltiples valores para una combinación de valores de las independientes.

La dependencia a la que hacemos referencia es relacional matemática y no necesariamente de causalidad. Así, para un mismo número de unidades producidas, pueden existir niveles de costo, que varían empresa a empresa.

Si se da ese tipo de relaciones, se suele recurrir a los estudios de regresión en los cuales se obtiene una nueva relación pero de un tipo especial denominado función, en la cual la variable independiente se asocia con un indicador de tendencia central de la variable dependiente. Cabe recordar que en términos generales, una función es un tipo de relación en la cual para cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente.

2. ASPECTOS TEÓRICOS

REGRESIÓN SIMPLE Y CORRELACIÓN

La Regresión y la correlación son dos técnicas estadísticas que se pueden utilizar para solucionar problemas comunes en los negocios.

Muchos estudios se basan en la creencia de que es posible identificar y cuantificar alguna Relación Funcional entre dos o más variables, donde una variable depende de la otra variable.

Se puede decir que Y depende de X, en donde Y y X son dos variables cualquiera en un modelo de Regresión Simple.

"Y es una función de X"

Y = f(X)

Como Y depende de X,

Y es la variable dependiente, y

X es la variable independiente.

En el Modelo de Regresión es muy importante identificar cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente.

En el Modelo de Regresión Simple se establece que Y es una función de sólo una variable independiente, razón por la cual se le denomina también Regresión Divariada porque sólo hay dos variables, una dependiente y otra independiente y se representa así:

Y = f (X)

"Y está regresando por X"

La variable dependiente es la variable que se desea explicar, predecir. También se le llama REGRESANDO ó VARIABLE DE RESPUESTA.

La variable Independiente X se le denomina VARIABLE EXPLICATIVA ó REGRESOR y se le utiliza para EXPLICAR Y.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO: REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

En el estudio de la relación funcional entre dos variables poblacionales, una variable X, llamada independiente, explicativa o de predicción y una variable Y, llamada dependiente o variable respuesta, presenta la siguiente notación:

Y = a + b X + e

Donde:

a es el valor de la ordenada donde la línea de regresión se intercepta con el eje Y.

b es el coeficiente de regresión poblacional (pendiente de la línea recta)

e es el error

SUPOSICIONES DE LA REGRESIÓN LINEAL

  1. Los valores de la variable independiente X son fijos, medidos sin error.
  2. La variable Y es aleatoria
  3. Para cada valor de X, existe una distribución normal de valores de Y (subpoblaciones Y)
  4. Las variancias de las subpoblaciones Y son todas iguales.
  5. Todas las medias de las subpoblaciones de Y están sobre la recta.
  6. Los valores de Y están normalmente distribuidos y son estadísticamente independientes.

ESTIMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN MUESTRAL

Consiste en determinar los valores de "a" y "b " a partir de la muestra, es decir, encontrar los valores de a y b con los datos observados de la muestra. El método de estimación es el de Mínimos Cuadrados, mediante el cual se obtiene:

Luego, la ecuación de regresión muestral estimada es

Que se interpreta como:

a es el estimador de a

Es el valor estimado de la variable Y cuando la variable X = 0

b es el estimador de b , es el coeficiente de regresión

Está expresado en las mismas unidades de Y por cada unidad de X. Indica el número de unidades en que varía Y cuando se produce un cambio, en una unidad, en X (pendiente de la recta de regresión).

Un valor negativo de b sería interpretado como la magnitud del decremento en Y por cada unidad de aumento en X.

3. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA

Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se observó el peso de una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura, resultando:

X

152

155

152

155

157

152

157

165

162

178

183

178

Y

50

61.5

54.5

57.5

63.5

59

61

72

66

72

84

82

Con estos datos vamos a plantear una ecuación de regresión simple que nos permita pronosticar los pesos conociendo las tallas. Utilizaremos a = 0.05, y contrastaremos nuestra hipótesis con la prueba F.

4. DESARROLLO

  • Representación matemática y gráfica de los datos:

Representación Matemática

estatura

pesos

Regresión Lineal

I.C. para la media

I. C. individual

datos

x

y

x ^2

y ^2

xy

y est.

Residual

L. I.

L. S.

L. I.

L. S.

1

152

50

23104

2500

7600

56.43

-6.43

53.07

59.79

47.30

65.56

2

155

61.5

24025

3782.3

9532.5

59.03

2.47

56.09

61.97

50.05

68.02

3

152

54.5

23104

2970.3

8284

56.43

-1.93

53.07

59.79

47.30

65.56

4

155

57.5

24025

3306.3

8912.5

59.03

-1.53

56.09

61.97

50.05

68.02

5

157

63.5

24649

4032.3

9969.5

60.77

2.73

58.05

63.48

51.85

69.68

6

152

59

23104

3481

8968

56.43

2.57

53.07

59.79

47.30

65.56

7

157

61

24649

3721

9577

60.77

0.23

58.05

63.48

51.85

69.68

8

165

72

27225

5184

11880

67.71

4.29

65.17

70.24

58.85

76.57

9

162

66

26244

4356

10692

65.11

0.89

62.65

67.56

56.27

73.94

10

178

72

31684

5184

12816

78.99

-6.99

74.65

83.33

69.45

88.52

11

183

84

33489

7056

15372

83.32

0.68

78.01

88.64

73.31

93.34

12

178

82

31684

6724

14596

78.99

3.01

74.65

83.33

69.45

88.52

Representación Gráfica

5. HIPÓTESIS

HO: No hay relación entre la variable peso y la variable estatura.

HA: Hay relación entre la variable peso y la variable estatura.

Tabla de análisis de varianza

Fuente de

Grados de

Suma de

Cuadrados

Variación

libertad

cuadrados

medios

estadístico F

Debido a

la regresión

1

1061.1

1061.1

73.08

error

10

145.2

14.5

total

11

1206.3

Se obtiene un valor F = 73.08 > 4.96, con lo cual se rechaza la hipótesis nula y aceptamos que la variable estatura está relacionada con la variable peso con un 95% de confianza.

  • De acuerdo al desarrollo matemático hemos obtenido los siguientes cálculos:

Lo que nos permite obtener los coeficientes a y b.

Luego,

b = 1223 / 1409.667 = 0.8676

a = 65.25 – (0.8676) (162.167) = -75.446

6. INTERPRETACIÓN

  • La ecuación de regresión estimada es:

Coeficiente de correlación: R= 0.9379

Coeficiente de determinación: R²=0.8796

El valor de b = 0.8676 indica el incremento del peso en kilogramos, en promedio, por cada centímetro de aumento en la estatura de los hombres adultos.

El valor de a, no tiene interpretación práctica en el ejemplo, se interpretaría como el valor obtenido, en promedio, para el peso Y, cuando la estatura es 0.

Utilizando la ecuación de regresión para estimar o predecir valores de la variable Y: Para una talla de 180 se obtiene un peso de 80.7 kg.

¿Cuánto se espera que pese (en promedio) una persona que mide 1.60 m?

Sustituyendo el valor de interés en la ecuación:

Se obtiene:

7. CONCLUSIÓN

La ecuación de Regresión Lineal estimada para las variables estatura y peso muestran, de acuerdo a la prueba F, relación.

Esta relación se ha estimado en un R = 93.7, que indica una fuerte relación positiva.

Además si consideramos el coeficiente de determinación R² = 87.9 podemos indicar que el 87.9% de las variaciones que ocurren en el peso se explicarían por las variaciones en la variable estatura.

MARÍA YSABEL RINCÓN PINO

UNIVERSIDAD NACIONAL

FEDERICO VILLARREAL

MAESTRÍA EN SALUD REPRODUCTIVA

CURSO ESTADÍSTICA

LIMA – PERÚ

2005


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