El teorema de Pitágoras es el más conocido de la Geometría. Esta relación era conocida por los Babilonios en 1700 A.C. (Resnikoff and Welles, 1884), aunque se atribuye a Pitágoras de Samos (c. 585 – 500 A. C.). Además, distintas culturas han dejado testimonio de que la conocían (Boyer and and Merzbach, 1989; Heath, 1981).

En su versión más conocida, el Teorema de Pitágoras expresa que en un triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.

c² = a² + b² (1)

en que c = longitud de la hipotenusa

a = longitud del primer cateto

b = longitud del segundo cateto

En la ecuación (1), es conveniente llamar "suma" a c² y "sumandos" a a² y b².

Esta misma expresión representa la ecuación de la circunferencia en la geometría analítica, y es la base de la circunferencia trigonométrica. Tiene, además, una vasta utilización en el Álgebra. La aplicación del teorema de Pitágoras abarca muchas disciplinas científicas, como se resume en el libro "Desde Pitágoras hasta Einstein" (Friedrichs, 1965). El teorema de Pitágoras fue fundamental para la Aritmética, ya que permitió descubrir los números irracionales (que no tienen raíz cuadrada exacta).

El número de demostraciones del Teorema de Pitágoras muy grande, y esta breve contribución sólo tratará de los números racionales enteros que cumplen con la ecuación (1), que se denominan números pitagóricos. Como se presentan en grupos de a tres, reciben el nombre de "ternas pitagóricas", de las cuales hay ternas pitagóricas primitivas y derivadas. Estas últimas se obtienen a partir de las primeras.

El descubrimiento de las ternas pitagóricas primitivas de valores bajos debe haberse realizado sin duda por prueba y error. Las ternas derivadas pueden obtenerse desde las ternas primitivas por un procedimiento sencillo. Así, si se multiplican los términos de la ecuación (1) por n (un número entero) se obtiene:

nc² = na² + nb² (2)

lo que conduce a que hay infinitos números y ternas pitagóricas.

Las ternas pitagóricas primitivas tienen una propiedad interesante: los números pares pueden construirse multiplicando cualquier número (par o impar) por dos, pero 2 es un número irracional, cuya irracionalidad se demuestra por reducción al absurdo (Guedj, 1998).

Los números pares pueden construirse también por la suma de dos números pares o por la suma de dos números impares. Un número racional puede ser representado por una fracción que no pueda reducirse más, por lo que una terna pitagórica primitiva debe estar constituida por dos números impares y un número par (si se divide c² por (a² + b²) y resulta un número par, entonces es posible todavía reducir más la expresión). Para una terna pitagórica primitiva la "suma" siempre debe resultar impar y los sumandos deben ser un cuadrado par y un cuadrado impar. Como se verá posteriormente, esta propiedad facilita mucho la obtención de ternas pitagóricas primitivas, ya que si n es impar se mantiene la paridad en la ecuación (2), y si n es par, todos los términos de la ecuación (2) son pares y se está tratando con una terna pitagórica derivada.

El advenimiento de las calculadoras y ordenadores hace el problema de encontrar ternas pitagóricas (primitivas y derivadas) aparentemente trivial, pero no es fácil encontrar un listado de ternas pitagóricas. Como en la Antigüedad, se requiere repetir muchos cálculos tediosos para obtenerlas, una necesidad imperiosa para los estudiantes, que deben responder a sus deberes escolares no teniendo tiempo para calcular por prueba y error o por el recurso de programar un ordenador. Es sorprendente que la inspección de una variedad de libros no es fructífera, y que la búsqueda en INTERNET resulta en algunas páginas útiles, pero que contienen un número muy reducido de ternas, al mismo tiempo que algunas de ellas contienen evidentes errores o se alejan mucho del tema (los números y ternas pitagóricas tendrían contenidos esotéricos, aserto que datan desde los tiempos de la Grecia clásica).

En esta contribución se darán algunos algoritmos (recetas) que facilitan el trabajo, para los primeros cien cuadrados. Algunas propiedades pueden extrapolarse más allá de este ámbito, mientras otras se postulan como conjeturas.

La terna pitagórica más conocida es obviamente la primera:

3² + 4² = 5² (3)

y es corriente el concepto que todas las otras ternas pitagóricas derivan de ella, lo cual no es efectivo. Para los números enteros positivos (en geometría se habla de triángulos rectángulos racionales, según Heath, 1981) esta terna es la más pequeña concebible, y es muy especial, ya que es la única terna constituida por tres números consecutivos. Hay casos en los cuales los valores de los sumandos son consecutivos (b = a +1) y otros en los que la suma (c) y el sumando mayor (b) son consecutivos (c = b +1). Los tres números consecutivos en este caso comienzan con un número impar, siguen con un número par y terminan con un número impar.

En el caso particular de la terna [3, 4, 5], dos de los tres componentes son, además, números primos (sólo divisibles por ellos mismos y por 1). Puede suponerse condicionalmente que las ternas primitivas contienen al menos un número primo, y que las ternas primitivas no contienen divisores comunes.

Desde la antigüedad se conocen algunas formulas para comprobar si un número es pitagórico (es decir, cumple con la ecuación (1)) o si un conjunto dado de tres números es una terna pitagórica. En la descripción de las formulas se expresa que las ternas tiene ciertas propiedades, pero esto no ayuda a encontrarlas.

Así, una vieja tablilla babilónica (Boyer and Merzbach, 1989, pp. 65) expresa que si un número c es impar, una terna pitagórica tiene como elementos:

(c² – 1)/2 , c, (c² +1)/2 (4)

si se suman los términos de los extremos, el resultado es c², pero para obtener el valor de c hay que recurrir a la prueba y error.

La misma referencia (pp. 101) señala que, para cualquier número natural (c):

(2c)² + (c² – 1)² = (c² + 1)² (5)

pero nuevamente hay que probar distintos valores para c hasta encontrar los valores que cumplen la relación.

En esta misma referencia (pp. 246) aparece una modificación de Brahmagupta (matemático hindú, c. 628), que complica un poco más las cosas, dando como constituyentes de las ternas:

m, (m²/n – n)/2, (m²/n + n) (6)

m y n son sin duda números enteros. Esta es una variante de la ecuación (4), y tiene el problema que en vez de buscar un solo valor, ahora hay que encontrar dos.

La formula para generar todas las ternas pitagóricas (debieran ser las ternas primitivas, la referencia no lo indica) es (Devlin, 1988):

a = 2·s·t, b = s² – t²; c = s² + t² (7)

s y t son números naturales (uno par, el otro impar); s > t; s y t no tienen factores comunes. Obviamente debe cumplirse la ecuación (1), y nuevamente hay que dar valores tentativos a s y t.

Un desarrollo más general es de Fraleigh (1969), que al multiplicar por k (un número entero) generaliza las ecuaciones (7) a:

a = k·(m² – n²); b = 2·k·m·n; c = k·(m² – n²) (8)

c2 = [k·(m² + n²)]² (9)

esta relación se cumpliría para todo k, m, n que pertenezcan al conjunto de los números reales. Ahora hay que buscar los por prueba y error los números k, m, n.

De las relaciones mostradas es evidente que el encontrar ternas pitagóricas requiere un paciente trabajo de iteración (hacer muchas veces lo mismo para distintos números). Como existe un número infinito de ternas pitagóricas, habría que fijarse una meta menos ambiciosa, como por ejemplo calcular todas las ternas pitagóricas que se pueden obtener de los 100 primeros cuadrados (lo usual en los deberes escolares). El rango iría de 1 (1²) a 10.000 (100²).

Un método laborioso, pero efectivo, es hacer uso de la ecuación (10) en una planilla de cálculo sabiendo que:

a² = c² – b² = (c + b)·(c – b) (10)

La obtención de las ternas pitagóricas implicaría tomar 99 veces el número 10.000 (c²) y restarle en cada caso los cuadrados entre 1 y 99 (b²), para obtener a², luego tomar la raíz cuadrada de la diferencia y eliminar de la lista todos los valores no exactos. Se obtienen en el caso de 10.000 las ternas [28, 96, 100] y [60, 80, 100], que al tener todos sus componentes pares pueden ser identificadas como ternas derivadas.

El próximo paso sería tomar el cuadrado de 99 (9801) 98 veces y restarle todos los cuadrados entre 1 y 98, repitiendo el resto del procedimiento. En este caso particular no se obtienen ternas pitagóricas.

Calcular el resto de las ternas pitagóricas entre 1 y 10.000 implicaría seguir haciendo lo mismo con los cuadrados restantes. El trabajo es grande, pero hay modos de acortarlo.

En la Tabla 1 aparecen las 52 ternas pitagóricas (16 primitivas y 36 derivadas) posibles entre los 100 primeros cuadrados. Están ordenadas según el valor de la suma (c²), de su origen (primitiva o derivada), y de uno de los sumandos (intentando que sea el menor). Esta es la información difícil de encontrar. La búsqueda se facilita si se obtiene una terna primitiva y se multiplica por números enteros crecientes, según la ecuación (2). El análisis de la Tabla 1 da como, resultado que no hay cuadrados que terminen en 2, 3, 7 ni 8, lo cual reduce la población de 10.000 a 6.000 números a analizar. De estos 6.000 números sólo 100 son cuadrados, lo que reduce la población a analizar a 100 números. Toda la población de los números de 1 a 100 contiene 50 números pares y 50 números impares, y para las ternas primitivas (c²) debiera corresponder sólo a números impares, por lo cual los candidatos a probar se reducen a 50.

Como ya se mencionó, las ternas pitagóricas primitivas deben tener la suma (c²) impar, y los sumandos deben ser uno par y el otro, impar. La multiplicación de una terna primitiva por un número par transforma esta en sólo números pares, por lo cual en las ternas derivadas sucesivas se alternan pares e impares en un sumando, mientras el otro siempre es par. A consecuencia de esto la suma (c²) sucesiva también es alternada. Como ya se mencionó, sólo las ternas derivadas originan sumas pares. La Tabla 1 se construyó en base a encontrar compatibilidades en la sumas, como se detalla más adelante.

En la Tabla 2 se lista los 100 primeros cuadrados. Observe que la diferencia entre dos cuadrados consecutivos es siempre un número impar. En las columnas 1 y 1A se dan los números enteros en orden ascendente; en las columnas 2 y 2A, los cuadrados de dichos números; en las columnas 3 y 3A las diferencias entre dos números cuadrados enteros consecutivos, que corresponde a la serie de los números enteros impares. La columna 4 lista los cuadrados de los números impares. Observe que cuando en las columnas 3 y 3A aparece un cuadrado impar, este es el sumando que le falta al cuadrado menor para completar el cuadrado mayor (c²).

Así, 9 (columna 3) es el cuadrado de 3, que sumado al cuadrado de 4 (columna 1) genera el cuadrado de 5. También cumplen esta relación: 5² + 12² = 13²; 7² + 24² = 25²;

9² + 40² = 41²; 11² + 60² = 61²; 13² + 84² = 85².

En general:

x² = (x-1)² + (2x-1) (11)

A partir de la ecuación (11) pueden obtenerse seis de las 16 ternas primitivas, las que pueden generar ternas pitagóricas derivadas según la ecuación (2), como se resume en la Tabla 3, donde se presentan otras ternas primitivas, que fueron deducidas por la compatibilidad de las sumas, que se describe más adelante. Como x es impar, x² es impar, (2x-1) es impar y (x–1) es par, por lo que (x–1)² es par. Cuando se aplica la ecuación 2 a estas ternas, se pierde la contigüidad de la terna (3, 4, 5 multiplicados por 2 resultan en 6, 8, 10, que ya no son números consecutivos).

De la Tabla 3 resulta claro que las generalizaciones hechas anteriormente a partir de la primera terna primitiva se cumplen: c² es impar, uno de los sumandos (a², b²) es par y el otro es impar; hay al menos un número primo en la terna y los constituyentes de la terna

no tienen factores comunes.

Es interesante que (x-1) es el cuadrado del par inmediatamente inferior al resultado, mientras (2x-1) es también un cuadrado, en este caso impar.