Fundamentos para la comprensión de la complejidad y el caos en la organización y la economía (página 3)

10.
ATRACTOR

De la misma manera como el caos y la aleatoriedad han
conseguido ocultar las leyes que los
rigen y escapar al control, del
mismo modo también el hombre se
las ha ingeniado para desplegar nuevas habilidades y atajos para
desvelar el encanto.

Si bien es cierto que todo lo que tenga que ver con caos
y aleatoriedad inquieta, es tanto como andar sin sombra, porque
asombra, desconcierta y desprecia los modelos
habituales, también es sabido que se han hecho incontables
intentos para descubrir las leyes que los gobiernan; mas, todos
han resultado fallidos; no ha sido posible encontrar
fórmulas para domesticarlos. Domar el caos y la
aleatoriedad figura entre las grandes empresas que
aún enfrenta el hombre de hoy.
Apenas se asoman soluciones
tranquilizadoras con la teoría
de los sistemas
dinámicos y las matemáticas asociadas a esos
comportamientos han hecho posible encontrar las primeras huellas
del eslabón perdido.

Desde comienzos del siglo pasado Jules Henri
Poincaré se interesó por descubrir la naturaleza de
los sistemas dinámicos y pronto alcanzó a
visualizar que los fenómenos naturales son inexorablemente
complejos y que las propuestas de las matemáticas
tradicionales y la geometría de Euclides no disponían
de instrumentos capaces para describir ese tipo de
fenómenos y revivió las matemáticas de las
metáforas visuales.

Explorándolos reconoció que se trata de
fenómenos que no se dejaban domeñar por las
matemáticas clásicas y rompiendo la
tradición fue capaz de pensar en otras alternativas hasta
proponer como nuevo método la
topología que, en esencia, sugiere una
nueva forma de concebir el mundo; se trata a las claras de una
matemática
de relaciones, de patrones inmutables o
‘invariantes’.

Cuando intentaba describir las figuras que imaginaba no
lograba más que sorprenderse porque las trayectorias
formaban una especie de red o malla infinitamente
espesa, ninguna de las curvas se cruzaba a sí misma, al
tiempo que se
replegaban de un modo muy complejo para pasar por los nodos de la
red un número infinito de veces. Lo impresionó de
tal manera el espectáculo que imaginaba que alcanzó
a escribir (Capra, 1999: 144): "Uno queda sorprendido ante la
complejidad de esta figura que no puedo ni siquiera intentar
dibujar". Lo que realmente intuía es lo que ahora se
conoce como "atractor extraño".

Como es de dominio general
la solución de las ecuaciones que
describen los fenómenos lineales se logra por medio de
fórmulas -recurriendo al álgebra o
al cálculo
diferencial- o a través de la geometría
euclidiana. No se corre la misma suerte cuando se trata de las
ecuaciones que detallan los fenómenos naturales
no-lineales. En estos casos la solución puede alcanzarse
numéricamente mediante prueba y error; tanteando hasta
obtener los valores
que las satisfagan. Acertarlos demanda tiempo
y al final se llega solamente a soluciones
aproximadas.

Con los computadores modernos este impedimento
pasó a la historia, se logran
soluciones con gran rapidez y exactitud. El resultado es una
extensa lista de valores de las
variables que
satisfacen la ecuación con los cuales se puede obtener un
gráfico que contiene la curva o conjunto de curvas que los
representan. Las técnicas
disponibles han permitido resolver las enmarañadas
ecuaciones no-lineales que describen fenómenos
caóticos, identificando de esta forma el orden subyacente
tras el aparente caos. Como en tantos otros casos a través
de las matemáticas se ha logrado desentrañar
comportamientos complejos.

Para poder
comprender con mayor claridad las implicaciones del
descubrimiento de Poincaré es necesario considerar el
concepto de
atractor.

Los atractores son entes caprichosos que invaden el
mundo de la vida. Están presentes en lugares impensados y
sólo bastan pocas prendas para comprobar el gran poder de
atracción magnética que tienen, funcionan a manera
de imán. Son modelo de
atractores en el mundo de la vida: el hogar, la familia,
las amistades, el amor y
¿acaso no ha sentido nunca la gran fuerza de
atracción que tiene el poder? Y, ¿Qué decir
del dinero? Y,
¿los vicios? En toda forma la idea que se quiere vender es
que los atractores tienen un encanto que seduce hasta absorber
todo cuanto los ronda. Es innegable reconocer que se encuentran
en el mundo natural y también en los fenómenos
sociales.

Se procurará entregar las ideas que los describen
sosegadamente para desbastar el camino en la asimilación
del concepto. De entrada es bueno adelantar que hay tres tipos de
atractores: punto atractor fijo, asociado a sistemas dirigidos
hacia el equilibrio
estable; atractor de ciclo límite que representa
oscilaciones periódicas y el atractor extraño que
refleja sistemas caóticos. El patrón de los
atractores refleja el comportamiento
de los sistemas. Naturalmente, se tratará en primer lugar
el punto atractor fijo y el prototipo más domesticable se
consigue entre los sistemas que exhiben comportamiento periódico
y repetitivo y entre estos está el péndulo. Si no
intervinieran en el funcionamiento del péndulo la resistencia del
aire y la
fricción seguiría oscilando indefinidamente. A la
larga esos dos factores impiden que continúe su propio
devenir.

Es edificante tener en cuenta que no se trata de
identificar el recorrido físico del péndulo que
como se sabe es de izquierda a derecha y viceversa. Lo que se
persigue es identificar la trayectoria –concepto que se
definirá más adelante- que gobierna a ese
comportamiento. La característica más distintiva de
este sistema es que
cualquiera que sea la naturaleza del impulso inicial siempre
regresará al mismo punto físico. Para conseguir ese
objetivo
conviene antes afianzar otras nociones.

La proyección de los valores de las variables del
sistema en un eje de coordenadas cartesianas se conoce como
espacio fase –también llamado espacio de fases- y es
el ambiente ideal
donde se han dejado desvelar los patrones ordenados que subyacen
en los sistemas. El espacio fase resulta -entonces- de proyectar
los valores de las variables en tantos ejes cuantas variables
sean necesarias para identificar íntimamente el
fenómeno. En este espacio un simple punto describe
el estado
completo del sistema en un momento dado.

El espacio fase es en consecuencia la
representación de todo el conjunto de estados posibles que
es capaz de exhibir un sistema dinámico.
Distíngase, lo que se proyecta no es el recorrido
físico del sistema sino la trayectoria, que concretamente
es una curva en un espacio matemático abstracto compuesto
por todas las variables que se juzguen pertinentes con sus
correspondientes valores. Naturalmente, que la
representación gráfica del desplazamiento del
péndulo en el espacio fase luce diferente al recorrido en
el espacio real.

Es evidente que el péndulo oscila de un lado a
otro de tal modo que después de cada balanceo completo
regresa a su posición inicial. Luego, el recorrido de un
sistema periódico regresa siempre al mismo punto del
espacio fase sin tener en cuenta qué tan compleja ha sido
la senda de retorno. Por lo mismo, con razón se dice que
esos sistemas están enjaulados. Este comportamiento
también se apreciará en el espacio fase.

.A fin de identificar la trayectoria del péndulo
en el espacio fase se definen dos variables: distancia y velocidad, se
proyectará sobre el eje de las x la distancia y
sobre las y la velocidad. Si el sistema consta de 20
variables, entonces, cada variable tiene su propia coordenada en
el espacio fase, de manera que se tendrá un espacio fase
con 20 dimensiones.

En casos sencillos, normalmente, se manejan espacios
fase de dos dimensiones, más conviene intentar visualizar
un espacio de 20 dimensiones para persuadirse que no resulta
cómodo comprender tan complicado entramado; por lo mismo,
se llama espacio matemático abstracto. Así como la
luna solo puede apreciarse mostrando todo su esplendor durante la
noche, los atractores pueden visualizarse únicamente en el
espacio fase. Curioso fenómeno.

En el caso particular del péndulo, cada estado del
sistema estará definido por las dos variables definidas.
Cuando el péndulo pasa por el punto más bajo de su
recorrido, tanto de ida como de regreso, en esos dos puntos la
velocidad es máxima y la distancia en esos dos puntos es
cero, es decir x es igual a cero. Así se definen
dos puntos sobre el eje de las x. Por el contrario, cuando
el péndulo se encuentra en alguna de sus dos posiciones
extremas de máxima elevación, la distancia en esos
dos puntos –ida y vuelta- es máxima y la velocidad
es cero. Así se definen dos puntos sobre el eje de las
y con velocidad cero.

Al final resultan definidos en el sistema de coordenadas
cuatro puntos, dos sobre el eje de las x y dos sobre el
eje de las y. De esta manera queda configurado el espacio
fase. Por último si se unen esos cuatro puntos se obtiene
una curva cerrada conformando una elipse. A esta curva que
describe el comportamiento del sistema en el espacio fase, Briggs
y Peat, (1994: 36) y Capra (Op. cit.:146) la denominan
"trayectoria" y Lorenz (1995: 42) la designa como
"órbita". Está claro, que el atractor es la
trayectoria y se le asigna ese nombre porque
metafóricamente el punto fijo en el centro del sistema
"atrae" la trayectoria.

Tal como puede comprobarse en la práctica los
péndulos comunes sufren los efectos de la fricción
y la resistencia del aire, factores que conducen a que pierdan
velocidad y se detengan a no ser que una fuerza externa lo
impida. El proceso de
deterioro de una trayectoria u órbita periódica,
como se acaba de proceder, es susceptible de ser representado en
un espacio fase. Este comportamiento se apreciará en el
espacio fase como una curva abierta que se cierra en espiral
hacia el centro. Se palpa que la espiral se reducirá al
irse deteniendo, metafóricamente hablando los
matemáticos dicen que el punto fijo en el centro del
sistema de coordenadas "atrae" la trayectoria.

Briggs y Peat (Op. cit.:36), son
categóricos: "Como este punto parece atraer trayectorias
hacía sí los matemáticos lo llaman
‘atractor’ o ‘punto atractor fijo’ y
seguidamente anotan, "Un atractor es una región del estado
de fases que ejerce una atracción
‘magnética’ sobre un sistema, y parece
arrastrar el sistema hacia sí". Al punto atractor fijo
Capra (Op.cit.: 148) le asigna la denominación de
"atractor puntual". La situación descrita se aprecia
más claramente con el comportamiento de la ecuación
que condensa el sistema por cuanto que con cualquier valor que se
alimente se generará un valor constante que será
precisamente el atractor.

Lorenz (Op. cit.: 42) contribuye a clarificar el
concepto de atractor:

En la mente de muchos investigadores, atractor y
representación gráfica en el espacio de fase son
una misma cosa. En su terminología punto
significa estado, y órbita significa
secuencia cronológica de estados, de modo que un
conjunto de atractores puede ser una colección de
puntos. Cuando esta colección consiste en una simple
aglomeración, es también el atractor.
Cuando se compone de diversas piezas inconexas, y cuando no hay
una órbita que pase de una pieza a otra, cada una de las
piezas es, por su parte, un atractor.

Se centrará la atención ahora en el atractor de ciclo
límite. Se recordará que en el proceso precedente
-punto atractor fijo- al péndulo se le imprimía
solamente un impulso, circunstancia que conllevaba a que
después de cierto tiempo la resistencia del aire y el
rozamiento lo detuvieran. En este caso el péndulo recibe
impulsos adicionales periódicamente.

La resistencia del aire y la fricción siguen
ejerciendo su influencia -frenando-, más el impulso
adicional acelera el péndulo y compensa los efectos
contrarios de la resistencia del aire y la fricción. A fin
de cuentas el
péndulo sigue oscilando regularmente generando un nuevo
tipo de atractor por cuanto que no está atraído
hacia un punto fijo sino que es impulsado a describir una
trayectoria cíclica en el espacio fase. A esta trayectoria
Briggs y Peat (Op. cit.: 37) le asigna el nombre de ciclo
límite o atractor de ciclo límite. Capra (Op.
cit.: 148) los denomina "atractores periódicos". Desde
otra perspectiva el sistema depredador-presa es un buen prototipo
de un ciclo límite.

En este modelo, el comportamiento siempre regresa a su
punto de partida por lo mismo la trayectoria se cierra en un
ciclo, dando la oportunidad de observar el comportamiento de un
ciclo periódico. Pero si en vez de partir de un solo punto
de inicio, se dan varios empujones y se consideran todos los
posibles puntos de inicio cada uno forjará su propia
trayectoria y se generará toda una familia de curvas
cerradas.

Es posible, por supuesto, experimentar con todas las
trayectorias posibles; más en el propósito de no
comprometer la comprensión tan sólo se opta por un
número reducido. A esa familia, a ese conjunto de curvas,
la distingue Capra (Op. cit.: 152) con el nombre de
"retrato fase".

La detención del péndulo como se ha
anotado se debe a la acción
de la fuerza del aire y de la fricción y a este respecto
se expresa E. Lorenz (Op. cit.: 51): "A un sistema de dos
variables en el que las áreas son continuamente
decrecientes, o a un sistema más general en el que los
volúmenes multidimensionales del espacio de fase son
continuamente decrecientes, esté o no estirándose
en una o, quizá, en varias direcciones, se lo llama
sistema disipativo. Los sistemas disipativos tangibles
generalmente suponen algún proceso físicamente
amortiguador, como el rozamiento".

Después de estas acotaciones viene apropiadamente
esta idea de Nicolis y Prigigine (Op. cit.: 102-103): "Por
el contrario, los sistemas disipativos están en
situación de eliminar el efecto de las perturbaciones que
actúan sobre ellos y de restituir de este modo el estado
de referencia. De este modo se garantiza la predictibilidad y
reproductibilidad de este régimen que a partir de ahora
llamaremos atractor". Interpretando esta versión se
dirá que los atractores, en primer término,
eliminan el efecto de las perturbaciones y, segundo, cautivan al
sistema a que vuelva al estado precedente.

Los sistemas que tienen esta característica de
sofocar las perturbaciones los llaman Nicolis y Prigogine
asintóticamente estables (24).

Luego, un sistema será asintóticamente
estable cuando tenga la habilidad para extinguir las
perturbaciones que lo alteran sin que quede vigente ningún
rastro.

Y junto a este concepto aparece el de
perturbación que según Nicolis y Prigogine (24),
"es todo suceso que se produce de forma casual y que modifica
localmente (y poco globalmente) algunas de las propiedades del
sistema".

Por último, aparece en el tablado una criatura
mágica y veleidosa: el atractor extraño y
así se le menciona porque cuando se grafica en el espacio
fase exhiben formas sorprendentes, increíbles. De entrada
puede parecer un concepto nuevo, más se verá que ya
está viviendo con nosotros pero encubierto con otra
identidad. El
atractor extraño es lo que en la vida común se
denomina turbulencia. Algunos científicos creen que la
turbulencia y el caos serán con el tiempo tan importantes
como la mecánica
cuántica y la relatividad.

No es necesario ir muy lejos ni pensar en sistemas
demasiado complicados para encontrar ejemplos de sensibilidad a
las condiciones iniciales. Un evento que practican los amantes
del azar cotidiano es una preciosa joya para ilustrar la
naturaleza de los atractores extraños.

Cuando se lanza una moneda al aire en condiciones
ideales se puede intentar predecir si cae cara o sello y muy
probablemente se llegará a acertar los lanzamientos
después de efectuarlos un gran número de veces
aplicando las leyes de probabilidad
porque se está en presencia de un fenómeno
aleatorio. Cuando no se realiza bajo el imperio de las
condiciones ideales y se pretende saber si caerá cara o
sello, se trata de otro fenómeno, ya que ahora está
regido por las leyes del caos; así pues, pequeñas
variaciones en las condiciones iniciales afectarán el
resultado final.

Por ejemplo, la posición de los dedos, la
velocidad de lanzamiento, el ángulo de lanzamiento, la
dirección del viento, la fricción
del aire, el coeficiente de rebote del tapete donde caiga, etc.
Todos estos factores provocarán resultados que
después de realizar el experimento muchas veces el perfil
que muestre la moneda al caer será siempre diferente e
inmanejable. En concreto, la
fase visible de la moneda al caer es extremadamente sensible a
las condiciones iniciales.

Se puede simular el experimento configurando la
ecuación que relaciona las variables descritas y tomando
en cada caso los datos obtenidos
es posible dibujar el espacio fase con tantas dimensiones como
variables -en este caso 2 porque la moneda tiene dos caras- y se
obtendrá una curva; itinerario que ya se ha definido como
la "trayectoria". Si se lanza nuevamente la moneda y se toman en
cuenta las condiciones iniciales la trayectoria obtenida
será semejante a la anterior pero no se
entrecruzarán, y se puede continuar realizando el
experimento muchas veces. El sistema nunca se repite y cada ciclo
cubre una región distinta del espacio fase. Aún
cuando en cada intento se obtiene una trayectoria distinta la
forma de la trayectoria es completamente similar a la anterior y
también lo será las siguiente.

Al final se puede observar que siguen un patrón
de comportamiento que es lo que en esencia se conoce con el
nombre de "atractor".

El atractor extraño se aprecia en el espacio fase
y muestra un modelo
–patrón- estable que se repite y al cual converge el
comportamiento del sistema a largo plazo y si se altera el
sistema forzándolo para que se aparte de su
comportamiento, tiende a volver a él tan
rápidamente como puede. Ian Steward (1991:115-116)
puntualiza. "Un atractor se define como … ¡cualquier
cosa en la que algo se estabiliza! La esencia de un atractor es
que es alguna porción del espacio fase tal que cualquier
punto que comienza a moverse en sus proximidades se aproxima cada
vez más a él".

Briggs y Peat (1999: 83) presentan de una forma
atractiva la idea de atractor extraño: "La actividad de un
sistema caótico colectivo, compuesto por una retroalimentación interactiva entre sus
muchas escalas o «partes», ha recibido el
poético nombre de «atractor
extraño»".

La idea principal a tener en cuenta es que el atractor
extraño como todos los atractores tiene la
característica –según se aprecia en el
espacio fase- de conquistar el comportamiento del sistema hasta
enjaularlo en un espacio limitado que siempre estará
dentro del atractor. Como se especificó el sistema se
repite y en cada ciclo cubre una nueva región, a pesar de
eso y de que los puntos en el espacio fase se distribuyen
aleatoriamente exhibiendo un comportamiento errático,
siempre obedecen a un patrón complejo y altamente
organizado.

El concepto de atractor extraño se capta de un
solo tajo si pensamos en una bandera expuesta al viento.
Seguramente no se extenderá contrariando al viento ni
permanecerá indiferente a la dirección del viento.
Flameará en la misma dirección del viento y las
ondas que forman
su batir son siempre de la misma forma, unas grandes y otras
pequeñas. Los mismos movimientos se observarán una
y otra vez o son aproximadamente los mismos una y otra vez, cada
vez más próximos entre sí, conformando un
conjunto restringido. Es el conjunto de los atractores. En esta
tónica, los sistemas se acomodan a los embates del entorno
configurando atractores que se repiten incesantemente.

Los atractores extraños observan un
comportamiento peculiar, un sistema puede acercarse más y
más a algún patrón ideal, sin que nunca lo
alcance y sin que nunca se repita a sí mismo. Cada ciclo
es generado por la misma ecuación; más cada uno es
uno nuevo, una aproximación cercana a su predecesor y a su
sucesor, pero nunca precisamente el mismo. En cada intento las
condiciones iniciales son diferentes y se reflejan de manera
patente en el comportamiento del atractor.

Los atractores extraños son curiosas criaturas.
Al fin son atajos que permiten descubrir cierto orden subyacente
en el comportamiento. Interesan porque hacen caer en cuenta que
"el tigre no es como lo pintan", que el comportamiento
caótico desde este punto de vista es muy distinto del
aleatorio o errático. Se da por sentado que es posible
distinguir entre aleatoriedad o "ruido" y caos,
puesto que el comportamiento caótico es aparentemente
aleatorio, más en el fondo es determinista y pautado
–mesurado, regulado, rítmico-; en contraste, la
aleatoriedad no se somete a ningún patrón de
ordenamiento. Los atractores extraños ayudan a transformar
los datos aparentemente aleatorios en claras formas
visuales.

Briggs y Peat (1994: 44) lo puntualizan
así: "Los sistemas que lo generan brincan de aquí
para allá y no tienen una conducta
previsible. Son caóticos. Sin embargo, este desorden tiene
una forma. El atractor al que se aferran estos sistemas es una
especie de desorganización organizada del espacio de
fases, y por ello los científicos lo llaman
‘extraño’".

En este caso lo que sucede es que el sistema no sigue un
rumbo determinado, sino que el punto juguetea antojadizamente,
vagabundea caóticamente formando una aglomeración
de puntos, pero esa aglomeración de puntos tiene una
forma, obedece a un patrón. Ese patrón es al que en
este caso se llama atractor. A esa estirpe pertenecen el atractor
de Lorenz (Op. cit.: 13), el Ueda (169) y el
Cartwright-Littlewood (96).

Naturalmente, es prudente formalizar el alcance de la
turbulencia. Dice Briggs y Peat (Op. cit.: 52): "La
turbulencia surge porque todos los componentes de un movimiento
están conectados entre sí, y cada uno de ellos
depende de todos los demás, y la realimentación
entre ellos produce más elementos". Prigogine (1994: 15)
también resalta el concepto:

Pero los físicos y matemáticos conocen
ahora otro tipo de atractor que no permite prever un
comportamiento regular. Dichos atractores no corresponde a un
punto, como en el estado de equilibrio, o a una línea,
como en el ciclo límite, sino a un conjunto denso de
puntos, lo bastante denso como para que sea posible encontrar
puntos en cualquier zona del mismo, por pequeña que esta
sea. Se trata de un conjunto al que se puede atribuir una
dimensión «fractal».

Por la misma razón, también se les conoce
como atractores fractales.

No hay mecanismos para predecir la diversidad de
comportamientos en el mundo de lo sistemas no-lineales. Lo
único que puede aguzar los sentidos es
que se comportan combinando el determinismo con la aleatoriedad.
Como ya se ha adelantado los sistemas caóticos tienen la
característica particular de ser muy sensibles a las
condiciones iniciales es lo que se denomina "sensibilidad a las
condiciones iniciales". Cambios sin importancia en las
condiciones iniciales generan con el tiempo consecuencias
espectaculares en el estado final del sistema.

En la teoría del caos este tipo de comportamiento
-lo descubrió Edward Lorenz- se conoce como "efecto
mariposa", porque metafóricamente hablando, el aleteo de
una mariposa en la Patagonia
puede desatar una amenazadora tormenta en las costas Caribes.
Otro tipo de fenómeno es el llamado "efecto veleta"
(Balandier, 1999: 177) porque genera corrientes de apariencia
errática y cualquier tentativa de explicación a
través de la racionalidad resulta infructuosa. Con todo si
se siguen con atención es posible descubrir el atractor
que los domina, porque generalmente se trata de series inconexas,
que están desligadas, aparecen y desaparecen; hay que
seguirles el rastro detenidamente para lograr identificar su
estructura.

A pesar de todo cuanto se ha dicho hasta ahora no se
puede afirmar que la teoría del caos no este en capacidad
de ofrecer predicciones. Se podrán hacer; en todo caso,
estarán más íntimamente relacionadas con las
características cualitativas del comportamiento del
sistema, que con los valores de las variables identificables en
un momento determinado.

El enfoque sin ninguna duda desvertebra la
sabiduría tradicional e inaugura el cambio de
cantidad a cualidad que caracteriza al pensamiento
sistémico. Mientras las matemáticas convencionales
privilegian cantidades y fórmulas, la teoría de
sistemas dinámicos se contenta con tener bajo la mira
a la cualidad y el patrón.

Un sistema no-lineal puede tener atractores
caóticos, extraños o no caóticos. Lo
atractivo está en que todas las trayectorias en una
determinada región de espacio fase, desembocarán
antes o después en un mismo atractor y la región
recibe el nombre de "cuenca de atracción". De modo que el
espacio fase de un sistema no-lineal tiene diferentes cuencas de
atracción, cada una de ellas con su propio atractor. Por
esa razón el análisis cualitativo de un sistema
dinámico consiste en identificar los atractores y cuencas
de atracción del sistema y clasificarlos según sus
características topológicas. El resultado es un
dibujo
dinámico del sistema completo llamado "retrato fase", ya
comentado.

Los sistemas no-lineales en los que pequeños
cambios en los parámetros no alteran el retrato fase los
denominó Stephen Smale (Capra, Op. cit.: 153)),
"estructuralmente estables"; en cambio, en los que
pequeñas alteraciones en los valores de los
parámetros pueden generar cambios radicales en las
características básicas del retrato fase, los
denominó "estructuralmente inestables". En este
régimen los atractores pueden desaparecer o intercambiase
y nuevos atractores pueden aparecer súbitamente. Los
puntos críticos de inestabilidad se denominan "puntos de
bifurcación", porque como ya se estableció son
puntos en la evolución de los sistemas en donde aparece
repentinamente un desvío que encamina el sistema en una
nueva dirección. Matemáticamente, los puntos de
bifurcación marcan cambios súbitos en el retrato
fase del sistema.

Vale la pena apuntar que es conveniente caer en cuenta
que no se debe confundir la estabilidad del atractor como una
representación gráfica del sistema, con la
inestabilidad del sistema. El sistema puede ser inestable pero la
representación gráfica de su trayectoria siempre
será regida por un patrón que de hecho le concede
estabilidad al atractor. En resumen, el atractor es un concepto
que trata de explicar cómo cualquiera que sea el
comportamiento del sistema tiene una tendencia a
estabilizarse.

La sensibilidad de los parámetros en economía la dibuja
certeramente Ormerod (Op. cit.: 228):

Una razón importante para el fracaso relativo
de las técnicas lineales al analizar los datos es la
siguiente: si un sistema subyacente no lineal genera una serie
de datos, el impacto del sistema en su conjunto de un
pequeño cambio en el valor de una de sus variables puede
depender de los valores que todas las variables del sistema
adopten en el momento en que tiene lugar el cambio. Se trata de
la misma idea del concepto de sensibilidad a las condiciones
iniciales expuesto anteriormente, … .

11.
FRACTAL

No se había terminado de asimilar el concepto de
atractor extraño cuando prorrumpió
independientemente de la teoría del caos la llamada
"teoría fractal" orientada a describir las caprichosas
estructuras de
los atractores extraños. El creador fue Benoit Mandelbrot
quien comenzó estudiando fenómenos naturales
irregulares. Particularmente son los que labran las ficciones
caprichosas, arbitrarias, desarticuladas e irracionales de los
mapas de las
naciones.

A las matemáticas orientadas a estudiar dichos
fenómenos les acuñó el nombre de "fractal",
del latín fractus, irregular, quebrado, -"un
lenguaje para
hablar de nubes"- para describir y analizar la complejidad del
mundo natural.

La propiedad
más sorprendente de estas formas fractales es que sus
patrones característicos se encuentran repetidamente en
escalas descendentes, de modo que sus partes, en cualquier
escala, son
semejantes en forma al conjunto. El prototipo más
representativo es un trozo de coliflor. Hay múltiples
ejemplos de auto semejanza en la naturaleza: rocas en
montañas que se asemejan a pequeñas
montañas, bordes de nubes que repiten el mismo
patrón una y otra vez.

Mandelbrot inicialmente no estableció la
semejanza entre la geometría fractal y la teoría
del caos, aún cuando pronto reconoció que trataba
de describir los mismos atractores extraños que tanto
impacientaron a Poincaré. Por lo mismo, a los atractores
extraños se les define como trayectorias en espacio fase
que exhiben geometría fractal. Otra característica
que vincula la teoría del caos con la geometría
fractal es el cambio de cantidad a cualidad. Como ya se
comentó no es posible predecir los valores de las
variables que describen un sistema caótico en un momento
determinado, en oposición, se pueden predecir las
características cualitativas del comportamiento del
sistema.

De igual manera, es imposible calcular la longitud o
área exactas de una figura fractal, pero se puede definir
de modo cualitativo su grado de "mellado". Se comprenderá
intuitivamente este concepto si se advierte que una línea
quebrada sobre un plano llena más espacio que una
línea recta.

El grado de mellado tiene algunas propiedades que
Mandelbrot denominó dimensión fractal. El grado de
mellado -figura dentada- se puede medir tomando como referencia
un número entre 1 y 2 que caracterice el grado de dentado
de la figura. Cuanto más quebrada la línea,
más se acercará su dimensión fractal a 2.
Cuanto más abrupto el perfil de costas y montañas
mayor será su dimensión fractal. Estos conceptos
adquirirán sentido o plena lucidez, cuando se aborden los
aspectos prácticos de los negocios.

Para aterrizar el concepto de fractal basta traer a la
mente cualquier gráfica que represente, por ejemplo, las
ventas de
una empresa o
el comportamiento del PIB de un
país.

La principal técnica para construir fractales es
la iteración, que consiste en la repetición de
cierta operación aritmética una y otra vez. La
iteración no-lineal:

x → kx (1 – x),

describe el crecimiento de una población y es aparentemente muy simple, no
se alcanza a presentir su comportamiento, más al final es
origen de una gran complejidad. El proceso de iteración
consiste en multiplicaciones repetidas de x por el
parámetro k elegido. Cada paso se denomina
"iteración" y de cada uno se obtiene un resultado que a la
vez sirve de entrada al siguiente, -bucle de
realimentación-; es tanto como decir que el efecto de una
iteración sirve de causa a la siguiente, se cumple un
proceso de realimentación (feedback). La
realimentación se da cuando la salida de un sistema le
sirve a su vez como entrada.

El proceso de proyectar sobre un eje -en este caso- las
iteraciones se denomina "cartografía". Si k = 3 y a la variable x se
le asignan valores que van desde 0 a 1 y, luego, se proyectan
estas iteraciones sobre un segmento que tenga como longitud la
unidad, los números entre 0 y 0,5 se cartografían
como números entre 0 y 0,75 y los números entre 0,5
y 1 se cartografían sobre el mismo segmento pero en orden
inverso. La iteración de esta cartografía
originará operaciones
repetidas de estirado y replegado, semejantes a las que
efectúa un panadero con su masa, razón suficiente
para denominarla "transformación del panadero". El proceso
es un prototipo de los rebeldes procesos
no-lineales altamente complejos e impredecibles, conocidos
técnicamente como caos, (Capra, Op.
cit.:140-142).

Las iteraciones pueden obedecer a distintas funciones y en
todas, la característica distintiva es la presencia de
operaciones repetidas de estirado y replegado. El proceso de
iteración que conduce a la transformación del
panadero, la característica matemática común
a los atractores extraños, se revela como la
característica matemática central que vincula la
teoría del caos con la geometría fractal. A
través de las "falsificaciones fractales" que son modelos
generados por computador se
han logrado acabados de plantas, árboles, montañas, líneas
costeras, copos de nieve y trazado de un rayo, con un parecido
sorprendente a las formas reales de la naturaleza.

No es de olvidar que iterando un simple dibujo de
líneas a varias escalas, se ha logrado generar complejas
formas de la naturaleza. Con estas nuevas técnicas
matemáticas, los científicos han conseguido
construir modelos muy precisos de una gran variedad de formas
naturales irregulares, descubriendo al hacerlo la
aparición generalizada de fractales. Mandelbrot
logró la culminación de la geometría fractal
al descubrir una estructura matemática que, aún
siendo de una enorme complejidad puede ser generada con un
procedimiento
iterativo simple.

En todo fractal es conveniente identificar si se trata
de series conexas o inconexas. Las conexas guardan la compostura
en un espacio determinado; pero, las inconexas están
desligadas, aparecen y desaparecen. Hay que seguirles el rastro
detenidamente para lograr identificar su estructura.

La geometría fractal al igual que la
teoría del caos ha obligado a científicos y
matemáticos a revisar el concepto mismo de complejidad. En
la matemática clásica, fórmulas simples
corresponden a formas simples y fórmulas complicadas a
formas complicadas. En las matemáticas de la complejidad,
la situación es completamente distinta. Ecuaciones
sencillas pueden generar atractores extraños enormemente
complejos y reglas sencillas de iteración dan lugar a
estructuras más complicadas de lo que jamás se
podría imaginar. Mandelbrot lo ve como un nuevo y
apasionante desarrollo de
la ciencia,
(Capra, Op. cit.: 167).

Estos ejemplos a los que se podrían sumar muchos
otros muestran que a lo largo de la historia intelectual, las
matemáticas nunca han estado separadas de otras
áreas del conocimiento y
la actividad humanas. La teoría de la complejidad
está demostrando que las matemáticas son mucho
más que fórmulas, que la comprensión del
patrón es crucial para el entendimiento del mundo vivo que
nos rodea y que todas las cuestiones de patrón, orden y
complejidad son esencialmente matemáticas.

No es posible cerrar estas ideas sin hacer
énfasis en que es esa característica tan
típica de los fractales de ser estructuras auto-similares
que se repiten a diferentes escalas, lo que resulta de interés en
el análisis de procesos complejos tanto en la naturaleza
como en la sociedad, la
economía y las organizaciones.

REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS

ALL, Ries y TROUT, Jack. Enfocados en un mundo difuso.
En: GIBSON, Rowan. Repensando el futuro. Bogotá :
Norma, 1997. p.217-234.

ALVAREZ R. Jesús y CAMPO T. Alma.
Bruselas: ¡Barrio de Cartagena con poder comunitario e
identidad! Cartagena, 2000, 210p. Trabajo de
post grado (Teoría, métodos y
Técnicas de Investigación
Social). Universidad de
Cartagena. Facultad de Ciencias
Sociales y Educación.

BALANDIER, Georges. El desorden : La teoría del
caos y las ciencias
sociales. Barcelona : Gedisa, 1999. p. 237.

BOYETT, Joseph y BOYETT, Jimmie. H los gurús :
Las mejores ideas de los máximos pensadores de la
administración. Bogotá : Norma, 1999. p.
381.

BRIGGS, Jhon y DAVID PEAT, F. Espejo y reflejo :
Guía ilustrada de la teoría del caos y la ciencia de la
totalidad. Barcelona : Gedisa, 1994. p. 222.

________ Las siete leyes del caos : Las ventajas de una
vida caótica. Barcelona : Grijalbo, 1999. p.
234.

CAPRA, Fritjof. El punto crucial : Ciencia, sociedad y
cultura
naciente. Buenos Aires :
Estaciones, 1998. p. 514.

________ La trama de la vida : Una perspectiva de los
sistemas vivos. 2 ed. Barcelona : Anagrama, 1999.
p.359.

COLLINS, James C. y PORRAS, Jerry I. Empresas que
perduran : Principios
exitosos de compañías triunfadoreas. Bogotá
: Norma, 1995. p. 385.

EQUIPO CHANGE INTEGRATION DE PRICE WATERHOUSE. Las
paradojas de la dirección : Cómo pueden las
empresas de alta productividad
controlar el caos ,la complejidad y las contradicciones para
conseguir mejores resultados. Madrd : Irwin, 1996. p.
288.

FOUCAULT, Michel. Nietzsche, la
genealogía, la historia. 4 ed. Valencia:
Pre-textos, 2000. p. 75.

GALLEGO, Rómulo. Competencias
cognoscitivas : Un enfoque epistemológico,
pedagógico y didáctico. Santafé de
Bogotá : Magisterio, 1999. p. 99.

GIBERT GALASSI, Jorge. Formalismo, sistemismo y
explicacxión : Comentarios a la teoría
sociopoieticva. En: Moebio No. 22, 03-05. Facultad de
Ciencias de la Universidad de Chile.

GIBSON, Rowan. Reformulando los negocios. En:
________. Repensando el futuro. Bogotá: Norma, 1997. p.
1-17.

HACKING, Ian. La domesticación del azar : La
erosión
del determinismo y las ciencias del caos. Barcelona : Gedisa,
1995. p. 363.

HAMEL, Gary. Reinventando las bases para la competencia.
En: GIBSON, Rowan. Repensando el futuro. Bogotá:
Norma, 1997. p. 93-111.

HANDY, Charles. Encontrar sentido en la incertidumbre.
En: GIBSON, Rowan. Repensando el futuro. Bogotá:
Norma, 1997. p. 21-41.

JONSON, Steven. Sistemas emergentes : O qué
tienen en común hormigas, neuronas y software. Madrid : Fondo
de Cultura Económica, 2003. p. 258.

KAUFFMAN, Stuart. Investigaciones :
Complejidad, autoorganización y nuevas leyes para una
biología
general. Barcelona : Metatemas, 2003. p. 372.

KELLY, Kevin. La nueva biología de los negocios.
En: GIBSON, Rowan. Repensando el futuro. Bogotá:
Norma: 1997. p. 299-318.

KOSIK, Karel. En: Gibert Galassi, Jorge. Lógica
y epistemología de la ciencia social.
En: Moebio No. 5, 04-99. Facultad de Ciencias de la
Universidad de Chile.
http://rehue.csociales.uchile.cl/publicaciones/moebio/05/frames13.htm

LEWIN, Roger. Complejidad : El caos como generador del
orden. 2 ed. Barcelona : Metatemas, 2002. p.
243.

LUHMANN, Niklas. Sistemas sociales : Lineamientos para
una teoría general. 2 ed. Bogotá :
Universidad Javeriana, 1998. p. 445.

LORENZ, Edward N. La esencia del caos : Un campo de
conocimiento que se ha convertido en parte importante del mundo
que nos rodea. Madrid : Debate, 1995.
p. 232.

MORGAN, Gareth. Imágenes
de la
organización. México :
Alfaomega, 1991. p. 408.

MORIN, Edgar. Introducción al pensamiento complejo.
Barcelona : Gedisa, 1996.

p. 166.

________ El método : la naturaleza de la
naturaleza. Madrid : Catedra, 1997. v. 1, p. 447.

________ El paradigma
perdido : Ensayo de
bioantropología. 5 ed. Barcelona : Kairós,
1996. p. 263.

MATURANA, Humberto. Desde la biología a la
psicología. 3 ed. Santiago :
Universitaria, 1996. p. 218.

MATURANA, Humberto y VARELA, Francisco. El árbol
del conocimiento. 3 ed. Satiago: Universitaria, 1996. p.
171.

________De máquinas y
seres vivos, autopoiesis: la organización de lo vivo. 3 ed.
Santiago de Chile : Universitaria, 1995. p. 137.

NICOLIS, Grégoire y PRIGOGINE, Ilya. La
estructura de lo complejo. Madrid : 1987. p. 390.

ORMEROD, Paul. Por una nueva economía : Las
falacias de las ciencias económicas. Barcelona : Anagrama,
1995. p. 301.

PRIGOGINE, Ilya. El fin de las certidumbres. 5
ed. Santiago de Chile : Andrés
Bello; 1996. p. 222.

________ La nueva alianza : Metamorfosis de la ciencia.
Madrid : Alianza, 1994. p. 359.

PRIGOGINE, Ilia y STENGERS Isabelle. Entre el tiempo y
la eternidad. Madrid: Alianza, 1994. p.241.

REAL ACADEMIA ESPAÑOLA. Diccionario de
la Real Academia Española, DRAE. 22 ed. Madrid:
Espasa, 2001. 10v.

SARAMAGO, José. La caverna. Bogotá :
Alfaguara, 2001. p. 454.

SENGE, Peter. Por el ojo de la aguja. En: GIBSON,
Rowan. Repensando el futuro. Bogotá : Norma, 1997. p.
149-177.

________ Las personas no son recursos.
http://www.gurusonline.tev/;
07-09-05.

STEWARD, Ian. ¿Juega Dios a los dados? Barcelona
: Grijalvo, 1991. p. 318.

STIGLITZ, Joseph. Economía
política internacional.
http://www.lateinamerika-studien.at/
content/wirtschaft/ipoesp/ipoesp-734.html.04-08-05.

VARELA, Francisco J. Conocer : Las ciencias cognitivas:
tendencias y perspectivas. Cartografía de lasa ideas
actuales. Barcelona : Gedisa, 1998. p. 120.

VARELA, Francisco J., THOMPSON Evan y ROSCH, Eleanor. De
cuerpo presente. 2 ed. Barcelona : Gedisa, 1997. p.
318.

ZOHAR, Danah y MARSHALL, Ian. La sociedad
cuántica. Barcelona : Plaza & Janes, 1994. p.
417.

JESÚS ALVAREZ RODRÍGUEZ

Ingeniero Industrial. Universidad Industrial de
Santander. Postgrado en Elaboración y Evaluación
de Proyectos de Desarrollo
Económico. Convenio OEA-Universidad de
Cartagena-Atlántico-CETREDE. (Brasil).
Máster en Administración de Empresas. Convenio
OEA-INSORA.(Universidad de Chile). Especialista en Teoría,
Métodos y Técnicas de Investigación Social. Convenio Universidad
de Cartagena-ICFES, 2001. Profesor de
pre y postgrado en la Facultad de Ciencias Económicas de
la Universidad de Cartagena, Asesor de empresas. Cartagena de
Indias, Colombia.

Fecha: octubre de 2005

Categoría: Administración