Para una mejor comprensión en el uso de las
tasas de
interés, los ejercicios desarrollados de este capitulo
lo publicaré en el capitulo IV, en la parte
correspondiente a este rubro.

Asimismo, el capitulo V, contiene una gran variedad de
aplicaciones practicas de las anualidades.

Antes de pasar al desarrollo del
tema del capítulo, quiero agradecer a los anfitriones de
los portales
ATTAC MADRID FORO,
COLOMBIA INDYMEDIA y
PERU INDYMEDIA, por la difusión de
mis trabajos de investigación como son: Especulación
Financiera y Desarrollo
Económico y Mercado Global
de Capitales Explotación o Expoliación. Ambos,
orientados a develar la voracidad de las oligarquías
financieras, responsables de nuestras precarias economías.
Desde luego, además estos mismos trabajos los difunden
también
GestioPolis.com,http://www.google.com.pe/search?hl=es&q=CESAR+ACHING+GUZMAN+MONOGRAFIAS.COM&meta=lr%3Dlang_es

Monografias.com y El
Prisma.com.

La bibliografía y los URLs adjuntos son los
materiales
consultados e investigados para la elaboración de la obra:
"MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES",
cuyo tercer capítulo publicamos ahora.

Palabras clave: Factores financieros, monto
compuesto, anualidades pospagables o prepagables y diferidas,
gradientes, flujos variables y
métodos de evaluación.

1. Los Factores
Financieros

Las seis llaves maestras de las matemáticas financieras: En las
matemáticas financieras es posible manejar cualquier
operación, evaluar diversas alternativas de inversión con seis fórmulas. Como
una unidad, estas seis fórmulas, reciben el nombre de
factores financieros. Estos seis factores financieros
derivan de la fórmula general del interés
compuesto.

Tanto los pagos como los ingresos
efectuados en la empresa son
fundamentales para el fortalecimiento de la institución,
razón por la cual deben ser evaluados constantemente con
el objeto de determinar el impacto que producen en el entorno
empresarial, realizar proyecciones financieras y estudios de
nuevos proyectos.

Para este cometido, los factores financieros son
de mucha utilidad y
aplicación. Sirven para solucionar múltiples
problemas
financieros referidos al monto compuesto, anualidades vencidas y
anualidades adelantadas. El uso de factores permite calcular con
rapidez las variables del monto (VF), del valor actual
(VA) y del pago periódico
o renta (C).

Para determinar estos factores debemos conocer con
anticipación las variables "i" y "n". En todo caso,
asumimos que "C", "VF" o "VA" toman el valor de 1. Estos factores
son seis: FSC, FSA, FAS, FRC, FCS y FDFA.

1.1. A partir del Monto
compuesto

Permite calcular de manera rápida el factor de
acumulación de los intereses, en el caso de buscar el
valor futuro de una cantidad inicial. También permite
averiguar el factor de actualización de los intereses, en
el caso de calcular el valor actual de un importe determinado de
dinero.

1º Factor simple de capitalización
(FSC)

Transforma el valor actual (VA) en valor futuro (VF).
Con la fórmula general del interés
compuesto, desarrollada en el primer capítulo,
tenemos:

El factor entre paréntesis es el factor simple de
capitalización:

2º Factor simple de actualización
(FSA)

Permite transformar valores
futuros en valores actuales.

Ejercicio 85 (Factor simple de
capitalización)

Deseamos obtener el factor de acumulación de los
intereses y el importe acumulado de un depósito de UM
8,000 colocado durante 11 meses al 2.8% de tasa mensual a plazo
fijo.

Solución:

VA = 8,000; n = 11 meses; i = 0.028; FSC = ?; VF =
?

1º Aplicamos el método
formulístico:

2º Aplicamos la función
financiera VF de Excel:

Respuesta:

El factor de acumulación FSC es
1.35495 y el monto acumulado VF es UM 10,839.62.
Con ambos métodos obtenemos resultados iguales.

Ejercicio 86 (Factor simple de
actualización)

Buscamos obtener el factor de actualización de
los intereses, así como el valor actual de una deuda de UM
25,000, con vencimiento en 15 meses, pactada al 1.98% de
interés mensual.

Solución:

VF = 25,000; n = 15 meses; i = 0.0198; FSA =?; VA =
?

1º Aplicamos el método
formulístico:

2º Operamos con la función financiera VA de
Excel:

Respuesta:

El factor de actualización de los intereses
FSA es 0.74520 y el valor actual de la deuda
VA es 18,630.

1.2. A partir de
Anualidades

Una anualidad es un flujo de
caja con montos de dinero uniformes, es decir, todos los
flujos son iguales y los movimientos de capitales ocurren a
intervalos regulares. La circulación monetaria es a
través de pagos de la anualidad.

Con este grupo de
factores calculamos con rapidez el factor de acumulación
de los intereses de pagos periódicos iguales, así
como el monto acumulado a pagar al final de un período
determinado. Estos cálculos pueden hacerse considerando
pagos periódicos al vencimiento pospagable o por
adelantado prepagables. También calculamos el factor de
actualización de los intereses de pagos periódicos
iguales, así como el valor actual a pagar de un
período específico dentro de un tiempo
establecido.

Las anualidades no siempre están referidas
a períodos anuales de pago. Las fórmulas de las
anualidades permiten desplazar en el tiempo un grupo de capitales
a la vez.

Algunos ejemplos de anualidades son:

Los pagos mensuales por renta.
El cobro quincenal o semanal de sueldos.
Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.
Los pagos anuales de primas de pólizas de
seguro de
vida.

El intervalo o periodo de pago (n), es el tiempo que
transcurre entre un pago (C) u otro y el plazo de una anualidad
es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo y
el periodo final de pago. Renta es el pago (C)
periódico.

Los principales elementos que conforman la anualidad
son:

C Pago Periódico, llamado también
término. Es el importe cobrado o pagado, según sea
el caso, en cada período y que no cambia en el transcurso
de la anualidad.

VF, el valor futuro viene a ser la suma de todos
los pagos periódicos (C), capitalizados al final
del enésimo período.

VA, el valor actual viene a ser la suma de todos
los pagos periódicos (C), descontados o
actualizados a una tasa de
interés.

i, es la tasa de interés por
período, tiene la característica de ser
simultáneamente nominal y efectiva. También
representa la tasa anual de efectivo (TEA).

n, obtenemos el número de períodos
multiplicando el tiempo por la frecuencia de
capitalización de los intereses (n=t*m).

Las anualidades cumplen con las siguientes
condiciones:

Todos los pagos son de igual valor.
2. Todos los pagos son a iguales intervalos
.
Todos los pagos son llevados al principio o al final
de la serie a la misma tasa.
El número de pagos debe ser igual al
número de períodos.

Gráficamente:

1.2.1. Valor financiero de una anualidad en el
momento t (Vt)

Es el resultado de llevar financieramente capitalizando
o descontando las cuotas de la anualidad a dicho momento de
tiempo t.

Casos Particulares

Si t = 0 (siendo 0 el origen de la
anualidad) nos encontramos con el valor actual, es decir,
cuantificar los términos de la anualidad en el momento
cero.

Si t = n (siendo n el final de la anualidad)
definido como el valor final o valor futuro, resultado de
desplazar todos los términos de la anualidad al momento
n.

1.2.2. Clases de anualidades

Atendiendo a la variedad de componentes que intervienen,
las anualidades se clasifican en:

A) De acuerdo con las fechas de iniciación y
término éstas son:

Ejemplo: En una compra a crédito,
tanto la fecha que corresponde al primer y último pago
son conocidos.
Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas,
establecidas de antemano.
Ejemplo: Una renta vitalicia o perpetua que tiene
que abonar un cónyuge a la muerte
del otro. Al morir el cónyuge se inicia la renta y
ésta fecha es desconocida.

B) De acuerdo a los intereses (a su periodo de
capitalización), las anualidades son:
Anualidad contingente. En este tipo de
anualidades, tanto la fecha del primer y último pago,
generalmente no se establecen anticipadamente.
Ejemplo: El pago de una renta mensual con
intereses al 32% de capitalización mensual.
Simples. Cuando el periodo de pago coincide con
el de capitalización de los intereses.
Ejemplo: El pago de una renta semestral con
intereses al 36% anual capitalizable
trimestralmente.

C) De acuerdo con el vencimiento de los pagos,
éstas son:
Generales. Aquellas en las que el periodo de
pago no coincide con el de capitalización.
Ejemplo, el pago de salarios a
los empleados, el trabajo
es primero, luego el pago.
Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o
pospagables son aquellas en que los pagos son a su
vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
Ejemplo, el pago mensual por arriendo de una
casa, primero es el pago, luego el uso del
inmueble.

El VA y VF de las anualidades prepagables son el
resultado de capitalizar un período las pospagables
multiplicándolas por (1 + i).

D) De acuerdo al momento de inicio o momento de
valoración:
Anticipadas. Las anualidades anticipadas o
prepagables efectuadas al principio de cada periodo.
Ejemplo: Hoy adquirimos un producto a
crédito, a pagar mensualmente. El primer pago puede
realizarse hoy o el mes siguiente, las cuotas pueden ser
anticipadas (prepagables) o vencidas
(pospagables).
Inmediatas. Las más comunes. Los cobros o
pagos tienen lugar en el periodo inmediatamente siguiente a
la formalización del trato. Valoramos la anualidad en
su origen o en su final.
Valor actual o futuro de anualidades adelantadas
o prepagables, consiste en calcular la suma de los
valores actuales de los pagos al inicio de la anualidad
multiplicando el resultado por (1 + i).
Valor actual o futuro de anualidades vencidas o
pospagables, consiste en hallar la suma de todos los
pagos periódicos a una misma tasa de interés al
final del plazo de la anualidad.
Son cantidades periódicas y uniformes,
equivalentes a un valor actual o valor futuro, a una
determinada tasa de interés.

E) Según la clase de
interés
Diferidas. Los cobros o pagos son llevados a
cabo tiempo después de formalizado el trato (se pospone
o aplaza), es decir, el primer pago es después de
transcurrido cierto número de períodos. La
valoración de la anualidad es en un momento posterior a
su origen. Significa el valor actual o futuro de una anualidad
en n períodos a la tasa i, pospagables
(vencidas) o prepagables (anticipadas).
Simple o en progresión aritmética
y,
Compuesta o en progresión
geométrica

En la presente obra, utilizaremos los términos:
anualidad vencida cuando tratemos con rentas pospagables y
anticipadas cuando tratemos con rentas prepagables.

Las anualidades que estudiaremos a continuación
nos permiten determinar el valor actual o futuro a través
de modelos
matemáticos que varían en progresión
geométrica creciente o decreciente. Tratase de
anualidades constantes o uniformes pospagables o
prepagables.

Los valores actuales y futuros de las
anualidades (gradientes, perpetuidades) anticipadas
(adelantadas) o prepagables son calculadas a partir de las
vencidas o pospagables multiplicádolas por (1 +
i), reiteramos, el VA o VF de las anualidades
prepagables son el resultado de capitalizar un período las
pospagables.

1.2.3. Anualidades uniformes

Las anualidades de valor uniforme pueden, a su vez,
subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y
prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas (valoramos la
renta en su origen o final), diferidas o anticipadas, enteras
(cuota y tasa están en la misma unidad de tiempo) y
fraccionadas.

En esta parte vamos a desarrollar anualidades
constantes, unitarias, temporales, inmediatas y enteras,
operando con el interés compuesto.

Las fórmulas de la [24] a la [32] son de
aplicación para el cálculo de
anualidades vencidas o pospagables.

(A) Factores para el cálculo del valor actual
o inicial del capital

Aplicando los conceptos del valor actual obtenemos los
factores 3º y 4º, con los cuales actualizamos el flujo
constante de la anualidad. Obtenemos el valor actual descontando
a interés compuesto cada uno de los pagos o cuotas a la
tasa i, desde donde está cada capital hasta
el origen. Generalizamos lo expuesto mediante la siguiente
ecuación:

Y lo representamos como:

Permite sumar n términos en progresión
geométrica decreciente.

3º Factor de actualización de la serie
(FAS)

Permite pasar de series uniformes a valor actual.
Transforma series de pagos uniformes equivalentes a valor actual
o valor actual neto (VAN).

En este caso tratamos de actualizar el valor de cada
C desde el final de cada período. Una vez
que los valores de C están con valores actuales
procedemos a totalizar la suma.

Muy utilizada en operaciones
financieras y comerciales para determinar la tasa de
rendimiento y en ventas a
plazos.

4º Factor de recuperación del capital
(FRC)

Transforma un stock inicial VA en un flujo
constante o serie uniforme C. Conocido en el mundo de las
finanzas como
FRC, definido como el factor que transforma un valor presente a
serie de pagos uniformes equivalentes.

Utilizado en operaciones de
crédito y en la evaluación
de proyectos.

Ejercicio 87 (FRC-Cuotas
vencidas)

Una institución tiene programado llevar a cabo
campañas de venta entre sus
afiliados y asume, como monto contado el valor de UM 1,200, para
su pago en 36 mensualidades constantes pospagables a 2.87%
mensual. Calcular el valor de las cuotas mensuales.

Solución:

VA = 1,200; i = 0.0287; n = 36; C = ?

Aplicando la función financiera PAGO de Excel,
tenemos:

Respuesta:

El valor pospagable de cada una de las 36 cuotas es UM
53.90.

(B) Factores para el cálculo del valor futuro
o final del capital

En la solución de problemas de este tipo
aplicamos en forma sucesiva la fórmula [19] VF = VA
(1 + i)n del valor futuro, para lo cual es necesario
hallar los montos parciales de cada C desde el momento de
su abono hasta el final del período n. La primera
C depositada a finales del primer período n
se convierte C(1 + i)n-1. El exponente es n
–1 porque la primera C capitaliza desde el inicio del
2º período. Como la última C es
depositada al final del período n no gana
intereses. Sin embargo, su monto es representado como C(1
+ i)0.

Generalizando, tenemos:

Representa la suma de n términos en
progresión geométrica creciente, que lo calculamos
con la siguiente ecuación:

5º Factor de capitalización de la serie
(FCS)

Factor para pasar de series uniformes a valor
futuro (Capitalización de una serie uniforme).
Transforma los pagos e ingresos uniformes a valor futuro
único equivalente al final del período n.
Este factor convierte pagos periódicos iguales de fin de
período C, en valor futuro VF.

6º Factor de depósito del fondo de
amortización (FDFA)

Factor utilizado para transformar stocks finales
VF en flujos o series (depósitos) uniformes
C. O también, transforma valores futuros del final
del período n en valores uniformes equivalentes
periódicos. Operando la ecuación [27],
tenemos:

donde:

Características:

Los fondos de amortización sólo sirven
para el pago del capital.
La deuda permanece invariable hasta completar el
fondo.

Para el cálculo del valor futuro de una serie de
pagos iguales, un período después del último
pago, empleamos la fórmula:

Desarrollando la sumatoria tenemos:

Ejercicio 88 (FCS – VF vencida)

Si mensualmente deposito UM 600 en un banco que paga el
18% de interés anual capitalizando trimestralmente.
¿Qué monto habré acumulado después de
efectuar 48 abonos?.

Solución:

C = (600*300) = 1,800; i = (0.18/4) = 0.045; n = (48/3)
= 16; VF = ?

Resulta indiferente abonar UM 600 mensuales o UM 1,800
trimestrales, por cuanto el banco capitaliza los ahorros
trimestralmente.

1º Calculamos el VF con la fórmula [27] o
con la función financiera VF:

Respuesta:

El monto de la inversión periódica
después de 48 abonos es de UM 40,894.81 con ambos
métodos.

Ejercicio 89 (FDFA – Cuota
vencida)

Al objeto de acumular UM 10,000 en 90 días,
efectuaremos 3 depósitos mensuales iguales en un banco que
paga el 22.58% de tasa anual. Si el primer abono lo hacemos hoy
día. ¿Cuál será el valor de dicho
depósito?.

Solución:

VF = 10,000; n = 3; i = (0.2258/12) = 0188; C =
?

Respuesta:

El valor del depósito es de UM 3,216.16 con ambos
métodos.

1.2.4. Anualidades anticipadas o
prepagables

Anticipar (Del lat. anticipare). Hacer que algo
suceda antes del tiempo señalado o esperable o antes que
otra cosa.

Aquellas anualidades valoradas anticipadamente a su
final. El tiempo que transcurre entre el final de la anualidad y
el momento de valoración es el período de
anticipación.

Reiteramos, que los valores actuales y futuros de
las anualidades anticipadas (adelantadas) o prepagables
son calculadas a partir de las vencidas o pospagables
multiplicado por (1 + i), es decir, el VA o VF de las
anualidades prepagables son el resultado de actualizar o
capitalizar con un período más las pospagables. Por
esta razón los resultados (VA o VF) de las prepagables son
siempre mayores que de las pospagables. Aplicable también
a las funciones
financieras de Excel, Tipo cero (0) o se omite, significa pago al
final del período; tipo uno (1) significa pago al
principio del período, que viene a ser lo mismo que
multiplicar los resultados por (1+i).

Ejercicio 90 (VA y VF de anualidad
prepagable)

Determinar el valor actual y futuro de una renta de 4
cuotas anuales prepagables de UM 2,500 si la valoración al
9% anual es a los 7 años de iniciado.

Solución:
(Calculando el valor actual)

C = 2,500; n = 7*4 = 28; i = 0.09; VA = ?

1º Para el cálculo del VA aplicamos la
fórmula [24] o la función VA, multiplicamos los
resultados por (1 + 0.09):

Solución:
(Calculando el valor final o futuro)

C = 2,500; n = 28; i = 0.09; VF = ?

2º Para el cálculo del VF aplicamos la
fórmula [27]:

Respuesta:

El VA y VF de una renta de 4 cuotas anuales anticipadas
de UM 2,500 valoradas 7 años después de iniciada
es:

VA = UM 27,556.45 y

VF = UM 307,838.39

Ejercicio 91 (FAS-FCS, VA y VF de anualidades
vencidas y anticipadas)

¿Cuánto debo invertir hoy y cuánto
tendré al final al 7% compuesto anualmente para poder retirar
UM 2,800 al final o principio de cada uno de los cinco
años que dura el negocio?

Solución: VA de anualidades pospagables
y prepagables

C = 2,800; i = 0.07; n = 5; VA = ?

Calculamos el VA pospagable aplicando la
fórmula [24] o la función VA:

Multiplicando el resultado anterior por 1.07 obtenemos
el VA prepagable:

VAPOSPAGABLE = 11,480.55*1.07
= UM 12,284.19

Solución: VF de anualidades pospagable
y prepagables

C = 2,800; i = 0.07; n = 5; VF = ?

Multiplicando el resultado anterior por 1.07 obtenemos
el VF prepagable:

VFPREPAGABLE =
16,102.07*1.07 = UM 17,229.21

Respuesta:

El monto a invertir hoy en cuotas vencidas es UM
11,480.55

El monto a invertir hoy en cuotas anticipadas es UM
12,284.19

El monto que tendré con cuotas vencidas es UM
16,102.07

El monto que tendré con cuotas anticipadas es
UM 17,229.21

1.2.5. Anualidades Diferidas

Diferir (Del lat. differre). Aplazar la
ejecución de un acto.

Son aquéllas anualidades valoradas con
posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el
origen de la anualidad y el momento de valoración es el
período de diferimiento, gracia o
carencia.

Para valorar la anualidad diferida, primero calculamos
la anualidad en su origen; considerándola como anualidad
inmediata determinamos el valor actual; posteriormente
descontamos el valor actual (como un solo capital) hasta el
momento t elegido, a interés compuesto y a la tasa de
interés vigente durante el período de
diferimiento.

El diferimiento únicamente afecta al valor
actual, el valor futuro es calculado como una anualidad
inmediata.

Las fórmulas para este tipo de anualidades son
las mismas que para las rentas vencidas y anticipadas con la
diferencia que éstas tienen períodos de
gracia.

Ejercicio 92 (Anualidad
diferida)

Compramos hoy un producto a crédito por UM
60,000, para pagar en 20 cuotas trimestrales, el primer abono
lo hacemos al año de adquirido. Determinar la renta
asumiendo una tasa anual de 32%.

Solución:

VA = 60,000; n = 20; i = (0.32/4) = 0.08; CPAGOS =
?

Para calcular el valor de cada cuota aplicamos en forma
combinada las fórmulas [19] y [25]:

Finalmente, elaboramos el cronograma de
pagos:

Como vemos, el primer pago lo hacemos en el trimestre 4
que es el final del primer año, hay tres períodos
libres o de gracia con acumulación de intereses. Luego, la
anualidad se inicia en el trimestre 3 (con un saldo de UM 75,583)
y termina en el 23, el valor actual de ésta
operación financiera es el punto 0 donde está
ubicada la fecha focal (UM 60,000).

Respuesta:

El valor de cada pago es UM 7,698.27

2. ¿Cómo
cambiar la tasa de interés?

Es importante aclarar cómo la tasa de
interés puede variarse. Para demostrarlo utilizaremos el
siguiente ejemplo:

Ejercicio 93 (FRC)

Tenemos la posibilidad de efectuar la compra de activos que valen
UM 200,000 al contado. Como no disponemos de ese monto decidimos
por la compra a crédito según las siguientes
condiciones de venta: cuota inicial de UM 20,000 y cuatro cuotas
iguales futuras de UM 52,000 cada una.

Solución:

VA = 180,000; C = 52,000; n = 4; i = ?

Como las cuotas son uniformes, para el cálculo de
i aplicamos la función financiera TASA de
Excel:

Obsérvese que el valor actual es UM 180,000 y no
UM 200,000, las cuatro cuotas de UM 52,000 se generan sólo
por adeudar UM 180,000.

Según la función financiera TASA de Excel,
el valor de i corresponde al 6%. No obstante,
comparando este resultado con otro de un proveedor que ofrece el
mismo activo en venta, con la misma cuota inicial, el mismo plazo
y con el 0% de interés, con un precio al
contado de UM 228,000, podría estimarse que esta
opción es mejor a la anterior. Sin embargo, al pagar los
UM 20,000 de cuota inicial, nuestro saldo deudor sería de
UM 208,000 y como no hay recargo por intereses, las cuatro cuotas
corresponden a UM 52,000 cada una (208,000 dividido entre
cuatro). Si calculamos el interés, el resultado
dará efectivamente 0%. Ambas alternativas requieren la
misma cuota inicial y el mismo número de cuotas futuras
por el mismo monto.

Como vemos, para bajar la tasa de interés basta
con subir el precio contado de una venta al
crédito.

3. ¿Cómo
calcular el valor de i cuando tratamos con
anualidades?

Cuando tratamos con anualidades (Factores: 3º,
4º, 5º y 6º) y la incógnita buscada es la
tasa de interés i debemos aplicar la
función financiera TASA de Excel. Para calcular el valor
de n en todos los factores financieros contamos con
las fórmulas respectivas.

Ejercicio 94 (FCS)

Existe la posibilidad de invertir, abonando ocho cuotas
iguales de UM 5,000 cada una y al efectuar el último abono
tendremos la suma de UM 48,600. ¿Cuál es la tasa de
interés de esta inversión?.

Solución:

VF = 48,600; C = 5,000; n = 8; i = ?

Respuesta:

La tasa de interés de la inversión es
5.50% en cada período de capitalización.

Ejercicio 95 (FRC)

Supongamos una deuda a pagar en seis cuotas mensuales
iguales de UM 8,000 cada una, con el primer vencimiento dentro de
un mes. Pero como pagamos toda la deuda al contado nos rebajan el
total de la obligación a UM 35,600. Encontrar la tasa de
interés.

Solución:

VA = 35,600; C = 8,000; n = 6; i = ?

1º Aplicando la función financiera TASA de
Excel, tenemos:

Respuesta:

La tasa de interés mensual buscada es
9.27%.

4. Valor actual de flujos
diferentes

Hasta ahora, para la solución de los problemas
hemos contado con las fórmulas deducidas para una serie de
pagos iguales. En la práctica, no son tan fáciles.
Al evaluar proyectos es común encontrar que los flujos de
caja estimados difieren en distintos períodos, debido a
las hipótesis de crecimiento, a la
reposición de maquinaria y equipo y a la inclusión
de los valores de desecho planificadas en el proyecto.
Realizamos la actualización o capitalización de
estos flujos variables aplicando individualmente la
fórmula [21] a cada valor y sumando o restando los
resultados de cada uno, según su signo.

El ejemplo desarrollado a continuación es un caso
típico de serie de pagos desiguales. Para
calcular el valor de i, en estos casos,
aplicaremos la función financiera TIR de
Excel.

Ejercicio 96 (Flujo de caja
variable)

Un fabricante de productos para
enfrentar mayores niveles de producción, lleva a cabo un detallado
estudio de
factibilidad para la ampliación de su capacidad
instalada. El proyecto desarrolla un análisis
financiero completo considerando muchos factores, tales como
las fluctuaciones de las existencias, los precios, los
costos, el
volumen, etc.
Expresamos el efecto financiero del proyecto de ampliación
para 10 años, en el siguiente flujo, inserto
después de la pregunta: Deseamos saber:
¿cuál es el tipo efectivo de rédito del
proyecto?.

UM 1’104,306 el primer año

1’952,185 el segundo año

1’180,458 el tercer año

para recibir un rédito de:

UM 648,531 el cuarto año

1’029,758 el quinto año

1’538,789 el sexto año

…

2’645,783 el décimo año?

Con seguridad, si
el dinero es
colocado en una libreta de ahorros, el retiro de UM
2’645,783 a los diez años saldaría con
exactitud la cuenta, siempre que el interés estuviera
compuesto anualmente al tipo de interés por
calcular.

En realidad los gastos e ingresos
los efectuamos durante el año, para fines de
comparación supondremos que éstos los hacemos al
final de cada año. Requerimos también un momento
determinado como «el presente», admitamos que es el
inicio de 1992. (estos supuestos son arbitrarios).
Podíamos haber estimado los gastos efectuados en la mitad
de cada año. El presente podría establecerse como
el momento de seguir o no con el proyecto).

Diagrama

Al inicio de 1992 el valor actual es cero. En
este caso usaremos una y otra vez la fórmula [21].
Empleamos signos
negativos para diferenciar los gastos o salidas de caja de los
ingresos o efectivo producido.

Con un interés concordante con el proyecto, el
valor actual de toda la serie será igual a cero, es
decir:

VA = 0 = VA1 + VA2 + VA3 + … + VA10

Aplicando las funciones TIR y VAN de Excel,
tenemos:

Para encontrar el valor de i en esta
ecuación, utilizamos la función financiera TIR de
Excel, la misma que arroja una tasa de rendimiento de 18.0437%,
con cuyo porcentaje la suma de los valores actuales de la
ecuación cumple la condición señalada, esto
es VA = 0, como apreciamos aplicando el
VAN.

5. Gradientes

En matemáticas financieras gradientes son
anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales
cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta
cantidad puede ser constante o proporcional al pago
inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago
determina la clase de gradiente:

Si la cantidad es constante el gradiente es
aritmético (por ejemplo cada pago aumenta o
disminuye en UM 250 mensuales sin importar su monto).

Si la cantidad en que varía el pago es
proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente
es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o
disminuye en 3.8% mensual)

La aplicación de gradientes en los negocios
supone el empleo de dos
conceptos dependiendo del tipo de negocios:

Negocios con amortización
(crédito), tipo en el que partimos de un valor actual,
con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero
al pago de la última cuota.

Negocios de capitalización (ahorro), tipo
en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes
acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro
deseado.

Gradientes diferidos. Son aquellos valorados con
posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el
origen del gradiente y el momento de valoración es el
período de diferimiento o de
gracia.

Gradientes anticipados o prepagables. Aquellos
valorados anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre
entre el final del gradiente y el momento de valoración es
el período de anticipación. Pago o cobro por
adelantado. Los valores actuales y futuros de los
gradientes anticipados (adelantados) o prepagables son
calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado
por (1 + i).

5.1. Gradiente
uniforme

La progresión aritmética, quiere
decir, cada término es el anterior aumentado (o
disminuido) en un mismo monto.

El gradiente uniforme es una sucesión de flujos
de efectivo que aumenta o disminuye en forma constante. El
flujo de
efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma
cantidad aritmética cada período de interés.
El gradiente (G) es la cantidad del aumento
o de la disminución. El gradiente (G) puede
ser positivo o negativo. Las ecuaciones
generalmente utilizadas para gradientes uniformes, pospagables
son:

Permiten calcular el valor actual de un gradiente
aritmético creciente o decreciente, conociendo la tasa de
interés periódica, el gradiente y el plazo.
Sólo tienen aplicación en el siguiente flujo de
caja:

Para el cálculo de los gradientes
prepagables, basta con multiplicar por (1 + i) el valor
actual o futuro (según el caso) del gradiente
pospagable.

Ejercicio 97 (Valor actual de un
gradiente arimético pospagable)

Calcular el valor de contado de un producto adquirido
con financiamiento. Con una cuota inicial de UM 1,500
y el saldo en 24 armadas mensuales que aumentan en UM 80 cada
mes, siendo de UM 250 la primera. La tasa de interés es de
2.8% mensual.

Solución:

C = 250; n =24; i = 0.028; G = 80; VA = ?

1º Calculamos el valor actual del
gradiente:

2º Calculamos el valor actual de la
serie:

Finalmente, calculamos el valor de contado del producto,
sumando los valores actuales: 1,500 + 17,740 + 4,327 = UM
23,567

5.2. Anualidades perpetuas
o costo
capitalizado

Son anualidades que tienen infinito número de
pagos, en la realidad, las anualidades infinitas no existen, todo
tiene un final; sin embargo, cuando el número de pagos es
muy grande asumimos que es infinito.

Este tipo de anualidades son típicas cuando
colocamos un capital y solo retiramos intereses.

Para el cálculo de la anualidad en
progresión geométrica perpetua operamos, a
través del límite cuando el número de
términos de la renta (n) tiende a infinito. Siendo esto lo
que caracteriza a una perpetuidad, de forma que el valor de los
últimos flujos al descontarlos es insignificante, a
saber:

Ingresando la variable C dentro del paréntesis,
nos queda:

El término cuando n es muy grande hace tender su valor a cero
por lo tanto el valor de la anualidad de muchos términos,
llamada perpetuidad, la calculamos con la fórmula de la
serie infinita:

Fórmula o ecuación de la serie infinita,
sirve para calcular el valor actual de una perpetuidad,
conociendo la tasa de interés periódica y la
cuota.

Las perpetuidades permiten calcular rápidamente
el valor de instrumentos de renta fija (VAP) por muchos periodos,
«C» es el rendimiento periódico e
«i» la tasa de interés para cada periodo.
Ejemplos de perpetuidades, son las inversiones
inmobiliarias en que existe un pago de alquiler por
arrendamiento, las pensiones o rentas vitalicias, los proyectos
de obras públicas, carreteras, presas, valuación de
acciones,
etc.

Para el mantenimiento
a perpetuidad, el capital debe permanecer intacto después
de efectuar el pago anual.

Ejercicio 98 (Costo
capitalizado)

Deseo saber cuánto debo ahorrar hoy, para obtener
UM 1,500 mensuales si el interés que paga la entidad
financiera es el 1% mensual.

Solución:

i = 0.01; C = 1,500; VAP = ?

Respuesta:

Debo ahorrar hoy UM 150,000 para obtener mensualmente UM
1,500.

Ejercicio 99 (Anualidades
perpetuas)

Determinar el valor actual de una renta perpetua de UM
5,000 mensuales, asumiendo un interés de 9%
anual.

Solución:

C = 5,000; i = (0.42/12) = 0.0075; VAP = ?

Valor actual de un gradiente perpetuo

Expresa el valor actual de un gradiente perpetuo, ya sea
aritmético o geométrico, creciente o decreciente,
conociendo la tasa de interés periódica y el
gradiente. Por lo general el gradiente perpetuo solo se calcula
para cuotas vencidas.

Manipulando la fórmula [33], obtenemos la
fórmula:

, de
donde:

reemplazado en la ecuación:

Ejercicio 100 (Valor
actual de un gradiente geométrico perpetuo)

Las autoridades distritales desean conocer cuánto
deben depositar hoy en una institución financiera que paga
el 16% de interés, para solventar a perpetuidad los gastos
anuales de mantenimiento de la carretera principal, estimados en
UM 500,000 el primer año y que aumenta en UM 150,000 cada
año.

Solución:

i = 0.16; C = 500,000; G = 150,000; VA = ?

Aplicando las fórmulas [36] y (37] calculamos el
valor del depósito hoy, para sufragar a perpetuidad los
gastos de mantenimiento de la carretera:

Respuesta:

El monto que las autoridades distritales deben depositar
hoy es UM 8’984,375, para garantizar el mantenimiento de la
carretera.

5.3. Gradiente
geométrico

Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en
porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago.
En la progresión geométrica cada término es
el anterior multiplicado por un mismo número denominado
razón de la progresión, representado por
E.

5.3.1.Valor actual de un gradiente en
escalera

Devuelve el valor actual de un gradiente en "escalera",
conociendo la tasa de interés periódica, el
gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos
iguales.

Un gradiente en escalera es aquel en el cual se presenta
una serie de pagos iguales (por ejemplo cuatro cuotas mensuales)
y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la
serie mencionada.

Las fórmulas que corresponden al flujo de caja
que cambia en porcentajes constantes en períodos
consecutivos de pago son:

Al simplificarse, llegamos a la suma aritmética
de n veces la unidad, quedando expresado el valor actual
así:

Fórmula del valor actual del gradiente
perpetuo:

Símbolos:

VAE = Valor actual de la serie
escalera

Q = Cantidad de dinero en el año
1

i = Tasa de valoración

E = Tasa de escalada

En el ejemplo 100, considerando una tasa de
escalada (gradiente) de 16%, calculamos el VA del gradiente
perpetuo:

Solución: (Valor actual de un gradiente
perpetuo en escalada pospagable)

i = 0.16; C = 500,000; E = 0.08; VA = ?

Aplicando la fórmula [40] calculamos el valor del
depósito que tienen que hacer las autoridades hoy, para
sufragar a perpetuidad los gastos de mantenimiento de la
carretera:

Ejercicio 101 (Valor actual de un
gradiente en escalada prepagable)

¿Cuál es el valor actual de un
crédito al 3.5% mensual que debe pagarse en 12 cuotas de
UM 600 cada una, si cada cuatro meses aumentan en 6%?

Solución:

Q = 600; E = 0.06; i = 0.035; n = 12/3 = 4; VA =
?

El crédito es pagado en 12 cuotas anticipadas,
las cuales cada cuatro meses tienen un incremento del 6%,
generando los siguientes flujos:

C1…3 = 600; C5…8 = (600*1.06) = 636 ; C9…12 =
(636*1.06) = 674.16

1º La primera serie es un caso de series uniformes
a valor actual, opera con la fórmula (24). Las dos
últimas series corresponden a gradientes
geométricos, opera con la fórmula (38). Luego para
obtener el VA de la operación financiera debemos aplicar
combinadamente la fórmula (24) y la (38):

Como se trata de cuotas anticipadas o prepagables el VA
obtenido lo multiplicamos por (1 + i):

VA = 7,156.54 * 1.035 = UM 7,407.01

Respuesta:

El valor actual del crédito prepagable es de UM
7,407.01

5.4. Valor futuro de
gradientes

A partir del VA actual obtenido con las fórmulas
respectivas, calculamos el valor futuro de una serie con
gradiente, ya sea aritmético o geométrico,
creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés
periódica, el gradiente y el plazo.

El valor futuro de gradientes, tiene que ver con
negocios de capitalización, para los cálculos
partimos de cero hasta alcanzar un valor ahorrado después
de un plazo determinado.

Ejercicio 102 (Valor futuro de un
gradiente prepagable)

Un pequeño empresario
ahorra mensualmente UM 3,000 en una institución financiera
que paga 1.5% mensual. Asimismo, tiene proyectado incrementar
cada depósito en 8% por período.
¿Cuánto tendrá ahorrado al final del
año?

Solución:

Q = 3,000; i = 0.015; E = 0.08; n = 12; VA = ?; VF =
?

1º Calculamos el VA prepagable de los ahorros
aplicando la fórmula [38]:

2º A partir del VA obtenido, calculamos el VF
prepagable:

[19] VF = 51,819.62*(1 + 0.015)12 = UM
61,956.48

3º Por comprobación elaboramos la tabla de
amortización de esta operación:

SALDO INICIAL = SALDO FINAL

AHORRO = SALDO INICIAL * 1,08

INTERES = SALDO INICIAL * 0,015

Respuesta:

El monto que tendrá ahorrado al final del
año es UM 61,956.47. Los depósitos son anticipados
(el primero corresponde al mes cero) pero sólo reciben
intereses un mes después de estar consignados.

5.4.1. Valor futuro de un gradiente en
escalera

Es una serie de pagos iguales que al terminar tienen una
variación y vuelve a presentarse la serie de pagos
iguales.

El cálculo del VF de un gradiente en "escalera",
creciente o decreciente, es posible cuando conocemos la tasa
de interés periódica, el gradiente, el plazo total
y el valor de la serie de pagos iguales. Estos gradientes
también son de capitalización.

Ejercicio 103 (Valor futuro de un
gradiente aritmético)

Una pequeña empresa
metalmecánica, vende mensualmente 150 unidades de su
producción, a un precio de UM 200/unidad el primer
año, a UM 250/unidad el segundo año, a UM
300/unidad el tercer año y así sucesivamente. El
dueño de la empresa ahorra mensualmente la doceava parte
del ingreso por ventas en una entidad financiera que paga el 1.8%
mensual. Calcular el monto total que la empresa tendrá
ahorrado al final de cinco años.

Solución:

UUVV = 150; PV = 200, 250, 300, 350 y 400; G = 50;
AHORRO =
VT/12

1º Aplicando Excel calculamos los ahorros
mensuales:

VENTA TOTAL = UNIDADES VENDIDAS * PRECIO
UNIDAD

AHORRO = VENTA TOTAL / 12

Es decir, los doce primeros meses ahorramos UM 2,500
mensuales, el segundo 3,125 y así sucesivamente; luego,
tenemos cinco series de doce cuotas iguales, que cada
año se incrementan en (3,125 – 2,500) = UM 625 (gradiente
uniforme). Con esta información elaboramos la tabla, aplicando
independientemente las fórmulas [27] y [19] a cada serie y
sumando los totales:

p= 48, 36, 24, 12 y 0; i = 0.018; VF = ?

Aplicamos la fórmula [19] para capitalizar el
valor futuro de cada serie de 12 meses. Partiendo del final del
mes doce en cada serie (VA) capitalizamos estos totales hasta el
tramo final (mes 60) en cada caso.

Respuesta:

El monto que el empresario tendrá ahorrado al
final del quinto año es UM 371,336.

5.4.2. Pago de un gradiente

Es el primer pago de una serie con gradiente
aritmético o geométrico, creciente o decreciente,
que se obtiene conociendo la tasa de interés
periódica, el plazo, el valor presente o el valor futuro.
Presente en problemas de amortización y
capitalización.

En los problemas de amortización, es
posible utilizar el valor presente y valor futuro, ambos se
pueden presentar simultáneamente, como es el caso del
leasing en el
cual debemos amortizar un valor inicial (VA) y al final del plazo
pagar un valor de compra (VF) para liquidar la
operación.

Al confeccionar las tablas de amortización, en
los problemas de capitalización, como partimos de un
valor ahorrado igual a cero, para conseguir un valor futuro no
utilizamos el valor inicial.

Ejercicio 104 (Pago de un gradiente
aritmético – AMORTIZACION)

Con urgencia necesitamos financiamiento por UM 50,000,
para ser pagado en seis cuotas mensuales que disminuyan cada mes
en UM 1,200 a una tasa de interés de 4.5% mensual.
Calcular el valor de las cuotas a pagar.

Solución:

VA = 50,000; i = 0.045; n = 6; G = 1,200; C =
?

Confeccionamos la tabla de amortización de esta
operación, la cuota mensual a pagar lo obtenemos con la
herramienta BUSCAR OBJETIVO de
Excel, conforme indicamos en el Capítulo 2, numeral 12,
páginas 87 y 88 del presente libro:

Este es un problema de
amortización, por cuanto partimos de un
valor inicial (VA), a redimir en un plazo establecido. Al pagar
la última cuota el saldo es cero.

Ejercicio 105 (Pago de un gradiente
geométrico – CAPITALIZACION)

Una entidad financiera lanza una agresiva campaña
publicitaria para captar ahorristas, ofrece el 24% anual. Un
pequeño empresario sensibilizado por esta promoción desea saber cuánto debe
ahorrar anualmente, para al final de 5 años tener
disponibles UM 20,000, considerando que además,
está en capacidad de incrementar la cuota anual en un
20%.

Solución:

VF = 20,000; i = 0.18; n = 5; E = 20%; C =
?

INTERES = SALDO INICIAL*TASA INTERES

SALDO FINAL = SALDO INICIAL + CUOTA +
INTERES

CUOTA ESCALADA = CUOTA UNIFORME*(1 + E)

CUOTA Y SALDO DE 20,000 = BUSCAR OBJETIVO

Como vemos, iniciamos con un saldo cero y terminamos con
UM 20,000, pagando intereses al rebatir, sobre saldos acumulados
a fin de cada mes.

5.4.3. Pago en escalada conociendo el
VF

Utilizado solo para casos de amortización.
Reiteramos que un gradiente en escalera presenta una serie de
pagos iguales (por ejemplo 18 cuotas mensuales) y al terminar
ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie
mencionada.

Pago en escalada conociendo el VF, es calcular el
valor de la primera cuota de un gradiente en "escalera",
creciente o decreciente, conociendo el valor actual amortizable,
la tasa de interés periódica, el gradiente, el
plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

Ejercicio 106 (Pago en escalada conociendo el
VA)

Determinar cuánto pagaríamos mensualmente
por una vivienda valorizada en UM 35,000, financiada a 15
años, si la tasa de interés mensual es de 1.08% y
la cuota aumenta cada año en 10%.

Solución:

VA = 35,000; n = (15*12) = 180; i = 0.0108; E = 0.10; C
= ?

Resolvemos el caso elaborando la tabla de
amortización del crédito:

INTERES = SALDO INICIAL*TASA INTERES

SALDO INICIAL = SALDO FINAL

SALDO FINAL = SALDO INICIAL –
AMORTIZACION

CUOTA = BUSCAR OBJETIVO Cada año +
10%

Respuesta:

La cuota en el primer año es de UM 256.56, en el
segundo año de 287.72 y en el tercer año de 316.49,
es decir, el incremento es de 10%. En la tabla apreciamos que el
monto de las primeras cuotas no cubren los intereses, luego estos
capitalizan y el saldo de la deuda aumenta. Al abonar la
última cuota el saldo queda en cero.

5.4.4. Pago en escalada conociendo el
VF

Utilizado solo para casos de capitalización.
Permite conocer el valor de la primera cuota de un gradiente en
"escalera", creciente o decreciente, conociendo el valor futuro a
capitalizar, la tasa de interés periódica, el
gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos
iguales.

Ejercicio 107 (Pago en escalada conociendo el
VF)

Un empresario requerirá UM 50,000 dentro de 5
años. Calcular cuánto deberá ahorrar al 2.5%
mensual incrementado éstos ahorros en 15% cada seis
meses.

Solución:

VA = 50,000; n = (5*12) = 60; i = 0.025; E = 0.15; C =
?

INTERES = SALDO INICIAL*TASA INTERES

SALDO FINAL = SALDO INICIAL + CUOTA +
INTERES

CUOTA ESCALADA (C/6 meses) = CUOTA UNIFORME*(1 +
E)

CUOTA Y SALDO DE 50,000 = BUSCAR OBJETIVO + 15 CADA 6
MESES

5.4.5. Tasa periódica de un
gradiente

Conociendo el gradiente, el plazo, el valor de la
primera cuota y el valor presente y/o futuro podemos obtener la
tasa de interés por período de un gradiente.
Aplicable para gradientes aritméticos o
geométricos, crecientes o decrecientes y casos de
amortización o de capitalización.

Ejercicio 108 (Tasa periódica de un
gradiente aritmético, AMORTIZACION)

Determinar la tasa de interés de un
crédito por UM 30,000, a pagar en 48 cuotas y si la
primera es de UM 600 con aumentos mensuales de UM 25.

Solución:

VA = 30,000; n = 48; C1 = 600; G = 25; i = ?

Puesto que tratamos con flujos variables, aplicamos la
función TIR para determinar la tasa periódica del
crédito, para ello, elaboramos el flujo de caja de esta
operación:

Respuesta:

La tasa de interés mensual del crédito es
2.47%.

Ejercicio 109 (Tasa periódica de un
gradiente geométrico, CAPITALIZACION)

Determinar la tasa de interés de un título
a cuatro años y medio, si el titular debe hacer
depósitos trimestrales e inicia con una cuota de UM 600
que crece el 10% trimestral y al final del plazo recibirá
UM 80,000.

Solución: Operamos en forma similar
al caso anterior

VF = 80,000; n = 18 (4.5*4); C1 = 600; E = 0.10; i =
?

Respuesta:

La tasa trimestral de interés del título
es 14.74%.

Ejercicio 110 (VA y VF de gradiente
geométrico pospagable)

Determinar el valor actual y futuro de los ingresos
anuales vencidos de una persona que el
primer año ganará UM 30,000 con la esperanza que
crezcan un 8% anual de forma acumulativa durante 5
años.

a) Asumiendo como tasa de valoración el
10%.

b) Asumiendo como tasa de valoración el
8%.

Solución (a):
(Calculando el valor actual y valor futuro al 10% de
valoración)

Q = 30,000; E = 0.08; i = 0.10; n = 5; VAE =
?

[19] VF = 131,494.30*(1 + 0.10)5 = UM
211,772.89

Solución:
(Calculando el valor actual y valor futuro al 8% de
valoración)

Q = 30,000; E = 0.08; i = 0.08; n = 5; VAE =
?

[19] VF = 138,889(1 + 0.08)5 = UM
204,073.35

Respuesta:

Asumiendo como tasa de valoración el 10%, el
VA y VF de los ingresos anuales vencidos es UM 131,494.30 y
UM 211,772.88 respectivamente.
Asumiendo como tasa de valoración el 8%, el VA
y VF de los ingresos anuales vencidos es UM 138,888.89 y UM
204,073.34 respectivamente.

Ejercicio 111 (Gradiente geométrico
pospagable y prepagable)

Establecer el valor actual pospagable y prepagable de
los ingresos de una empresa para
los próximos 18 semestres si para el primer período
ascienden a UM 1,500, estimándose un incremento semestral
del 10% durante los primeros 12 semestres,
manteniéndose constante a partir de entonces. Considere
como tipo de valoración el 15% semestral.

Solución: Pospagable

Q = 1,500; E = 0.10; i = 0.15; n = 12 y 18; VA =
?

Los 12 primeros semestres constituyen gradientes
geométricos, cuyo valor actual lo calculamos con la
fórmula [33] y las últimas seis cuotas son
anualidades constantes y lo resolvemos aplicando el factor FAS.
Calculamos el VA en un solo proceso:

Solución:
Prepagables

Los 12 primeros semestres constituyen gradientes
geométricos, cuyo valor actual lo calculamos con la
fórmula [33] multimplicádola por (1 + i) y las
últimas seis cuotas son anualidades constantes y lo
resolvemos aplicando el factor FAS, multiplicando ambos por (1 +
i). Calculamos el VA en un solo proceso:

Respuesta:

El VA pospagable es UM 46,935.76

El VA prepagable es UM 53,976.12

6. Métodos de
evaluación

La evaluación financiera de inversiones permite
comparar los beneficios que genera ésta, asociado a los
fondos que provienen de los préstamos y su respectiva
corriente anual de desembolsos de gastos de amortización e
intereses. Los métodos de evaluación financiera
están caracterizados por determinar las alternativas
factibles u óptimas de inversión utilizando entre
otros los siguientes indicadores:
VAN (Valor actual neto), TIR (Tasa interna de
retorno) y B/C (Relación beneficio costo). Los
tres métodos consideran el valor del dinero en el
tiempo.

6.1. VAN

El VAN mide la rentabilidad
del proyecto en valores monetarios deducida la inversión.
Actualiza a una determinada tasa de descuento i los
flujos futuros. Este indicador permite seleccionar la mejor
alternativa de inversión entre grupos de
alternativas mutuamente excluyentes.

Debemos tener en cuenta que no conlleva el mismo
riesgo, el
invertir en deuda del Estado, que en
una compañía de comunicaciones
o en una nueva empresa inmobiliaria. Para valorar estos tres
proyectos debemos utilizar tasas de descuento diferentes que
reflejen los distintos niveles de riesgo.

Como las inversiones son normalmente a largo plazo, para
actualizar los distintos flujos al momento inicial utilizamos la
fórmula [21] del descuento compuesto.

VAN = Valor Actual de los Flujos de Caja futuros
– INV

Fórmula general del VAN

donde:

I0 : Inversión inicial en el momento cero
de la evaluación

FC : Flujo de caja del proyecto (ingresos
menos egresos)

i : Tasa de descuento o costo de
oportunidad del capital

t : Tiempo

n : Vida útil del
proyecto

Si el resultado es positivo, significa que el negocio
rinde por sobre el costo de capital exigido.

Ejercicio 112 (Calculando el
VAN)

Un proyecto de
inversión requiere el desembolso inicial de UM
250,000, con beneficios estimados entre el 1º y el 5º
año. El tipo de descuento aplicado a proyectos de
inversión con riesgos
similares es del 12%. Calcular el VAN:

Como apreciamos en el flujo de caja el VAN de UM 52,639
es positivo, luego la inversión es aceptada. Cuando
evaluemos varios proyectos alternativos de inversión
deberá seleccionarse aquel que tenga el VAN mayor, siempre
y cuando se trate de proyectos con inversión
similar.

Ejercicio 113 (Calculando el
VAN)

Un negocio a la vista requiere una inversión de
UM 800,000. Esta inversión genera ingresos anuales
conforme detallamos en el siguiente flujo:

Considerando un costo de capital de 11%, determinar
cuánto representaría al valor de hoy la suma de
todos los ingresos, menos la inversión inicial.

Solución:

INV = 800,000; i = 0.11; VAN = Flujo –
INV

Respuesta

El VAN es negativo (-58,521.48), luego el negocio debe
ser rechazado.

Porcentaje VAN / Inversión

Este criterio determina la rentabilidad que
obtendríamos por cada unidad monetaria
invertida.

Seleccionamos el proyecto que arroja el ratio más
elevado.

Ejemplo Hallar el ratio
«VAN/Inversión» del ejercicio
(112)

VAN = 52,639.21; INV. = 250,000; RATIO = ?

Respuesta:

La rentabilidad es 21.06%. El resultado indica que por
cada unidad monetaria invertida tenemos UM 0.2106 de
VAN.

6.2. Tasa interna de
retorno (TIR)

La TIR mide la rentabilidad como un porcentaje,
calculado sobre los saldos no recuperados en cada período.
Muestra el porcentaje de rentabilidad promedio por
período, definida como aquella tasa que hace el VAN
igual a cero. La tasa interna de retorno TIR, complementa casi
siempre la información proporcionada por el
VAN.

Esta medida de evaluación de inversiones no debe
utilizarse para decidir el mejor proyecto entre alternativas
mutuamente excluyentes.

Tanto la tasa efectiva como la TIR deben emplearse para
decidir sobre todo, en la compra y venta de papeles en
bolsa.

Fórmula general de la TIR

donde:

I0 : Inversión inicial en el momento cero
de la evaluación

FC : Flujo de caja del proyecto (ingresos
menos egresos)

i : Tasa de descuento o costo de
oportunidad del capital

t : Tiempo

n : Vida útil del
proyecto

Si compramos esta ecuación con la fórmula
[41], nos damos cuenta que esta medida es equivalente a hacer el
VAN igual a cero y calcular la tasa que le permite al flujo
actualizado ser cero.

La tasa obtenida la comparamos con la tasa de descuento
de la empresa. Si la TIR es igual o mayor que ésta, el
proyecto es aceptado y si es menor es rechazado.

Ejercicio 114 (Calculando la
TIR)

Calcular la tasa TIR del ejercicio (112) y ver si supera
la tasa de descuento del 12% exigible a proyectos con ese nivel
de riesgo.

VAN = 0

Calculamos la TIR del proyecto con la función
TIR:

Luego la TIR de esta operación es el 33.53%, muy
superior al 12%, luego el proyecto es atractivo para su
ejecución.

Entre varias alternativas de inversión elegiremos
aquel que presente la tasa TIR más elevada. Si los
diversos proyectos analizados presentan niveles de riesgo
diferentes, primero determinamos el nivel de riesgo que estamos
dispuestos a asumir, seguidamente elegiremos la alternativa de
TIR más elevada.

6.3. Relación
Beneficio / Costo

En el análisis Beneficio/Costo debemos tener en
cuenta tanto los beneficios como las desventajas de aceptar o no
proyectos de inversión

Es un método complementario, utilizado
generalmente cuando hacemos análisis de valor actual y
valor anual. Utilizado para evaluar inversiones del gobierno central,
gobiernos locales y regionales, además de su uso en el
campo de los negocios para determinar la viabilidad de los
proyectos en base a la razón de los beneficios a los
costos asociados al proyecto. Asimismo, en las entidades
crediticias internacionales es casi una exigencia que los
proyectos con financiación del exterior sean evaluados con
éste método.

La relación Beneficio/costo esta representada por
la relación

En donde los Ingresos y los Egresos deben ser calculados
utilizando el VAN, de acuerdo al flujo de caja; o en su
defecto, una tasa un poco más baja, llamada «TASA
SOCIAL» ; tasa utilizada por los gobiernos centrales,
locales y regionales para evaluar sus proyectos de desarrollo
económico.

El análisis de la relación B/C, toma
valores mayores, menores o iguales a 1, esto significa
que:

B/C > 1 los ingresos son mayores que los
egresos, entonces el proyecto es aconsejable.

B/C = 1 los ingresos son iguales que los egresos,
entonces el proyecto es indiferente.

B/C < 1 los ingresos son menores que los
egresos, entonces el proyecto no es aconsejable.

La relación B/C sólo entrega un
índice de relación y no un valor concreto,
además no permite decidir entre proyectos
alternativos.

Ejercicio 115 (Relación Beneficio
Costo)

El costo de una carretera alterna a la principal es de
UM 25’000,000 y producirá ahorros en
combustible para los vehículos de UM 1’500,000
al año; por otra parte, incrementará el turismo, estimando el
aumento de ganancias en los hoteles, restaurantes y otros en UM
7’000,000 al año. Pero los agricultores estiman
niveles de pérdidas en la producción proyectada de
UM 1’300,000 al año. Utilizando una tasa del 25%,
¿Es factible el proyecto?

Solución:

1º Aplicando el método del VAN,
tenemos:

Ing. y egre. esperados = 1’500,000 +
7’000,000 – 1’300,000 = UM 7’200,000

2º Con la fórmula [36] de la serie infinita
calculamos el VAN de los ingresos y egresos anuales:

C = 7’200,000; i = 0.25; VAN = ?

VAN Inversión = UM
25’000,000 período cero

3º Entonces tenemos la relación
B/C:

Respuesta:

Como el índice B/C es mayor a uno (1), el
proyecto es aceptado.

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