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6 Llaves Maestras de las Matemáticas Financieras, Gradientes y Métodos de Evaluación de Proyectos

Enviado por cesaraching



Capítulo 3

 

1. Los Factores Financieros

1.1. A partir del Monto compuesto

1.2. A partir de Anualidades

2. ¿Cómo cambiar la tasa de interés?

3. ¿Cómo calcular el valor de i cuando tratamos con anualidades?

4. Valor actual de flujos diferentes

5. Gradientes

5.1. Gradiente uniforme

5.2. Anualidades perpetuas o costo capitalizado

5.3. Gradiente geométrico

5.4. Valor futuro de gradientes

6. Métodos de evaluación

6.1. VAN

6.2. Tasa interna de retorno (TIR)

6.3. Relación Beneficio / Costo

URLs Consultados

 

Continuando con la publicación del libro "MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES", que lo vengo difundiendo en

GestioPolis.com,http://www.google.com.pe/search?hl=es&q=CESAR+ACHING+GUZMAN+MONOGRAFIAS.COM&meta=lr%3Dlang_es

Monografias.com y El Prisma.com, entrego ahora el capítulo 3 de la obra.

Como todas mis obras, la revisión técnica, estuvo a cargo del ING. JORGE L. ACHING SAMATELO, conforman el equipo de edición:

 

COORDINACION GENERAL MARLENE SAMATELO VALDIVIA

DISEÑO CARATULA ANGELA BONINO VELAOCHAGA

DISEÑO Y DIAGRAMACION MARIA VICTORIA ANGULO JOHNSON

PROCESO DIGITAL CESAR ACHING SAMATELO

PAULA ENITH ACHING DIAZ

 

Para una mejor comprensión en el uso de las tasas de interés, los ejercicios desarrollados de este capitulo lo publicaré en el capitulo IV, en la parte correspondiente a este rubro.

Asimismo, el capitulo V, contiene una gran variedad de aplicaciones practicas de las anualidades.

Antes de pasar al desarrollo del tema del capítulo, quiero agradecer a los anfitriones de los portales ATTAC MADRID FORO, COLOMBIA INDYMEDIA y PERU INDYMEDIA, por la difusión de mis trabajos de investigación como son: Especulación Financiera y Desarrollo Económico y Mercado Global de Capitales Explotación o Expoliación. Ambos, orientados a develar la voracidad de las oligarquías financieras, responsables de nuestras precarias economías. Desde luego, además estos mismos trabajos los difunden también GestioPolis.com,http://www.google.com.pe/search?hl=es&q=CESAR+ACHING+GUZMAN+MONOGRAFIAS.COM&meta=lr%3Dlang_es

Monografias.com y El Prisma.com.

La bibliografía y los URLs adjuntos son los materiales consultados e investigados para la elaboración de la obra: "MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES", cuyo tercer capítulo publicamos ahora.

Palabras clave: Factores financieros, monto compuesto, anualidades pospagables o prepagables y diferidas, gradientes, flujos variables y métodos de evaluación.

 

1. Los Factores Financieros

Las seis llaves maestras de las matemáticas financieras: En las matemáticas financieras es posible manejar cualquier operación, evaluar diversas alternativas de inversión con seis fórmulas. Como una unidad, estas seis fórmulas, reciben el nombre de factores financieros. Estos seis factores financieros derivan de la fórmula general del interés compuesto.

Tanto los pagos como los ingresos efectuados en la empresa son fundamentales para el fortalecimiento de la institución, razón por la cual deben ser evaluados constantemente con el objeto de determinar el impacto que producen en el entorno empresarial, realizar proyecciones financieras y estudios de nuevos proyectos.

Para este cometido, los factores financieros son de mucha utilidad y aplicación. Sirven para solucionar múltiples problemas financieros referidos al monto compuesto, anualidades vencidas y anualidades adelantadas. El uso de factores permite calcular con rapidez las variables del monto (VF), del valor actual (VA) y del pago periódico o renta (C).

Para determinar estos factores debemos conocer con anticipación las variables "i" y "n". En todo caso, asumimos que "C", "VF" o "VA" toman el valor de 1. Estos factores son seis: FSC, FSA, FAS, FRC, FCS y FDFA.

 

1.1. A partir del Monto compuesto

Permite calcular de manera rápida el factor de acumulación de los intereses, en el caso de buscar el valor futuro de una cantidad inicial. También permite averiguar el factor de actualización de los intereses, en el caso de calcular el valor actual de un importe determinado de dinero.

 

1º Factor simple de capitalización (FSC)

Transforma el valor actual (VA) en valor futuro (VF). Con la fórmula general del interés compuesto, desarrollada en el primer capítulo, tenemos:

 

El factor entre paréntesis es el factor simple de capitalización:

 

2º Factor simple de actualización (FSA)

Permite transformar valores futuros en valores actuales.

Ejercicio 85 (Factor simple de capitalización)

Deseamos obtener el factor de acumulación de los intereses y el importe acumulado de un depósito de UM 8,000 colocado durante 11 meses al 2.8% de tasa mensual a plazo fijo.

Solución:

VA = 8,000; n = 11 meses; i = 0.028; FSC = ?; VF = ?

1º Aplicamos el método formulístico:

2º Aplicamos la función financiera VF de Excel:

Respuesta:

El factor de acumulación FSC es 1.35495 y el monto acumulado VF es UM 10,839.62. Con ambos métodos obtenemos resultados iguales.

Ejercicio 86 (Factor simple de actualización)

Buscamos obtener el factor de actualización de los intereses, así como el valor actual de una deuda de UM 25,000, con vencimiento en 15 meses, pactada al 1.98% de interés mensual.

Solución:

VF = 25,000; n = 15 meses; i = 0.0198; FSA =?; VA = ?

1º Aplicamos el método formulístico:

2º Operamos con la función financiera VA de Excel:

Respuesta:

El factor de actualización de los intereses FSA es 0.74520 y el valor actual de la deuda VA es 18,630.

 

1.2. A partir de Anualidades

Una anualidad es un flujo de caja con montos de dinero uniformes, es decir, todos los flujos son iguales y los movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares. La circulación monetaria es a través de pagos de la anualidad.

 

Con este grupo de factores calculamos con rapidez el factor de acumulación de los intereses de pagos periódicos iguales, así como el monto acumulado a pagar al final de un período determinado. Estos cálculos pueden hacerse considerando pagos periódicos al vencimiento pospagable o por adelantado prepagables. También calculamos el factor de actualización de los intereses de pagos periódicos iguales, así como el valor actual a pagar de un período específico dentro de un tiempo establecido.

Las anualidades no siempre están referidas a períodos anuales de pago. Las fórmulas de las anualidades permiten desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.

Algunos ejemplos de anualidades son:

  • Los pagos mensuales por renta.
  • El cobro quincenal o semanal de sueldos.
  • Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.
  • Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

 

El intervalo o periodo de pago (n), es el tiempo que transcurre entre un pago (C) u otro y el plazo de una anualidad es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo y el periodo final de pago. Renta es el pago (C) periódico.

 

Los principales elementos que conforman la anualidad son:

C Pago Periódico, llamado también término. Es el importe cobrado o pagado, según sea el caso, en cada período y que no cambia en el transcurso de la anualidad.  

VF, el valor futuro viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (C), capitalizados al final del enésimo período.  

VA, el valor actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (C), descontados o actualizados a una tasa de interés.

i, es la tasa de interés por período, tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva. También representa la tasa anual de efectivo (TEA).

n, obtenemos el número de períodos multiplicando el tiempo por la frecuencia de capitalización de los intereses (n=t*m).

 

Las anualidades cumplen con las siguientes condiciones:

  1. Todos los pagos son de igual valor.
  2. 2. Todos los pagos son a iguales intervalos .
  3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa.
  4. El número de pagos debe ser igual al número de períodos.

 

Gráficamente:

 

1.2.1. Valor financiero de una anualidad en el momento t (Vt)

Es el resultado de llevar financieramente capitalizando o descontando las cuotas de la anualidad a dicho momento de tiempo t.

 

Casos Particulares

Si t  =  0 (siendo 0 el origen de la anualidad) nos encontramos con el valor actual, es decir, cuantificar los términos de la anualidad en el momento cero.

Si t  =  n (siendo n el final de la anualidad) definido como el valor final o valor futuro, resultado de desplazar todos los términos de la anualidad al momento n.

 

1.2.2. Clases de anualidades

Atendiendo a la variedad de componentes que intervienen, las anualidades se clasifican en:

 

A) De acuerdo con las fechas de iniciación y término éstas son:

  1. Ejemplo: En una compra a crédito, tanto la fecha que corresponde al primer y último pago son conocidos.

  2. Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas, establecidas de antemano.

    Ejemplo: Una renta vitalicia o perpetua que tiene que abonar un cónyuge a la muerte del otro. Al morir el cónyuge se inicia la renta y ésta fecha es desconocida.

     

    B) De acuerdo a los intereses (a su periodo de capitalización), las anualidades son:

  3. Anualidad contingente. En este tipo de anualidades, tanto la fecha del primer y último pago, generalmente no se establecen anticipadamente.

    Ejemplo: El pago de una renta mensual con intereses al 32% de capitalización mensual.

  4. Simples. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses.

    Ejemplo: El pago de una renta semestral con intereses al 36% anual capitalizable trimestralmente.

     

    C) De acuerdo con el vencimiento de los pagos, éstas son:

  5. Generales. Aquellas en las que el periodo de pago no coincide con el de capitalización.

    Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago.

     

  6. Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en que los pagos son a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

    Ejemplo, el pago mensual por arriendo de una casa, primero es el pago, luego el uso del inmueble. 

     

    El VA y VF de las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período las pospagables multiplicándolas por (1 + i).

     

    D) De acuerdo al momento de inicio o momento de valoración:

  7. Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables efectuadas al principio de cada periodo.

    Ejemplo: Hoy adquirimos un producto a crédito, a pagar mensualmente. El primer pago puede realizarse hoy o el mes siguiente, las cuotas pueden ser anticipadas (prepagables) o vencidas (pospagables).

  8. Inmediatas. Las más comunes. Los cobros o pagos tienen lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Valoramos la anualidad en su origen o en su final.

    Valor actual o futuro de anualidades adelantadas o prepagables, consiste en calcular la suma de los valores actuales de los pagos al inicio de la anualidad multiplicando el resultado por (1 + i).

    Valor actual o futuro de anualidades vencidas o pospagables, consiste en hallar la suma de todos los pagos periódicos a una misma tasa de interés al final del plazo de la anualidad.

    Son cantidades periódicas y uniformes, equivalentes a un valor actual o valor futuro, a una determinada tasa de interés.

     

    E) Según la clase de interés

  9. Diferidas. Los cobros o pagos son llevados a cabo tiempo después de formalizado el trato (se pospone o aplaza), es decir, el primer pago es después de transcurrido cierto número de períodos. La valoración de la anualidad es en un momento posterior a su origen. Significa el valor actual o futuro de una anualidad en n períodos a la tasa i, pospagables (vencidas) o prepagables (anticipadas).
  10. Simple o en progresión aritmética y,
  11. Compuesta o en progresión geométrica

En la presente obra, utilizaremos los términos: anualidad vencida cuando tratemos con rentas pospagables y anticipadas cuando tratemos con rentas prepagables.

Las anualidades que estudiaremos a continuación nos permiten determinar el valor actual o futuro a través de modelos matemáticos que varían en progresión geométrica creciente o decreciente. Tratase de anualidades constantes o uniformes pospagables o prepagables.

Los valores actuales y futuros de las anualidades (gradientes, perpetuidades) anticipadas (adelantadas) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicádolas por (1 + i), reiteramos, el VA o VF de las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período las pospagables.

 

1.2.3. Anualidades uniformes

Las anualidades de valor uniforme pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas (valoramos la renta en su origen o final), diferidas o anticipadas, enteras (cuota y tasa están en la misma unidad de tiempo) y fraccionadas.

En esta parte vamos a desarrollar anualidades constantes, unitarias, temporales, inmediatas y enteras, operando con el interés compuesto.

Las fórmulas de la [24] a la [32] son de aplicación para el cálculo de anualidades vencidas o pospagables.

 

(A) Factores para el cálculo del valor actual o inicial del capital

Aplicando los conceptos del valor actual obtenemos los factores 3º y 4º, con los cuales actualizamos el flujo constante de la anualidad. Obtenemos el valor actual descontando a interés compuesto cada uno de los pagos o cuotas a la tasa i, desde donde está cada capital hasta el origen. Generalizamos lo expuesto mediante la siguiente ecuación:

 

Y lo representamos como:

Permite sumar n términos en progresión geométrica decreciente.

 

 

3º Factor de actualización de la serie (FAS)

Permite pasar de series uniformes a valor actual. Transforma series de pagos uniformes equivalentes a valor actual o valor actual neto (VAN).

En este caso tratamos de actualizar el valor de cada C desde el final de cada período. Una vez que los valores de C están con valores actuales procedemos a totalizar la suma.

 

Muy utilizada en operaciones financieras y comerciales para determinar la tasa de rendimiento y en ventas a plazos.

 

4º Factor de recuperación del capital (FRC)

Transforma un stock inicial VA en un flujo constante o serie uniforme C. Conocido en el mundo de las finanzas como FRC, definido como el factor que transforma un valor presente a serie de pagos uniformes equivalentes.

 

Utilizado en operaciones de crédito y en la evaluación de proyectos.

Ejercicio 87 (FRC-Cuotas vencidas)

Una institución tiene programado llevar a cabo campañas de venta entre sus afiliados y asume, como monto contado el valor de UM 1,200, para su pago en 36 mensualidades constantes pospagables a 2.87% mensual. Calcular el valor de las cuotas mensuales.

Solución:

VA = 1,200; i = 0.0287; n = 36; C = ?

Aplicando la función financiera PAGO de Excel, tenemos:

Respuesta:

El valor pospagable de cada una de las 36 cuotas es UM 53.90.

 

(B) Factores para el cálculo del valor futuro o final del capital

En la solución de problemas de este tipo aplicamos en forma sucesiva la fórmula [19] VF = VA (1 + i)n del valor futuro, para lo cual es necesario hallar los montos parciales de cada C desde el momento de su abono hasta el final del período n. La primera C depositada a finales del primer período n se convierte C(1 + i)n-1. El exponente es n -1 porque la primera C capitaliza desde el inicio del 2º período. Como la última C es depositada al final del período n no gana intereses. Sin embargo, su monto es representado como C(1 + i)0.

Generalizando, tenemos:

 

Representa la suma de n términos en progresión geométrica creciente, que lo calculamos con la siguiente ecuación:

 

 

5º Factor de capitalización de la serie (FCS)

Factor para pasar de series uniformes a valor futuro (Capitalización de una serie uniforme). Transforma los pagos e ingresos uniformes a valor futuro único equivalente al final del período n. Este factor convierte pagos periódicos iguales de fin de período C, en valor futuro VF.

6º Factor de depósito del fondo de amortización (FDFA)

Factor utilizado para transformar stocks finales VF en flujos o series (depósitos) uniformes C. O también, transforma valores futuros del final del período n en valores uniformes equivalentes periódicos. Operando la ecuación [27], tenemos:

  donde:

 

Características:

  1. Los fondos de amortización sólo sirven para el pago del capital.
  2. La deuda permanece invariable hasta completar el fondo.

 

Para el cálculo del valor futuro de una serie de pagos iguales, un período después del último pago, empleamos la fórmula:

 

Desarrollando la sumatoria tenemos:

Ejercicio 88 (FCS - VF vencida)

Si mensualmente deposito UM 600 en un banco que paga el 18% de interés anual capitalizando trimestralmente. ¿Qué monto habré acumulado después de efectuar 48 abonos?.

Solución:

C = (600*300) = 1,800; i = (0.18/4) = 0.045; n = (48/3) = 16; VF = ?

Resulta indiferente abonar UM 600 mensuales o UM 1,800 trimestrales, por cuanto el banco capitaliza los ahorros trimestralmente.

1º Calculamos el VF con la fórmula [27] o con la función financiera VF:

Respuesta:

El monto de la inversión periódica después de 48 abonos es de UM 40,894.81 con ambos métodos.

Ejercicio 89 (FDFA - Cuota vencida)

Al objeto de acumular UM 10,000 en 90 días, efectuaremos 3 depósitos mensuales iguales en un banco que paga el 22.58% de tasa anual. Si el primer abono lo hacemos hoy día. ¿Cuál será el valor de dicho depósito?.

Solución:

VF = 10,000; n = 3; i = (0.2258/12) = 0188; C = ?

Respuesta:

El valor del depósito es de UM 3,216.16 con ambos métodos.

 

1.2.4. Anualidades anticipadas o prepagables

Anticipar (Del lat. anticipare). Hacer que algo suceda antes del tiempo señalado o esperable o antes que otra cosa.

 

Aquellas anualidades valoradas anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final de la anualidad y el momento de valoración es el período de anticipación.

Reiteramos, que los valores actuales y futuros de las anualidades anticipadas (adelantadas) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i), es decir, el VA o VF de las anualidades prepagables son el resultado de actualizar o capitalizar con un período más las pospagables. Por esta razón los resultados (VA o VF) de las prepagables son siempre mayores que de las pospagables. Aplicable también a las funciones financieras de Excel, Tipo cero (0) o se omite, significa pago al final del período; tipo uno (1) significa pago al principio del período, que viene a ser lo mismo que multiplicar los resultados por (1+i).

Ejercicio 90 (VA y VF de anualidad prepagable)

Determinar el valor actual y futuro de una renta de 4 cuotas anuales prepagables de UM 2,500 si la valoración al 9% anual es a los 7 años de iniciado.

Solución: (Calculando el valor actual)

C = 2,500; n = 7*4 = 28; i = 0.09; VA = ?

1º Para el cálculo del VA aplicamos la fórmula [24] o la función VA, multiplicamos los resultados por (1 + 0.09):

Solución: (Calculando el valor final o futuro)

C = 2,500; n = 28; i = 0.09; VF = ?

2º Para el cálculo del VF aplicamos la fórmula [27]:

Respuesta:

El VA y VF de una renta de 4 cuotas anuales anticipadas de UM 2,500 valoradas 7 años después de iniciada es:

VA = UM 27,556.45 y

VF = UM 307,838.39

Ejercicio 91 (FAS-FCS, VA y VF de anualidades vencidas y anticipadas)

¿Cuánto debo invertir hoy y cuánto tendré al final al 7% compuesto anualmente para poder retirar UM 2,800 al final o principio de cada uno de los cinco años que dura el negocio?

Solución: VA de anualidades pospagables y prepagables

C = 2,800; i = 0.07; n = 5; VA = ?

Calculamos el VA pospagable aplicando la fórmula [24] o la función VA:

Multiplicando el resultado anterior por 1.07 obtenemos el VA prepagable:

VAPOSPAGABLE = 11,480.55*1.07 = UM 12,284.19

Solución: VF de anualidades pospagable y prepagables

C = 2,800; i = 0.07; n = 5; VF = ?

Multiplicando el resultado anterior por 1.07 obtenemos el VF prepagable:

VFPREPAGABLE = 16,102.07*1.07 = UM 17,229.21

Respuesta:

El monto a invertir hoy en cuotas vencidas es UM 11,480.55

El monto a invertir hoy en cuotas anticipadas es UM 12,284.19

El monto que tendré con cuotas vencidas es UM 16,102.07

El monto que tendré con cuotas anticipadas es UM 17,229.21

 

1.2.5. Anualidades Diferidas

Diferir (Del lat. differre). Aplazar la ejecución de un acto.

 

Son aquéllas anualidades valoradas con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la anualidad y el momento de valoración es el período de diferimiento, gracia o carencia.

Para valorar la anualidad diferida, primero calculamos la anualidad en su origen; considerándola como anualidad inmediata determinamos el valor actual; posteriormente descontamos el valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, a interés compuesto y a la tasa de interés vigente durante el período de diferimiento.

El diferimiento únicamente afecta al valor actual, el valor futuro es calculado como una anualidad inmediata.

Las fórmulas para este tipo de anualidades son las mismas que para las rentas vencidas y anticipadas con la diferencia que éstas tienen períodos de gracia.

Ejercicio 92 (Anualidad diferida)

Compramos hoy un producto a crédito por UM 60,000, para pagar en 20 cuotas trimestrales, el primer abono lo hacemos al año de adquirido. Determinar la renta asumiendo una tasa anual de 32%.

Solución:

VA = 60,000; n = 20; i = (0.32/4) = 0.08; CPAGOS = ?

 

 

Para calcular el valor de cada cuota aplicamos en forma combinada las fórmulas [19] y [25]:

Finalmente, elaboramos el cronograma de pagos:

 

Como vemos, el primer pago lo hacemos en el trimestre 4 que es el final del primer año, hay tres períodos libres o de gracia con acumulación de intereses. Luego, la anualidad se inicia en el trimestre 3 (con un saldo de UM 75,583) y termina en el 23, el valor actual de ésta operación financiera es el punto 0 donde está ubicada la fecha focal (UM 60,000).

 

Respuesta:

El valor de cada pago es UM 7,698.27

 

2. ¿Cómo cambiar la tasa de interés?

Es importante aclarar cómo la tasa de interés puede variarse. Para demostrarlo utilizaremos el siguiente ejemplo:

Ejercicio 93 (FRC)

Tenemos la posibilidad de efectuar la compra de activos que valen UM 200,000 al contado. Como no disponemos de ese monto decidimos por la compra a crédito según las siguientes condiciones de venta: cuota inicial de UM 20,000 y cuatro cuotas iguales futuras de UM 52,000 cada una.

Solución:

VA = 180,000; C = 52,000; n = 4; i = ?

Como las cuotas son uniformes, para el cálculo de i aplicamos la función financiera TASA de Excel:

Obsérvese que el valor actual es UM 180,000 y no UM 200,000, las cuatro cuotas de UM 52,000 se generan sólo por adeudar UM 180,000.

Según la función financiera TASA de Excel, el valor de i corresponde al 6%. No obstante, comparando este resultado con otro de un proveedor que ofrece el mismo activo en venta, con la misma cuota inicial, el mismo plazo y con el 0% de interés, con un precio al contado de UM 228,000, podría estimarse que esta opción es mejor a la anterior. Sin embargo, al pagar los UM 20,000 de cuota inicial, nuestro saldo deudor sería de UM 208,000 y como no hay recargo por intereses, las cuatro cuotas corresponden a UM 52,000 cada una (208,000 dividido entre cuatro). Si calculamos el interés, el resultado dará efectivamente 0%. Ambas alternativas requieren la misma cuota inicial y el mismo número de cuotas futuras por el mismo monto.

Como vemos, para bajar la tasa de interés basta con subir el precio contado de una venta al crédito.

 

3. ¿Cómo calcular el valor de i cuando tratamos con anualidades?

Cuando tratamos con anualidades (Factores: 3º, 4º, 5º y 6º) y la incógnita buscada es la tasa de interés i debemos aplicar la función financiera TASA de Excel. Para calcular el valor de n en todos los factores financieros contamos con las fórmulas respectivas.

Ejercicio 94 (FCS)

Existe la posibilidad de invertir, abonando ocho cuotas iguales de UM 5,000 cada una y al efectuar el último abono tendremos la suma de UM 48,600. ¿Cuál es la tasa de interés de esta inversión?.

Solución:

VF = 48,600; C = 5,000; n = 8; i = ?

Respuesta:

La tasa de interés de la inversión es 5.50% en cada período de capitalización.

Ejercicio 95 (FRC)

Supongamos una deuda a pagar en seis cuotas mensuales iguales de UM 8,000 cada una, con el primer vencimiento dentro de un mes. Pero como pagamos toda la deuda al contado nos rebajan el total de la obligación a UM 35,600. Encontrar la tasa de interés.

Solución:

VA = 35,600; C = 8,000; n = 6; i = ?

 

 

1º Aplicando la función financiera TASA de Excel, tenemos:

Respuesta:

La tasa de interés mensual buscada es 9.27%.

 

4. Valor actual de flujos diferentes

Hasta ahora, para la solución de los problemas hemos contado con las fórmulas deducidas para una serie de pagos iguales. En la práctica, no son tan fáciles. Al evaluar proyectos es común encontrar que los flujos de caja estimados difieren en distintos períodos, debido a las hipótesis de crecimiento, a la reposición de maquinaria y equipo y a la inclusión de los valores de desecho planificadas en el proyecto. Realizamos la actualización o capitalización de estos flujos variables aplicando individualmente la fórmula [21] a cada valor y sumando o restando los resultados de cada uno, según su signo.

El ejemplo desarrollado a continuación es un caso típico de serie de pagos desiguales. Para calcular el valor de i, en estos casos, aplicaremos la función financiera TIR de Excel.

Ejercicio 96 (Flujo de caja variable)

Un fabricante de productos para enfrentar mayores niveles de producción, lleva a cabo un detallado estudio de factibilidad para la ampliación de su capacidad instalada. El proyecto desarrolla un análisis financiero completo considerando muchos factores, tales como las fluctuaciones de las existencias, los precios, los costos, el volumen, etc. Expresamos el efecto financiero del proyecto de ampliación para 10 años, en el siguiente flujo, inserto después de la pregunta: Deseamos saber: ¿cuál es el tipo efectivo de rédito del proyecto?.

 

UM 1’104,306 el primer año

1’952,185 el segundo año

1’180,458 el tercer año

 

para recibir un rédito de:

 

UM 648,531 el cuarto año

1’029,758 el quinto año

1’538,789 el sexto año

...

...

2’645,783 el décimo año?

Con seguridad, si el dinero es colocado en una libreta de ahorros, el retiro de UM 2’645,783 a los diez años saldaría con exactitud la cuenta, siempre que el interés estuviera compuesto anualmente al tipo de interés por calcular.

En realidad los gastos e ingresos los efectuamos durante el año, para fines de comparación supondremos que éstos los hacemos al final de cada año. Requerimos también un momento determinado como «el presente», admitamos que es el inicio de 1992. (estos supuestos son arbitrarios). Podíamos haber estimado los gastos efectuados en la mitad de cada año. El presente podría establecerse como el momento de seguir o no con el proyecto).

Diagrama

Al inicio de 1992 el valor actual es cero. En este caso usaremos una y otra vez la fórmula [21]. Empleamos signos negativos para diferenciar los gastos o salidas de caja de los ingresos o efectivo producido.

Con un interés concordante con el proyecto, el valor actual de toda la serie será igual a cero, es decir:

VA = 0 = VA1 + VA2 + VA3 + ... + VA10

Aplicando las funciones TIR y VAN de Excel, tenemos:

 

Para encontrar el valor de i en esta ecuación, utilizamos la función financiera TIR de Excel, la misma que arroja una tasa de rendimiento de 18.0437%, con cuyo porcentaje la suma de los valores actuales de la ecuación cumple la condición señalada, esto es VA = 0, como apreciamos aplicando el VAN.

 

5. Gradientes

En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente:

Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en UM 250 mensuales sin importar su monto).

Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual)

La aplicación de gradientes en los negocios supone el empleo de dos conceptos dependiendo del tipo de negocios:

Negocios con amortización (crédito), tipo en el que partimos de un valor actual, con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero al pago de la última cuota.

Negocios de capitalización (ahorro), tipo en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado.

Gradientes diferidos. Son aquellos valorados con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen del gradiente y el momento de valoración es el período de diferimiento o de gracia.

Gradientes anticipados o prepagables. Aquellos valorados anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final del gradiente y el momento de valoración es el período de anticipación. Pago o cobro por adelantado. Los valores actuales y futuros de los gradientes anticipados (adelantados) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i).

 

5.1. Gradiente uniforme

La progresión aritmética, quiere decir, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en un mismo monto.

El gradiente uniforme es una sucesión de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma constante. El flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada período de interés. El gradiente (G) es la cantidad del aumento o de la disminución. El gradiente (G) puede ser positivo o negativo. Las ecuaciones generalmente utilizadas para gradientes uniformes, pospagables son:

Permiten calcular el valor actual de un gradiente aritmético creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo. Sólo tienen aplicación en el siguiente flujo de caja:

 

Para el cálculo de los gradientes prepagables, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o futuro (según el caso) del gradiente pospagable.

Ejercicio 97 (Valor actual de un gradiente arimético pospagable)

Calcular el valor de contado de un producto adquirido con financiamiento. Con una cuota inicial de UM 1,500 y el saldo en 24 armadas mensuales que aumentan en UM 80 cada mes, siendo de UM 250 la primera. La tasa de interés es de 2.8% mensual.

Solución:

C = 250; n =24; i = 0.028; G = 80; VA = ?

1º Calculamos el valor actual del gradiente:

2º Calculamos el valor actual de la serie:

Finalmente, calculamos el valor de contado del producto, sumando los valores actuales: 1,500 + 17,740 + 4,327 = UM 23,567

 

5.2. Anualidades perpetuas o costo capitalizado

Son anualidades que tienen infinito número de pagos, en la realidad, las anualidades infinitas no existen, todo tiene un final; sin embargo, cuando el número de pagos es muy grande asumimos que es infinito.

Este tipo de anualidades son típicas cuando colocamos un capital y solo retiramos intereses.

 

 

Para el cálculo de la anualidad en progresión geométrica perpetua operamos, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito. Siendo esto lo que caracteriza a una perpetuidad, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante, a saber:

Ingresando la variable C dentro del paréntesis, nos queda:

 

 

El término cuando n es muy grande hace tender su valor a cero por lo tanto el valor de la anualidad de muchos términos, llamada perpetuidad, la calculamos con la fórmula de la serie infinita:

 

Fórmula o ecuación de la serie infinita, sirve para calcular el valor actual de una perpetuidad, conociendo la tasa de interés periódica y la cuota.

Las perpetuidades permiten calcular rápidamente el valor de instrumentos de renta fija (VAP) por muchos periodos, «C» es el rendimiento periódico e «i» la tasa de interés para cada periodo. Ejemplos de perpetuidades, son las inversiones inmobiliarias en que existe un pago de alquiler por arrendamiento, las pensiones o rentas vitalicias, los proyectos de obras públicas, carreteras, presas, valuación de acciones, etc.

Para el mantenimiento a perpetuidad, el capital debe permanecer intacto después de efectuar el pago anual.

Ejercicio 98 (Costo capitalizado)

Deseo saber cuánto debo ahorrar hoy, para obtener UM 1,500 mensuales si el interés que paga la entidad financiera es el 1% mensual.

Solución:

i = 0.01; C = 1,500; VAP = ?

Respuesta:

Debo ahorrar hoy UM 150,000 para obtener mensualmente UM 1,500.

Ejercicio 99 (Anualidades perpetuas)

Determinar el valor actual de una renta perpetua de UM 5,000 mensuales, asumiendo un interés de 9% anual.

Solución:

C = 5,000; i = (0.42/12) = 0.0075; VAP = ?

 

Valor actual de un gradiente perpetuo

Expresa el valor actual de un gradiente perpetuo, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica y el gradiente. Por lo general el gradiente perpetuo solo se calcula para cuotas vencidas.

 

Manipulando la fórmula [33], obtenemos la fórmula:

, de donde:

 

reemplazado en la ecuación:

Ejercicio 100 (Valor actual de un gradiente geométrico perpetuo)

Las autoridades distritales desean conocer cuánto deben depositar hoy en una institución financiera que paga el 16% de interés, para solventar a perpetuidad los gastos anuales de mantenimiento de la carretera principal, estimados en UM 500,000 el primer año y que aumenta en UM 150,000 cada año.

Solución:

i = 0.16; C = 500,000; G = 150,000; VA = ?

Aplicando las fórmulas [36] y (37] calculamos el valor del depósito hoy, para sufragar a perpetuidad los gastos de mantenimiento de la carretera:

Respuesta:

El monto que las autoridades distritales deben depositar hoy es UM 8’984,375, para garantizar el mantenimiento de la carretera.

 

5.3. Gradiente geométrico

Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago. En la progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por un mismo número denominado razón de la progresión, representado por E.

 

5.3.1.Valor actual de un gradiente en escalera

Devuelve el valor actual de un gradiente en "escalera", conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

Un gradiente en escalera es aquel en el cual se presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo cuatro cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.

Las fórmulas que corresponden al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago son:

 

Al simplificarse, llegamos a la suma aritmética de n veces la unidad, quedando expresado el valor actual así:

 

 

Fórmula del valor actual del gradiente perpetuo:

Símbolos:

VAE = Valor actual de la serie escalera

Q = Cantidad de dinero en el año 1

i = Tasa de valoración

E = Tasa de escalada

En el ejemplo 100, considerando una tasa de escalada (gradiente) de 16%, calculamos el VA del gradiente perpetuo:

Solución: (Valor actual de un gradiente perpetuo en escalada pospagable)

i = 0.16; C = 500,000; E = 0.08; VA = ?

Aplicando la fórmula [40] calculamos el valor del depósito que tienen que hacer las autoridades hoy, para sufragar a perpetuidad los gastos de mantenimiento de la carretera:

 

Ejercicio 101 (Valor actual de un gradiente en escalada prepagable)

¿Cuál es el valor actual de un crédito al 3.5% mensual que debe pagarse en 12 cuotas de UM 600 cada una, si cada cuatro meses aumentan en 6%?

Solución:

Q = 600; E = 0.06; i = 0.035; n = 12/3 = 4; VA = ?

El crédito es pagado en 12 cuotas anticipadas, las cuales cada cuatro meses tienen un incremento del 6%, generando los siguientes flujos:

C1...3 = 600; C5...8 = (600*1.06) = 636 ; C9...12 = (636*1.06) = 674.16

1º La primera serie es un caso de series uniformes a valor actual, opera con la fórmula (24). Las dos últimas series corresponden a gradientes geométricos, opera con la fórmula (38). Luego para obtener el VA de la operación financiera debemos aplicar combinadamente la fórmula (24) y la (38):

Como se trata de cuotas anticipadas o prepagables el VA obtenido lo multiplicamos por (1 + i):

VA = 7,156.54 * 1.035 = UM 7,407.01

Respuesta:

El valor actual del crédito prepagable es de UM 7,407.01

 

5.4. Valor futuro de gradientes

A partir del VA actual obtenido con las fórmulas respectivas, calculamos el valor futuro de una serie con gradiente, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo.

El valor futuro de gradientes, tiene que ver con negocios de capitalización, para los cálculos partimos de cero hasta alcanzar un valor ahorrado después de un plazo determinado.

Ejercicio 102 (Valor futuro de un gradiente prepagable)

Un pequeño empresario ahorra mensualmente UM 3,000 en una institución financiera que paga 1.5% mensual. Asimismo, tiene proyectado incrementar cada depósito en 8% por período. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final del año?

Solución:

Q = 3,000; i = 0.015; E = 0.08; n = 12; VA = ?; VF = ?

1º Calculamos el VA prepagable de los ahorros aplicando la fórmula [38]:

2º A partir del VA obtenido, calculamos el VF prepagable:

[19] VF = 51,819.62*(1 + 0.015)12 = UM 61,956.48

3º Por comprobación elaboramos la tabla de amortización de esta operación:

SALDO INICIAL = SALDO FINAL

AHORRO = SALDO INICIAL * 1,08

INTERES = SALDO INICIAL * 0,015

 

Respuesta:

El monto que tendrá ahorrado al final del año es UM 61,956.47. Los depósitos son anticipados (el primero corresponde al mes cero) pero sólo reciben intereses un mes después de estar consignados.

 

5.4.1. Valor futuro de un gradiente en escalera

Es una serie de pagos iguales que al terminar tienen una variación y vuelve a presentarse la serie de pagos iguales.

El cálculo del VF de un gradiente en "escalera", creciente o decreciente, es posible cuando conocemos la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Estos gradientes también son de capitalización.

Ejercicio 103 (Valor futuro de un gradiente aritmético)

Una pequeña empresa metalmecánica, vende mensualmente 150 unidades de su producción, a un precio de UM 200/unidad el primer año, a UM 250/unidad el segundo año, a UM 300/unidad el tercer año y así sucesivamente. El dueño de la empresa ahorra mensualmente la doceava parte del ingreso por ventas en una entidad financiera que paga el 1.8% mensual. Calcular el monto total que la empresa tendrá ahorrado al final de cinco años.

Solución:

UUVV = 150; PV = 200, 250, 300, 350 y 400; G = 50; AHORRO = VT/12

 

1º Aplicando Excel calculamos los ahorros mensuales:

 

VENTA TOTAL = UNIDADES VENDIDAS * PRECIO UNIDAD

AHORRO = VENTA TOTAL / 12

Es decir, los doce primeros meses ahorramos UM 2,500 mensuales, el segundo 3,125 y así sucesivamente; luego, tenemos cinco series de doce cuotas iguales, que cada año se incrementan en (3,125 - 2,500) = UM 625 (gradiente uniforme). Con esta información elaboramos la tabla, aplicando independientemente las fórmulas [27] y [19] a cada serie y sumando los totales:

p= 48, 36, 24, 12 y 0; i = 0.018; VF = ?

Aplicamos la fórmula [19] para capitalizar el valor futuro de cada serie de 12 meses. Partiendo del final del mes doce en cada serie (VA) capitalizamos estos totales hasta el tramo final (mes 60) en cada caso.

Respuesta:

El monto que el empresario tendrá ahorrado al final del quinto año es UM 371,336.

 

5.4.2. Pago de un gradiente

Es el primer pago de una serie con gradiente aritmético o geométrico, creciente o decreciente, que se obtiene conociendo la tasa de interés periódica, el plazo, el valor presente o el valor futuro. Presente en problemas de amortización y capitalización.

En los problemas de amortización, es posible utilizar el valor presente y valor futuro, ambos se pueden presentar simultáneamente, como es el caso del leasing en el cual debemos amortizar un valor inicial (VA) y al final del plazo pagar un valor de compra (VF) para liquidar la operación.

Al confeccionar las tablas de amortización, en los problemas de capitalización, como partimos de un valor ahorrado igual a cero, para conseguir un valor futuro no utilizamos el valor inicial.

Ejercicio 104 (Pago de un gradiente aritmético - AMORTIZACION)

Con urgencia necesitamos financiamiento por UM 50,000, para ser pagado en seis cuotas mensuales que disminuyan cada mes en UM 1,200 a una tasa de interés de 4.5% mensual. Calcular el valor de las cuotas a pagar.

Solución:

VA = 50,000; i = 0.045; n = 6; G = 1,200; C = ?

Confeccionamos la tabla de amortización de esta operación, la cuota mensual a pagar lo obtenemos con la herramienta BUSCAR OBJETIVO de Excel, conforme indicamos en el Capítulo 2, numeral 12, páginas 87 y 88 del presente libro:

Este es un problema de amortización, por cuanto partimos de un valor inicial (VA), a redimir en un plazo establecido. Al pagar la última cuota el saldo es cero.

Ejercicio 105 (Pago de un gradiente geométrico - CAPITALIZACION)

Una entidad financiera lanza una agresiva campaña publicitaria para captar ahorristas, ofrece el 24% anual. Un pequeño empresario sensibilizado por esta promoción desea saber cuánto debe ahorrar anualmente, para al final de 5 años tener disponibles UM 20,000, considerando que además, está en capacidad de incrementar la cuota anual en un 20%.

 

Solución:

VF = 20,000; i = 0.18; n = 5; E = 20%; C = ?

INTERES = SALDO INICIAL*TASA INTERES

SALDO FINAL = SALDO INICIAL + CUOTA + INTERES

CUOTA ESCALADA = CUOTA UNIFORME*(1 + E)

CUOTA Y SALDO DE 20,000 = BUSCAR OBJETIVO

Como vemos, iniciamos con un saldo cero y terminamos con UM 20,000, pagando intereses al rebatir, sobre saldos acumulados a fin de cada mes.

 

5.4.3. Pago en escalada conociendo el VF

Utilizado solo para casos de amortización. Reiteramos que un gradiente en escalera presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo 18 cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.

Pago en escalada conociendo el VF, es calcular el valor de la primera cuota de un gradiente en "escalera", creciente o decreciente, conociendo el valor actual amortizable, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

Ejercicio 106 (Pago en escalada conociendo el VA)

Determinar cuánto pagaríamos mensualmente por una vivienda valorizada en UM 35,000, financiada a 15 años, si la tasa de interés mensual es de 1.08% y la cuota aumenta cada año en 10%.

Solución:

VA = 35,000; n = (15*12) = 180; i = 0.0108; E = 0.10; C = ?

Resolvemos el caso elaborando la tabla de amortización del crédito:

INTERES = SALDO INICIAL*TASA INTERES

SALDO INICIAL = SALDO FINAL

SALDO FINAL = SALDO INICIAL - AMORTIZACION

CUOTA = BUSCAR OBJETIVO Cada año + 10%

Respuesta:

La cuota en el primer año es de UM 256.56, en el segundo año de 287.72 y en el tercer año de 316.49, es decir, el incremento es de 10%. En la tabla apreciamos que el monto de las primeras cuotas no cubren los intereses, luego estos capitalizan y el saldo de la deuda aumenta. Al abonar la última cuota el saldo queda en cero.

 

5.4.4. Pago en escalada conociendo el VF

Utilizado solo para casos de capitalización. Permite conocer el valor de la primera cuota de un gradiente en "escalera", creciente o decreciente, conociendo el valor futuro a capitalizar, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

Ejercicio 107 (Pago en escalada conociendo el VF)

Un empresario requerirá UM 50,000 dentro de 5 años. Calcular cuánto deberá ahorrar al 2.5% mensual incrementado éstos ahorros en 15% cada seis meses.

Solución:

VA = 50,000; n = (5*12) = 60; i = 0.025; E = 0.15; C = ?

INTERES = SALDO INICIAL*TASA INTERES

SALDO FINAL = SALDO INICIAL + CUOTA + INTERES

CUOTA ESCALADA (C/6 meses) = CUOTA UNIFORME*(1 + E)

CUOTA Y SALDO DE 50,000 = BUSCAR OBJETIVO + 15 CADA 6 MESES

5.4.5. Tasa periódica de un gradiente

Conociendo el gradiente, el plazo, el valor de la primera cuota y el valor presente y/o futuro podemos obtener la tasa de interés por período de un gradiente. Aplicable para gradientes aritméticos o geométricos, crecientes o decrecientes y casos de amortización o de capitalización.

Ejercicio 108 (Tasa periódica de un gradiente aritmético, AMORTIZACION)

Determinar la tasa de interés de un crédito por UM 30,000, a pagar en 48 cuotas y si la primera es de UM 600 con aumentos mensuales de UM 25.

Solución:

VA = 30,000; n = 48; C1 = 600; G = 25; i = ?

Puesto que tratamos con flujos variables, aplicamos la función TIR para determinar la tasa periódica del crédito, para ello, elaboramos el flujo de caja de esta operación:

Respuesta:

La tasa de interés mensual del crédito es 2.47%.

Ejercicio 109 (Tasa periódica de un gradiente geométrico, CAPITALIZACION)

Determinar la tasa de interés de un título a cuatro años y medio, si el titular debe hacer depósitos trimestrales e inicia con una cuota de UM 600 que crece el 10% trimestral y al final del plazo recibirá UM 80,000.

Solución: Operamos en forma similar al caso anterior

VF = 80,000; n = 18 (4.5*4); C1 = 600; E = 0.10; i = ?

 

 

 

Respuesta:

La tasa trimestral de interés del título es 14.74%.

Ejercicio 110 (VA y VF de gradiente geométrico pospagable)

Determinar el valor actual y futuro de los ingresos anuales vencidos de una persona que el primer año ganará UM 30,000 con la esperanza que crezcan un 8% anual de forma acumulativa durante 5 años.

a) Asumiendo como tasa de valoración el 10%.

b) Asumiendo como tasa de valoración el 8%.

Solución (a): (Calculando el valor actual y valor futuro al 10% de valoración)

Q = 30,000; E = 0.08; i = 0.10; n = 5; VAE = ?

[19] VF = 131,494.30*(1 + 0.10)5 = UM 211,772.89

Solución: (Calculando el valor actual y valor futuro al 8% de valoración)

Q = 30,000; E = 0.08; i = 0.08; n = 5; VAE = ?

[19] VF = 138,889(1 + 0.08)5 = UM 204,073.35

Respuesta:

  1. Asumiendo como tasa de valoración el 10%, el VA y VF de los ingresos anuales vencidos es UM 131,494.30 y UM 211,772.88 respectivamente.
  2. Asumiendo como tasa de valoración el 8%, el VA y VF de los ingresos anuales vencidos es UM 138,888.89 y UM 204,073.34 respectivamente.

 

Ejercicio 111 (Gradiente geométrico pospagable y prepagable)

Establecer el valor actual pospagable y prepagable de los ingresos de una empresa para los próximos 18 semestres si para el primer período ascienden a UM 1,500, estimándose un incremento semestral del  10% durante los primeros 12 semestres, manteniéndose constante a partir de entonces. Considere como tipo de valoración el 15% semestral.

Solución: Pospagable

Q = 1,500; E = 0.10; i = 0.15; n = 12 y 18; VA = ?

Los 12 primeros semestres constituyen gradientes geométricos, cuyo valor actual lo calculamos con la fórmula [33] y las últimas seis cuotas son anualidades constantes y lo resolvemos aplicando el factor FAS. Calculamos el VA en un solo proceso:

Solución: Prepagables

Los 12 primeros semestres constituyen gradientes geométricos, cuyo valor actual lo calculamos con la fórmula [33] multimplicádola por (1 + i) y las últimas seis cuotas son anualidades constantes y lo resolvemos aplicando el factor FAS, multiplicando ambos por (1 + i). Calculamos el VA en un solo proceso:

Respuesta:

El VA pospagable es UM 46,935.76

El VA prepagable es UM 53,976.12

 

 

6. Métodos de evaluación

La evaluación financiera de inversiones permite comparar los beneficios que genera ésta, asociado a los fondos que provienen de los préstamos y su respectiva corriente anual de desembolsos de gastos de amortización e intereses. Los métodos de evaluación financiera están caracterizados por determinar las alternativas factibles u óptimas de inversión utilizando entre otros los siguientes indicadores: VAN (Valor actual neto), TIR (Tasa interna de retorno) y B/C (Relación beneficio costo). Los tres métodos consideran el valor del dinero en el tiempo.

 

6.1. VAN

El VAN mide la rentabilidad del proyecto en valores monetarios deducida la inversión. Actualiza a una determinada tasa de descuento i los flujos futuros. Este indicador permite seleccionar la mejor alternativa de inversión entre grupos de alternativas mutuamente excluyentes.

Debemos tener en cuenta que no conlleva el mismo riesgo, el invertir en deuda del Estado, que en una compañía de comunicaciones o en una nueva empresa inmobiliaria. Para valorar estos tres proyectos debemos utilizar tasas de descuento diferentes que reflejen los distintos niveles de riesgo.

Como las inversiones son normalmente a largo plazo, para actualizar los distintos flujos al momento inicial utilizamos la fórmula [21] del descuento compuesto.

 

VAN = Valor Actual de los Flujos de Caja futuros - INV

 

 Fórmula general del VAN

 

donde:

I0 : Inversión inicial en el momento cero de la evaluación

FC : Flujo de caja del proyecto (ingresos menos egresos)

i : Tasa de descuento o costo de oportunidad del capital

t : Tiempo

n : Vida útil del proyecto

 

Si el resultado es positivo, significa que el negocio rinde por sobre el costo de capital exigido.

Ejercicio 112 (Calculando el VAN)

Un proyecto de inversión requiere el desembolso inicial de UM 250,000, con beneficios estimados entre el 1º y el 5º año. El tipo de descuento aplicado a proyectos de inversión con riesgos similares es del 12%. Calcular el VAN:

 

 

Como apreciamos en el flujo de caja el VAN de UM 52,639 es positivo, luego la inversión es aceptada. Cuando evaluemos varios proyectos alternativos de inversión deberá seleccionarse aquel que tenga el VAN mayor, siempre y cuando se trate de proyectos con inversión similar.

Ejercicio 113 (Calculando el VAN)

Un negocio a la vista requiere una inversión de UM 800,000. Esta inversión genera ingresos anuales conforme detallamos en el siguiente flujo:

Considerando un costo de capital de 11%, determinar cuánto representaría al valor de hoy la suma de todos los ingresos, menos la inversión inicial.

Solución:

INV = 800,000; i = 0.11; VAN = Flujo - INV

Respuesta

El VAN es negativo (-58,521.48), luego el negocio debe ser rechazado.

 

Porcentaje VAN / Inversión

Este criterio determina la rentabilidad que obtendríamos por cada unidad monetaria invertida.

 

 

Seleccionamos el proyecto que arroja el ratio más elevado.

 

 

Ejemplo Hallar el ratio «VAN/Inversión» del ejercicio (112)

VAN = 52,639.21; INV. = 250,000; RATIO = ?

Respuesta:

La rentabilidad es 21.06%. El resultado indica que por cada unidad monetaria invertida tenemos UM 0.2106 de VAN.

 

6.2. Tasa interna de retorno (TIR)

La TIR mide la rentabilidad como un porcentaje, calculado sobre los saldos no recuperados en cada período. Muestra el porcentaje de rentabilidad promedio por período, definida como aquella tasa que hace el VAN igual a cero. La tasa interna de retorno TIR, complementa casi siempre la información proporcionada por el VAN.

Esta medida de evaluación de inversiones no debe utilizarse para decidir el mejor proyecto entre alternativas mutuamente excluyentes.

Tanto la tasa efectiva como la TIR deben emplearse para decidir sobre todo, en la compra y venta de papeles en bolsa.

 

Fórmula general de la TIR

 

 

donde:

I0 : Inversión inicial en el momento cero de la evaluación

FC : Flujo de caja del proyecto (ingresos menos egresos)

i : Tasa de descuento o costo de oportunidad del capital

t : Tiempo

n : Vida útil del proyecto

 

Si compramos esta ecuación con la fórmula [41], nos damos cuenta que esta medida es equivalente a hacer el VAN igual a cero y calcular la tasa que le permite al flujo actualizado ser cero.

La tasa obtenida la comparamos con la tasa de descuento de la empresa. Si la TIR es igual o mayor que ésta, el proyecto es aceptado y si es menor es rechazado.

Ejercicio 114 (Calculando la TIR)

Calcular la tasa TIR del ejercicio (112) y ver si supera la tasa de descuento del 12% exigible a proyectos con ese nivel de riesgo.

VAN = 0

Calculamos la TIR del proyecto con la función TIR:

Luego la TIR de esta operación es el 33.53%, muy superior al 12%, luego el proyecto es atractivo para su ejecución.

Entre varias alternativas de inversión elegiremos aquel que presente la tasa TIR más elevada. Si los diversos proyectos analizados presentan niveles de riesgo diferentes, primero determinamos el nivel de riesgo que estamos dispuestos a asumir, seguidamente elegiremos la alternativa de TIR más elevada.

 

6.3. Relación Beneficio / Costo

En el análisis Beneficio/Costo debemos tener en cuenta tanto los beneficios como las desventajas de aceptar o no proyectos de inversión

Es un método complementario, utilizado generalmente cuando hacemos análisis de valor actual y valor anual. Utilizado para evaluar inversiones del gobierno central, gobiernos locales y regionales, además de su uso en el campo de los negocios para determinar la viabilidad de los proyectos en base a la razón de los beneficios a los costos asociados al proyecto. Asimismo, en las entidades crediticias internacionales es casi una exigencia que los proyectos con financiación del exterior sean evaluados con éste método.

 

La relación Beneficio/costo esta representada por la relación 

 

En donde los Ingresos y los Egresos deben ser calculados utilizando el VAN, de acuerdo al flujo de caja; o en su defecto, una tasa un poco más baja, llamada «TASA SOCIAL» ; tasa utilizada por los gobiernos centrales, locales y regionales para evaluar sus proyectos de desarrollo económico.

El análisis de la relación B/C, toma valores mayores, menores o iguales a 1, esto significa que:

 

B/C > 1 los ingresos son mayores que los egresos, entonces el proyecto es aconsejable.

B/C = 1 los ingresos son iguales que los egresos, entonces el proyecto es indiferente. 

B/C < 1 los ingresos son menores que los egresos, entonces el proyecto no es aconsejable.

 

La relación B/C sólo entrega un índice de relación y no un valor concreto, además no permite decidir entre proyectos alternativos.

Ejercicio 115 (Relación Beneficio Costo)

El costo de una carretera alterna a la principal es de UM 25’000,000 y producirá ahorros en combustible  para los vehículos de UM 1’500,000 al año; por otra parte, incrementará el turismo, estimando el aumento de ganancias en los hoteles, restaurantes y otros en UM 7’000,000 al año. Pero los agricultores estiman niveles de pérdidas en la producción proyectada de UM 1’300,000 al año. Utilizando una tasa del 25%, ¿Es factible el proyecto?

 

Solución:

1º Aplicando el método del VAN, tenemos:

Ing. y egre. esperados = 1’500,000 + 7’000,000 - 1’300,000 = UM 7’200,000

 

2º Con la fórmula [36] de la serie infinita calculamos el VAN de los ingresos y egresos anuales:

C = 7’200,000; i = 0.25; VAN = ?

VAN Inversión = UM 25’000,000 período cero

 

 

3º Entonces tenemos la relación B/C:

Respuesta:

Como el índice B/C es mayor a uno (1), el proyecto es aceptado.

 

Bibliografía

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  14. Fundamentos Matemáticos y Cálculo Financiero, Márquez Yévenes Jorge W., Universidad de Concepción, Bolivia
  15. Guía Completa de Microsoft Excel 2000, Dodge M. Y Craig Stinson, Mc Graw Hill, México
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  17. Ingeniería Económica, Blank y Tarquin, Mc Graw Hill, Colombia
  18. Ingeniería Económica, Taylor A. George, Limusa, México
  19. Introducción al riesgo país, Santiago J. Alvarez,
  20. La tasa de interés y sus principales determinantes, Richard Roca, Universidad Nacional Mayor de San Marcos
  21. Las Matemáticas Financieras en el Campo de los Negocios, César Aching G., Prociencia y Cultura S.A., Lima – Perú
  22. Lecturas: Gerencia Financiera I y II, ESAN - PADE Administración
  23. Lecturas: Métodos Cuantitativos, ESAN - PADE Mercadotecnia
  24. Macroeconomía, Parkin Michael, Addison-Wesley Iberoamericana, USA
  25. Manual de Matemáticas Financieras, Moore J.H. UTEHA, México
  26. Matemáticas Financieras, Ayres, Jr. Frank. Mc Graw Hill, México
  27. Matemáticas para Directivos de Empresa y Economistas, Lyman C. Peck, Pirámide, Madrid
  28. Serie de Matemáticas para la Dirección de Negocios (Tomo II) Springer, Herlihy, Beggs, UTEHA, México
  29. Texto modelo sobre problemas sociales, económicos y ambientales. Programa de Educación para el Desarrollo del Instituto del Banco Mundial

 

URLs Consultados:

  • TALLER DE FINANZAS BÁSICAS APLICADAS

http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/fin/finbasaplij.htm

PIPE

http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/fin/no4/matfras.htm

  • EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN: ANÁLISIS MATEMÁTICO Y FINANCIERO DE PROYECTOS (I, II, III, IV y V)

http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/22/cauetio.htm

  • HAY QUE PONERLE MUCHO INTERÉS AL INTERÉS

http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/no%205/interesalinteres.htm

 

Por: César Aching Guzmán

cesaraching[arroba]yahoo.es

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