Apuntes sobre el 2_subgrupo de Sylow contenido en el grupo general lineal
- Resumen
- Orden y caracterización matricial de un 2-subgrupo de sylow
- Caracterización
matricial de un q-subgrupo de sylow contenido en
- Bibliografía
Un estudio sobre el 2-subgrupo de Sylow contenido en
con n natural y p
primo cualquiera en el que se obtuvo el orden de este subgrupo y
una caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en con
n natural y p primo tal que 
, siendo 
y 
.
Se propone, además, un algoritmo que
permite obtener una caracterización matricial de un
q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo cualquiera.
Al trabajar sobre un grupo finito
, resulta de interés el
estudio de los subgrupos contenidos en él, cuyos
órdenes son divisores del orden del grupo (Teorema de
Lagrange). Pero como es sabido el recíproco de este
teorema no se cumple, o sea en el grupo finito 
de orden 
pueden no existir
subgrupos de orden d, divisor de
.
Sobre la existencia de subgrupos de un grupo
finito, son
especialmente notables las leyes que
formuló el matemático noruego Sylow [ 1872] . Ellas se
refieren a los p-grupos que en
calidad de
subgrupos están contenidas en y que en honor a esta matemático
se llaman p-subgrupos de Sylow y que tienen como orden la mayor
potencia de p que
divide al orden de.
Una importante familia de grupos
finitos es obtenida al estudiar los grupos de transformaciones
sobre un campo de característica p>0. Al estudio de
estos subgrupos se han dedicado numerosas investigaciones,
en las cuales se enmarcan las que se han realizado sobre el grupo
general lineal
,
para un n natural y un p primo dado.
Para realizar un estudio del grupo general lineal
donde n y p son
respectivamente un natural y un primo cualquiera es importante
conocer sus subgrupos. Es por ello que comenzaremos con un
estudio del 2_subgrupo de Sylow.
Como el orden del grupo general lineal 
es: 
se puede afirmar
después de un simple análisis que existe un 2-subgrupo de Sylow
pero no podemos determinar de igual forma el orden de estos
subgrupos. Solo sabemos que este orden es una potencia de
2.
Es importante determinar el orden de estos 2-subgrupos
el cual no queda resuelto de forma inmediata, pero aun esto es
insuficiente para un estudio de este subgrupo, por lo que a
continuación nos proponemos en un primer capítulo
darle respuesta a esta problemática y obtener una
caracterización matricial para un 2-subgrupo de Sylow. En
el segundo, utilizando la caracterización matricial
obtenida en el capítulo 1 para un 2-subgrupo de Sylow
contenido en 
, se
determinan los primeros términos de la serie central
superior; en el tercero se propone un algoritmo mediante el cual
se puede obtener una caracterización matricial para un
p-subgrupo de Sylow contenido en 
con n natural y p primo.
ORDEN Y CARACTERIZACIÓN MATRICIAL DE UN 2-SUBGRUPO DE SYLOW.
Como el orden de es se puede afirmar que en este grupo existe un 2-subgrupo de
Sylow. Si p=2 los factores de la forma 
son divisibles por 2 
, siendo 
la mayor potencia de 2 que
divide a cada uno de estos y el orden del 2-subgrupo de Sylow de
es 
. Uno de estos 2-subgrupos
de Sylow contenidos en está caracterizado por las matrices
unitriangular superior.
Para p primo impar, cada uno de los factores
,
, 
,...,
es divisible por 2 ya que 
mod 2 (Teorema de Fermat) pero el orden de estos
2-subgrupos no esta determinado y por tanto no están
caracterizados matricialmente estos subgrupos.
Es por lo anterior que en este capítulo en un
primer epígrafe se aborda el orden de los 2-subrupos de
Sylow contenidos en con n natural y p primo impar y en le segundo se muestra una
caracterización matricial para uno de estos
2-subgrupos.
§1 Orden de un
2-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo (p
2)
Veamos primeramente las siguientes proposiciones:
Proposición 1: Para todo 
( p impar) y para todo
se cumple que
si y solo sí
=1.
Demostración
Probemos que si =1 entonces 
por ser p
impar
por propiedad de
la potenciación
por propiedad de
la suma
por
trasitividad
Probemos ahora que si
entonces =1.
Antes de continuar con la demostración, es válido hacer destacar algunas propiedades de los números naturales. [3]
- Todo número natural impar esta contenido en
las formas 4n+1 y 4n-1
- Cuando el exponente de la potencia es par, la
potencia de un número impar es de la forma 4n+1
Por lo anterior tenemos que 
=
=
=
Supongamos que si
>1. Por tanto
tenemos que.
(>1) por hipótesis
(>1) por las propiedades
antes vistas
(>1) por propiedad de la
congruencia mod q
(>1) por propiedad de la
congruencia mod q, lo cual es una contradicción pues
>1. Por tanto
=1.
Lemma 1: Para todo 
(p impar) y 
(l par) se cumple que 
; donde 
y 
son
el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a 
y 
respectivamente, o sea; 
; (2,m)=1 y 
; 
y 
Demostración (ver anexo 1)
Después de haber visto la proposición y el
lemma anterior podemos pasar a obtener , a partir de la
expresión del orden del grupo general lineal 
, el orden del 2-subgrupo
de Sylow contenido en el.
=
=
=
=
.
Pasemos ahora a analizar el factor
, pero hagámoslo de
forma separada para i par e i impar.
- Caso i impar
Es fácil darse cuenta que para i impar el factor
no es divisible
por 2 dado que es una suma impar de potencias de un número
impar.
- Caso i par
Dado que i es par existe 
tal que 
donde (2,m)=1 , o sea 
es la mayor potencia de 2 que divide a 
y por tanto 
es el exponente de la
mayor potencia de 2 que divide a 
Luego 
y
por el lemma 1 tenemos que 
, donde 
Como consecuencia del análisis anterior tenemos
que el factor 
es
divisible por 2 solo cuando i es par, lo que ocurre 
veces.
Además si definimos a 
tenemos entonces que 
=
, donde 
.
Denotando por 
al exponente de la mayor potencia de 2 que divide a
entonces tenemos
que 
De acuerdo con la definición de los
términos 
tenemos entonces que 
, donde 
es
el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a n! y por
tanto 
; 
[3].
Por tanto podemos afirmar que el orden del 2-subgrupo de
Sylow contenido en 
con n natural y p primo impar es
, donde 
.
Pasemos ahora a ver como obtener , o lo que es lo mismo, el exponente de la
mayor potencia de 2 que divide a p-1.
, m
donde
y 
no son divisibles por
2.
, donde
. De aquí
que 
De forma análoga obtenemos, o sea, el exponente de la mayor potencia
de 2 que divide a p+1; la cual es:
Pero como denotamos por 
al exponente de la mayor potencia de 2 que
divide a un 
cualquiera entonces tenemos que 
y 
.
Por tanto:
§2
Caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en 
En este epígrafe obtendremos una
caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en donde n es natural y p primo tal que 
, donde 
y 
.
El orden del 2-subgrupo de Sylow contenido en es:
, o lo
que es lo mismo 
;
forma ésta con la que trabajaremos en lo
adelante.
Es importante destacar que para p primo de la forma
considerada, o sea, 
; donde 
y
; el orden del
2-subgrupo de Sylow contenido en es 
A continuación veremos como construir algunos
subgrupos contenidos en 
que serán de gran utilidad para la
caracterización matricial de este 2-subgrupo.
,
y 
Consideremos las matrices de la forma 
y 
. Supongamos 
, donde 
, 
,
.
El subgrupo de orden 
está compuesto por las matrices que podemos
agrupar en los siguientes formas.
- La matriz de la
forma
constituye el neutro. - Las
,
,...,
, las
cuales son obtenidas al combinar una matriz de la forma 
en m posiciones.
- Podemos obtener
matrices al combinar dos matrices de la forma
en m
posiciones. - Y así sucesivamente
matrices al combinar tres matrices de la
forma , ...,
matrices al
combinar 
matrices de la forma , hasta obtener una matriz donde todas sus células
sean de la forma
Luego hemos obtenido en total 
matrices.
Para construir un subgrupo de orden 
consideremos las matrices
y 
. Supongamos 
, donde 
, 
, 
.
El subgrupo de orden 
está compuesto por las matrices que podemos
agrupar en los siguientes formas.
- La matriz de la forma
constituye el neutro. - Las
,,...,,
las cuales son obtenidas al combinar una matriz de la
forma en m
posiciones.
- Podemos obtener matrices al combinar dos matrices de la forma
en m
posiciones.
- Y así sucesivamente matrices al combinar tres matrices de la
forma , ...,
matrices al
combinar
matrices de la forma , hasta obtener una matriz donde todas sus células
sean de la forma
Luego hemos obtenido en total 
matrices.
Para construir un subgrupo de orden 
consideremos las matrices
y 
. Supongamos 
, donde 
, , 
.
El subgrupo de orden 
está compuesto por las matrices que podemos
agrupar en los siguientes formas.
- La matriz de la forma constituye el neutro.
- Las
,,...,,
las cuales son obtenidas al combinar una matriz de la
forma en m
posiciones.
- Podemos obtener matrices al combinar dos matrices de la forma
en m
posiciones.
- Y así sucesivamente matrices al combinar tres matrices de la
forma , ...,
matrices al
combinar
matrices de la forma , hasta obtener una matriz donde todas sus células
sean de la forma
Luego hemos obtenido en total 
matrices.
No hemos probado, lo cual es muy sencillo, que esos conjuntos de matrices forman un subgrupo del orden que se indica; esto lo dejamos al lector.
Es importante destacar que con un procedimiento
análogo a los descritos es posible obtener subgrupos de
ordenes 
,
, ..., 
; .
Estos subgrupos de ordenes
,
,
,...,
los
denotaremos por 
, 
,
,..., 
respectivamente.
Importante es el hecho de que al considerar las matrices
y 
no con sus elementos uno,
sino con elementos pertenecientes al 
ubicados en igual posición
obtenemos entonces subgrupos de ordenes
,
,...,
()
respectivamente; o lo que es lo mismo; 
,
,...,
con .
Denotamos a estos subgrupos por 
,
,
,...,
según corresponda.
§§2
Caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en 
Visto lo anteriormente expuesto podemos pasar a dar una
caracterización matricial de un 2-subgrupo se Sylow
contenido en para
n natural de la forma 
y p primo tal que 
donde 
y 
.
Primeramente veamos las siguientes proposiciones que serán de gran utilidad.
Proposición 2: Si 
, 
son subgrupos de un grupo G, el complejo producto
.
=
es un subgrupo de G si y solo sí 
y 
son permutables [2].
Proposición 3: Si 
, 
, ..., 
son subgrupos de un grupo G, el complejo
producto
.
...
=
es un subgrupo de G si y solo sí 
, 
, ..., son permutables dos a dos.
El complejo producto de los subgrupos 
,
,...,
y 
es un subgrupo contenido . Como el orden de estos subgrupos es ,,,...,
y 
respectivamente
y además 
y 
entonces el subgrupo 
es de orden 
.
Como el subgrupo 
es un subgrupo contenido en
cuyo
orden es 
y es
este precisamente el orden del dos subgrupo de Sylow contenido en
entonces 
=
.
Por tanto para obtener una caracterización
matricial de un 2-subgrupo de Sylow contenido en 
son necesarios los
siguientes pasos.
- Determinar los subgrupos
- Efectuar el complejo producto
A continuación pasaremos a obtener una
caracterización matricial para un 2-subgrupo de Sylow
contenido en 
y para lo cual será de gran utilidad lo
expuesto en este subepígrafe que acaba de
concluir.
Si expresamos n en base 2, o sea 
donde 
, 
entonces:
=
+ 
+
+...+
Pero como 
tenemos que :
=
+
+
+...+1
=
+
+
+...+
Por otro lado 
Luego
=
=
Es importante indicar aquí que
Como 
,
si definimos 
y 
entonces podemos definir
el subgrupo 
.
Aquí 
y 
son
matrices idénticas de dimensiones 
y 
respectivamente.
Es válido destacar que
, donde
y
, donde
.
Además si 
, 
definimos 
Luego, hechas todas las aclaraciones necesarias podemos
afirmar que el complejo producto de los subgrupos 
, 
,..., 
contenidos en es un subgrupo contenido
de
orden 
.
Como el subgrupo 
es un
subgrupo contenido en cuyo orden es 
, el cual es precisamente el orden del
2-subgrupo de Sylow contenido en entonces 
Hemos visto como construir un 2-subgrupo de Sylow
contenido en para lo cual son necesarios los siguientes
pasos.
- Expresar
donde ,
- Construir los subgrupos de Sylow contenidos en
,
- Construir a partir de los
los subgrupos 
- Efectuar el complejo producto
...
De esta forma concluimos con este capítulo en el
que de determinó el orden de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en para n natural y p primo cualquiera y se obtuvo una
caracterización matricial para un 2-subgrupo de Sylow
contenido en 
para n natural y p primo tal que 
, 
y 
CARACTERIZACIÓN MATRICIAL DE UN q-SUBGRUPO
DE SYLOW CONTENIDO EN 
En el capítulo I se obtuvo una
caracterización matricial de un 2-subgrupo de Sylow
contenido en 
con
n natural y p primo tal que 
, y
; cuyo orden
es:
,
(
donde es
el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a 
.
En este capítulo obtendremos una
caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con
n natural y p primo tal que 
, 
y
; cuyo orden
es:
, 
donde es
el exponente de la mayor potencia de q que divide a . También se
expondrán resultados que permitan obtener una
caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en 
con
n natural y p primo cualquiera; cuyo orden es:
, 
donde es
el exponente de la mayor potencia de q que divide a 
y 
en 
con k natural, q primo cualquiera Veamos los siguientes resultados que serán de gran importancia.
A cualquier matriz 
de dimensión 
se le puede escribir en forma de unión
de submatrices columnas de dimensiones 
, o sea , 
donde 
.
Sean en particular 
,
,
..., 
; donde
las submatrices
cuya unión forma la matriz 
. Definimos la matriz 
donde 
de modo que 
es una matriz de dimensiones 
Proposición 1: El conjunto de las matrices
es un subgrupo contenido
en 
Demostración:
Es evidente, por la forma en que se define , que las matrices
contenidas en el están contenidas a su vez en .
Sean 
y
dos permutaciones
arbitrarias y 
.
Por definición en la i-ésima fila de la matriz
y en la
j-ésima submatriz columna de la matriz 
, los elementos distintos
de cero serán , respectivamente, 
y 
. Por eso, para la matriz 
, la condición 
es equivalente a 
, o sea, 
y esto precisamente
significa que 
.
En consecuencia es un subgrupo contenido en .
Proposición 2: Existe un homomorfismo sobreyectivo
tal que a la matriz 
se le hace corresponder la
permutación
Demostración:
-
- Probemos que es un homomorfismo
- Probemos que es sobreyectiva
Por definición de las matrices 
, es evidente que para todo
existe 
tal que 
.
Proposición 3: El 
del homomorfismo 
es:
tal que a la permutación
se le hace
corresponder la clase
perteneciente al
grupo cociente
es un isomorfismo.
Demostración:
Por la proposición 2 tenemos que 
tal que a la matriz se le hace corresponder la permutación
es un
homomorfismo sobreyectivo; además como 
entonces por el primer
teorema sobre el isomorfismo tenemos que es isomorfo a 
.
Estos resultados que acabamos de demostrar son de gran
importancia para obtener la caracterización matricial de
un q-subgrupo de Sylow contenido en y en general de otros subgrupos pues a
partir del conocimiento
de un subgrupo de 
de orden 
podcemos
obtener un subgrupo en 
de oreden 
; siendo 
el orden del subgrupo
.
Con la aplicación de los resultados anteriores y
considerando 
,
, 
y el q-subgrupo de Sylow
contenido en 
, el
cual es un subgrupo cíclico generado por la
permutación 
entonces podemos obtener una caracterización
matricial de un subgrupo de orden 
; constituyendo éste un q-subgrupo de
Sylow contenido en 
el cual denotaremos por 
.
De esta forma, considerando 
, , 
y
el q-subgrupo de Sylow contenido en , el cual es un subgrupo cíclico
generado por la permutación entonces podemos obtener una
caracterización matricial de un subgrupo de orden
; constituyendo
éste un q-subgrupo de Sylow contenido en 
el cual denotaremos por
.
Así sucesivamente hasta considerar 
, , 
y el
q-subgrupo de Sylow contenido en , el cual es un subgrupo cíclico
generado por la permutación entonces podemos obtener una
caracterización matricial de un subgrupo de orden
; constituyendo
éste un q-subgrupo de Sylow contenido en 
; el cual denotaremos por
.
Por tanto, como hemos visto, con este algoritmo descrito
podemos obtener una caracterización matricial de un
q-subgrupo de Sylow contenido en .
Es importante destacar que como el q-subgrupo de Sylow
contenido en es
un subgrupo cíclico de orden q este va a estar generado
por cualquiera de los elementos que componen este q-subgrupo y
por tanto tomando otros generadores; por ejemplo la
permutación 
; y aplicando el algoritmo anterior podemos obtener una
caracterización matricial diferente a la anterior para el
q-subgrupo de Sylow contenido en .
Como consecuencia de esto podemos afirmar que los
q-subgrupos de Sylow contenidos en con k natural, q primo cualquiera 
y p primo tal que , y no son invariantes [1]
Si expresamos n en base q, o sea 
donde 
y 
,
entonces:
=
+ 
+
+...+
Pero como 
tenemos que :
=
+
+
+...+
=
+
+
+...+
Por otro lado 
Luego
=
=
Es importante indicar aquí que
Como 
,
si definimos 
y
entonces podemos
definir el subgrupo 
.
Aquí y son
matrices idénticas de dimensiones y respectivamente.
Es válido destacar además que para
entonces 
,
Para 
entonces 
.
Si ,
definimos
Hechas todas las aclaraciones necesarias estamos en condiciones de enunciar la siguiente proposición, cuya demostración dejamos al lector.
Proposición 4: El complejo producto de los
subgrupos 
,
,..., 
contenidos en
es un
subgrupo contenido en de orden 
.
Como el subgrupo 
es un
subgrupo contenido en cuyo orden es , el cual es precisamente el orden del
q-subgrupo de Sylow contenido en entonces 
Hemos visto como construir un q-subgrupo de Sylow
contenido en con n natural y p primo tal que , y . para lo cual se hacen necesarios los
siguientes pasos.
- Expresar
donde y
, - Construir el q-subgrupos de Sylow contenido en
,
- Construir a partir de los
los subgrupos 
- Efectuar el complejo producto
...
De esta forma concluimos con este epígrafe en el
que se obtuvo una caracterización matricial para un
q-subgrupo de Sylow contenido en para n natural y p primo tal que
, y .
con
n natural y p primo tal que 
en 
El orden del q-subgrupo de Sylow contenido en con n natural y p primo
cualquiera; cuyo orden es:
, (1)
donde es
la mayor potencia de q que divide a y en .
En el epígrafe anterior trabajamos para obtener
una caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con n
natural y p primo tal que 
en .
Ahora mostraremos resultados que nos permitan obtener una
caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en con n
natural y p primo tal que 
en .
Al analizar la expresión (1) anterior nos damos
cuenta que en 
el orden del q-subgrupo de Sylow contenido en este
grupo es 
;
resultado este que será de gran importancia en lo
adelante.
Como son conocidos 
y 
podemos obtener 
tal que 
donde
.
Abordaremos ahora en el siguiente subepígrafe el
caso 
.
y p
primo tal que En el caso 
tenemos que el orden del
q-subgrupo contenido en este grupo es:
, (1)
Por el epígrafe 1 de este capítulo (
considerando 
,
y 
) podemos afirmar
que:
-
tal que a la matriz
se le hace corresponder la
permutación es un homomorfismo. -
-
El del
homomorfismo
es:
se
le hace corresponder la clase 
perteneciente al grupo cociente 
, es un
isomorfismo. -
tal que a la
permutación
- Como
entonces en 
existe un subgrupo de orden 
; siendo s el orden de un subgrupo contenido en
Si 
el
orden del q-subgrupo de Sylow contenido en es 
. Además los subgrupos de Sylow contenidos en
fueron descritos
por Kaludznin [1961] , entonces podemos obtener una
caracterización de un subgrupo contenido en cuyo orden es
(1).
Como 
y (1) es precisamente el
orden de 
entonces podemos afirmar que la caracterización matricial
obtenida al aplicar el procedimiento anterior es un q-subgrupo de
Sylow contenido en 
.
Si 
el
orden del q-subgrupo de Sylow contenido en 
es 
y una caracterización matricial de
este q-subgrupo es:
Se ha mostrado como obtener una caracterización
matricial de un q-subgrupo de Sylow contenido en para los dos casos
posibles: y
.
La dificultad que tiene este procedimiento es el no
conocimiento de la caracterización matricial de un
q-subgrupo de Sylow contenido en 
.
Considerando 
, 
, o sea,
tenemos que el
orden del q-subrupo de Sylow contenido en 
es:
,
(1)
Transformando (1) tenemos que
,
(2)
Analicemos 
(3)
Expresando 
en la base 
tenemos que (3) es
(4)
Pero como 
entonces (4) se puede expresar como
(5)
De aquí que 
y
por tanto concluimos que (1) puede expresarse como
,
Con este resultado podemos afirmar que el orden del
q-subgrupo de Sylow contenido en 
es igual al orden del q-subgrupo de Sylow
contenido en 
con n
natural tal que 
,
.
tal que a
la matriz 
se le
hace corresponder la matriz 
nos permite obtener, a partir de la
caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en 
, una
caracterización matricial de un q-subgrupo de Sylow
contenido en 
- Kostrikin, A. I. Introducción al Álgebra/ A. I. Kostrikin.--Moscú:Editorial Mir, 1980. --435p.
- Dubriel, P. Lecciones de Álgebra Moderna/ P. Dubriel, M. L. Jacotin. --La Habana: InsInstituto del Libro, 1969. --434p.
- Arrechavaleta, E. Elementos de Análisis Numérico y de la Teoría de los Números/ E. Arrechavaleta. --Madrid, 1921.--438p.
- Dickson, L. F. Linear groups with an exposition of de galois fiel/ L. F. Dickson.--Lupsig, 1991. --352p.
-
Kargapolov, M. I. Fundamentos de la Teoría de
Grupos/ M. I. Kargapolov, Y. I.
MerzliaKov.--Moscú:Editorial Nauka, 1977.
--240p.
MSC. Jorge Manuel Ríos Obregón
Centro Universitario "José Martí Pérez" de sancti Spiritus. Cuba
MSc. Vicente Eloy Fardales Macias
Facultad de Ciencias MÉdicas de Sancti Spiritus. Cuba
Dra. Juana Rosa Subit Gómez
Universidad Central "Marta Abreu" de Las Villas. Cuba
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