Distribución de probabilidades

1. Resumen
3. Teoría
4. Aplicación
5. Conclusiones
6. Bibliografía

RESUMEN

En este trabajo se
realiza la aplicación de las distribuciones discretas,
para realizar el cálculo y
análisis correspondientes se ha tomado como
datos algunos
sucesos que ocurren dentro del quehacer académico en los
laboratorios de la FIEE de la UNAC, reportados por el personal
encargado.

1
INTRODUCCIÓN.

Una distribución de probabilidad
indica toda la gama de valores que
pueden representarse como resultado de un experimento. Una
distribución de probabilidad es similar al
distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez
de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se
realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para
la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario
de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales
de diversos fenómenos naturales.

Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales
en la investigación que son evaluadas en
términos de distribución de
probabilidades.

En el presente trabajo, se estudia de manera ágil
los diverso tipos de distribución probabilística,
caracterizaremos cada distribución, la
fundamentación matemática
de los diversos resultados no se enfocaran en el presente
trabajo; sólo me limitaré al estudio descriptivo de
la distribución de probabilidades
discretas.

2
TEORIA

¿Qué es una distribución de
probabilidad?

Muestra todos los
resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada
resultado.

¿Cómo generamos una distribución de
probabilidad?

Supongamos que se quiere saber el numero de caras que se
obtienen al lanzar cuatro veces una moneda al aire?

Es obvio que, el hecho de que la modena caiga de costado
se descarta.

Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos
caras, tres caras y cuatro caras.

Si realizamos el experimento obtenemos el siguiente
espacio muestral:

• OBSERVACION

1. La probabilidad de cada resultado especifico va desde
   cero hasta uno inclusive

   2 VARIABLE ALEATORIA.-Cantidad que es
   resultado de un experimento y debido al azar, puede tomar
   valores diferentes.

   Variable aleatoria discreta:- Toma valores
   claramente separados, generalmente se produce por
   conteo.

   2.1Variable aleatoria continua:-Cantidades
   que toman infinitos valores, dentro de un rango permitido,
   generándose una distribución de probabilidades
   continuas.

   2.2Media de una Distribución de
   Probabilidades.-Valor
   promedio a largo plazo de la variable aleatoria,
   también es conocido como valor esperado. Esta media es
   un promedio ponderado, en el que los
   valores posibles se ponderan mediante sus probabilidades
   correspondientes de ocurrencia, se calcula con la
   formula:

   

   Donde P(X) es la probabilidad que puede tomar la
   variable aleatoria X.

   2.3Varianza.- Mide el grado de
   dispersión de la distribución de
   probabilidades, siendo la formula:

   ………………………………………..(2)

   

   También se aplica la
   fórmula:

   ………………………………………….
   (3)

   Desviación Estándar.-Es la raíz
   cuadrad del varianza, luego:

   ………………………………. (4)

   3 DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD
   BINOMIAL

   Esta distribución es la que mejor se ajusta a
   la distribución de probabilidades de variable
   discreta.

   Si lanzamos dos monedas al aire, se tiene el
   siguiente espacio maestral:

   

   

   Si p es la probabilidad de obtener una cara(c) al
   considerar una sola moneda y q la probabilidad de que salga
   sello(s); entonces p=q= ½; luego:

   

   2

   

   Con el binomio de Newton
   deducimos lo siguiente:

   ………………………………………………………………(5)

   Luego, la distribución de probabilidad
   binimial esta dada por:

   ……………………………………..
   (6)

   Donde:

   p: Probabilidad de éxito de cada ensayo.

   n: Número de ensayos.

   x: Número de exitos.

   OBSERVACIÓN

   (1)

   (2)Si p=q=1/2, el histograma de las distribuciones
   binomiales son simétricas.

2. 
3. Si el experimento se repite r veces con n ensayos ;
   entonces se tiene:

…………………………….
(7)

Luego se deduce que:

……………………………….
(8)

3.1 MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL

Esta dada por:

……………………………………….
(9)

3.2VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL

……………………………………………….
(10)

4DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
ACUMULADA

Estos son similares a las distribuciones acumuladas,
así aplicamos para las distribuciones
binomiales.

P(x<=2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)

5 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
HIPERGEOMETRICA

Esta distribución se aplica cuando el muestreo se
realiza sin repetición y la probabilidad de éxito
no permanece constante de un ensayo a
otros calcula mediante la fórmula:

…………………………
(12)

Donde:

N: Tamaño de la población

S: Cantidad de éxitos en la
población

X: Número de éxitos en la
muestra.

n : Tamaño de la muestra.

n>=0.05N

6 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE
POISSON

Describe la cantidad de veces que ocurre un evento
en un intervalo determinado (tiempo,
volumen,
temperatura, etc…).La distribución se
basa en dos supuestos:

1°) La probabilidad es proporcional a la
extensión del intervalo.

2°) Los intervalos son
independientes.

Esta distribución es una forma límite
de la distribución binomial,cuando la probabilidad de
éxito es bien pequeña y n es grande ,a esta
distribución se llama "Ley de
eventos
improbables", lo cual significa que la probabilidad de p es
bien pequeña .La probabilidad de Poisson es una
probabilidad discreta; puesto que se forma por
conteo

……………………….
(13)

………………………………(14)

Donde:

Media del número de ocurrencias.

:
Constante de Euler.

x : Número de ocurrencias

6.1Media:-Esta dado por:

.

7 APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE
PROBABILIDAD.

En el Laboratorio
de Control y
Automatización de la FIEE de la UNAC se
tiene 16 computadoras, el Jefe de dicho laboratorio
reporta el siguiente informe:

El jefe de laboratorio desea saber cual es la
distribución de probabilidad de falla de las máquinas, para tomar acciones de
mantenimiento.

7.1 CONCLUSIONES

El jefe del laboratorio, según la
distribución de probabilidades que tienden a cero solo
hará algunos ajustes.

8 APLICACION DE LA
DISTRIBUSION BINOMIAL.

El almacenero del laboratorio de Ingeniería Electrónica reporta que de las treinta
puntas de prueba de osciloscopios el 20% están
malogradas, él desea saber la distribución de
probabilidad de que estén malogradas 4 puntas de
prueba.

Se aplica la fórmula (6).

P(x=4) =0.13252245.

BIBLIOGRAFIA

1. Probabilidad y Estadistica para Ingenieria, William
   W, Douglas C, David M, CECSA, 1. Mexico 2005
2. Probabilidad, Elizabeth Meza,del Castillo, CONCYTEC,
   Lima Peru,
   1984
3. Estadística aplicada , Lothar Sachs ,
   Editorial Labor,s.a. Barcelona 1978

Por

Raúl Castro Vidal

Universidad Inca Gracilazo de la Vega

Maestría en Ingeniería de
Sistemas

Profesor: Dr. Jorge Córdova

Curso Modelos
estadísticos