Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales
lineales de 2º orden con coeficiente
constantes
Teoremas: Ecuaciones
Diferenciales lineales de 2º orden con coeficiente
constantes y homogéneas
Resolución de Ecuaciones
Diferenciales lineales de 2º orden con coeficiente
constantes y homogéneas
Resolución de
Ecuaciones Diferenciales lineales de 2º orden con
coeficiente constantes y no
homogéneas
Régimen transitorio en
circuitos RLC
Regímenes transitorios
en circuitos de dos mallas

Temario:
Revisión de ecuaciones
diferenciales homogéneas y no homogéneas a
coeficientes constantes. Estudio de transitorios de circuitos RLC.
Régimen transitorio en circuitos de dos
mallas.

Iniciaré esta segunda parte del tema: Ecuaciones
Diferenciales, Aplicación a transitorios de circuitos, con
una revisión del tema Ecuaciones diferenciales lineales de
2º orden con coeficientes constantes homogéneas y no
homogéneas vistas en la cátedra de Análisis
Matemático.

Revisaré la resolución de estas ecuaciones
diferenciales, para luego dedicarme a la aplicación a
transitorios de circuitos.

1.-
Ecuaciones Diferenciales lineales de 2º orden con
coeficiente constantes.

1.1.- Homogéneas.

Responden a la forma: donde
, y el segundo
miembro es nulo.

1.2.- No homogéneas.

Responden a la forma: donde
, y el segundo
miembro no es nulo.

2.- Teoremas:
Ecuaciones Diferenciales lineales de 2º orden con
coeficiente constantes y homogéneas.

2.1.- Teorema 1: Si tiene como solución a
y1(x), entonces C. y1(x) también es
solución de la ecuación diferencial.

H] (1) es una ecuación diferencial lineal de
2º orden, con coeficientes constantes y
homogénea.

y1(x) es solución de la
ecuación diferencial anterior.

T] y = C. y1(x) es solución de
la ecuación diferencial anterior.

reemplazando en (1):

C es factor común del primer miembro de la
expresión anterior, por lo tanto:

pero el término entre corchetes del primer
miembro es cero ya que es solución de la ecuación diferencial
(1).

Entonces es solución de la ecuación diferencial
(1).

2.2.- Teorema 2: Si admite dos soluciones
y1(x), y2(x) entonces la combinación
lineal de ambas también es solución de la
ecuación diferencial.

H] (2) es una ecuación diferencial lineal de
2º orden, con coeficientes constantes y
homogénea.

y1(x) es solución de la
ecuación diferencial anterior.

y2(x) es solución de la
ecuación diferencial anterior.

T] y = C1. y1(x) +
C2. y2(x) es solución de la
ecuación diferencial anterior.

reemplazando en (2):

factoreando por grupos el primer
miembro:

pero el primer término entre corchetes del primer
miembro es cero ya que es solución de la ecuación diferencial y el
segundo término entre corchetes del primer miembro es cero
ya que es
solución de la ecuación diferencial.

Entonces es solución de la ecuación diferencial
(2).

2.3.- Teorema 3: Si admite dos soluciones y1(x),
y2(x) para las que su Wronskiano es distinto de cero,
entonces la combinación lineal de ambas también es
solución general de la ecuación
diferencial.

H] (3) es una ecuación diferencial lineal de
2º orden, con coeficientes constantes y
homogénea.

y1(x) es solución de la
ecuación diferencial anterior.

y2(x) es solución de la
ecuación diferencial anterior.

T] y = C1. y1(x) +
C2. y2(x) es solución general de la
ecuación diferencial anterior.

Por el Teorema 2 podemos decir que la combinación
lineal y = C1. y1(x) + C2.
y2(x) es solución de la ecuación
diferencial, lo que falta demostrar es que se trata de la
solución general.

Para hacerlo debemos demostrar que C1 y
C2 quedan unívocamente determinados cuando se
prefija un punto y
un valor para la
pendiente en ese punto .

Formamos el sistema:

Este sistema de incógnitas C1 y
C2 tendrá solución única cuando
el determinante formado por los coeficientes de las
incógnitas sea distinto de cero.

= = por
hipótesis.

Luego C1 y C2 quedan
unívocamente determinadas, pudiendo garantizar que
es la
solución general de (3).

3.-
Resolución de Ecuaciones Diferenciales lineales de 2º
orden con coeficiente constantes y
homogéneas.

Sabemos que estas ecuaciones diferenciales responden a
la forma:
(4) donde ,
y el segundo
miembro es nulo.

Vamos a probar si con
es solución de la ecuación diferencial
anterior.

(5)

Debemos demostrar que la expresión anterior da
cero o en su defecto, si aceptamos que da cero, debemos
determinar que condiciones debe cumplir r para que la
expresión se anule.

donde
recibe el nombre de ecuación característica y es la
que para ciertos valores de r
anula la ecuación (5).

La ecuación característica es una
ecuación de segundo grado y de acuerdo al valor de su
discriminante podremos tener las siguientes tres soluciones para
sus raíces:

I] r1 y r2 raíces reales y
distintas, por lo tanto:

II] r1 y r2 raíces reales e
iguales, por lo tanto:

III] r1 y r2 raíces
complejas conjugadas, por lo tanto:

Estudiemos cada uno de estos casos:

I] r1 y r2 raíces
reales y distintas, por lo tanto:

por el teorema 2: es solución de la ecuación diferencial
(4).

= ya que

por lo tanto es la solución general de la ecuación
diferencial (4).

II] r1 y r2 raíces
reales e iguales, por lo tanto: mientras que para y2 probaremos con:

Si:

reemplazando:

pero:
por ser la ecuación característica evaluada en su
raíz.

por ser
la derivada primera de la ecuación característica
evaluada en su raíz doble. Recordemos que una raíz
múltiple de orden n de una función
polinómica satisface a las derivadas de la
función hasta el orden n-1.

Entonces: es solución de la ecuación diferencial
(4).

y por el teorema 2: es solución de la ecuación diferencial
(4).

por lo tanto: es la solución general de la ED
(4).

III] r1 y r2 raíces
complejas conjugadas, por lo tanto:

y por el teorema 2: es solución de la ecuación diferencial
(4).

El Wronskiano es distinto de cero ya que como en el caso
I por lo
tanto:

es la solución general de la ED
(4).

Si seguimos operando:

pero

reemplazando:

reordenando:

haciendo: y

Solución general de la ED (4).

4.- Resolución de Ecuaciones
Diferenciales lineales de 2º orden con coeficiente
constantes y no homogéneas.

Sabemos que estas ecuaciones diferenciales responden a
la forma: donde
, y el segundo miembro no es
nulo.

4.1.- Teorema.

Si
(6) es una ecuación diferencial lineal, de 2º
orden y no homogénea, su solución general es la
suma de una solución particular cualquiera más la
solución general de la ecuación diferencial
homogénea correspondiente a la dada.

H] es una ecuación diferencial lineal, de 2º orden
y homogénea

Solución particular:

Solución de la homogénea:

T] es la solución general de la ecuación
diferencial (6).

pero:
pues es yh solución de la homogénea, por
lo tanto:

entonces: es
solución general de (6).

Nuestro problema, ahora, es calcular la solución
particular ya que la solución de la homogénea la
hemos visto en el punto 3.

Para calcular la solución particular tenemos dos
métodos:

Método de variación de parámetros o de
Lagrange.
Método de los coeficientes indeterminados.

Procederemos a revisar estos dos métodos.

4.2.- Método de
variación de parámetros o de Lagrange.

Tenemos la siguiente ecuación diferencial lineal de
2º orden y no homogénea: donde , y el
segundo miembro no es nulo.

Solución:

a.- Cálculo de
yh:

Solución de la homogénea: Función
Complementaria.

b.- Cálculo de yp :

Para determinar y
se deben establecer dos condiciones una obligatoria y otra
arbitraria.

Condición obligatoria: yp
debe ser solución de la ecuación diferencial
dada.

Condición arbitraria: se la elige para
facilitar la resolución.

en esta última expresión fijamos la
condición arbitraria: (a)

por lo tanto:

como yp es solución particular:

reordenando:

donde : y
por ser
y1 e y2 las soluciones de la
ecuación diferencial homogénea de la dada; por lo
tanto:

de donde:

(b)

y para que
sea solución de la ecuación diferencial dada se
deben verificar (a) y (b):

Este sistema de ecuaciones con dos incógnitas es no
homogéneo y de solución única ya que el
determinante formado por los coeficientes de las
incógnitas es el Wronkiano de y1 e
y2 (solución general de la ecuación
homogénea correspondiente a la dada). Halladas las
soluciones y
las integramos y
determinamos y
.

La constante de integración la omitimos, pues de tenerla en
cuenta, se reduce a una sola constante con las consideradas en el
cálculo de yh .

4.3.- Ejemplo:

Cálculo de yh

resolviendo
esta ecuación de segundo grado obtenemos las
raíces:

por lo tanto:

Cálculo de yp

formamos el sistema:

pero
a0 =1

=
=

obviamos las constantes de integración por lo explicado
en el párrafo
anterior y obtenemos la solución particular:

Pero C1-1 = C3 es decir otra constante,
por lo tanto:

4.4.- Método de los coeficientes
indeterminados.

Este método permite hallar una solución
particular para ,
donde f(x) es una función cuyos términos son de la
forma o
, donde K, n,
 y
mNo.

a.- Cálculo de yh:

Solución de la homogénea: Función
Complementaria.

b.- Cálculo de yp :

Para calcular la solución particular se considera a
f(x), a la cual se la deriva hasta que sus términos no
generen partes variables
nuevas; cada término de f(x) genera un grupo de
partes variables, cada uno de estos grupos deberá ser
sometido al siguiente análisis:

Comprobar si algún grupo está contenido en
otro, si esto ocurre, se lo desestima.
Observar si alguna parte de algún grupo es a su vez
parte variable de la función complementaria, en tal
caso, dicho grupo será multiplicado por x y vuelto a
analizar, controlando si sus parte variables se repiten en la
función complementaria, en tal caso se lo vuelve a
multiplicar por x y así sucesivamente hasta que ninguna
parte de ningún grupo se repita en la función
complementaria.

Se forma un único grupo con todas las partes variables
así calculadas. La solución particular que se busca
es una combinación lineal de las partes variables que
integran este último grupo. Para determinar los
coeficientes de la combinación lineal debe recurrirse al
concepto de
solución particular y al principio de
yuxtaposición.

4.5.- Ejemplo:

Cálculo de yh

resolviendo
esta ecuación de segundo grado obtenemos las
raíces:

por lo tanto: con partes variables 1 y ex

Cálculo de yp

Partes variables: Primer término (1;x)

Segundo término (ex ,x. ex )

Como se repiten en la complementaria, multiplicamos por x y
obtenemos:

(x; x2 ) y (x.ex ,x2
.ex ) y formamos un único grupo (x;
x2 ; x.ex ;x2 .ex
)

armamos, por comparación de términos entre los
miembros, el sistema que nos permitirá calcular los
coeficientes:

Resolviendo
el sistema: A = -1/2; B = -1; C = ½ y D =-1

Solución General

5.- Régimen
transitorio en circuitos RLC.

5.1.- Régimen transitorio en corriente
continua.

En el siguiente circuito, al cerrar la llave L se
producirá un fenómeno transitorio que hemos de
estudiar.

En el instante t = 0 en que se cierra la llave L, la
intensidad i , variable y función del tiempo,
será cero ya que la inductancia en ese instante ha de
actuar como una llave abierta o una resistencia de
valor infinito, cayendo toda la tensión de la fuente en
ella.

Cuando el tiempo tienda a infinito la intensidad i, variable y
función del tiempo, también será cero ya que
el capacitor actuará como una llave abierta, cayendo en
él toda la tensión de la fuente.

En medio tenemos el régimen transitorio, y en
él, las caidas de tensión en cada elemento
serán:

Si aplicamos la ley de las mallas
de Kirchoff al circuito RLC de la figura, obtendremos la
siguiente expresión:

si derivamos esta última expresión:

reordenando:

y esta última es una ecuación lineal de 2º
orden con coeficientes constantes y homogénea, la misma la
resolvemos ya hemos explicado en el punto 3, es decir:

reemplazando:

y si hacemos: y

entonces:
y

Se nos presentarán los tres casos que estudiamos y eso
dependerá del valor del discriminante:

Caso I] B> 0 entonces r1 y r2
raíces reales y distintas.

Solución:

Para determinar las constantes aplicamos las condiciones
iniciales:

en t = 0 el valor de i = 0
en t = 0 la tensión de la fuente cae en la
inductancia

de a: es
decir
(a)

de b:

(b)

(a) y (b) forman un sistema de ecuaciones que
nos permitirá determinar el valor de las constantes, por
ejemplo en (b) reemplazamos C1 por
–C2 y hallamos C2 y luego con
(a) hallamos C1.

Caso II] B = 0 entonces r1 y r2
raíces reales e iguales.

Solución:

Para determinar las constantes aplicamos las condiciones
iniciales de la misma forma que en el caso I.

Caso III] B < 0 entonces r1 y r2
raíces complejas conjugadas.

Solución:

Para determinar las constantes aplicamos las condiciones
iniciales de la misma forma que en el caso I.

5.2.- Resolución de regímenes transitorios
para el circuito RLC del punto 5.1.

Basaremos, por supuesto, la resolución en todo lo
desarrollado en el punto anterior.

Caso I] Sea el siguiente circuito:

B> 0 entonces r1 y r2
raíces reales y distintas

(1)

Condiciones iniciales:

para t = 0 la i = 0 y V = vL

reemplazando en (1): es decir

reemplazando

con lo que:

La representación gráfica que nos muestra el
desarrollo en
el tiempo de este efecto o régimen transitorio es el
siguiente:

Caso II] Sea el siguiente circuito:

B = 0 entonces r1 y
r2 raíces reales e iguales

(2)

Condiciones iniciales:

para t = 0 la i = 0 y V = vL

reemplazando en (2): .0 es decir

con lo que:

La representación gráfica
muestra el desarrollo en el tiempo de este efecto

Caso III] Sea el siguiente circuito:

B < 0 entonces r1 y
r2 raíces complejas conjugadas

(3)

Condiciones iniciales:

para t = 0 la i = 0 y V = vL

reemplazando en (3): es decir

con lo que:

La representación gráfica que nos muestra
el desarrollo en el tiempo de este efecto o régimen
transitorio es el siguiente:

5.3.- Régimen transitorio en corriente
alterna.

Al cerrar la llave L la fuente aplica una tensión
v variable en el tiempo de forma sinusoidal.

Aplicando la ley de las mallas de Kirchoff
tenemos:

derivando:

reordenado la expresión anterior y dividiendo por
L miembro a miembro:

(1)

ecuación diferencial de 2º orden, con
coeficiente constantes y no homogénea.

Para resolver esta ecuación diferencia y estudiar
el régimen transitorio respectivo, emplearemos uno de los
métodos de resolución explicados en los apartados
anteriores, por ejemplo, el método de los coeficientes
indeterminados.

Determinación de la función
complementaria yh :

Resolvemos

Esto ya lo sabemos hacer, de manera que obtendremos una
de las siguientes soluciones:

Determinación de la solución
particular yp :

Partes
variables:

por lo tanto:

reemplazando en (1):

en esta última expresión agrupamos los
términos demejantes:

(a)

(b)

reordenando las dos últimas
expresiones:

resolviendo este sistema hallaremos los coeficientes A y
B.

Si planteamos el determinante del coeficiente de las
incógnitas y lo resolvemos, obtendremos:

operando:

por otro lado desarrollando el determinante de la
incógnita A:

dividiendo numerador y denominador por :

pero: y

reemplazando en la expresión de A:

por otro lado desarrollando el determinante de la
incógnita B:

con lo cual:

dividiendo ambos miembros por y operando nos encontraremos con un
denominador idéntico al de la resolución de la
incógnita A, por tanto:

y como :

pero sabemos que donde Z es la impedancia del circuito y que
donde x es la
reactancia resultante del circuito, por lo tanto:

donde y
donde  es
el ángulo de fase de la impedancia de carga.

y por trigonometría:

Las soluciones completas podrán ser, según
la solución de la homogénea:

5.4.- Ejemplo.

Resolvemos la homogénea:

y
obtenemos y

Hallamos la solución
particular:

donde

La intensidad completa será:

luego, para t = 0 la i = 0 y , por lo tanto

aplicamos a la solución general la primera
condición para t = 0 la i = 0

por otro lado:

resolviendo este sistema obtenemos: y

6.-
Regímenes transitorios en circuitos de dos
mallas.

Estudiaremos el siguiente circuito de dos
mallas y en el instante en que para t = = se cierra la llave L y
veremos que ocurre con las intensidades en cada una de las ramas
del mismo.

Para t = 0 las corientes i1 e i2
tienen valor cero ya que las inductancia actúan como una
llave abierta; luego de pasado mucho tiempo, la inductancia de la
rama central actuará como un cortocircuito y la intensidad
i1 = 3 A mientras que la otra corriente será
cero.

Pero veamos que ocurre en la transición,
planteando las ecuaciones de malla:

Si a la expresión la llamamos o representamos por nuestro sistema
quedará:

si a ambas ecuaciones las dividimos m.a.m por el valor
de las inductancias, con el fin de dejar a sin un factor que lo
multiplique:

En este sistema de ecuaciones lo podemos
representar:

.
=

donde para calcular cada una de las corrientes aplicamos
la Regla de Cramer:

. i1 =
desarrollando:

pero por
lo tanto y volviendo a la notación normal:

donde la solución de la homogénea nos da
valores y
por
tanto:

y la solución particular, vista al principio de
este punto es ;
luego la solución general será:

donde las constantes las determinamos a partir de las
condicione iniciales:

para t = 0 la corriente i1 = 0 y toda la
tensión de la fuente cae en la inductancia: , aplicando esta
condiciones a la expresión anterior de la intensidad 1,
determinamos las constantes y obtenemos:

. i2 =
desarrollando:

pero por
lo tanto y volviendo a la notación normal:

donde la solución de la homogénea
será la misma que para la corriente anterior por tener la
misma ecuación característica:

y la solución particular, vista al principio de
este punto es ;
luego la solución general será:

donde las constantes las determinamos a partir de las
condicione iniciales:

para t = 0 la corriente i2 = 0 y toda la
tensión de la fuente cae en la inductancia: , aplicando esta
condiciones a la expresión anterior de la intensidad 2,
determinamos las constantes y obtenemos:

y la intensidad en la inductancia central
será:

Que cosa los transitorios …..
¿no? …………….

Autor:

Prof. Carlos A. Garbarello

Profesor Titular de la cátedra de Laboratorio de
Mediciones Eléctricas II

Escuela Técnica Nº 9 "Ing. Luis A.
Huergo"

Secretaría de Educación del
Gobierno
Autónomo de la Ciudad de Buenos Aires

Tema: Ingeniería