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Una clase con el Polinomio de Taylor




Enviado por Carlos Loyarte



    1. Objetivos
    2. Aproximación de funciones
      por polinomios
    3. Aproximación
      local
    4. Polinomio de
      Taylor
    5. Fórmula de
      Taylor
    6. Planificación
    7. Desarrollo de
      clase
    8. Ejercicios

    TAYLOR

    1. Los polinomios figuran entre las funciones
      más sencillas que se estudian en Análisis. Son adecuadas para trabajar
      en cálculos numéricos por que sus valores se
      pueden obtener efectuando un número finito de
      multiplicaciones y adiciones. Por lo tanto, cualquier otra
      función que pueda aproximarse por
      polinomios facilita su estudio, entre ellas las funciones
      logarítmicas, exponenciales y trigonométricas,
      las cuales no pueden evaluarse tan
      fácilmente.

      Veremos que muchas funciones pueden aproximarse
      mediante polinomios y que éstas, en lugar de la
      función original, pueden emplearse para realizar
      cálculos cuando la diferencia entre el valor real
      de la función y la aproximación
      polinómica es suficientemente
      pequeña.

      Varios métodos pueden emplearse para aproximar
      una función dada mediante polinomios. Uno de los mas
      ampliamente utilizados hace uso de la formula de
      Taylor, llamada así en honor del
      matemático ingles Brook Taylor.

      Brook Taylor

      Nace en Edmonton, Inglaterra
      en 1685.

      Fue discípulo de Newton.
      Continuó su obra en el campo del análisis matemático. Su
      Methodus Incrementorum Directo et Inversa, la publica
      en Londres en 1715, donde describe su fórmula, aunque
      sin demostrarlo, cosa que hizo Mac-Laurin. (aunque esta
      fórmula era ya conocida por Gregory y Leibniz, pero no
      la habían publicado). Allí examinó los
      cambios de variable, las diferencias finitas (las cuales
      definió como incrementos), y presentó el
      desarrollo
      en serie de una función de una variable.

      Tales estudios no se hicieron famoso enseguida, sino
      que permanecieron desconocidos hasta 1772, cuando el
      matemático francés Joseph Louis de Lagrange,
      subrayó la importancia para el desarrollo del cálculo
      diferencial.

      Publicó también varios trabajos sobre
      perspectiva, dando el primer tratamiento general de los
      puntos de fuga; sobre los fenómenos de capilaridad,
      sobre problemas
      de cuerdas vibrantes y sobre centros de oscilación, a
      los que ya en 1708 había dado una
      solución.

      Fallece en Londres en 1731.

    2. Introducción

      Uno de los objetivos
      primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones
      polinómicas, ya que es de gran importancia para
      poder
      así calcular las funciones logarítmicas,
      exponenciales y trigonométricas. También
      así, darle una visión más amplia al
      estudiante sobre este tema, llevando un lenguaje
      no tan extenso y más centrado en lo práctico y
      lo necesario para poder realizarse este tipo de
      cálculos matemáticos, que en el cálculo diferencial e integral,
      encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la
      atención de practicar.

      En las aproximaciones polinómicas veremos lo
      sencillo que resulta.

    3. Objetivos

      Nos vamos a ocupar aquí de la
      aproximación local f(x) dada, mediante
      funciones polinómicas P(x), que se
      buscarán. Hemos llamado "local" a esta
      aproximación por que se realiza para valores de
      x próximos a un punto fijo a; las
      aproximaciones van a ser tanto mejores cuanto más se
      acerque x al valor a.

      Para aproximar a f(x), se recurre a
      las funciones polinómicas, porque como ya hemos
      explicado, éstas funciones son realmente más
      sencillas y más adecuadas para los cálculos
      numéricos. Para ir ganando precisión hay que
      tomar funciones polinómicas que sean, cada vez, de
      mayor grado.

      Las mejores aproximaciones se obtienen, si
      f(x) es suficientemente regular, al tomar para
      P(x) funciones polinómicas que tienen en
      x = a las mismas derivadas
      (primera, segunda, etc,….) que f(x);
      Éstos, son los llamados polinomios de
      Taylor en x = a de f(x). Para
      medir la bondad de estas aproximaciones se necesita conocer
      algún tipo de acotación del error f(x)
      – P(x);
      por ello, obtendremos una
      expresión de esta diferencia, R(x), que
      se llama resto o término complementario.

    4. Aproximación de funciones por
      polinomios

      Sean, una función f(x) y una
      función polinómica P(x),
      donde:

      1. f(a) = P(a)
      2. son n derivables en x = a y
        se verifica:

      f’(a) = P’(a); f’’(a)
      = P’’(a); f’’’(a) =
      P’’’(a);……..f n(a) = P
      n(a).

      Entonces P(x) es una
      aproximación local de f(x) en x =
      a.

      Tenemos que
      f(x)-P(x) cuando

      Si comparamos f(x)-P(x) con (x-a); con
      (x-a)2; con (x-a)3;…….; con
      (x-a)n ; se dice que P(x) en una
      aproximación de f(x) de primer orden, de
      segundo orden, …., de orden n, para si se verifica,
      respectivamente que:

      Resumiendo:

      Dada una función f(x), se
      dice que otra función
      P(x) es una
      aproximación local de orden n de f(x)
      cerca de un punto x = a si se cumple:

      Demostración

      Sea h tal que h =

      Observemos: 1º.- ambas funciones admiten
      derivada de orden n.

      2º.- este límite está
      indeterminado de la forma (0/0)

      A dicho límite le podemos aplicar la regla de
      L’Hopital (caso 0/0), sucesivamente, por lo menos hasta
      el orden (n-1).

    5. Aproximación local de una
      función

      Sea f(x) una función n veces
      derivable en x = a;

      P(x) un polinomio, con aproximación local
      de orden n de f(x) cerca de x = a.

      P(x) se llama POLINOMIO DE TAYLOR de grado
      n de f(x) siendo P(x):

      Demostración

      Por Hip. Sabemos que:

      f(a) = P(a); f’(a) = P’(a);
      f’’(a) = P’’(a);……..f
      n(a) = P n(a)

      Expresemos P(x) en forma de potencias de (x
      – a) con coeficientes indeterminados:

      P(x) = p0 + p1(x – a)
      + p2(x – a)2 + p3(x
      – a)3 + p4(x –
      a)4 +……….+pn(x
      – a)n (1)

      Hallaremos las derivadas sucesivas de
      P(x):

      P’(x) = p1 +
      2.p2(x – a) + 3.p3(x –
      a)2 +4.p4(x – a)3
      +………………….+
      n.pn(x – a)n
      –1

      P’’(x) = 2.p2 +
      2.3.p3(x – a) + 3.4.p4(x –
      a)2 +
      ……………….+ (n –
      1).n.pn(x – a)n –
      2

      P’’’(x) = 2.3.p3 +
      2.3.4.p4(x – a) +
      ……………………..+
      (n – 2).(n –1).n.pn(x- a)n
      – 3

      …………………………………………………………………………………………………….

      Pn(x) = 1.2.3.4……………..(n
      –3)(n – 2)(n – 1).n

      de donde resulta:

      Sustituyendo en (1)
      tenemos:

      L.q.q.d

      Recordemos que P(x) es próximo a
      f(x); es decir: f(x) – P(x) ® 0

      Designemos por Rn(x) la diferencia
      entre los
      valores de la función dada, f(x), y del
      polinomio calculado.

      Rn(x) = f(x) – P(x) Þ f(x) = P(x) +
      Rn(x).

      Desarrollando, tenemos que:

      El término Rn(x) se conoce
      con el nombre de TÉRMINO COMPLEMENTARIO O
      RESTO.

    6. Polinomio de
      Taylor
    7. Fórmula de
      Taylor

    Sea ƒ una función tal que ƒ y sus
    primeras n derivadas son continuas en el intervalo
    cerrado [a, b]. Además, considere que ƒ(x) existe
    para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un
    número z en el intervalo abierto (a,b). Tal
    que:

    (1)

    La ecuación (1) también se cumple
    sí b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a],
    y (a, b) se sustituye por (b, a).

    Observe que cuando n = 0, (1) se convierte
    en:

    Donde z esta entre a y b. Ésta es la
    conclusión del teorema del valor medio.

    Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la
    fórmula de Taylor:


    (2)Donde z esta entre a y x.

    La condición en la que se cumple (2) es
    que ƒ y sus primeras n derivadas sean continuas en un
    intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n +
    1)-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del
    intervalo abierto correspondiente.

    La formula (2) puede escribirse
    como:


    (3) Donde

    (4)

    Y

    (5) Donde z esta entre a y
    x

    El caso especial de la fórmula de Taylor que se
    obtiene al considerar a = 0 en (2) es

    Donde z esta entre 0 y x.

    Ésta fórmula recibe el nombre de
    fórmula de Mac Laurin, en honor al matemático
    escocés Colin Mac Laurin (1698-1746).

    PLANIFICACION

    PLANIFICACIÓN
    GENERAL

    TEMA:
    POLINOMIO DE TAYLOR

     

    Tiempo estimado:

    6 HORAS

     

     

    CONTENIDOS:

     

    • Aproximación de funciones por
      polinomios.
    • Aproximación local de una
      función.
    • Polinomio de Taylor.
    • Desarrollo de Mac Laurin.

    RECURSOS
    METODOLÓGICOS
    :

    • Exposición por parte del
      profesor
    • Trabajo individual y en grupo en base a una ficha repartida
      previamente a cada alumno.
    • Uso de sala de informática con software
      educativo (DERIVE)
    • Resolución de problemas.
    • Generalizaciones
    • Puesta en común
    • Tareas domiciliarias con aplicaciones sobre
      los conceptos tratados en el
      teórico.

     

    IDEAS
    PREVIAS
    :

     

     

    RECURSOS
    MATERIALES:

    Pizarrón, marcador, borrador.

    Computadoras.

     

     

    REQUISITOS
    PREVIOS
    :

     

    • Continuidad
    • Infinitésimos
    • Derivada

     

     

    TIPOS DE
    EVALUACIÓN

    • Oral: participación.
    • Escrita: evaluaciones escritas
    • Tareas domiciliarias.
    • Actitudinal.
    • Autoevaluación y co-evaluación.
    • Diagnóstica, de proceso y sumativa.

    BIBLIOGRAFÍA

    • Calculus (Apostol)
    • Polinomio de Taylor (R. Louro)
    • Calculus (Spivak)
    • Principios de Análisis
      Matemático (Lines)

     

    PLANIFICACIÓN
    DE CLASE

    TIEMPO PREVISTO

     70 minutos.

    PROGRAMA

     Sexto Ingeniería.

    UNIDAD

     Polinomio de Taylor

    TEMA

     Aproximación de funciones por
    polinomios.

    OBJETIVO

    Generales:
    El alumno debe llegar a comprender como se
    comportan las aproximaciones polinómicas a una
    función en un punto.

    Específicos:
    Visualizar que la diferencia entre la
    función y las sucesivas aproximaciones es un
    infinitésimo en un entorno al punto.

    CONCEPTOS PREVIOS

    Continuidad, infinitésimos,
    derivada

    MATERIAL NECESARIO

    Pizarrón, marcador, borrador.

     Copias de ficha 1.

     Software
    educativo DERIVE

    BIBLIOGRAFÍA

    Calculus (Apóstol);

    LA
    CLASE

    1. Trabajaremos en la sala de informática,
      donde se dispondrá a los alumnos de a tres por
      computadora atendiendo a las
      características del grupo y teniendo en cuenta que el
      docente debe supervisar el trabajo
      en cada máquina.
    2. Apoyándonos en algunas funciones sencillas,
      veremos brevemente el manejo del software (DERIVE), como ser:
      graficar funciones, calcular límites, hallar derivadas,
      etc.
    3. Para el desarrollo de la clase se entregará
      una ficha de trabajo
      (ficha 1), realizando las actividades en ella
      indicadas.

    Ficha 1 (1ra.
    Parte)

    trabajo en clase

    I) Aproximación de funciones por
    polinomios

    A)

    Sobre el mismo eje, dibuja las gráficas de las siguientes
    funciones

    Amplía
    gráfico, próximo al punto
    (0,1)

    Observaciones

    f : f(x) =
    ex

    y

    g1 : g1(x)
    = 1 + x

      

     

    f : f(x) =
    ex

    y

    g2 : g2(x)
    =

      

    f : f(x) =
    ex

    y

    g3 : g3(x)
    =

     

    B)

    1.- ¿Qué observas en los gráficos al ir aumentando el grado de
    g?

    2.- ¿Qué expresión tendrá
    g n(x)? Escribe g 4 (x) y g 5
    (x).

    3.- Realiza igual procedimiento
    para n = 4 y n = 5, que en la parte A)

    4.- Grafica simultáneamente ex, g
    1 (x),………., g 5 (x).

    5.- CONCLUSIONES

    DESARROLLO EN CLASE

    Nos vamos a ocupar aquí de la
    aproximación local f(x) dada, mediante
    funciones polinómicas P(x), que se
    buscarán. Hemos llamado "local" a esta
    aproximación por que se realiza para valores de x
    próximos a un punto fijo a; las aproximaciones
    van a ser tanto mejores cuanto más se acerque x
    al valor a. Para aproximar a f(x), se
    recurre a las funciones polinómicas, porque como ya
    hemos explicado, éstas funciones son realmente
    más sencillas y más adecuadas para los
    cálculos numéricos. Para ir ganando
    precisión hay que tomar funciones polinómicas que
    sean, cada vez, de mayor grado.

    Las mejores aproximaciones se obtienen, si
    f(x) es suficientemente regular, al tomar para
    P(x) funciones polinómicas que tienen en
    x = a las mismas derivadas (primera, segunda, etc,….)
    que f(x); Éstos, son los llamados
    polinomios de Taylor en x = a de
    f(x). Para medir la bondad de estas
    aproximaciones se necesita conocer algún tipo de
    acotación del error f(x) – P(x); por
    ello, obtendremos una expresión de esta diferencia,
    R(x), que se llama resto o término
    complementario.

    Hagamos un ejemplo siguiendo el trabajo
    realizado en la ficha:

    Sea f:f(x) = ex
    Donde f’(x) = ex; f’’(x) =
    ex;……..; f n(x) =
    ex.

    Si x = 0 tenemos: f(0) = 1; f’(0) =
    1; f’’(0) = 1;……….f n(0) =
    1.

    Y consideremos la función polinómica de
    primer grado g1:g1(x) =
    1+x

    En x = 0 tenemos que:
    g1(0) = 1 y g’1(0) =
    1

    Por lo tanto vemos que g1
    coincide con f en x = 0, así como sus
    respectivas derivadas en el mismo punto.

    Siguiendo la ficha, gráficamente
    obtenemos:

    la gráfica de g1 es la recta tangente
    a f en el punto (0,1)

    Ampliando la gráfica próxima al punto
    (0,1)

    Consideremos ahora, una función polinómica
    de segundo grado g2

    g2 : g2 (x) = donde g2(0) =
    1; g’2(0) = 1; g’’2(0) =
    1

    Graficando:

    El dibujo nos
    muestra que la
    gráfica de g2 se aproxima mejor a la curva de
    ex que (x+1) en las proximidades de
    (0,1).

    Ampliando la gráfica en esa misma zona, es
    más claro.

    Podemos intentar aún mejorar la
    aproximación utilizando polinomios que coincidan con f y
    sus derivadas terceras y de órdenes
    superiores.

    Sea g3 : g3 (x ) =

    Graficando:

    Y ampliando, vemos que casi "coinciden"

    Por lo tanto, es fácil comprobar que el siguiente
    polinomio

     

    coincide con la función exponencial y sus n
    primeras derivadas en el punto x = 0.

    Este es el trabajo que realiza Taylor.

    Siguiendo con nuestro ejemplo, para n = 4 y n = 5
    tendríamos:

    y

    respectivamente.

    Cuyas gráficas son:

    Donde se evidencia lo ya afirmado: al aumentar el grado
    del polinomio, su gráfica se aproxima mejor a la curva de
    ex, próximos al punto (0,1).

    Dibujando todas las gráficas juntas (la
    función ex, en rojo)

    Se nota claramente que el polinomio de grado 5 es el que
    más se aproxima a f alrededor del punto
    (1,0).

    Ficha 2 (2ra. Parte)

    trabajo en clase

    Aproximación local de una
    función

    EJERCICIOS

    1.- Sean las siguientes
    funciones:

    f : f(x) = e 2 x y g :
    g(x) = 2×2 + 2.sen x

    1. Hallar derivadas sucesivas de f y
      g hasta orden 3. Calcular en cada caso valor en x
      = 0. (usar DERIVE)
    2. Analizar el orden de aproximación local cerca
      de x = 0 entre la funciones f y g
      .

    2.-Dada f : f (x) =

    Comprobar que existe una función
    polinómica P(x) / P(x) = ax2 + bx + c donde
    esta es una aproximación local de orden n = 2 en el
    punto 1.

    3.- En un exótico país existe
    un famoso ídolo, cuya parte visible de sus ojos son dos
    preciosas piedras de gran valor.

    Un ladrón pretende robar las piedras,
    sustituyéndolas por dos pequeñas esferas del
    mismo color, que
    vistas desde fuera, se parezcan lo más posible a las
    piedras verdaderas, para de esa manera no causar pánico en los devotos del mencionado
    ídolo.

    Estas piedras tienen forma de elipsoide de revolución, cuya sección recta es
    una elipse, que tiene por ecuación 4×2 +
    y2 = 4. La parte visible es una pequeña zona
    próxima al punto A(0,2).

    Vamos hallar el radio
    (
    r) que habrían de tener las esferas para
    conseguir engañar lo mejor posible a los adoradores del
    ídolo. (Ejercicio explicado en clase).

    Resolución

    Sean E : y C :

    ecuaciones
    explícitas de la elipse y circunferencia
    respectivamente.

    1. Graficar la elipse y la
      circunferencia.
    2. Completar

     

    E(x)

    E’(x)

    E’’(x)

    E’’’(x)

     

    Fórmula

        

    En

    x = 0

        

     

     

    C(x)

    C’(x)

    C’’(x)

    C’’’(x)

     

    Fórmula

        

     

    En

    x = 0

        

    Obs: Usar DERIVE

    Soluciones

    1)

    f(x) = e2x – 1
    f ’(x) = 2e2x f ’’(x)
    =
    4e2x f ‘’’(x) =
    8e2x

    g(x) = 2×2 +2senx g’(x) =
    4x + 2cosx g’’(x) = 4 –
    2senx g’’’(x) = – 2cosx

    Por lo tanto, en x = 0, estas funciones sucesivas,
    valen:

    f(0) = 0 f ’(0) = 2 f ’’(0) = 4 f
    ’’’(0) = 8

    g(0) = 0 g’(0) = 2 g’’(0) = 4
    g’’’(0) = -2

    Como f(0) = g(0); f ‘(0) = g’(0); f
    ‘’(0) = g’’(0) f ‘’’(0)
    ¹ g’’’(0).

    Resulta que g(x) es una aproximación local de orden
    2 de f(x) cerca de x = 0.

    2)

    Se ha de verificar que: f(1) = P(1);
    f’(1) = P’(1) y f’’(1) =
    P’’(1)

    Ahora:; ;
    ;

    P(x) = a + bx + cx2; P’(x) = b +
    2.cx; P’’(x) = 2c

    Se debe verificar que: 2 = a + b + c; -1 = b +
    2c; 1 = 2c

    Resolviendo el sistema tenemos
    que: a = 7/2; b = -2 y c = 1/2

    Entonces:

    P(x) =

    3)

    Obs) Notar que se toma los ejes cambiados, para
    facilitar la resolución del ejercicio.

    Resolución

    La sección recta de la esfera es una
    circunferencia que deberá pasar por el punto (0,2) y
    habrá de tener su centro en el punto (0, 2 –
    r), donde r es su radio.

    La ecuación de la circunferencia es:

    x2 + (y – 2 + r)2 =
    r2

    Para que el engaño se note lo menos posible, hay
    que conseguir que la circunferencia se aproxime lo más
    posible a la elipse 4×2 + y2 = 4 en
    las cercanías del punto x = 0; y = 2. Esto se consigue si,
    además de pasar ambas por dicho punto, sus respectivas
    derivadas (primera y segunda) también son
    iguales.

    Calculando tenemos:

    En la Elipse: 4×2 + y2 =
    4
    ;

    Para derivar podemos llevar la ecuación de la
    elipse a la forma explícita donde al ecuación
    de la elipse la llamaremos E(x).


    donde y

    Tenemos: E(0) = 2, E’(0) = 0; y
    E’’(0) = – 2

    En la circunferencia: x2 + (y
    – 2 + r)2 = r2

    De similar forma que en la elipse, llevaremos la
    ecuación de la circunferencia a su forma
    explícita, llamándola C(x).

    ;
    y

    Donde: C(0) = 2; C’’(0) = 0 y
    C’’(0) =

    Sabemos que E(0) = C(0); E’(0) = C’(0) y
    que E’’(0) = C’’(0)

    Entonces: -2 = Þ r =

    Ficha 3 para el alumno (3ra.
    Parte)

    trabajo
    domiciliario

    Polinomio de
    Taylor

      1. Hallar el polinomio
        de Taylor, de grado n, en x = a, de la
        función f(x) en los siguientes casos:

       

      f(x)

      a

      n

      Polinomio de
      Taylor

      xex

      1

      2

       

      cosx

      p /4

      3

       

      Lx

      1

      4

       

      xsenx

      p /2

      3

       

      tgx

      p /4

      3

       

      Ö
      (x)

      1

      4

       

      Utiliza DERIVE 5 y gráfica conjuntamente
      cada función con su polinomio de Taylor.
      ¿Qué observas en cada
      gráfica?

    1. Hallar desarrollo de Mac Laurin, de grado n,
      en x = a, de la función f(x) en los siguientes
      casos:

    f(x)

    n

    Desarrollo de Mac
    Laurin

    Gráfica

    x2e-x

    3

      

    x2cosx

    2

      

    L(cosx)

    2

      

    arctgx

    3

      

    L(1+x)

    2

      

     

    1. Calcular

    recurriendo al desarrollo de Mac Laurin, de grado 2,
    de las funciones determinadas por el numerador y denominador del
    límite en cuestión.

     

    Trabajo realizado por el Profesor

    Carlos Loyarte

    Este se aplica en una clase de 6º grado de
    Secundaria, Opción Ingeniería.

    La Bibliografía es infinita.

    ROCHA – URUGUAY

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